1、1 二、概率的幾種定義 一、頻率的概念1.2 概率及其性質三 概率的性質21. 定義 一、頻率的定義與性質 32. 性質設 A 是隨機試驗 E 的任一事件, 則4實例 將一枚硬幣拋擲 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 觀察正面出現的次數及頻率.試驗序號1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動最小隨n的增大, 頻率 f 呈現出穩定性5從

2、上述數據可得(2) 拋硬幣次數 n 較小時, 頻率 f 的隨機波動幅度較大, 但隨 n 的增大 , 頻率 f 呈現出穩定性.即當 n 逐漸增大時頻率 f 總是在 0.5 附近擺動, 且逐漸穩定于 0.5.(1) 頻率有隨機波動性,即對于同樣的 n, 所得的 f 不一定相同;6二、概率幾種定義在隨機試驗中,若事件A出現的頻率m/n隨1 頻率化定義(1) 對任一事件A ,有性質 (概率統計定義的性質)則定義事件A的概率為p,記作P(A)=p .著試驗次數n的增加,趨于某一常數p,7 概率的統計定義直觀地描述了事件發生的可能性大小，反映了概率的本質內容，但也有不足，即無法根據此定義計算某事件的概率。

3、8 1933年 , 蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結構 ,給出了概率的嚴格定義 ,使概率論有了迅速的發展.2 概率的公理化定義與性質9概率的可列可加性10 二、例題選講 一、古典概型的概念定義3 古典概型三、小結11 一、古典概型 1. 定義 若一個隨機試驗(,F, P )具有以下兩個特征： (1) 樣本空間的元素(基本事件)只有為有限個， 即=1，2，n； (2) 每個基本事件發生的可能性是相等的， 即 P(1)=P(2)=P(n)。 則稱這類試驗的數學模型為古典概型。12. 古典概型中事件概率的計算公式設隨機試驗E為古典概型，其樣本空間及事件A分別為： =1，2，n A=i1，

4、i2，ik則隨機事件 A 的概率為： 133. 古典概型的基本模型:摸球模型(1) 無放回地摸球問題1 設袋中有M個白球和 N個黑球, 現從袋中無放回地依次摸出m+n個球,求所取球恰好含m個白球,n個黑球的概率?14樣本點總數為A 所包含的樣本點個數為解設A=所取球恰好含m個白球,n個黑球15(2) 有放回地摸球問題2 設袋中有4只紅球和6只黑球,現從袋中有放回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到紅球的概率.16第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球解17樣本點總數為A 所包含樣本點的個數為18問題3、 某人生了3個孩子，

5、求是二男一女、三女的概率19課堂練習1o 電話號碼問題 在7位數的電話號碼中,求各位數字互不相同的概率. 20212o 骰子問題 擲3顆均勻骰子,求點數之和為4的概率.22234.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無限問題1 把 4 個球放到 3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率, 其中假設每個杯子可放任意多個球. 4個球放到3個杯子的所有放法24因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為25(2) 每個杯子只能放一個球問題2 把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球, 求第1 至第4個杯子各放一個球的概率.26解第1至第4個杯子各放一個球的概率為27課堂練習1o

6、 分房問題 將張三、李四、王五3人等可能地分配到3 間房中去,試求每個房間恰有1人的概率.2829證明由概率的可列可加性得三 概率的性質30概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得31證明32證明33證明由圖可得又由性質 3 得因此得34推廣 - 三個事件和的情況n 個事件和的情況35掌握概率的性質在計算概率中帶來方便36解二、 例題選講37 例 設有編號為1,2,10的十個相同的球，一學生任意取一球，求此球的號碼是偶數的概率 解 記i所取球的號碼為ii=1,2,10顯然，學生抽到任一球的可能性是一樣的，這是一個古典概型，基本事件總數n=10，令A所取球的號碼為偶數則A所含的基本事件數nA=5

7、，故所求概率為38 例3 一套5卷的選集隨機地排放在書架上，問：(1)第1卷放在最左邊的概率？(2)從左到右正好按卷號排成12345的概率？ 解 5卷選集在5個位置上的任一種排列，是一個基本事件，因此，所有可能的基本事件總數(即樣本空間中的基本事件總數)為5！。 設A=第1卷放在最左邊, B=從左到右正好按卷號排成12345,則A包含的基本事件總數為14!，B包含的基本事件總數為1。從而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。39注：計算樣本空間所含基本事件總數，有時用排列有時用組合，那么，何時用排列何時用組合？一般來講，當考慮“順序”時用排列，不考慮“順序”時用組合。另外，當考慮“順序”

8、時，樣本空間及所關心的事件A所包含的基本事件總數的計算，都要用排列，反之亦然40在 N 件產品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產品中抽取n件的所有可能取法共有41例 5（分房問題） 有 n 個人，每個人都以同樣的概率 1/N 被分配在 間房中的每一間中，試求下列各事件的概率： 1)某指定 間房中各有一人 ; 2)恰有 間房，其中各有一人； 3) 某指定一間房中恰有 人。 解 先求樣本空間中所含樣本點的個數。 首先，把 n 個人分到N間房中去共有 種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數。42 b)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為 a)某指定n間房中各

9、有一人，所含樣本點的個數，即可能的的分法為 c)某指一間房中恰有m人，可能的分法為 43進而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為 :（1） （2） （3） 上述分房問題中，若令 則可演化為生日問題.全班學生30人， (1) 某指定30天，每位學生生日各占一天的概率； (2) 全班學生生日各不相同的概率； (3) 全年某天，恰有二人在這一天同生日的概率。 利用上述結論可得到概率分別為 :44由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同的概率等于10.294=0.706, 這個值大于70%。（1） （2）（3）45 1 在房間里有10個人,分別佩戴從1號到10號的紀念章,任選3個記錄其紀念

10、章的號碼.(1)求最小號碼為5的概率;(2)求最大號碼為5的概率.備份題46解(1)總的選法種數為最小號碼為5的選法種數為47(2)最大號碼為5的選法種數為故最大號碼為5的概率為故小號碼為5的概率為48 2 將 4 只球隨機地放入 6 個盒子中去 ,試求每個盒子至多有一只球的概率.49 將4只球隨機地放入6個盒子中去 , 共有64 種放法.每個盒子中至多放一只球共有 種不同放法.因而所求的概率為解 50例3 將 15 名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優秀生.問 (1) 每一個班級各分配到一名優秀生的概率是多少? (2) 3 名優秀生分配在同一個班級的概率是多少? 51

11、解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數:(1) 每一個班級各分配到一名優秀生的分法共有52因此所求概率為(2)將3名優秀生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優秀生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為53 4 求你們班至少有兩個同學在同一天過生日的概率是多大 ？5455我們利用軟件包進行數值計算.56小概率事件一般是不會發生的，這個思想可以用于統計推斷中。57 4 某接待站在某一周曾接待過 12次來訪,已知所有這 12 次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規定的. 58 假設接待站的接待時間沒有規定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777 故一周內接待 12 次來訪共有59小概率事件在實際中幾乎是不可能發生的 , 從而可知接待時間是有規