1、2013 “北約”自主招生試題2013-03-16(時間90分鐘，滿分120分)一、選擇題(每題8分，共48分) 以任和1 - 32為兩根的有理系數多項式的最高次數最小為()2B. 3C. 5D. 6【解】由七=克，可知x2 = 2 ,同理由1 - 32 = x可知(1-x)3 = 2;所以方程(x2 - 2)(1-x)3 - 2=。的次數最小，其次數為5,故選C.在6x 6的表中停放3輛完全相同的紅色和3輛完全相同的黑色車，每一行每一列只有一輛車，每輛車只占一格，共有 種停放方法.A. 720B. 20C. 518400 D. 14400【解】紅色車選3列有C3 = 20種方法，再從這三列中

2、選三行有C3 = 20種方法，另外將紅色66車放在已選好的三列三行中有3x 2 = 6種方法，同理黑色車只能從剩下的三行三列九個格 中選，也有3 x 2 = 6種方法，因此方法數有(20 x 20 x 6) x 6 = 14400種.故選D. 已知x2 = 2y + 5, y2 = 2x + 5(x 豐 y )，則x3 -2x2y2 + y3值為()A.-10B. -12 C. -14 D. -16【解】由x2 = 2y + 5與y2 = 2x + 5兩式作差得x + y = -2(x。y)，代入兩式中分別化出x 2 + 2 x - 1= 0 y 2 + 2 y -1 = 0,所以x，y是方程

3、12 + 2t -1 = 0的兩個不等實根，于是x + y = - , xy =-也所以x3 - 2 x2 y2 +y3 =(x+)y (j+y - 3x j-2 ( x y)=-2 1),則a2013值為()A. 3019 x 22012B. 3019 x 22013C.3018 x 22012 D.無法確定【解】由a1 = 1, S.+1 = 4匕+ 2(n 1)可知，當 n = 1 時,S = 4a + 2,所以 a = 5;當n 2時,有S = 4a + 2(n 2)，由-式得，nn-1a = 4a - 4a (n 2)，即 a 一 2a = 2(a 一 a )(n 2)，且 a -

4、2a = 3所以 a - 2a = 3 x 2n - (n e N *)，同除以 2n 得，-M =-，且 4 = 1 ; TOC o 1-5 h z n+1n2n2n -122o所以 Zm = 1 + n ,故令 n = 2012 時,得 a = 22012 x 3019 ,故選 A.2n220135.在AABC中,D為BC中點,DM平分ZADB交AB于點M , DN平分ZADC交AC于N ,則BM + CN與MN的關系為（）BM + CN MN-MN + CN MN ,即 BM + CN MN , 上述不等式當且僅當ZMED + ADEN = 180。， 也即 ZB + ZC = 180。

5、，這顯然與三角形內角和定理矛盾，故等號取不到,ANC也即選A.6.模長都為1的復數A,B,C滿足A + B + C豐0,則BC + AC + ABA + B + C的模長為（A.B. 1C. 2 D.無法確定【解】由題知AA = BB = CC = 1,所以BC + AC + AB 2 BC + AC + AB BC + AC + AB =xA + B + CA + B + CA + B + C也即BC + AC + AB 2 BC + AC + AB BC + AC + AB x=_= A+B+CA+B+C3 + BA + CA + AB + CB + AC + BC ,皿、* =一=一=一

6、= = 1,故選 B.3 + AB + AC + BA + BC + CA + CB二、解答題（每題18分，共72分）7.最多能找多少個兩兩不相等的正整數使其任意三個數之和為質數并證明你的結論.【解】:至多有4個.首先可以取1,3,7,9這四個數,它們任意三個數之和分別為11,13,17,19符 合質數定義.下面再證明5個正整數是不符合題意的.若有5個正整數,則考慮質數被3除的余數，如果有一個數的余數為0,那么考慮余下的4 個數被3除的余數,如果余數既有1也有2,那么這兩個數與前面余數為0的數的和剛好為3 的倍數，故不符合題意，如果余下四個數的余數均相等，顯然取余下四個數中的三個數，則這 三個

7、數的和為3的倍數不是質數，也不符合題意,如果這5個數被3除的余數都不等于3,則 由抽屜原理,至少有3個數被3除的余數相同，這三個數的和是3的倍數不是質數，也不符合 題意.綜上可知,不存在5個正整數符合題意，即至多有4個正整數符合題意. 已知a + a + a HFa =。，且I a 一2a 1=1 a 一2a 1=1 a一2a I TOC o 1-5 h z 1232013122320131證明:a = a = a = a . = 0.【證明】：觀察可知a + a + a + a = 0 ,1232013即(2a 一 a ) + (2a 一 a ) + (2a一 a ) + (2a 一 a )

8、 = 021322013201212013又I a -2a I=I a -2a I=I a-2a I,不妨設I a -2a I= t,12232013112則可寫為 kt - (2013 - k)t = 0(0 k 2013,k e N)，即(2k 一 2013)t = 0,又顯然2k - 2013豐0,則有t = 0,于是有a = 2a ,a = 2a，,a= 2a,a= 2a，所以 a = 22013a ,即 a = 0 .12232012201320131111也所以a = a = a =a . = 0,即證.對于任意9，求 32cos 6 0 - cos60 - 6cos4 0 - 1

9、5cos2 0 的值.【解】32cos 6 0 - cos60 一 6cos4 0 - 15cos2 0=3 2(+ c o 3)一c d)s-6 0o-4105 co s 22=4(1+ co0 2f3(0o+ 22 30c o -s2 3) 0(3-c os 2 -4co0 2-)2 6 c6bs 415c(=4 + 12co0 2-6 t0o s= 4 + 4 +6(0 c - s 4 0)=!i求.s 41 0有一個mx n的數表，已知每一行的數均是由小到大排列.現在將每一列的數由小到大重 新排列，則新的數表中每一行的數滿足什么樣的關系？請證明你的結論原題敘述：已知有m-n個實數，排列

10、成mxn階數陣，記作a.,，使得數陣中的每一行從左到右都是遞增的，即對意的i = 1,2,3,m ,當j j時，都有a a .現將a 的每一12jjj mxn列原有的各數按照從上到下遞增的順序排列,形成一個新的mxn階數陣，記作a，即對 ij mxn任意的i = 1,2,3, ,n ,當i i時，都有a a.試判斷a中每一行的n個數的大小關12i、ji2 jj mxn系,并說明理由.【解】：數陣#中每一行的n個數從左到右都是遞增的，理由如下：ij mxn顯然，我們要證明數陣#中每一行的n個數從左到右都是遞增的，我們只需證明， ij mxn對于任意i = 1,2,3,m，都有a a，令a= a ，其中 k = 1,2,3,m,i,i ,i = 1,2, ,m,pqp (q+1)k (q+1)i-k (q+1)1 2 k則當t p時，都有a a = a a a ,也即在