1、基本知識泛函初步：研究抽象空間與空間之間相互關系。空間：數學結構集合空間的延伸：引入線性運算構成線性空間；引入范數構成線性賦范空間；引入內積，構成內積空間等等。1常用數學符號：”for all” or “for everyone”, 對于每個 ： “there is a” or “there exists”, 存在 Z ：整數集 R：實數集 C：復數集 Z+：正整數集 2常用數學符號3常用數學符號4線性空間線性空間是線性代數最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作向量空間，進而通過研究向

2、量空間來解決實際問題一、線性空間的定義5線性空間若對于任一數 與任一元素 ，總有唯一的一個元素 與之對應，稱為 與 的積，記作定義 設 是一個非空集合， 為實數域如果對于任意兩個元素 ，總有唯一的一個元素 與之對應，稱為 與 的和，記作6線性空間如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規律，那么 就稱為數域 上的向量空間（或線性空間）7線性空間8線性空間2 向量空間中的向量不一定是有序數組3 判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質的任一條，則此集合就不能構成線性空間 說明1 凡滿足以上八條規律的加法及乘數運算，稱為線性運算9線性空間（）一個集合，如果定義

3、的加法和乘數運算是通常的實數間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性例 實數域上的全體 矩陣，對矩陣的加法和數乘運算構成實數域上的線性空間，記作 線性空間的判定方法10線性空間通常的多項式加法、數乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規律11線性空間12線性空間例 正弦函數的集合對于通常的函數加法及數乘函數的乘法構成線性空間13線性空間是一個線性空間.例 在區間 上全體實連續函數，對函數的加法與數和函數的數量乘法，構成實數域上的線性空間一般地14線性空間例 正實數的全體，記作 ，在其中定義加法及乘數運算為驗證 對上述加法與乘數運算構成線性空間（）一個集合，如果定義的加法和乘數運算不是通常的實數間的加

4、乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規律證明所以對定義的加法與乘數運算封閉15線性空間下面一一驗證八條線性運算規律：16線性空間所以 對所定義的運算構成線性空間17線性空間不構成線性空間對于通常的有序數組的加法及如下定義的乘法例 個有序實數組成的數組的全體18線性空間1零元素是唯一的證明假設 是線性空間V中的兩個零元素，由于所以則對任何 ，有二、線性空間的性質19線性空間2負元素是唯一的證明假設 有兩個負元素 與 ，那么則有向量 的負元素記為20線性空間證明21線性空間4如果 ，則 或 . 證明假設那么又同理可證：若 則有22線性空間三、線性空間的子空間定義2設 是一個線性空間， 是 的一個

5、非空子集，如果 對于 中所定義的加法和乘數兩種運算也構成一個線性空間，則稱 為 的子空間定理線性空間 的非空子集 構成子空間的充分必要條件是： 對于 中的線性運算封閉23線性空間線性空間的元素統稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數等.線性空間是一個集合對所定義的加法及數乘運算封閉所定義的加法及數乘符合線性運算四、小結線性空間是二維、三維幾何空間及 維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性.24線性賦范空間25線性賦范空間26線性賦范空間27線性賦范空間28線性賦范空間29線性賦范空間30線性賦范空間31線性賦范空間重用概念32線性空間的完備性 中柯西點列的定義.設是中的點列，如果對任意給定的整數 存在正整數 當 時有 則稱是中的柯西點列.類似地可以定義度量空間中的柯西點列.33線性空間的完備性34線性空間的完備性35線性空間的完備性36希爾伯特空間37希爾伯特空間38希爾伯特空間39希爾伯特空間40希爾伯特空間41希爾伯特空間42希爾伯特空間43希爾伯特空間44希爾伯特空間45希爾伯特空間46希爾伯特空間47希爾伯特空間48希爾伯特空間49希爾伯特空間50希爾伯特空間51希爾伯特空間52希爾伯特空間53希爾伯特空間54希爾伯特空間55希爾伯特空間56希爾伯特空間57框架58框架59框架