1、高等數學選講主講：徐鵬曉講什么什么講基本內容+新內容考核方式考試（開？閉？）課件+板書+練習主要講授內容和課時量 極限的基本理論和計算 6課時 導數與微分 8課時 定積分和二重積分 8課時 三重積分 2課時 曲線積分和曲面積分 8課時極限基本理論和計算 基本定義 基本性質 常用的極限的計算方法極限基本定義 數列極限定義：（描述）當當n無限增大無限增大時時,nx無限接近無限接近常數常數 A, 則則.limAxnn詳細點呢？（數學表達方式？）總存在正整數總存在正整數 N ,當當 n N 時，恒有時，恒有 |Ax|n,Axlimnn 記作記作:定義：N, 0N（自然數）（自然數） , 當當Nn 時，

2、時， 恒有恒有 Axn成立成立,Axlimnn 則則或稱數列或稱數列nx,A收斂收斂于數于數否則否則,稱數列是稱數列是發散發散的的. .nAxn 或或成立成立, 則稱當則稱當 時，時， 數列數列nx以以 A 為為極限。極限。 n設有數列設有數列 ，若存在常數，若存在常數 A，使，使對于對于任意給定任意給定的正數的正數 nx 函數極限的基本定義 當當 時時,函數函數 的極限的極限 當當 時時,函數函數 的極限的極限 函數極限與數列極限的關系函數極限與數列極限的關系 x0 xx )x(f)x(f局部局部有界性有界性存在存在,則在則在x0的某去心鄰域的某去心鄰域內，函數內，函數f(x)有界有界。0l

3、im( )xxf x若若 極限的性質（以函數一點極限為例）極限的性質（以函數一點極限為例）存在存在唯唯一性一性0lim( )xxf x若若存在，存在，則極限值唯一。則極限值唯一。若若0lim( ),xxf xa且且a0在點在點x0的某去心鄰域內，有的某去心鄰域內，有( )0f x （或（或( )0)f x (或或a0極極 限限 的的保保號號性性極限的計算方法主要有哪些？一.利用四則法則計算二.利用函數連續性三.極限存在準則(單調有界；夾逼定理)四.歸結原理五.利用兩個重要極限計算六.等價無窮小(含有界量與無窮小之積)七.導數定義八.利用泰勒展開九.羅必塔法則(包含積分上限函數類型)十.定積分定

4、義十一.級數理論方法利用四則運算法則計算極限定理：若 存在，則，)(lim)(limxgxf)(lim)(lim)()(lim1.xgxfxgxf)(lim)(lim. 2xfcxfc)(lim)(lim)()(lim. 3xgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)()(lim. 4xgxgxfxgxf（0) （注：以上極限過程可以為 例1計算下列極限）或x0 xx2323lim12243lim).1 (3221124323xxxxxxxxxx利用四則運算法則計算極限mnmnmnbabxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx0lim0011101110注：利用四則運算法則計算極限16

5、2)1 ()1 ()2(lim) 1() 1() 12(lim) 2(4821827817841482784xxxxxxxxxxx利用四則運算法則計算極限21) 11() 11 (lim) 11() 11)(11(lim11lim3)(2220 x22220 x220 xxxxxxxxxx利用四則運算法則計算極限exexxxxxxxx100)1 (lim)11 (lim)2(1sinlim) 1 (利用兩個重要極限計算極限利用兩個重要極限計算極限1.1sinlim0 xxx0000000sin ( )lim( )0,lim1( )tgxlim1xxxxxxxxx一般地：若則，另，特征：極限為“

6、 ”型未定式注：若極限形式不是“ ”型，則不能利用上述公式計算。利用兩個重要極限計算例如：0sinlimsinlim, 1sinlim10110110事實上，xxxxxxxxxexexxxxx1)1 (lim)1 (lim. 201利用兩個重要極限計算上述兩個極限為冪指函數型極限，他有以下三個特征：（1) 極限形式為： 型未定式，（2) 括號內第一項為數1，第二項極限為0（3) 括號內變量為1/x(或x)與指數x（或1/x）符 號相同且互為倒數 注：若極限形式不是 型，則不能利用上述 公式計算. ”“0)1 (”“0)1 (利用兩個重要極限計算例如：exexxxxx1)1 (lim)1 (li

7、m10，例2：計算下列極限23333sinlim2123sinlim1)00 xxxxxx（4141)(sinlim2sin2lim2cos1lim)2(22220222020 xxxxxxxxx利用兩個重要極限計算2141)(sin2lim2sin2limcos1limcos1limsinlim) 1(sinlimsintanlim)3(22220222002003cos1030 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用兩個重要極限計算41212sin2lim211112sinlim) 11(2sin11lim) 11(2sin) 11)(11(lim2sin11lim) 4 (00

8、000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用兩個重要極限計算5353lim5tan3sinlim)55tan()33sin(lim0,:53sinlim)5(000tttttttxtxxtgxtttx原式時令利用兩個重要極限計算 計算下列極限2)2(000)2-1lim)2-1lim21lim) 1 (211exxxxxxxxx（3)3()x2-1lim)2(lim)2(lim)2(23232exxxxxxxxxx（43133)1(13131)1(lim)1(lim)1()1(lim)11(lim)31(lim)3(3eeexxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用兩個重要極限計算exx

9、xxxxxxxln)1 (limln)1 (lnlim)1ln(lim)4(1100011010ln)1ln(lim)1ln(lim0, 1,11(lnlimlnlnlim1lnlim)5(1eeeteetttextteexexexxtttexexexexexexex原式時，令：）利用等價無窮小代換計算極限如果：時下列無窮小等價：在常用等價無窮小代換：是等價無窮小量，記為與時則稱在而0.)()(xx1)()(lim0)(lim, 0)(lim0000 xxxxxxxxxxxxx利用等價無窮小代換計算極限212121)sinx (2)sin(3)sin(4)(5)(6)1 cos(7) 11(8

10、)ln(1) (9)1(10)csinnnxxkxkxxxtgxxtgkxkxxxxxxxexarxx（注：利用等價無窮小代換，可以將左邊比較復雜的無窮小用右邊較簡單的無窮小等價代換，使極限計算簡單化利用等價無窮小代換計算極限 例4：計算下列極限2022221122212210211(2)lim1cos2011,1cos2(2 )21lim(2 )4xxxxxxxxxxxx 時，原式32limsin2lim) 1 (320320 xxxxtgxx利用等價無窮小代換計算極限xxxxxx00lim)1ln(lim) 3(21lim11limsin1sin1lim) 4 (2221022020 xx

11、xxxxxxxx21)(lim)1 (cos1lim)5(22100 xxxexxxxx利用等價無窮小代換計算極限0limsinsinlim,21limcos)cos1 (sinlim1(sinlimsinsinlim)6(303032210303cos1030 xxxxxtgxxxxxxxxxxxxtgxxxxxxxx但是）注：等價無窮小代換是將分子或分母中的乘積形式的無窮小因子整體代換，而對于分子或分母中的兩個無窮小之差，不能直接代換，應先化簡再代換利用羅必塔法則計算極限羅必塔法則是計算 型極限未定式的最有效方法之一1.”或“00條件：的某一鄰域內滿足以下在設羅必塔法則：”型極限未定式：”

12、或“0)(),(00 xxgxf；的某一鄰域內存在且在）（或（0)()(),()2(0)(lim)(lim1)000 xgxxgxfxgxfxxxx利用羅必塔法則計算極限導數比的極限即函數比的極限等于其則）存在；或AxgxfxgxfAxgxfxxxxxx)()(lim)()(lim,()()(lim)3(000利用羅必塔法則計算極限例5：計算下列極限11limlimlim) 1 (221111222xxarctgxxxxxxx616lim31lim321lim) 1(2) 1(lim)2(0202030 xexeexexexexeexeexxxxxxxxxxxxxxx利用羅必塔法則計算極限 注

13、：在使用羅必塔法則前，應先檢查極限是 否為 型未定式，并且在連續使用時，每步都需檢查，若不是未定式則停止使用，此時極限已求出?！被颉?0利用羅必塔法則計算極限172lim7ln2lnlim7ln2lnlim)3(712100 xxxxxxxxtgxtg3limcos1limsinlimsin)cos1 (limsincoslim)4(22122302230221000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用羅必塔法則計算極限 注2：將羅必塔法則與等價無窮小代換結合 起來使用極限計算將更簡單。10101limcos1sin1lim,sin1cos1limcossinlim)5(11xx

14、xxxxxxxxxxxx原式但不存在利用羅必塔法則計算極限1)1)1lim,limlimlim)6(2211xxexexxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeeee（原式但出現循環利用羅必塔法則計算極限 注3：當:應改用其他方法求之。而原極限未必不存在，法則失效，或出現循環時，羅必塔不存在，)()(lim0 xgxfxx）（）（則若（”型未定式”和“)(100)(1)(g)()()(,0)()(1)02xfxgxxfxgxfxgxf利用羅必塔法則計算極限例6：計算下列極限1)lim1lim) 1(lim1)011122111eeeexxxxxxxxxx（1000sin10011

15、000ln22100lnln2) lim sinlnlimlimlimlimsin0sinsinlim sinlnlimlimlncoslimlimlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxcsextgxxcsexctgxxxxxxxxxxx （但 是 ，無 結 果 。利用羅必塔法則計算極限 注4：在 型中若乘積因子含有lnx，lnf(x)則其只能作分子而不能將其倒到分母中。例7 求下列極限:型或利用通分化成若00,)()(:)2(xgxf212lim21lim1lim) 1(1lim)111(lim1)002000 xxxexxeexxeexxxxxxxxxxx（0利用羅必塔法則計算極限0

16、2lim2cos1limsinlimsinsinlim)1sin1(lim2)221002000 xxxxxxxxxxxxxxxxxx（21lim1ln11lnlimln) 1(1lnlim)ln11(lim3)211111111xxxxxxxxxxxxxxxxxx（利用羅必塔法則計算極限 3. 冪指函數的極限；00000( )0( )1( )( )lim ( ),(0 ,0 ,1 ) ( ),ln( )ln ( )(0. )ln ( )limlnlim ( )ln ( )limlim ( )g xxxg xxxxxxxg xg xkxxf xyf xyg xf xf xyg xf xkf xe令則利用羅必塔法則計算極限例8 求下列極限:11111111111111)lim(1 )ln,ln1lnlim l