1、第七章 參數估計統計推斷:利用樣本提供的信息對總體的某些統 計特性進行估計或判斷，從而認識總體。(1)參數估計(第七章）(2)假設檢驗(第八章)統計推斷分為兩大類: 從本章開始，討論數理統計學的基本問題-統計推斷。參數估計 的主要內容1 點估計2 估計量的評選標準3 區間估計3.1 正態總均值與方差的區間估計3.2 單側置信區間 設總體X 的分布函數的形式已知，但是它的某些參數是未知的，通過總體的一個樣本來估計總體未知參數的值的問題稱為參數的點估計問題7.1 點估計一、 矩估計法二、 最大似然估計法 設總體X的分布函數為F(x; ), 其中 為待估計的參數. X1, X2 ,.,Xn是X的一個

2、樣本,x1, x2, ,xn是相應的樣本值.點估計問題的一般提法: 點估計: 用樣本X1, X2 , ,Xn構造一個適當的統計量用它的觀察值 作為未知參數 的近似值. 稱(X1, X2 , ,Xn)為 的估計量.(x1, x2, ,xn)稱為的估計值.估計量和估計值統稱為估計,并都簡記為 .點估計常用方法: 矩估計法; 最大似然估計法.注參數 的估計量 是樣本X1, X2 ,.,Xn 的函數.(X1, X2 , ,Xn),(x1, x2, ,xn)一、矩估計法 用樣本(原點)矩作為總體(原點)矩的估計量的方法稱為矩估計法 設總體X的分布函數為F(x; 1, 2, ., k),其中1, 2, .

3、 , k為待估參數,如果 i=E(X i)(i=1,2,.,k)存在, i為1, 2 ,k的函數,記i= i(1, 2 , , k) (i=1,2,.,k), X1, X2 , ,Xn為總體X的樣本,用Ai 來估計E(X i), 建立k個方程: A1= 1( 1, 2 , , k) A2= 2( 1, 2 , , k) . Ak= k( 1, 2 , , k)1= 1(A1, A2 , , A k)2= 2(A1, A2 , , A k).k = k(A1, A2 , , A k)用 作為i的估計量-矩估計量. ik階樣本矩求矩估計的方法 設總體X的分布函數為F(x; 1, 2, ., k),

4、其中1, 2, . , k為待估參數, 為i 的 矩估計量. iK階樣本矩(1)求總體X的前 k 階矩 i=E(X i)= i(1, 2 , , k) , i=1,2, . ,k(2) 解出 i = i (1, 2 , , k) , i=1,2, . ,k(3) 令 i = i (A1, A2 , , A k ) , i=1,2, . ,k例1 設總體X服從a，b上的均勻分布，a，b未知， X1, X2 , ,Xn為來自總體X的樣本,試求a，b的 矩估計量解解得，由矩估計法解因為由矩估計法,所以 的矩估計量為故 的矩估計值為例2 設總體X服從參數為 的指數分布, X1, X2 , ,Xn為來自

5、總體X的樣本，試用矩估計法求 的估計值.解例3 設總體X的均值E(X)=, 方差D(X)=2 都存在,且2 0.但 ,2 均為未知. X1, X2 , ,Xn為來自總體X的樣本, 求,2 的矩估計量.解得由矩估計法,對任何總體,總體均值與方差的矩估計量都不變【注】(1)若總體Xb(1, p), 則未知參數 p 的矩估計量為(2)若總體Xb(N, p), 則未知參數p , N的矩估計量為常見分布的參數矩估計量(3)若總體X N(,2), 則未知參數,2 的矩估計量為(4)若總體X P(), 則未知參數 的矩估計量為或 沒有利用總體分布函數所提供的信息，難保證有優良的性質。【注】 矩估計法的優點和

6、不足優點： 直觀、簡便,特別對總體期望和方差進行估計時不需要知道總體的分布.不足：要求總體原點矩存在，而有些隨機變量的原點矩不存在，就不能用此法進行參數估計; 矩估計量有時不唯一；作 業第173頁 第七章習題 1， 2 二、最大似然估計法 最早由德國數學家高斯于1821年提出,后來英國統計學家費希爾在1912年重新提出并做了進一步的研究. 最大似然原理的直觀想法: “概率最大的事件最可能出現”. 它是目前點估計中最廣泛應用的一種方法.該方法建立在最大似然原理的基礎上。 參數估計的最大似然法是要選取這樣的值來作為參數的估計值,使得當參數取這一數值時,觀測結果出現的可能性為最大.例4 設在罐中放有

7、許多白球和黑球,已知兩種球的數目之比為1:3, 但不知哪種顏色的球多, 若采用有放回方式從罐中取3個球,發現有一只黑球,問在此情況下應估計哪種顏色的球多?解：設 p=黑球所占比例=則則 p=1/4或 p=3/4又設X=“取出的3只球中黑球的數目”, 應有 p=1/4.故認為罐中白球多.似然函數(1)離散型總體 設總體X分布律 為待估參數,是可能取值的范圍.設X1, X2 , ,Xn是來自X的樣本，樣本觀察值為x1, x2 , ,xn ,則 (X1, X2 , ,Xn )的聯合分布律為對固定的樣本觀察值x1, x2 , ,xn ，記稱其為樣本的似然函數.(2)連續型總體 設總體X的概率密度為f

8、(x; ),為未知參數， 定義樣本的似然函數為:最大似然估計法：就是固定樣本觀察值 ，在取值的可能范圍 內挑選使似然函數達到最大的參數 ，作為 的估計值。則稱 為 的最大似然估計值，定義 若存在 ，使得稱 為 的最大似然估計量.如何求L( )的最大值?當lnL( )關于 可微時, lnL( ) 的最大值點必滿足： 由于L( )與 lnL( )在上有相同的最大值點,所以求L( )的最大值點可以改為求 lnL( ) 的最大值點.-對數似然方程當lnL( )關于 不可微時,回到定義求.由此方程組可解得參數 的極大似然估計值或令 分布中含有多個未知參數時，這時,似然函數L是這些未知 參數 的函數.分別

9、令例5 設Xb(1,p), X1, X2 , ,Xn是來自X的一個樣本,求參數 p 的最大似然估計量.解 X的分布律為 PX=x=px(1-p)1-x, x=0,1.設x1, x2 , , xn是相應于X1, X2 , ,Xn一個樣本值,故似然函數為似然估計量似然估計值令于是例6 設總體XN(,2),2均未知，又設X1, X2,.,Xn為總體X 的樣本, x1, x2 , xn為X的一組樣本觀測值，試求,2 的最大似然估計值及估計量.解似然函數為似然方程組X的概率密度為例7 設總體XUa, b, a, b 均未知，又設X1, X2,.,Xn為總體X 的樣本, x1, x2 , xn為X的一組樣

10、本觀測值，試求a, b 的最大似然估計值和估計量.(用定義)例8 已知一批燈泡的使用壽命T服從參數為 的指數分布,現隨機抽取18只,測得使用壽命(小時)如下: 16, 29, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520,620, 190, 210,800, 1100 求參數與 的最大似然估計值解:因為T 服從指數分布，故參數的最大似然估計為所以計算得例4 一個袋子中有黑球和白球個數比為R:1,現從袋中有放回地一個一個地取球，直到取到黑球為止。記X為取出的白球數，這樣做了n次（每次袋中黑、白球的比例不變）。得樣本 求R的極大似然估計量。解：總體X的分布律為似然函數令如果 為參數 的最大似然估計量，又函數 具有單值反函數，則 是 的最大似然估計量 似然估計的性質:例如，在例6中已得到 根據上述性質，得到的最大似然估計為標準差 的最大似然估計為最大似然估計的不變性例 設總體X的概率分布為其中(0 0,有則稱 為 的相合估計量即 例3 設總體X的數學期望 與方差 存在，