1、 下一張 主 頁 退 出 上一張 第三章 資料的統(tǒng)計描畫 1.正確了解各種平均數(shù)、方差、規(guī)范差、變異系數(shù)等統(tǒng)計量的概念和性質(zhì)； 2.掌握上述各統(tǒng)計量的計算方法。教學目的：.第一節(jié) 平均數(shù) 平均數(shù)是統(tǒng)計學中最常用的統(tǒng)計量，用來闡明資料中各觀測值相對集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有：算術(shù)平均數(shù)arithmetic mean中位數(shù) median眾數(shù) mode幾何平均數(shù)geometric mean調(diào)和平均數(shù)harmonic mean1.資料的代表數(shù)2.表示各種技術(shù)措施的效果3.表示畜禽的消費性能4.進展變量間的相互比較其作用主要表達在：.下一張 主 頁 退 出 上一張 一、算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)是

2、指資料中各觀測值的總和除以觀測值個數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)，記為 、 等 。 算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計算。(一)直接法主要用于樣本含量n30、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計算。.下一張 主 頁 退 出 上一張 設(shè)某一資料包含n個觀測值： x1、x2、xn，那么樣本平均數(shù)可經(jīng)過下式計算：3-1 其中，為總和符號； 表示從第一個觀測值x1累加到第n個觀測值xn。當其在意義上已明確時，可簡寫為 ，3-1式可改寫為：.下一張 主 頁 退 出 上一張 【例3.1】 某種公牛站測得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、

3、490kg，求其平均數(shù)。由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285， n=10得：即10頭種公牛平均體重為528.5 kg。. 下一張 主 頁 退 出 上一張 二加權(quán)法 對于樣本含量 n30 以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的根底上采用加權(quán)法計算平均數(shù)，計算公式為： 3-2.下一張 主 頁 退 出 上一張 式中： 第i組的組中值； 第i組的次數(shù)； 分組數(shù)。 第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比艱苦小的數(shù)量，因此將fi 稱為是xi的“權(quán)，加權(quán)法也由此而得名。 【例3.2】 將100頭長白母豬的仔豬一月窩重單位：kg資料整

4、理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。.組別組中值（x）次數(shù)（f）f x101534520256150303526910404530135050552413206065852070753225合計1004520表3-1 100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表. 利用3-2式得： 即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。 計算假設(shè)干個來自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時，假設(shè)樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計算(以各樣本的含量為權(quán))。 下一張 主 頁 退 出 上一張 . 【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500頭，其平均體重為750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為

5、725 kg，假設(shè)將這兩個牛群混合在一同，其混合后平均體重為多少？ 此例兩個牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計算兩個牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即 下一張 主 頁 退 出 上一張 即兩個牛群混合后平均體重為738.89 kg。.下一張 主 頁 退 出 上一張 三平均數(shù)的根本性質(zhì) 1、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。 可簡寫成：或. 2、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。 對于總體而言，通常用表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：3-3式中，N表示總體所包含的個體數(shù)。. 當一個統(tǒng)計量的數(shù)學期望等于所估

6、計的總體參數(shù)時，那么稱此統(tǒng)計量為該總體參數(shù)的無偏估計量。 統(tǒng)計學中常用樣本平均數(shù) 作為總體平均數(shù)的估計量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無偏估計量。 下一張 主 頁 退 出 上一張 當一個統(tǒng)計量的數(shù)學期望等于所估計的總體參數(shù)時，那么稱此統(tǒng)計量為該總體參數(shù)的無偏估計量。 統(tǒng)計學中常用樣本平均數(shù) 作為總體平均數(shù)的估計量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無偏估計量。 .下一張 主 頁 退 出 上一張 二、中位數(shù) 將資料內(nèi)一切觀測值從小到大依次陳列，位于中間的那個觀測值稱為中位數(shù)median，記為Md。 當觀測值的個數(shù)是偶數(shù)時，那么以中間兩個觀測值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時，

7、中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計算方法因資料能否分組而有所不同。. 1、當觀測值個數(shù)n為奇數(shù)時，(n+1)/2位置的觀測值，即x(n+1)/2為中位數(shù)： 下一張 主 頁 退 出 上一張 一未分組資料中位數(shù)的計算方法 對于未分組資料，先將各觀測值由小到大依次陳列。 2、當觀測值個數(shù)為 偶 數(shù) 時 ， n/2和n/2+1位置的兩個觀測值之和的1/2為中位數(shù)，即： 3-4. 【例3.4】 察看得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為： 144 、 145、 147、 149、150、151、153、156、157，求其中位數(shù)。此例 n=9，為奇數(shù)，那么：即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。

8、(d).下一張 主 頁 退 出 上一張 【例3.5】 某犬場發(fā)生犬瘟熱，察看得10只仔犬發(fā)現(xiàn)病癥到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位數(shù)。此例n=10，為偶數(shù)，那么：d即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)病癥到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。.下一張 主 頁 退 出 上一張 二已分組資料中位數(shù)的計算方法 假設(shè)資料已分組，編制成次數(shù)分布表，那么可利用次數(shù)分布表來計算中位數(shù)，其計算公式為：3-5式中：L 中位數(shù)所在組的下限； i 組距； f 中位數(shù)所在組的次數(shù)； n 總次數(shù)； c 小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)。.下一張 主 頁 退 出 上一張 【例3.6】某奶牛場68頭安康母牛從分娩到

9、第一次發(fā)情間隔時間 整理成次數(shù)分布表如表 32 所示，求中位數(shù)。 表3-2 68頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時間次數(shù)分布表間隔時間（d）頭數(shù)（f）累加頭數(shù)122611274123425613165771203672861652871011264102116266117268.下一張 主 頁 退 出 上一張 由表3-2可見：i=15，n=68，因此中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對應(yīng)的“5771這一組，于是可確定L=57，f =20，c =16，代入公式3-5得： d即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時間的中位數(shù)為70.5天。.又如，由表3-1可算得其中位數(shù)為：.下一張 主 頁 退 出 上一張 三、幾何

10、平均數(shù) n 個觀測值相乘之積開 n 次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)(geometric mean)，記為G。 它主要運用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的消費動態(tài)分析，畜禽疾病及藥物效價的統(tǒng)計分析。如畜禽、水產(chǎn)養(yǎng)殖的 增長率，抗體的滴度，藥物的效價，畜禽疾病的埋伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均程度。其計算公式如下：(3-6)n. 為了計算方便，可將各觀測值取對數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對數(shù)，即得G值，即(3-7) 【例3.7】 某波爾山羊群19972000年各年度的存欄數(shù)見表3-3，試求其年平均增長率。年度存欄數(shù)（只）增長率（x）Lgx199714019982000.429-0.

11、36819992800.400-0.39820003500.250-0.602lgx=-1.368表33 某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長率. 利用3-7式求年平均增長率 =lg-1-0.368-0.3980.602)/3 =lg-1 -1.368/3 =lg-1-0.456=0.3501 即年平均增長率為0.3501或35.01%。下一張 主 頁 退 出 上一張 當一組數(shù)據(jù)資料中的各觀測值呈倍數(shù)關(guān)系等比關(guān)系，幾何級數(shù)變化趨勢時，用幾何平均數(shù)表示其普通程度是較為適宜的。.下一張 主 頁 退 出 上一張 四、眾 數(shù) 資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個觀測值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)mode，記為Mo。

12、 延續(xù)性資料由于樣本中的各觀測值容易集中于某一個數(shù)值，所以眾數(shù)易于確定。 延續(xù)性資料由于在兩個相鄰的觀測值之間，可有各種數(shù)值存在，樣本中的觀測值不易集中于某一個數(shù)值，眾數(shù)不易確定。 在延續(xù)性資料的次數(shù)分布表中，分布次數(shù)最多一組的組中值即為該樣本的概約眾數(shù)。但在實踐統(tǒng)計分析過程中，由于分組不同，概約眾數(shù)亦不同。可用補差法計算眾數(shù)，其準確性高于眾數(shù)。公式如下：.3-8為次數(shù)最多組的下限,為組距，L為次數(shù)最多組上一組的累計次數(shù)，為次數(shù)最多組下一組的累計次數(shù)。. 如表2-3 所列 的 50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)的次數(shù)最多，那么該資料的眾數(shù)為22天。 又如【例3.6】所列出的次數(shù)分布表

13、中，5771這一組次數(shù)最多，其組中值為64天，那么該資料的眾數(shù)為64天。再如，由表3-1可算得其概約眾數(shù)為：.五、調(diào)和平均數(shù) 資料中各觀測值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)harmonic mean，記為H。即3-9 調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模。. 下一張 主 頁 退 出 上一張 【例3.8】 某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭； 3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。利用3-9式求平均規(guī)模：(頭)即保種群平均規(guī)模為208.33頭。. 普通，對于同一資料： 算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平

14、均數(shù)。 上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。5 5 5 5 53 4 5 6 71 3 5 7 9 三組數(shù)據(jù)平均數(shù)均為5，但代表性強弱不同。.第二節(jié) 規(guī)范差下一張 主 頁 退 出 上一張 一、規(guī)范差的意義 用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對一個資料的特征作統(tǒng)計描畫是不全面的，還需引入一個表示資料中觀測值變異程度大小的統(tǒng)計量。 全距極差是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便的統(tǒng)計量。 全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準確表達資料中各觀測值的變異程度，比較粗略。當資料很多而又要迅速對資料的變異程度作出判別時，可以利用全距這個統(tǒng)計量。

15、. 為了準確地表示樣本內(nèi)各個觀測值的變異程度 ，人們首先會思索到以平均數(shù)為規(guī)范，求出各個觀測值與平均數(shù)的離差， ，稱為離均差。 雖然離均差能表示一個觀測值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但由于離均差有正、有負 ，離均差之和為零，因此不能用離均差之和 來表示資料中一切觀測值的總偏離程度。 為理處理離均差有正、有負，離均差之和為零的問題，可先求離均差的絕對值并將各離均差絕對值之和除以觀測值 個數(shù)n求得平均絕對離差，即 。. 雖然平均絕對離差可以表示資料中各觀測值的變異度，但由于平均絕對離差包含絕對值符號，運用很不方便，在統(tǒng)計學中未被采用。 我們還可以采用將離均差平方的方法來處理離均差有正、有負，離均差之和

16、為零的問題。 先將各個離均差平方，即 ，再求離均差平方和，即 ，簡稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改動，為了消除樣本大小的影 響，用平方和除以樣本大小，即 ，求出離均差平方和的平均數(shù)。. 為了使所得的統(tǒng)計量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計unbiased estimate量，統(tǒng)計學證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時，分母不用樣本含量n，而用自在度 n-1， 于是，我們采用統(tǒng)計量 表示資料的變異程度。 統(tǒng)計量 稱為均方mean square, 縮寫為MS,又稱樣本方差(variance of sample)，記為 ，即(3-10).自在度例如：有一個有4個數(shù)據(jù)n=4的樣本，其平均值m=5，

17、即遭到m=5的條件限制，在自在確定4、2、5三個數(shù)據(jù)收，第四個數(shù)據(jù)只能是9，否那么m不等于5，因此這里的自在度u=n-1=4-1=3. 相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為 。對于有限總體而言，的計算公式為：(3-11) 由于樣本方差帶有原觀測單位的平方單位，在僅表示一個資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時，常需求與平均數(shù)配合運用，這時應(yīng)將平方單位復原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計學上把樣本方差 的平方根叫做樣本規(guī)范(standard deviation of sample)，記為 ，即： (3-12). (3-13)由于所以3-12式可改為：.下一張 主 頁 退 出 上一張 (3-14) 相

18、應(yīng)的總體參數(shù)叫總體規(guī)范差，記為。對于有限總體而言，的計算公式為： 在統(tǒng)計學中，常用樣本規(guī)范差S估計總體規(guī)范差，但這并非無偏估計。 .二、規(guī)范差的計算方法一直接法 對于未分組或小樣本資料，可直接利用313或3-14式來計算規(guī)范差。 【例3.9】 計算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650g的規(guī)范差。此例n=10，經(jīng)計算得：x=5400，x2=2955000，代入3-13式得：.下一張 主 頁 退 出 上一張 (g)即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的 規(guī)范差 為65.828g。二加權(quán)法 對于已制成次數(shù)分布表的大樣本資

19、料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計算規(guī)范差。計算公式為： 3-15 式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；f = n為總次數(shù)。. 【例3.10】 利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表見表3-4計算規(guī)范差。組別組中值（x）次數(shù)（f）fxfx244.1545.03135.06075.045.8546.76280.213085.3447.5548.416774.437480.9649.2550.1221102.255220.2250.9551.8301554.080497.2052.6553.5442354.0125939.0054.3555.2281545.085317.1256.0556.

20、9301707.097128.3057.7558.612703.241207.5259.4560.35301.518180.4561.1562.04248.015376.00合計 f=200 fx=10705.1 fx2=575507.11表3-4 某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及規(guī)范差計算表.下一張 主 頁 退 出 上一張 將表3-4中的f、fx、代入3-15式得：(g )即某純系蛋雞200枚蛋重的規(guī)范差為3.5524g。.下一張 主 頁 退 出 上一張 三、規(guī)范差的特性 一規(guī)范差的大小，受資料中每個觀測值的影響，如觀測值間變異大，求得的規(guī)范差也大，反之那么小。 二在計算規(guī)范差時，在各觀測值加上或減去一個常數(shù)，其數(shù)值不變。 三當每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)a，那么所得的規(guī)范差是原來規(guī)范差的a倍或1/a倍。.全距極差全距 極差 = 最大值 - 最小值 只利用了資料中最大值