1、數(shù)學(xué)競賽-新初三尖子班選拔卷一選擇題（共10小題，每題5分）1已知實數(shù)，滿足22+520，22520，且1，且的值為（）ABCD2如圖，在四邊形ABCD中，ABC75，BAD150，BC6，對角線ACAD，P是線段AC上的動點，Q是射線DA上的動點，當(dāng)四邊形BPDQ為平行四邊形時，則平行四邊形BPDQ的面積是（）A93B6C9D63如圖，正方形ABCD的頂點B在原點，點D的坐標(biāo)為（4，4），將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60，使點B落在點B處，DEBB于點E，則點E的坐標(biāo)為（）BCD4如圖，四邊形OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸上，位于第一象限的點A和第二象限的點C分別在雙曲線y和y的一支上，分

2、別過點A，C作x軸的垂線垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：ONOM；OMAONC；陰影部分面積是（k1+k2）；四邊形OABC是菱形，則圖中曲線關(guān)于y軸對稱，其中正確的結(jié)論是（）ABCD5如圖，四邊形ABCD是菱形，AB5，BEAD垂足為E，交AC于點F，且DE2，SADF，點G從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線ADC運動，到達點C終止，設(shè)點G的運動時間為t秒，F(xiàn)DG的面積為S，則S的最大值為（）A6.25B3.75C5.25D6如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上運動（不與點A，B重合），DAM45，點F在射線AM上，且AFBE，CF與AD相交于點G連接EC、EF、EG下列結(jié)論

3、：ECF45；AEG的周長為（1+）a；BE2+DG2EG2；當(dāng)G是線段AD的中點時，BEa正確的個數(shù)是（）A1個B2個C3個D4個7如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，M，N分別是AD、BC的中點，AB6，CD3，則MN的長可能是（）A3.6B4.5C1.4D5.48反比例函數(shù)和（k為大于1的定值）在第一象限的圖象如圖所示，點P在上過點P作PAy軸于點A，與交于點C；過點P作PBx軸于點B，與交于點D，連接OP、OC、OD、AB和CD四邊形PCOD的面積記為S1，OCD的面積記為S2下列結(jié)論不正確的是（）AS1為定值BCS2不為定值DABCD9代數(shù)式+的最小值是（）ABCD10約定：若

4、函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于原點對稱，則把該函數(shù)稱為“黃金函數(shù)”，其圖象上關(guān)于原點對稱的兩點叫做一對“黃金點”若點A（1，m），B（n，4）是關(guān)于x的“黃金函數(shù)”yax2+bx+c（a0）上的一對“黃金點”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線x2的右側(cè)，有結(jié)論a+c0；b4；a+b+c0；1a0則下列結(jié)論正確的是（）ABCD二填空題（共8小題，每題6分）11對于三個實數(shù)a，b，c，用Ma，b，c表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用mina，b，c表示這三個數(shù)中最小的數(shù)例如：M1，2，91請結(jié)合上述材料，解決下列問題：（1）M32，（3）2，32 ；（2）若M5x，x2，3minx2，3，則x 12如圖，矩形

5、OABC的頂點A和C分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)y（k0）的圖象過點B，D為AB中點，連接CD，過點O作OECD于點E，連接AE，若AE3，CD，則k 13將二次函數(shù)yx22x3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，所得新函數(shù)的圖象與直線yx+b的圖象恰有2個公共點時，則b的取值范圍為 14如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，連接AE，G為AE上的一點，且FGE45，則GF的長為 15如圖，三個邊長均為的正方形重疊在一起，O1，O2分別是兩個正方形的中心，則陰影（重疊）部分的面積為 16如圖，菱形ABCD中，ABC60，AB2，E、F分別是邊BC和對角線BD上

6、的動點，且BEDF，則AE+AF的最小值為 17若實數(shù)a，b，c滿足12a2+7b2+5c212a|b|4b|c|16c16，則a+b+c 18如圖，A，B兩點在雙曲線y1（x0）上，C，D兩點在雙曲線y2（m1，x0）上，若ACBDx軸，且BD2AC，則OAB的面積為 三解答題（共4小題）19（12分）小明在解方程2時采用了下面的方法：由（）（+）（）2（）2（24x）（8x）16，又有2，可得+8，將這兩式相加可得，將5兩邊平方可解得x1，經(jīng)檢驗x1是原方程的解請你學(xué)習(xí)小明的方法，解下面的方程：（1）方程的解是 ；（2）解方程+4x20（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)yk

7、1x+b的圖象與反比例函數(shù)y的圖象交于點A（2，4）和點B（m，2）（1）（2分）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；（2）直線AB與x軸交于點D，與y軸交于點C（4分）過點C作CEx軸交反比例函數(shù)y的圖象于點E，連接AE，試判斷ACE的形狀，并說明理由；（6分）設(shè)M是x軸上一點，當(dāng)DCO2CMO時，直接寫出點M的坐標(biāo)21（12分）正方形ABCD中，E、F是AD上的兩個點，AEDF，連CF交BD于點M，連AM交BE于點N，連接DN如果正方形的邊長為2（1）求證：BEAM；（2）求DN的最小值22（16分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a0）的圖象與x軸交于

8、點A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x（1）（3分）求拋物線的解析式；（2）（5分）在直線BC上方的拋物線上有一動點M，過點M作MNx軸，垂足為點N，交直線BC于點D；是否存在點M，使得MD+DC取得最大值，若存在請求出它的最大值及點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）（8分）如圖2，若點P是拋物線上另一動點，且滿足PBC+ACO45，請直接寫出點P的坐標(biāo)數(shù)學(xué)競賽卷答案一選擇題（共10小題）1A2B3D4D5A6B7A8C9B10C二填空題（共8小題）11（1）3（2）2或31212 133b1或b134 1432154 1622 17-52 1834三解

9、答題（共4小題）19解：（1）（x2+42+x2+10）（x2+42-x2+10）=(x2+42)2-(x2+10)2 （x2+42）（x2+10）32x2+42+x2+10=16，x2+42-x2+10=32162，x2+42=9x2+10=7(x2+42)2=x2+42=9281，x39，經(jīng)檢驗x39都是原方程的解，方程x2+42+x2+10=16的解是：x39；故答案為：x39（2）（4x2+6x-5+4x2-2x-5）（4x2+6x-5-4x2-2x-5）=(4x2+6x-5)2-(4x2-2x-5)2 （4x2+6x5）（4x22x5）8x4x2+6x-5+4x2-2x-5=4x，4

10、x2+6x-5-4x2-2x-5=8x4x2，4x2+6x-5=2x+14x2-2x-5=2x-1，(4x2+6x-5)2=(2x+1)2，4x2+6x54x2+4x+1，2x6，解得x3，經(jīng)檢驗x3是原方程的解，方程4x2+6x-5+4x2-2x-5=4x的解是：x320解：（1）點A（2，4）和點B（m，2）都在反比例函數(shù)y=k2x的圖象上，242m8k2，m4，B（4，2），將點A（2，4）、B（4，2）代入yk1x+b得，2k1+b=4-4k1+b=-2，k1=1b=2，yx+2，反比例函數(shù)解析式為y=8x，一次函數(shù)解析式為yx+2；（2）在yx+2中，當(dāng)x0時，y2，C（0，2），C

11、Ex軸，C點的縱坐標(biāo)為2，8x=2，x4，E（4，2），作AHCE于H，CHAHHE2，HCAHACHAEHEA45，CAEA，CAE90，ACE是等腰直角三角形，當(dāng)點M在D點左側(cè)時，由知，COD是等腰直角三角形，DCO2CMO，DMCDCM，DMCD，ODOC2，CDMD22，M（222，0），根據(jù)對稱性可知，當(dāng)點M在點D右側(cè)時，M（2+22，0），綜上：M（222，0）或（2+22，0）21（1）證：四邊形ABCD為正方形，ABDC，BAECDF90，又AEDF，ABEDCF，ABEDCF，BD是正方形ABCD的對角線，CDMADM，ADMCDMDCMDAM，ABEDAM，ABE+BAMD

12、AM+BAM90，ANB90，則BEAM；（2）解：取AB中點P，連PN、PD，由（1）知：ABN、APD均為直角三角形，PN=12AB1，PD=AD2+AP2=5，DNPDPN=5-1，則DN的最小值為5-122.解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=-32，-b2a=-32，b3a，yax2+3ax+c，將A（1，0）、C（0，4）代入yax2+3ax+c，a+3a+c=0c=4，a=-1c=4，yx23x+4；（2）存在點M，使得MD+22DC取得最大值，理由如下；令y0，則x23x+40，x4或x1，B（4，0），OBOC4，CBO45，設(shè)直線BC的解析式為ykx+b，b=4-4k+b=0

13、，k=1b=4，yx+4，設(shè)M（m，m23m+4），則D（m，m+4），MNx軸，MDm24m，如圖1，過點D作DGy軸交于點G，DCG45，CD22DG2，DG=22CD，DGm，MD+22DCm25m（m+52）2+254，當(dāng)m=-52時，MD+22DC有最大值254，此時M（-52，214）；（3）如圖2，當(dāng)P點在BC上方時，作A點關(guān)于y軸的對稱點E，A（1，0），E（1，0），ACOECO，BCO45，PBC+ACO45，BCEPBC，ECPB，設(shè)直線EC的解析式為ykx+b，b=4-k+b=0，k=4b=4，y4x+4，PB的直線解析式為y4x+16，聯(lián)立y=4x+16y=-x2-3x+4，x=-3y=4或x=-4y=0（舍），P（3，4）；如圖3，當(dāng)P點在BC下方時，作A點關(guān)于y軸的對稱點E，A（1，0），E（1，0），ACOECO，BCO45，PBC+ACO4