1、第2章 矩陣2第2章 矩陣高斯消元法矩陣的加法、數量乘法、乘法矩陣的轉置、對稱矩陣可逆矩陣的逆矩陣矩陣的初等變換和初等矩陣分塊矩陣32.1 高斯消元法高斯消元法消元法的基本思想是通過變形把方程組化成容易求解的同解方程。在解未知量較多的方程組時，需要使消元步驟規范而又簡便。例1：解線性方程組42.1 高斯消元法高斯消元法解：1）將第1個方程乘1/22）將第1個方程乘-2,-3,-5，并分別加到第2,3,4個方程上52.1 高斯消元法高斯消元法3）將第2個方程乘-2，并分別加到第3,4個方程上將第3個方程乘-1，第4個方程乘-1/3，并交換第3,4個方程的位置62.1 高斯消元法高斯消元法此方程組

2、和原方程組是同解的，我們把形如這樣的方程稱為階梯線性方程組，因此易得72.1 高斯消元法高斯消元法任意一個線性方程組都可以用高斯消元法將其化為容易求解的、同解的階梯形線性方程組。所謂消元，就是將元的系數化為0。為了使消元過程書寫簡便，我們可以把線性方程組82.1 高斯消元法高斯消元法對應的系數按順序排成一張矩形數表其中aij (i=1,2,.,m; j=1,2,.,n)表示第i個方程第j個未知變量xj的系數。這樣，高斯消元過程就可以在這張數表上進行操作，這張數表就稱之為矩陣(matrix)。92.1 高斯消元法矩陣的定義定義：數域F中的mn個元素aij (i=1,2,.,m; j=1,2,.,

3、n)排列成m行n列，并括以圓括號（或方括弧）的數表稱為數域F中的mn矩陣，通常用大寫字母記做A或Amn，有時也記做102.1 高斯消元法矩陣的定義其中aij稱為矩陣A的第i行第j列元素，當aij R(實數域)時，A稱為實矩陣；當aij C(復數域)時，A稱為復矩陣。mn個元素全為0的矩陣稱為零矩陣，記做0。當m=n時，稱A為n階矩陣（或n階方陣）。數域F上的全體mn矩陣組成的集合，記做Fmn 或M mn(F)；全體nn實矩陣（或n階實矩陣）組成的集合，記做Rnn 或M n(R)。112.1 高斯消元法矩陣的定義線性方程組對應的矩陣稱為增廣矩陣，記為(A, b)。122.1 高斯消元法矩陣的定義

4、其中由未知元系數排列成的矩陣A稱為線性方程組的系數矩陣。132.1 高斯消元法矩陣舉例用消元法解線性方程組的消元步驟可以在增廣矩陣上實現，下面舉例說明例2：求解線性方程組142.1 高斯消元法矩陣舉例解：線性方程的增廣矩陣為將第1行分別乘以-2,-3,-1，并依次加到第2,3,4行上，消去后三個方程中的x1（此時也消去了x2 ），得152.1 高斯消元法矩陣舉例將第2行乘-2，分別加到第3,4行上，得第4行乘-1/3，并和第3行交換，得162.1 高斯消元法矩陣舉例此階梯形增廣矩陣所對應的線性方程組與原線性方程組是同解的，為了在求解時省去回代的步驟，我們把每一行第一個非0元素所在的列的其余元素

5、全化為0，即稱為行簡化階梯矩陣，它所對應的線性方程組172.1 高斯消元法矩陣舉例與原方程組同解，得182.1 高斯消元法矩陣舉例當線性方程組的常數項b1=b2=.=bm=0時，我們稱它為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組。齊次線性方程組的解法與前面一樣。192.1 高斯消元法矩陣舉例例3：解線性方程組202.1 高斯消元法矩陣舉例解：第3行表示是無解的，故原方程組無解。212.1 高斯消元法矩陣舉例這種含有矛盾方程而無解的方程組稱為不相容方程組，有解的方程組稱為相容方程組。在行簡化階梯矩陣中，全0的行表示的方程稱為多余方程；在行簡化階梯矩陣中，如果某行未知量系數全為0，而對應的常數量不

6、為0，則此行表示的方程為矛盾方程。在高斯消元法的消元過程中，在增廣矩陣上會清楚地揭示出方程組中的多余方程和矛盾方程。222.1 高斯消元法線性方程組的解對于一般的線性方程組，通過消元步驟，可以將其增廣矩陣化為如下所示的行簡化階梯矩陣：232.1 高斯消元法線性方程組的解該行簡化階梯矩陣所對應的線性方程組與原方程組是同解方程組，因此線性方程組有解的充要條件是dr+1=0，在有解的情況下：1）當r=n時，有唯一解242.1 高斯消元法線性方程組的解2）當rn時，有無窮多解，把每行第一個非0元素cii所在列對應的未知量（這里是x1, x2, . , xr）取為基本未知量，其余未知量（這里是xr+1,

7、 xr+2, . , xn）取為自由未知量，并令自由未知量依次取任意常數k1, k2, . , kn-r，即可求得252.1 高斯消元法線性方程組的解齊次線性方程組總是有解的，這是因為d1=.=dr=dr+1=0。1）當r=n時，只有0解；2）當rj時，aij=0 (j=1,.,n-1)的矩陣稱為上三角矩陣；當ij時，aik=0 (k=1,.,i-1；ik)， bkj=0 (j=i,.,n ；kj)，故因此，當ij時，恒有cij=0，故C是上三角矩陣。同樣可證，兩個下三角矩陣的乘積仍是下三角矩陣。542.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法線性方程組的矩陣表示定義了矩陣的乘法，我們可以將線性方程組簡

8、潔地表示成一個矩陣等式。設線性方程組552.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法線性方程組的矩陣表示由于方程組中第i個方程可以表示為因此原線性方程組可以表示成562.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法線性方程組的矩陣表示記則并稱A為線性方程組的系數矩陣。572.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法方陣乘積的行列式定理：設A，B是兩個n階矩陣，則乘積AB的行列式等于A和B的行列式的乘積，即|AB|=|A|B|證：582.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法方陣乘積的行列式例5：設計算(detA)2和detA（即|A|2和|A|）592.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法方陣乘積的行列式解：注意到A的主對角線兩側的元素是反

9、對稱的，將A中行列互換所得矩陣記成AT，即由于|AT|=|A|，所以602.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法方陣乘積的行列式因此但因為A的主對角元全是a，行列式|A|中的a4項的符號為+，故612.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法方陣乘積的行列式例6：設其中Aij是行列式|A|中元素aij的代數余子式。證明：當|A|0時，|A*|=|A|n-1。622.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法方陣乘積的行列式證：設其中于是因此由于|A|0632.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法方陣的冪和方陣的多項式定義：設A是n階矩陣，k個A的連乘積稱為A的k次冪，記作Ak，即由定義可以證明：當m，k為正整數時，有當AB不可

10、交換時，一般情況下，(AB)kAkBk；當AB可交換時， (AB)k=AkBk=BkAk，但其逆不真。642.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法方陣的冪和方陣的多項式定義：設f(x)=akxk+ ak-1xk-1 +. + a1x1+ a0是x的k次多項式，A是n階矩陣，則稱為矩陣A的k次多項式（注意常數項應變為a0I）。由定義容易證明：若f(x)，g(x)為多項式，A，B皆是n階矩陣，則652.2 矩陣的加法、數量乘法、乘法方陣的冪和方陣的多項式但當AB不可交換時，一般還要注意：對mn矩陣A，當mn時，A2沒有意義。662.3 矩陣的轉置、對稱矩陣矩陣的轉置定義：把一個mn矩陣的行列互換得到的一

11、個nm矩陣，稱之為A的轉置矩陣，記作AT或A，即672.3 矩陣的轉置、對稱矩陣矩陣的轉置由定義可知，如果記A=(aij)mn， AT=(ajiT) nm ，則矩陣的轉置運算滿足以下運算規律：682.3 矩陣的轉置、對稱矩陣對稱矩陣定義：設是一個n階矩陣，如果aij=aji (i,j=1,2,.,n)，則稱A為對陣矩陣；如果aij=aji (i,j=1,2,.,n)，則稱A為反對陣矩陣。對于反對稱矩陣A，由于aij=aji (i,j=1,2,.,n)，所以其主對角元aii全為0。692.3 矩陣的轉置、對稱矩陣對稱矩陣根據定義，容易證明：A為對稱矩陣的充要條件是AT=A；A為反對稱矩陣的充要條

12、件是AT=A。702.3 矩陣的轉置、對稱矩陣對稱矩陣例1：設B是一個mn矩陣，證明則BTB和BBT都是對稱矩陣。證：712.3 矩陣的轉置、對稱矩陣對稱矩陣例：設A是n階反對稱矩陣，B是n階對稱矩陣，證明AB+BA是n階反對稱矩陣。證明：722.3 矩陣的轉置、對稱矩陣對稱矩陣必須注意，對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣。容易證明：若A與B均為對稱矩陣，則AB對稱的充要條件是AB可交換。732.4 可逆矩陣的逆矩陣可逆矩陣與逆矩陣定義：對于矩陣AFnn，如果存在矩陣BFnn ，使得AB=BA=I就稱A為可逆矩陣（簡稱A可逆），并稱B是A的逆矩陣，記作A-1，即A-1 =B。由定義可知，可逆矩陣及

13、其逆矩陣是同階方陣。由于定義中A與B的地位是平等的，所以也可稱A是B的逆矩陣。單位矩陣I的逆矩陣是其自身。742.4 可逆矩陣的逆矩陣可逆矩陣與逆矩陣定理：若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。證明：設B和C都是A的逆矩陣，則由可得故逆矩陣是唯一的。752.4 可逆矩陣的逆矩陣矩陣可逆的條件如果A可逆，則|A|B|=|I|=1，于是|A|0，因此|A|0是A可逆的必要條件； |A|0也是A可逆的充分條件。為了證明這個結論，我們引進A的伴隨矩陣(adjoint matrix)的概念。762.4 可逆矩陣的逆矩陣矩陣可逆的條件定義：設n階矩陣A=(aij)nn，Aij是行列式detA中元素aij的

14、代數余子式，我們稱cofA =(Aij)nn為A的代數余子式矩陣，并稱cofA的轉置矩陣為A的伴隨矩陣，記作adjA或A*，即772.4 可逆矩陣的逆矩陣矩陣可逆的條件在2.2節中我們已經證明了AA*=|A|I，同理可以證明， A*A=|A|I于是但|A|0，故當|A|0時，A可逆，且終上所述，我們可以得到下面的定理。782.4 可逆矩陣的逆矩陣矩陣可逆的條件定理：矩陣A可逆的充分必要條件是|A|0，且由定理立刻可得，對角陣和上（下）三角陣可逆的充要條件是它們的對角元a11, a22 ,., ann全不為0。此定理不僅給出了A可逆的充要條件，而且提供了求A-1的一種方法，后面我們才會介紹另外一

15、種常用的求A-1的方法。792.4 可逆矩陣的逆矩陣矩陣可逆的條件推論：若A，B都是n階矩陣，且AB=I，則BA=I，即A，B皆可逆，且A，B互為逆矩陣。證：此推論告訴我們，判斷B是否為A的逆，只需要驗證AB=I或BA=I的一個等式成立即可。802.4 可逆矩陣的逆矩陣可逆矩陣的運算規律可逆矩陣滿足以下運算規律（下設同階方陣A,B皆可逆，數k0）：812.4 可逆矩陣的逆矩陣可逆矩陣的運算規律必須注意， A，B皆可逆，A+B不一定可逆。即使A+B可逆，一般的例如：對角陣均可逆，但A+B=diag(3,0)不可逆，而A+C=diag(3,1)可逆。822.4 可逆矩陣的逆矩陣求逆矩陣舉例例1：下

16、列矩陣A,B是否可逆？若可逆，求其逆矩陣，其中832.4 可逆矩陣的逆矩陣求逆矩陣舉例解：因為|A|=2，故A可逆，A的各元素的代數余子式分別為842.4 可逆矩陣的逆矩陣求逆矩陣舉例因為|B|=b1b2b3，所以當b1b2b30時，B可逆，其逆矩陣仍為對角陣，且求逆的運算容易出錯，所以求得A-1后，應驗證AA-1=I，以保證結果是正確的。852.4 可逆矩陣的逆矩陣求逆矩陣舉例例2：設的行列式detA=a11a22a12a21=d0，求其逆矩陣。解：862.4 可逆矩陣的逆矩陣求逆矩陣舉例例3：設方陣A滿足方程A23A10I=0，證明：A，A4I都可逆，并求它們的逆矩陣。證明：由方程得故A可

17、逆，且再由方程得故B可逆，且872.4 可逆矩陣的逆矩陣求逆矩陣舉例例4：已知非齊次線性方程組Ax=b的系數矩陣A如例1所給，b=5, 1, 1T，問方程組是否有解？如有解，求其解。解：由于A是可逆矩陣，且可逆矩陣是唯一的，因此方程兩端都左乘A-1，得即882.4 可逆矩陣的逆矩陣求逆矩陣舉例例5：證明，若A是可逆的反對稱矩陣，則A-1也是反對稱矩陣。證：所以A-1也是反對稱矩陣。同理可證，可逆對稱矩陣的逆矩陣仍是對稱矩陣。892.4 可逆矩陣的逆矩陣綜合舉例例6：設A=(aij)nn為非0實矩陣，證明：若A*=AT，則A為可逆矩陣。證：故故A為可逆矩陣。902.4 可逆矩陣的逆矩陣綜合舉例例

18、7：設A,B,C均為n階方陣，若ABC=I，則下列乘積：ACB,BAC,BCA,CAB,CBA中哪些必等于單位陣I。解：根據矩陣乘法滿足結合律及矩陣可逆條件的推理得：同理可得：912.4 可逆矩陣的逆矩陣綜合舉例例8：設A可逆，且A*B=A-1+B，證明B可逆，當時，求B。解：由A*B=A-1+B得922.4 可逆矩陣的逆矩陣綜合舉例于是所以B和A*I均可逆，932.4 可逆矩陣的逆矩陣綜合舉例例9：設A,B均為n階可逆矩陣，證明：1）(AB)*=B*A*2）(A*)*=|A|n-2A證：1）由于|AB|=|A|B|0可逆AB也可逆，于是有所以942.4 可逆矩陣的逆矩陣綜合舉例2）由因為得從

19、而有952.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換用高斯消元法解線性方程組，其消元法步驟是對增廣矩陣做3類行變換1）以非0常數c乘矩陣的某一行（倍乘變換）2）將矩陣的某一行乘以常數c并加到另一行（倍加變換）3）將矩陣的某兩行對換位置（對換變換）這3類行變換統稱為矩陣的初等行變換；與之對應的列變換統稱為初等列變換；初等行變換和初等列變換統稱為初等變換。962.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換初等變換在矩陣的理論中具有十分重要的作用。矩陣的初等變換不只是可用語言表述，而且可用矩陣的乘法運算來表示，為此要引入初等矩陣的概念。972.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣定義：將單位矩陣做一次初等變換

20、所得的矩陣稱為初等矩陣。對應于3類初等行、列變換，有3種類型的初等矩陣：982.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣1）初等倍乘矩陣Ei(c)是由單位矩陣第i行（或列）乘c（c0）而得到的。992.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣2）初等倍加矩陣Eij(c)是由單位矩陣第i行乘c加第j行而得到的，或由第j列乘c加第i列而得到的。i行j行1002.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣3）初等對換矩陣Eij是由單位矩陣第i，j行（或列）對換而得到的。i行j行101初等矩陣如果初等矩陣是由單位矩陣做某種行（列）變換所得，那么它左乘一個矩陣A（右乘一個矩陣A）也就是對A做該種行（列）變換。Ei(c

21、)A：表示A的第i行乘cAEi(c)：表示A的第i列乘cEij(c)A：表示A的第i行乘c加至第j行AEij(c)：表示A的第j列乘c加至第i列EijA：表示A的第i行與第j行對換位置AEij：表示A的第i列與第j列對換位置2.5 矩陣的初等變換和初等矩陣1022.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣例1：1032.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣1042.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣1052.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣初等矩陣的行列式都不等于0，因此初等矩陣都是可逆矩陣。對初等矩陣再做一次適當的同類初等變換就化為單位矩陣，如所以，初等矩陣的逆矩陣是同類初等矩陣，即106

22、2.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣運算舉例例2：設初等矩陣試求P1P2P3及(P1P2P3)-1。1072.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣運算舉例解：P2左乘P3表示對P3做倍加行變換，P1左乘P2P3，表示對P2P3做對換行變換，于是可得1082.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣運算舉例1092.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣運算舉例例3：將三對角矩陣分解成主對角元為1的下三角矩陣L和上三角矩陣U的乘積，即A=LU（稱為矩陣的LU分解）。1102.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣運算舉例解：由于倍加初等矩陣及其逆矩陣都是主對角元為1的同類型三角陣，因此如能通過倍加行

23、變換將A的主對角線以下元素消為0（此時倍加行變換對應的初等矩陣是主對角元為1的下三角矩陣），就可將A分解為LU，具體作法如下：1112.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣運算舉例1122.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等矩陣運算舉例將上面三個式子中的左端的矩陣分別記作L1,L2,L3，則故其中1132.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣定理：可逆矩陣可以經過若干次初等行變換化為單位矩陣。證：高斯消元法的過程是對線性方程組的增廣矩陣做3類初等行變換，并一定可以將其化為行簡化階梯型矩陣。因此，對任何矩陣A，都可以經初等行變換將其化為行簡化階梯形矩陣，即存在初等矩陣P1,P2,.,Ps使

24、Ps . P2P1A=U當A為n階可逆矩陣時，行簡化階梯矩陣也是可逆矩陣（因為初等矩陣都可逆），從而U必是單位矩陣I（思考：為什么？）。1142.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣推論1：可逆矩陣A可以表示為若干個初等矩陣的乘積。證：根據前面的定理，存在初等矩陣P1,P2,.,Ps使得Ps . P2P1A=I所以A=(Ps . P2P1)-1= P1-1P2-1.Ps-1其中P1-1,P2-1,.,Ps-1仍是初等矩陣，推論得證。同時可得：A-1=Ps . P2P1= Ps . P2P1I1152.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣推論2：如果對可逆矩陣A和同階單位陣I做同

25、樣的初等行變換，那么當A變為單位陣時，I就變為A-1，即1162.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣又因為因此，同樣可以用初等列變換求逆矩陣，即1172.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣舉例例4：用初等行變換求矩陣的逆矩陣。1182.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣舉例解：1192.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣舉例所以1202.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣舉例例5：已知ABAT=2BAT+I，求B。其中1212.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣舉例解：由題意用兩種求逆方法都易得1222.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初

26、等變換求逆矩陣舉例必須注意，用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣時，必須始終做行變換，其間不能做任何列變換。如果做初等行變換時，出現全0行，則其行列式等于0，因此矩陣是不可逆的。1232.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣舉例例6：當a, b滿足什么條件時，矩陣A不可逆，其中1242.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣舉例解題思路：對A做初等行、列變換將其化為階梯矩陣，由|A|=0可得a, b應滿足的條件。（思考：此處為什么可以做行、列變換？和前面必須注意的地方矛盾嗎？）為簡單起見，應盡量將a, b置于A的右下方（思考：為什么？）。1252.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求

27、逆矩陣舉例解：1262.5 矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換求逆矩陣舉例因此矩陣不可逆的充要條件是即a=1或b=2。1272.6 分塊矩陣分塊矩陣把一個大型的矩陣分成若干小塊，構成一個分塊矩陣，這是矩陣運算中的一個重要技巧，它可以把大型矩陣的運算化為若干小型矩陣的運算，使運算更為簡明。1282.6 分塊矩陣分塊矩陣把一個mn矩陣A，在行的方向分成s塊，在列的方向分成t塊，稱為A的st分塊矩陣，記作A=(Akl)st，其中Akl (k=1,2,.,s; l=1,2,.,t)稱為A的子塊，它們可以是各種類型的小矩陣。1292.6 分塊矩陣分塊矩陣例如把一個5階矩陣用水平和垂直的虛線分成4塊，如果記

28、1302.6 分塊矩陣分塊矩陣并稱它是A的一個22分塊矩陣，其中的每一個小矩陣稱為A的一個子塊。1312.6 分塊矩陣分塊矩陣常用的分塊矩陣，除了22分塊矩陣，還有以下幾種形式：1）按行分塊其中ai=(ai1, ai2,., ain)，i=1,2,.,m。1322.6 分塊矩陣分塊矩陣2）按列分塊其中bi=(b1j, b2j,., bnj)，j=1,2,.,s。1332.6 分塊矩陣分塊矩陣當n階矩陣C中非0元素都集中在主對角線附近，有時可以分塊成下面的對角塊矩陣（又稱準對角矩陣）1342.6 分塊矩陣分塊矩陣其中1352.6 分塊矩陣分塊矩陣的運算1）分塊矩陣的加法2）分塊矩陣的數量乘法3）

29、分塊矩陣的乘法4）分塊矩陣的轉置5）可逆分塊矩陣的逆矩陣1362.6 分塊矩陣分塊矩陣的加法設分塊矩陣A=(Akl) st， B=(Bkl) st ，如果A與B對應的子塊Akl和Bkl都是同型矩陣，則例如其中A11與 B11，A12與 B12，A21與 B21， A22與 B22分別都是同型小矩陣（子塊）。1372.6 分塊矩陣分塊矩陣的數量乘法設分塊矩陣A=(Akl) st，是一個數，則1382.6 分塊矩陣分塊矩陣的乘法設AFmn，BFnp，如果A分塊為rs的分塊矩陣(Akl) rs，B分塊為st的分塊矩陣(Bkl) st ，且A的列的分塊法和B的行的分塊法完全相同，則其中C是rt分塊矩陣，且j1列j2列js列.j1行j2行js行.1392.6 分塊矩陣分塊矩陣的乘法可以證明（但略去），用分塊乘法求得的AB與不分塊作乘法求得的AB是相等的。A的列的分塊法和B的行的分塊法完全相同才能保證子塊矩陣可以相乘。1402.6 分塊矩陣分塊矩陣的乘法例1：將下列5階矩陣A，B分成22的分塊矩陣，并用分塊矩陣的乘法計算AB。1412.6 分塊矩陣分塊矩陣的乘法解：由觀察，可將A分成如下4個子塊根據分塊矩陣乘法的要求，B的行的分法應該和A的列的