1、2021-2022學年四川省成都市高二下學期3月月考數學（理）試題一、單選題1函數的定義域是（）A（-1，1）BC（0，1）DB【分析】根據函數的特征，建立不等式求解即可.【詳解】要使有意義，則，所以函數的定義域是.故選：B2已知空間向量，則實數（）A6B8C10D12A【分析】由空間向量共線的坐標公式即可求得答案.【詳解】由題意，設.故選：A.3函數，則的值為（）ABCDB【分析】求出函數的導數，代入求值即可.【詳解】函數,故，所以，故選：B4已知，且，則向量與的夾角為（）ABCDA【分析】先由求出，再利用空間向量的夾角公式求解即可【詳解】設向量與的夾角為，因為，且，所以，得，所以，所以，因

2、為，所以，故選：A5下列函數中，在上為增函數的是（）ABCDA【分析】利用導數和常見函數的單調性逐一判斷即可.【詳解】由可得，當時，單調遞增，故A滿足，由可得，當時，單調遞減，故B不滿足，的增區間為，故C不滿足題意，的增區間為，故D不滿足題意，故選：A6如圖，在平行六面體中，點M為與的交點，若，則下列向量中與相等的向量是（）.ABCDA【分析】根據空間向量的運算法則，化簡得到，即可求解.【詳解】由題意，根據空間向量的運算法則，可得.故選：A.7已知為函數的極小值點，則（）A1B2C3DB【分析】利用導數求出的單調性即可.【詳解】，所以當時，當時則在和上單調遞增，在上單調遞減，故.故選：B8正方

3、體中，已知為的中點，那么異面直線與AE所成的角等于（）ABCDB【分析】作出異面直線與AE所成的角，結合余弦定理求得正確答案.【詳解】設正方體的邊長為，連接，根據正方體的性質可知，所以是異面直線與AE所成的角，所以，由于，所以.所以異面直線與AE所成的角為.故選：B9設直線與函數的圖象交于點，與直線交于點則的取值范圍是（）ABCDA【分析】根據題意，用表示出，結合導數判斷單調性，求出最值即可.【詳解】由題意得，則設函數，則，易知在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，所以的值域為，故的取值范圍是故選：A.10已知邊長為2的正方體中，E，F分別為，的中點，則點B到平面AEF的距離為（）ABCDC【

4、分析】以DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的數量積求出平面AEF的法向量，進而可求出點B到平面AEF的距離.【詳解】以DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，則，.設平面的法向量為，則，即令，則，得.又，所以點B到平面AEF的距離為故選：C11已知，則（）ABCDB【分析】注意到三個數的結構特點，均符合，構造函數進行解決.【詳解】設，則，又，于是當時，故單調遞減，注意到，則有，即.故選：B.12已知函數有兩個極值點，若，則關于的方程的不同實根個數為（）A2B3C4D5B【分析】先進行求導，利用導數和方程系數相同，得到或，轉化為和，圖像交點問題，最后利

5、用題目條件畫出的圖像即可求解.【詳解】函數有兩個極值點，假設，則有兩個不等的實數根，方程的判別式，所以方程有兩解，且或，函數的圖像和直線的交點個數即為方程解的個數，函數的圖像和直線的交點個數即為方程解的個數.在上單調遞增，在上單調遞減，又，畫出圖象如圖所示，的圖像和直線的交點個數為2個，的圖像和直線的交點個數為1個，或的根共有3個，即方程的不同實根個數為3.故選：B.本題關鍵在于發現導數和方程系數對應相等，得到方程有兩解，且或，再轉化成圖像交點問題，最后數形結合即可求解.二、填空題13設函數，若，則_.2【分析】根據函數在處的導數的定義得到方程，即可求出參數的值【詳解】解：因為，所以，且，.故

6、14已知平面的法向量分別為，若，則的值為_【分析】由平面互相垂直可知其對應的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】，平面的法向量互相垂直，即，解得,故答案為.15若函數在上有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為_.【分析】采用分離參數法，可得，再令，對函數求導，利用函數單調性，可知在上單調遞減，在上單調遞增，根據最小值和單調區間，作出函數的圖象，利用數形結合，即可求出結果.【詳解】令則，令，則由，在上，遞減，在上，遞增，且，.，作出函數的圖像，如下圖所示： 所以函數在上有兩個零點，則實數的取值范圍為.故答案為.16已知實數，滿足，其中是自然對數的底數，則的值為_.【分析】由

7、已知條件得出，進而可知與是關于的方程的兩根，構造函數，分析該函數的單調性，可得出，化簡整理可求得的值.【詳解】解：因為實數、滿足，所以，即，所以，與是關于的方程的兩根，構造函數，該函數的定義域為，且該函數為增函數，由于，所以，即，即，解得.故答案為.關鍵點點睛：本題考查利用指數與對數的互化求代數式的值，解題的關鍵在于由已知等式化簡得出與是關于的方程的兩根，轉化利用函數的單調性來得出，同時也要注意將根代入方程，得出關系式進而求解.三、解答題17求下列函數的導數：(1)；(2).(1)；(2).【分析】（1）根據導數的加法運算法則，結合常見函數的導數進行求解即可；（2）根據導數的加法和乘法的運算法

8、則，結合常見函數的導數進行求解即可.【詳解】(1)；(2).18已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區間上的最值.(1)(2)最小值為0，最大值為4【分析】（1）利用導數求得切線方程.（2）結合導數求得在區間上的最值.【詳解】(1)，所以曲線在點處的切線方程為.(2)，所以在區間遞增；在區間遞減，所以在區間上的最小值為，最大值為.19如圖，正方體中，、分別是棱、的中點(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值(1)證明見解析(2)【分析】(1) 取的中點，連接、，可證明平面平面，從而可證明結論.(2) 取的中點，連接、，則平面，所以直線與平面所成角為，從而可求解.【詳解】

9、(1)取的中點，連接、，因為四邊形為正方形，則且，因為、分別為、的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，因為且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，由平面，平面，平面，由、分別為、的中點，則，同理可證，.平面，平面，所以平面所以，平面平面，又平面，所以，平面.(2)取的中點，連接、，設正方體的棱長為，由因為、分別為、的中點，所以因為平面，則平面，所以直線與平面所成角為，因為平面，平面，則，在中，所以，因此，直線與平面所成角的正切值為.20已知函數(1)當時，求的極值；(2)討論的單調性(1)極小值為，無極大值(2)答案見解析【分析】（1）求出導函數，由得增區間，得減區間，從而得極值；（

10、2）求出導函數，分類討論確定和的解得單調性【詳解】(1)當時，(x0)則令，得，得，得， 所以的單調遞減區間為；單調遞增區間為.所以的極小值為f(2)= ，無極大值.(2)令則當時，在上單調遞減.當時，得，得;，得在上單調遞減，在上單調遞增，綜上所述，當時，在上單調遞減.當時，在上單調遞減，在上單調遞增.21如圖，直三棱柱中，點在棱上，(1)證明：平面；(2)若是的中點，求二面角的正弦值(1)詳見解析；(2).【分析】（1）由題可得平面，結合條件利用線面垂直的判斷定理即證；（2）利用坐標法即求.【詳解】(1)直三棱柱中，平面，又平面，又，平面；(2)如圖建立空間直角坐標系，設，則，又，即，設平面BMC的法向量為，則，即，令，可得，設平面的法向量為，則，即，令，可得，二面角的正弦值為.22已知函數（a為非零常數）(1)若f（x）在處的切線經過點（2，ln2），求實數a的值；(2)有兩個極值點，.求實數a的取值范圍；若，證明.(1)(2)（0，1）；證明見解析【分析】小問1先求出切線方程，再將點（2，ln2），代入即可求出a的值；小問2的通過求導，再結合函數的單調性求出a的取值范圍；結合已知條件，構造新函數即可得到證明.【詳解】(1)，切線方程為，將點代入解得：(2)當時，即時，f（x）在（-1，+）上單調遞增；f（x）無極值點，當時，由得，故f（x）在（-1，-）上單調遞增，