1、福州市2020屆高三畢業班適應性練習卷數學(理科)詳細解答及評分細則評分說明：1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則。2對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。3解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。4只給整數分數。選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的在復

2、平面內，復數對應的點與對應的點關于實軸對稱，則ABCD【命題意圖】本題主要考查復數的概念、運算及其幾何意義等基礎知識，意在考查直觀想象、數學運算的數學核心素養【答案】A【解析】由題得,所以.故選A.已知集合，若，則實數ABCD【命題意圖】本題主要考查集合的概念與運算、解方程等基礎知識，意在考查邏輯推理、數學運算等數學核心素養【答案】C【解析】因為，所以直線與直線平行，所以.故選C.已知兩個單位向量，若，則的夾角為ABCD【命題意圖】本題主要考查平面向量的概念及運算等基礎知識，意在考查邏輯推理，數學運算，直觀想象的數學核心素養【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以，又因為，所以，故選B.一組數

3、據的平均數為，方差為，將這組數據的每個數都乘以得到一組新數據，則下列說法正確的是A這組新數據的平均數為B這組新數據的平均數為C這組新數據的方差為D這組新數據的標準差為【命題意圖】本題主要考查統計和統計量的理解等基礎知識，意在考查數據分析等數學核心素養【答案】D【解析】由題意知：這組新數據的平均數為，方差為，標準差為.故選D已知平面平面，直線，則“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系及其相互轉化等基礎知識，意在考查直觀想象、邏輯推理與數學抽象的數學核心素養【答案】C【解析】若，則根據面面垂直的性質定理可

4、得；若，則由，可得.故選C.若，則ABCD【命題意圖】本題主要考查指數、對數、冪的運算及性質等基礎知識，意在考查邏輯推理、數學運算的數學核心素養【答案】B【解析】，所以，故.故選B.若，則ABC或D或【命題意圖】本題主要考查三角恒等變換等基礎知識，意在考查邏輯推理、數學運算的數學核心素養【答案】D【解析】由得,所以,所以或,故或.故選D.拋物線的焦點為，點為上的動點，點為的準線上的動點，當為等邊三角形時，其周長為AB2CD【命題意圖】本題主要考查拋物線的概念與性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識，意在考查直觀想象、邏輯推理、數學運算的數學核心素養【答案】D【解析】方法一、因為為等邊三角形，所

5、以垂直的準線于，易知，因為，所以，所以的周長為，故選D.方法二、因為為等邊三角形，所以垂直的準線于，設，則，所以，又因為，且，所以，解得，所以，所以的周長為，故選D.在同一平面直角坐標系中，畫出三個函數，的部分圖象如圖所示，則A.為為為B.為為為C.為為為D.為為為【命題意圖】本題主要考查三角函數的圖象和性質等基礎知識，意在考查邏輯推理、直觀想象、數學運算的數學核心素養【答案】A【解析】，的最大值分別為，1，1，由于圖象的最大值最大，故為；，的最小正周期分別為，圖象的最小正周期比小，故為，為，故選A.射線測厚技術原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強度，是自然對數的底數，為被測物厚度，為

6、被測物的密度，是被測物對射線的吸收系數工業上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數為（注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質厚度，結果精確到0.001）ABCD【命題意圖】本題主要考查函數的概念與性質，在物理背景下考查學生的創新意識和應用意識，意在考查邏輯推理，數學運算，數學建模的數學核心素養【答案】C【解析】依題意得，所以，所以，故選C.已知雙曲線的一條漸近線方程為，是上關于原點對稱的兩點，是上異于的動點，直線的斜率分別為，若，則的取值范圍為ABCD【命題意圖】本題主要考查雙曲線的概念與性質、直線和

7、雙曲線的位置關系等基礎知識，意在考查邏輯推理、直觀想象、數學運算的數學核心素養【答案】A【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的方程為：,設，則,所以，即，.故選A.在三棱錐中，底面，是線段上一點，且三棱錐的各個頂點都在球表面上，過點作球的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為ABCD【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，球體與截面等基礎知識，意在考查直觀想象、邏輯推理與數學運算的數學核心素養【答案】C【解析】將三棱錐補成直三棱柱，且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球，記三角形的中心為，設球的半徑為，則球心到平面的距離為，即，連接，則，在中，取的中

8、點為，連接，則，所以在中，由題意得到當截面與直線垂直時，截面面積最小，設此時截面圓的半徑為，則，所以最小截面圓的面積為，當截面過球心時，截面面積最大為，所以，球的表面積為二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.曲線在點處的切線方程為_【命題意圖】本題主要考查函數與導數和導數幾何意義等基礎知識，意在考查邏輯推理、直觀想象、數學運算的數學核心素養【答案】【解析】因為，所以，所以在點處的切線方程為，即.勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線，它是由德國機械工程專家、機構運動學家勒洛首先發現，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三

9、角形如圖中的兩個勒洛三角形，它們所對應的等邊三角形的邊長比為，若從大的勒洛三角形中隨機取一點，則此點取自小勒洛三角形內的概率為_【命題意圖】本題主要考查概率與幾何概型、平面幾何等基礎知識，考查閱讀能力與應用意識和創新能力，意在考查數學建模、數學運算和邏輯推理的數學核心素養【答案】【解析】設圖中的小的勒洛三角形所對應的等邊三角形的邊長為，則小勒洛三角形的面積為，因為大小兩個勒洛三角形，它們所對應的等邊三角形的邊長比為，所以大勒洛三角形的面積為，若從大的勒洛三角形中隨機取一點，則此點取自小勒洛三角形內的概率為已知的內角的對邊分別為若，則角大小為_【命題意圖】本題主要考查解三角形、三角恒等變換等基礎

10、知識，意在考查邏輯推理、數學運算、直觀想象的數學核心素養【答案】【解析】因為所以所以所以因為，所以，則，所以，又，則，因為，所以，故已知函數是定義在上的偶函數，且，都有,則不等式的解集為_【命題意圖】本題主要考查函數的概念與性質及其應用、解不等式等基礎知識，意在考查邏輯推理、數學運算和直觀想象的數學核心素養【答案】【解析】因為函數是定義在上的偶函數，所以關于軸對稱，由向左平移個單位得到，所以關于直線對稱.，且，都有,所以在上單調遞增，所以在上單調遞減，因為，且，所以，所以，解得，所以原不等式的解集為.三、解答題：本大題共6小題，共70分（本小題滿分12分）已知數列滿足，設（1）求數列的通項公式

11、；（2）若，求數列的前項和【命題意圖】本題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，意在考查邏輯推理、數學運算等數學核心素養滿分12分【解析】方法一：（1）因為且，所以，2分又因為，3分所以是以2為首項，以2為公差的等差數列4分所以6分（2）由（1）及題設得，7分所以數列的前項和9分11分12分方法二：（1）因為，所以，又因為，所以，1分即，3分又因為，3分所以是以2為首項，以2為公差的等差數列4分所以6分（2）略，同方法一.（本小題滿分12分）為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網絡知識競賽活動.現從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）

12、分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；（2）在抽取的100名學生中，規定：比賽成績不低于80分為“優秀”，比賽成績低于80分為“非優秀”請將下面的22列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”？優秀非優秀合計男生40女生50合計100參考公式及數據：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【命題意圖】本題主要考查概率與統計等基礎知識，意在考查數學建模、數學抽象、數學運算、數據分析的數學核心素養滿分12分【解析】（1）由題可得，2分解得

13、3分因為，所以估計這100名學生的平均成績為74.5分（2）由（1）知，在抽取的100名學生中，比賽成績優秀的有人，由此可得完整的列聯表：優秀非優秀合計男生女生合計7分的觀測值，10分有的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”12分（本小題滿分12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，二面角等基礎知識，意在考查直觀想象、邏輯推理與數學運算的數學核心素養滿分12分【解析】方法一：（1）依題意，且，1分四邊形是平行四邊形，2分，3分平面，平面，平面4分（2）平面，且為的中點，平面且，平面，5分以為原點，

14、分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，取，則.7分設平面的法向量為，則，取，則.9分，11分設二面角的平面角為，則，二面角的正弦值為.12分方法二：（1）證明：連接交于點，因為四邊形為平行四邊形，所以為中點，又因為四邊形為菱形，所以為中點，2分在中，且，3分平面，平面，平面.4分（2）略，同方法一.（本小題滿分12分）已知橢圓()的離心率為，以的短軸為直徑的圓與直線相切（1）求的方程；（2）直線交于，兩點，且已知上存在點，使得是以為頂角的等腰直角三角形，若在直線的右下方，求的值【命題意圖】本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系，直線和圓的

15、位置關系等基礎知識，意在考查的數學核心素養是直觀想象、邏輯推理與數學運算滿分12分.【解析】（1）依題意，2分因為離心率，所以，解得，4分所以的標準方程為5分（2）因為直線的傾斜角為，且是以為頂角的等腰直角三角形，在直線的右下方，所以軸，6分過作的垂線，垂足為，則為線段的中點，所以，故，7分所以，即，整理得8分由得.所以，解得，9分所以，10分由得，將代入得，11分將代入得，解得.綜上，的值為.12分（本小題滿分12分）已知函數（1）求函數的極值點；（2）當時,當函數恰有三個不同的零點,求實數的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查函數和導數及其應用、函數零點等基礎知識，意在考查直觀想象、邏輯推理

16、與數學運算的數學核心素養滿分12分.【解析】（1）因為所以，所以,1分當時，,所以函數無極值點；2分當時,令，解得.由,解得;由,解得.故函數有極大值點，無極小值點.4分綜上，當時，函數無極值點；當時,函數有極大值點，無極小值點.5分（2）當時,，所以,設，則當即時,，所以在單調遞減，所以不可能有三個不同的零點；6分當即時，有兩個零點,所以又因為開口向下，當時,所以在上單調遞減；當時,，所以在上單調遞增；當時,，所以在上單調遞減.7分因為，又，所以，8分令則.所以在單調遞增，所以，即.由零點存在性定理知，在區間上有唯一的一個零點.10分又，所以.11分所以，所以在區間上有唯一的一個零點,故當時,存在三個不同的零點.故實數的取值范圍是.12分（二）選考題：共10分請考生在第22，23兩題中任選一題作答如果多做，則按所做第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑（本小題滿分10分）選修：坐標系與參數方程已知直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設點為上的任意一點，求到距離的取值范圍【命題意圖】本題主要考查直線的參數方程、曲線直角坐標方程、極坐標方程的互化，圓的極坐標方程等基礎知識，意在考查直觀想象、邏輯推理與數學運算的數