1、考點四：國的切線方程考點五：切點弦及其方程考點六：圓的弦長與中點弦考點七：直線與園的實際應用第6講直線與圓的位置關系(核心考點講與練)考點一：直線與圓的位置判定考點二：由直線與國的位置關系求參數考點三：直線與畫相交的性質韋達定理的應用一、直線和圓位置關系的判定方法方法一：方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成一元二次方程組，利用判別式A來討論位置關系.A0,直線和圓相交：=(),直線和圓相切；(),直線和圓相離.方法二：幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑的大小加以比較.dR,直線和圓相離.相離相切相交圖形6方程角度A0幾何角度dz(/,為)圓的切線方程是：書)+用0=爐，過圓(x-a

2、)2+(y-b)2=&上一點PG。,%)圓的切線方程是：-a)+(y-a)(y(,-。)=*，一般地，如何求圓的切線方程？(抓住圓心到直線的距離等于半徑)；從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設切線方程為y-y1=-x-X),再根據相切的條件，運用幾何方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來求出k的位，一般有兩解，若求出k的值只有一個，則另一條切線的斜率肯定不存在，該直線為X=X。；切線長：過圓/+尸+Dx+Ey+b=0(x-a)2+(y-6=)外一點P(x。,)所引圓的切線的長為4+取)+RCyl(x0-a)2+(y0-h)2-R2)；(點到圓心的距離的平方減半徑的平方等于切線長的平方)弦長問

3、題：圓的弦長的計巢常用弦心距，弦長一半京及圓的半徑所構成的直角三角形來解：r2=d2+(-a)名師點睛考點一：直線與圓的位置判定例1.(2020上海市進才中學高三階段練習)直線3x-4y-9=0與圓工2+產=4的位置關系是()A.相交且過圓心B.相交且不過圓心C.相切D.相離【答案】B【分析】求出圓心到直線的距離，與半徑比較大小，即可得到結論.|0-0-9|9【詳解】圓/+V=4的圓心到直線的距離=k-=72,V3+(-4)3據此可知直線與圓的位置關系為相交但不過圓心.故選：B例2.(2020上海市第二中學高二期末)直線后+y-4=O和圓(04。2萬)的y=2sin9+l位置關系為()A.相交

4、且過圓心B.相交但不過圓心C.相切D.相離【答案】B【分析】化為圓的標準方程，結合直線與圓的位置關系，即可求解.【詳解】由題意，圓(oV),消去參數，可得X?+1)2=4,y=2sin+l則圓心坐標為(0,1),半徑為r=2.l,卜43又由圓心到直線Gx+y-4=0的距離為=J(g.+2=2,可得dr,又由圓心不適合直線Jx+y-4=0方程，所以直線與圓相交但不過圓心.故選：B.例3.(2021上海華師大二附中高二階段練習)“a=0”是直線(a+l)x+(al)y+2a=0(awR)與圓/+y2=4相交的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.即不充分也不必要條件【答案

5、】A【分析】根據直線與圓相交的判定，充分條件，必要條件即可求解【詳解】當”=0時，在線為x-y=O,過圓心（0,0）,故直線與圓/+產=4相交，當直線（a+l）x+（a-Dy+2a=0（aeR）與圓x?+丁=4相交時，圓心到直線的距離=J）：（20,顯然恒成立不能推出二所以“a=O”是直線（a+l）x+（a-l）y+2a=0（aeR）與圓+y2=4相交的充分不必要條件，故選：A例4.（2018上海長寧高二期末）已知。的方程+尸=/上0）,點尸（而xO）是圓。內一點，以尸為中點的弦所在的直線為?，直線的方程為or+by=r。則（）A.mn,且與圓。相離B.inn,且“與圓。相交C.機與重合，且與

6、圓。相離D.mn,且與圓0相交【答案】A【分析】利用宜線m是以P為中點的弦所在的直線可求得其斜率，進而根據直線n的方程可判斷出兩直線平行；表示出點到直線n的距離，根據點P在圓內判斷出a,b和的關系，進而判斷出圓心到直線n的距離大于半徑，判斷出二者的關系是相離.【詳解】直線m是以P為中點的弦所在的直線二直線m_LPO,m的斜率為-,b宜線n的斜率為-bIrl圓心到直線n的距離為/y/a2+b；P在圓內，.”油,故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查直線的位置關系，考查直線和圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）判斷直線與圓的位置關系常用的方法，（幾何法）：比較圓心到

7、直線的距離”與圓的半徑的大小關系：dro直線與圓相離.例5.(2021上海市奉賢區奉城高級中學高二階段練習)設直線系秘acos，+_ysin夕=1(0W0W2),對于下列三個命題：,沖所有直線均與一個圓相切；沖所有直線均經過一個定點；存在定點壞在沖的任直線上.其中真命題的序號是()A.B.C.D.【答案】B【分析】由題意知直線系J夜示為圓x2+y2=l的切線的集合，再逐個驗證即可.【詳解】因為/1I=故直線系I廢示為圓/+=1的切線的集合，J件所有直Vcos29+sin2(9線均與一個圓相切，正確：肝所有直線有相互平行的，所以不可能均經過個定點，不正確；點尸(0,。)在單位圓內時，該點不在直線

8、系.沖的任意一條上，故正確；故選：B.例6.(2022上海高三專題練習)若對于任意角。，都有xcos+(y-2)sin6=l,則直線/:xcos4irx-i-.【點睛】本題考查了直線系方程及數形結合的數學思想方法，重點考查了點到直線的距離,屬中檔題.例7.(2020上海市七寶中學高二期中)已知。、beR,足+*0,則直線/：+如=0與圓：x2+y2+ar+by=O的位置關系是.【答案】相切【分析】利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關系即可.【詳解】把圓：/+2+融+與，=0化為標準方程是：(x+j+(y+gJ=S誓，所以圓心坐標為卜號司，半徑為r=警主，/h1又圓心到直線奴+切=0的距離為

9、“125+從,a,=rTTTF2所以直線與圓的位置關系是相切.故答案為：相切.例8.(2020上海市行知中學高二階段練習)已知直線，：x-y-5=0,圓C:a-2+(y+2)2=l,則直線/被圓C所截得的線段的長為.【答案】近【分析】先求得圓心到出線/：x-.y-5=0的距離為d=也，再利用圓的弦長公式，即可求2解.【詳解】由題意，圓C:(x-2f+(y+2)2=l的圓心坐標為C(2,-2),半徑為r=1,圓心到直線/：x-y-5=0的距離為d/，2）三=4，VI+（-1）-2由圓的弦長公式，可得2彳萬=2卜-凈=&,即直線/被圓C所截得的線段的長為&.故答案為&.【點睛】本題主要考查了直線與

10、圓的位置關系的應用，其中解答中熟記圓的弦長公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.例9.（2020上海華師大二附中高二階段練習）已知圓，瞰方程為x2+（y-2=l,直線，的方程為x-3），=0,點壓E直線/上，過點H乍圓，卿切線必，PB,切點為4B.若ZAPB=60,試求點先勺坐標；（2）求四邊形必,監面積的最小值及此時點用坐標；（3）求證：經過P,后點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標.【答案】（1）（0,0）或C，|）；（2）四邊收礴積的最小值為半，/的坐標為（|,）（3）見解析.【分析】設P（3m,m）,連接物0,分析易得MP=2M4=2,即有（3機廠+（m-2

11、尸=4,解可得通值，即可得答案；（2）根據題意，分析易得/邊切.=25,=M4-AP=AP,又由4P?=M尸-M4?=叱-1，當,聯小時，即直線仞叫直線/垂直時，四邊形砸積最小，設出耶J坐標，則有盧馬=-3,解可得的值，進而分析.網勺最小值，求出四邊形為也湎枳，即可得答案；3一0根據題意，分析可得：過4RJ心點的圓為以物為直徑的圓，設/的坐標為（3痔），用加及小過兒R,歸點的圓為+）f-2），-5（3*+，-2）=0,結介出線，洞位置.關系，分析可得答案.【詳解】（1）根據題意，點依直線1匕設尸（3肛m）,連接;明因為圓Ml勺方程為丁+（3，-2尸=1,所以圓心M（0,2）,半徑r=l.因為過

12、點“乍圓J刪切線為、PB,切點為小B；則有PA_LM4,PBLMB，ft.MA=MB=r=l,易得aAPMaBPM,又由44P8=60,即NAPA/=30,則MP=2M4=2,即有（3m+（m-2）2=4,2解可得：m=0或機=g,即用坐標為（o,o）或m：（2）根據題意，aAPM9aBPM則S四邊形PAM/J=2Spm=MAAP=AP,又由AP2=叱=M尸-1，當初強小時，即直線，力與直線/垂直時，四邊形片場面積最小，設此時用J坐標為（3,）；有M=7,解可得”=:，即HKj坐標為（n）；此時股2=犍1=迎，則四邊形/H四面積的最小值為遮：4+955根據題意，例是圓砸切線，則E4J_M4.則

13、過4R七點的圓為以,仍為直徑的圓,設凡內坐標為（3九，），M（0,2）,則以，山為直徑的圓為(x-OXx-3m)+(y-,w)(y-2)=O,變形可得：x2+y2-3mx-m+2)y+2m-0,x2+y2-2y-/n(3x+y-2)=0；x2+y2-2y=O則有3x+y-2 = 0,解可得:y = 2 或,則當x=0、y=2fUx=,y=時，x2+V_2y_?(3x+y_2)=0恒成立,則經過4尸，.七點的圓必過定點,且定點的坐標為(0,2)和【點睛】本題考查直線與圓方程的綜合應用，涉及直線與圓的位置關系以及相交的性質，屬于中檔題.例10.(2020上海市向明中學高二階段練習)已知圓C:/+(

14、y-l)2=5,直線I:tnxy+1z=0(1)求證：對直線/與圓C總有兩個不同的交點；(2)設/與圓筏于4闞點，若48|=J萬，求/的傾斜角【答案】證明見解析；9或整【分析】(1)直線過定點(1,1),(1,1)在圓內，故得到證明.?=6,計算得到答案.【詳解】(1)/：儂_+1_加=0,機(彳_1)_?+1=0過定點(1,1)+(1_)2=5在圓內，故直線/與圓右總有兩個不同的交點(2)MB|=x/i7,r=45,則/=一一()=1,4=等d=/M/.m=5/3tana=G二a=工或a=Jm2+1233【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，傾斜角的計算，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力

15、.例11.(2020上海市三林中學高二期末)已知圓C:(x-ay+(y-2)2=4(aeR)及直線L:x-y+3=O.(1)當。=1時，判斷直線L與圓C的位置關系；(2)當直線l被圓C截得的弦長為2&時，求。的值.【答案】（1）相交：（2）。=1或0=一3.【分析】（I）由圓心C到直線L的距離西半徑河勺關系判斷直線乙與圓C的位置關系;（2）用垂徑定理求。的值.【詳解】（1）當”=1時，圓U（x-。）2+（y-2）2=4的圓心C（l,2）,半徑尸2,.C（l,2）到直線L:x-y+3=0的距離為=與生=夜0）,定點A（肛0）,8（0,），其中機，為正實數.（1）當。=，=3時，判斷直線A8與圓C

16、的位置關系；（2）當a=4時，若對于圓C上任意一點P均有84=/LPO成立（。為坐標原點），求實數見4的值；（3）當，=2,=4時，對于線段A8上的任意一點尸，若在圓C上都存在不同的兩點M,N,使得點是線段PN的中點，求實數”的取值范圍.【答案】相離.（2）=32=2.（3）*日）【分析】（1）利用圓心到直線的距離和半徑的關系即可得到判斷；（2）利用兩點間的距離公式進行化簡整理，由點P的任意性即可得實數m,入的值；（3）設出點P和點N的坐標，表示出中點M的坐標，M、N滿足圓C的方程，根據方程組有解說明兩圓有公共點，利用兩圓位置關系要求及點P滿足直線AB的方程，解出半徑的取值范圍.【詳解】解：當

17、a=3時，圓心為（-1,0）,半徑為6,當m=3時，直線48方程為x+-3=0,所以,用心到直線距離為d號:蜘）=2五,因為6（無-l）x2+（萬-1）/+2根-=0,由(x+iy+y?=4得，x2+y2+2x-3=0,x2y2=3-2x,代入得，(萬1)(32x)+2/nx=。,化簡得2(加一22+1)%62+3(/11)=0,團一2*+1=0,因為P為圓C上任意一點，所以，2nA+3(2-11=0,又利,丸0,解得陽=3,A=2.法一:直線AB的方程為+?=1,設P,42f)(04Y2),N(x,y),因為點M是線段PN的中點,所以M又M,N都在網C：(x+lf + y2-a 上,BP-(

18、x+l)2+y2=a,22(x+f+2)+(y+4-2f)=4a,因為該關于x，y的方程組有解，即以（-1,0）為圓心，而為半徑的圓與以（-2,2/-4）為圓心，2及為半徑的圓有公共點，所以，a（f+l）2+（2z-4）29a,又P為線段A8上的任意一點，所以a4（/+iy+（2r-4）249a對所有04/42成立.而/=(1)2+(2一4)2=5，-gj+g在0,2上的值域為y,17所以亍所以幺。釁.9217,931-2+04136又線段AB與圓C無公共點，所以亞!,/.ar,再利用點到直線距離體懶行求解.|3+3|6【詳解】由題意可知=/,=/,弋1+nra/1+w又因為直線與圓相離，故d

19、r,即了上干2,解得-2夜?,可得匕=6,當出線)，= 2x + 6Lj半圓相切時,則圓心0(0,0)到直線的距離d =網物+產r = 3,可得；b=3布或6=3#)(舍)，若直線y=2x+6與曲線y=一百二/沒有公共點,由圖知：。-班或。6,所以實數b的取值范圍是：(y).-36)U(6.+oo),故答案為：卜836)U(6,+o)例7.(2021上海師大附中高三階段練習)若不等式7二W,A(x+2)-應的解集為區間a,b,且ba=2,貝lj&=；【答案】&【分析】不等式內二京,無。+2)-0的解集為區間3,句，且b-2,可得=3,a=1,可得直線y=4(x+2)-&過點(1,2忘)，代入即

20、可解出&【詳解】如圖分別作出直線y=%(x+2)-0與半圓丫=肉二7，由題意，知直線過定點4卜2,一夜)，由b-a=2,得b=3,a=l,即直線與半圓交點N的橫坐標為1,代入得y=/9-I2=25/2所以直線丫=&(+2)-夜過點N(l,2&),所以k=“組也=逑=日M1-(-2)3故答案為：例8.(2021上海市奉賢區奉城高級中學高二階段練習)已知直線/：x+2y-3=O.(1)若直線/與直線x-6，+2=0的夾角為：，求實數的值；(2)若圓/+y2+x-6y+m=0與直線/交于力、曬點，且。4_1.0后(其中媯坐標原點)，求實數屈勺值.【答案】(1)-g或3(2)3【分析】(1)先求直線的

21、方向向量，再運用夾角公式計算即可.(2)聯立直線與圓的方程，再根據向量的數量積運算即可.(1)I兩直線的方程分別為x+2y-3=O與x-.+2=0,設萬=(-2,1)&=(%,1)分別為兩直線的方向向量.由題意得cos尹|-2fc+l|72G同石.Jl+422整理得弘2-8k-3=0,(3后+1)(it-3)=0,.,.尢=_1,七=33-(2)；方程V+y2+x-6y+m=0為圓。內方程/.12+(-6)2-4w037解得：，”彳Y3把直線x+2y-3=0即y=-+1代入圓d勺方程并整理得：5x2+10 x+4W-27=0,依題意：A=102-4x5x(4/n-27)0解得：w=4,則此圓的

22、圓心為C（O,T）,半徑為r=2.（1）若H線1叼圓C相切，則仃=2,解得a=Va2+14（2）圓心C到直線/的距離為“=辱幺,Va+1由勾股定理可得網=r2,可得=畢二=夜，（2Jy/a+l整理得/_8a+7=0,解得a=l或a=7,故所求直線方程為7x+y+14=0或x+y+2=0.【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為人弦心距為d,弦長為/,則/=2AJ=F；（2）代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式|48|=Vi*|七,q|.例10.（2018上海市南洋模范中學高一階段練習）對于半徑為的。P及一個正方形給出如下定義：若。P上存在到此正方形四條邊距離都相等的點，

23、則稱。尸是該正方形的“等距圓”。如圖1,在平面直角坐標系xQy中，正方形ABCO的頂點4的坐標為（2,4）,頂點C、。在x軸上，且點C在點。的左側.（1）當r=4應時，已知兩點4（0，-3）,8（4,6）,則可以成為正方形A8CZ）的“等距圓的圓心的是:（2）如圖2,在正方形A8C。所在平面直角坐標系xOy中，正方形EFGH的頂點廠的坐標為（6,2）,頂點E,H在軸上，且點H在點E的上方.若。P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且。P與BC所在直線相切，求圓心戶的坐標；（3）在（2）的條件下，將正方形A8CO繞著點。旋轉一周，在旋轉的過程中，線段“G上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心，寫出

24、廠的取值范圍.（不必說明理由）【答案】(1)P2：(2)(5+2有,-2石)或(5-2后,2石)；(3)0r2折+2夜.【分析】(1)連接AC和80,交丁點M,設。P的圓心坐標是(x,y),列出圓心到Af的關系式，把(0,-3),6(4,6)代入，看是否成立即可得出結果；(2)先求出“E為等腰直角三角形，得到0,5),進而得出ZQM為等腰直角三角形，設P(P，-P+5)據關系列出方程，即可求出圓心的坐標：(3)連接)，作尸丁點T,以。為圓心，OE為半徑作圓，交7丁點用，交”)的延長線于作圖，可知當0r叫時，線段“G上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心.【詳解】解：(1)連接AC和8),交于點

25、如圖1所示：四邊形488是正方形，M到正方形ABCD四條邊距離都相等，eP一定通過點A(2,4).-.Af(0,2)設OP的圓心坐標是(乂y),;.r=4夜時，.x2+(y-2=(4&)2,即：xt+(y-2)2=32,把(0,-3),6(4,6)代入，鳥成立，.可以成為正方形ABC。的“等距網”的圓心的是乙,故答案為：鳥：(2)如圖2所示:Qe尸同時為正方形ABCZ)與正方形EFG4的“等距圓”，eP同時過止方形ABCD的稱中心E和1H方形EFGH的Xj稱中心/,點P在線段EI的垂直平分線上，.42,4),正方形A8C。的邊。在x軸上：尸(6,2),正方形EFG的邊E在N軸上，E(0,2),

26、/(3.5),;/EH=45。,設線段7的垂直平分線與y軸交丁點八與X軸交丁點M,則為等腰巴角三角形，軸，二0,5),.ZELW=90-Z/7/=90-45o=45。，.MOM為等腰直角三角形，：.LO=OM,.-.Af(5,0),設直線的解析式為：?=心+卜,15 = 0+8 jo = 5 k+b解得:yx+5,.1在直線y=-x+5匕.設Ca-P+5),過P作PQ_L直線8C于Q,連結PE,QeP與8C所在直線相切，:.PE=PQ,p2+(-p+5-2)2=(p+2)2,解得：=5+2括，6=5-26，所以圓心戶的坐標為：(5+2萬，-24)或(5-2斯，2技；(3)連接作DTLHF于點T

27、,以。為圓心，為半徑作圓,交。7于點片,交4。的延長線于與，如圖3所示：當0r-QE，時，線段即匕沒仃個點能成為它的“等距圓”的圓心,.”尸所在的直線為y=-x+8,DT所在的直線為y=x-2,(5.3),.)(2,0),DT=32+(5-2)2=3五,:DE=DE、,:.DT-DE、=DT-DE=3歷-2戊=近,所以當0vr/2,所以當r2后+2點時，線段”F上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心;綜上得當0r2如+2應時，線段”戶上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心.【點睛】本題考查的是直線與圓的綜合題，解題的關鍵是明確題意，根據題目給出的條件,作出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件，

28、利用數形結合的思想解答問題.例11.（2021上海華師大二附中高二階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，過eT外一點尸引它的兩條切線，切點分別為M,N,若60,則稱P為eT的環在4（1,0）,（1,1）,6（0,2）中，O的環繞點是.直線y=2x+b與x軸交于點A,與軸交于點5,若線段AB上存在。的環繞點，求6的取值范圍；（2）eT的半徑為1,圓心為（0，），以1團,曰機），0）為圓心，,，為半徑的所有圓構成圖形”，若在圖形H上存在eT的環繞點，直接寫出,的取值范圍.【答案】（I）4A；lb4下或-由4b（2）【分析】（1）當ZA/PN=60。時，結合切線長定理可得77*2/,然后以7為圓

29、心，曲半徑作。T,觀察圖可得答案，如圖，設小圓交鬧1的止半軸與于；當直線y=gx+8經過點時，比1,當直線尸gx+b與大圓相切:”（在第.象限）時，結合勾股定理可求出b的值，從而可求出的取值范圍；（2）如圖以6（卬，-且必）（心0）為圓心，立加為半徑的所有圓構成圖形，圖形/腳為/和133的內部，包括射線，ON上然后分07的圓心在.闡）的正半軸上時和當。珊圓心在.雨的負半軸上時結合切線長定理兩種情況求解【詳解】（1）如圖，PM,月促。的兩條切線，儀.V為切點，連接7KTN.當NMPN=60時，PTY-分乙陽V,：加上30,:TMLPM,TNLPN,:.NPM/PNA9Q,77t2TM,以四圓心，

30、為半徑作。7,觀察圖象可知：當60WN,出下180時，。的環繞點在圖中的圓環內部（包括大圓上的點不包括小圓上的點）.如圖中，以媯圓心2為半徑作觀察圖象可知，R,8是0（粕環繞點,故答案為衣，兒如圖，設小圓交通的正半軸與于當直線y=gx+b經過點H忖，b=.當直線y=gx+8與大圓相切于(在第二象限)時，連接向，由題意8(0,b),A(-2b,0),：.OBb,OA=2b,A8=Joi+OB?=2h)2+2=導,：0/=2.三A80K0A0B,xyj5bx2=x2bxb,22解得力=y/5觀察圖象可知，當1V846時，線段力/上存在。淵環繞點，根據對稱性可知：“I-石4b-1時，線段上存在。制環

31、繞點,綜上所述，滿足條件的。的值為1%46或-石4k-1;(2)如圖3中，不妨設(例-立明)，則點胞直線產-3x匕33,:心0,點正射線應上運動，作用0)為圓心，追加為半徑的。四H由相切，作。幽切線V,觀察圖象可33知，以E(m,-且加(m0)為圓心，立加為半徑的所有圓構成圖形，圖形網1為乙4的內33部，包括射線的/，flVt.當。的圓心在掰的正半軸上時，假設以況圓心，2為半徑的圓與射線見相切于，連接必/EM6tcinX-iLOM=,OM3.NW滬30,：ON,例傀。的切線，:./E0N/E0后30,二/30,.0產2產4,.7(0,4),當。郝圓心在謝的負半軸上時，且經過點0(0,0)時，H

32、0,-2),觀察圖象可知，當-2tk=亍,則切線：-x-y+-=0=3x-4y+2=0.“+1442故答案為：產2或3x-4.y+2=0.例5.（2021上海金山高二期末）已知圓C:x2+y2-4x-6y+12=0.（1）求圓心C的坐標以及半徑長；（2）求過點A（3,5）的圓C的切線方程.【答案】（1）圓心C（2,3）,半徑長為1；（2）x=3或3x-4y+ll=0.【分析】（1）將圓C的方程化為標準方程，可得出圓心C的坐標及半徑長；（2）對所求切線的斜率是否存在進行分類討論，在切線斜率不存在時，可得出所求切線方程為x=3,驗證即可；在所求切線斜率存在時，可設所求切線方程為y-5=A（x-3）

33、,利用圓心到切線的距離等于半徑求出女的值.綜合可得出所求切線的方程.【詳解】（1）圓C的標準方程為（x-2/+（y-3=l,圓心為C（2,3）,半徑長為1：（2）.（3-2）2+（5-3）21,則點A在圓C外.若所求切線的斜率不存在時，則切線的方程為x=3,圓心C到直線x=3的距離為1,合乎題意；即 kx- y- 34+5 = 0,若所求切線的斜率存在，設所求切線的方程為y-5=k（x-3）由已知條件可得|2A-3-3A+5|_ |2-VF+i 收+13此時，所求切線的方程為y-5=（x-3）,即3x-4y+ll=0.綜上所述，過點4（3,5）的圓C的切線方程為x=3或3x-4y+11=0.例

34、6.（2021上海浦東新高二期中）已知圓C的方程為/-2*+9一3=0（1）求過點（3,2）且與圓C相切的直線方程；（2）若直線N=x+1與圓C相交于A、B,求弦長|4叫的值.【答案】（1）丫=2或x=3；（2）25/2.【分析】（1）切線的斜率存在時，設斜率為底直線方程為y-2=k（x-3）,利用圓心到切線的距離等于半徑求上的值，可得切線方程，再檢驗斜率不存在時x=3是否符合題意即可求解；（2）先求圓心到宜線的距離d,再叫陰=2后彳即可求解.【詳解】（1）由f-2x+y2-3=0可得（1-1）2+丁=4,所以圓心為C（l,0）,半徑r=2,當宜線斜率不存在時，由過點（3,2）得直線方程為x=

35、3,與C（l,0）的距離為2,此時與圓相切，符合題意；當直線斜率存在時，可設斜率為3直線方程為y-2=A(x-3),即-y+2-3=0,圓心C（l,0）到直線的距離-0+2-3&|VF+1即|2-24=2川+/,解得左=0.所以直線方程為y=2.綜上所述：所求立線方程為y=2或x=3.（2）圓心C（l,o）至I直線y=X+1與的距離d=J。：!=V2,又因為半徑r=2,所以|=2-Jr2-d2=2/42=2加例7.（2021上海市楊浦高級中學高二期末）已知直線過點（T,。）且與直線2x-y=0垂直，圓f+y2_4x+8y=0與直線4相交于A,B.（1）求弦長A3；（2）直線4過原點且與已知圓相

36、切，求直線乙與的夾角.（用反三角函數表示）【答案】（1）2厲；4arctan-3【分析】（1）由題知直線人的方程為x+2y+l=0,求得圓的圓心坐標和半徑，求得圓心到宜線/.的距離，從而求得弦長:（2）由題意求得宜線4的斜率，然后利用正切公式求夾角即可.兩斜率互為相反數，夾角即為直線4與諭夾角的2倍，亦可求的.【詳解】（1）由題知直線4的方程為x+2y+l=0,圓的標準方程為（x-2）、G，+4）2=20,則圓心到直線4的距離為|2-2x4 + l|則AB=220-(逃了=2715（2）設直線4：y=因為其與已知圓相切，11圓過原點,-4-0 2-04則宜線4與4的夾角為arctan -,又直

37、線4與4的斜率互為相反數，故該夾角亦可寫成2arctang；【點睛】方法點睛：根據宜線與圓的位置關系，求得弦長及切線方程，結合三角函數公式求得夾角.考點五：切點弦及其方程例1.（2020上海交大附中高二期中）已知。北/+9-2-2丫-2=0,直線/：2x+y+2=O,P為/上的動點，過點尸作。.郝J切線叢,尸B,切點、為A,B,當|PM|“A8|最小時，直線A8的方程為（）A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0C.2x-y+l=0D.2x+y+l=0【答案】Dt分析】由題意可判斷直線與圓相離,根據圓的知識可知，四點AP,B,M共網，且ABVMP,根據=4|*可知，當直線MP_L/時，1PM缶

38、用最小，求出以MP為直徑的圓的方程，根據圓系的知識即可求出直線AB的方程.【詳解】圓的方程可化為（x-l）2+（y_l）2=4,點M到直線，的距離為|2xl+l+2|r-也2,所以直線/與圓相離.V22+l2依圓的知識可知，四點四點共圓，同所以PM-AB=4Spam=4x|x|PA|x|AA1|=4|PA|,而|尸,=,所-4,當直線MP_L/時，1MHmm=石，|PA|mjn=l,此時|網何臼最小.fx=T.MP:y-l=：(x-l)即y=+由-V=2A+2解得，A.2221+y+2=0卜=。所以以MP為直徑的圓的方程為(x-l)(x+l)+y(y-l)=O,即x:+y2-y-1=0,兩圓的

39、方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線48的方程.故選：D.【點睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關系的應用，以及圓的幾何性質的應用，意在考查學生的轉化能力和數學運算能力，屬于中檔題. TOC o 1-5 h z 例2.(2021上海青浦一模)從圓G：/+y2=4上的一點向圓G：x2+V=i引兩條切線，連接兩切點間的線段稱為切點弦，則圓C?內不與任何切點弦相交的區域面積為().71c7cKn汽A.-B.-C.-D.-6432【答案】B【分析】由題畫出大致圖象，由切點弦找出臨界點，結合圓的面積公式即可求解.【詳解】如圖所示，設A為C1上一點，AB,AC為圓C與的兩條切線，8c為切點弦，因切

40、點弦有無數條，力無數條切點弦交匯時，圓C?內不與任何切點弦相交的區域恰好構成虛線部分圓的面積，AO=2Q8=1,則AB=。，由等面積法得A8.O8=AO.8),解得8。=巫，又對2BOD由勾股定理可得，。獨-BD?=!,則以。為半徑的圓的面積為S=7xpQ=-,22)4故圓C?內不與任何切點弦相交的區域面積為.4故選：B例3.（2021上海高三專題練習）過直線，：x+y=2上任意點。向圓C:x?+y2=l作兩條切線，切點分別為48,線段AB的中點為Q,則點。到直線/的距離的取值范圍為.【答案】龍,&）【分析】設/（32-t）,可得過0、爾P、6的圓的方程與已知圓的方程相減可得力8的方程，進而聯

41、立直線方程解方程組可得中點冰J坐標，由點鹿U直線的距離公式和不等式的性質可得.【詳解】.點?為直線，：x+y=2上的任意一點，.可設尸（r,2T）,則過O、A、P、8的圓的方程為+-?）=；r+（2-。2（化簡可得丁-a+丫2一（2-/方=0,與己知圓的方程相減可得AB的方程為a+（2-/）y=1.由直線OP的方程為（2t）x-0=0,t2/聯在兩直線方程可解得x=E7T故線段AB的中點*r-1+42二：+j,.點Q到直線/的用：離d=、4,+4+尸+4-2=也2-十二V22t2-2t+2Vr2-2r+2=(r-l)2+ll,.0-1,t2-2t+2.-14t0,12；2,t2-2t+2/-2

42、/+2:x2+y2=L求過點P（2,0）的直線關于圓Ca的距離比，=&的直線方程；若圓c與y軸相切于點A（0,3）,且直線產x關于圓C的距離比人應求出圓C的方程.【答案】(1)y=V5(x-2)：(2)(x+3)2+(y-3)2=9(x-l)2+(y-3)2=1【分析】(1)設過點P(2,0)的直線方程為y=Mx-2),根據題意得魯=6,求得k的值，即可求解直線的方程：(2)設圓的方程為(x-a)2+(y-/；)2=r2,由題意可得/+(3-2=尸，|a|=r,且=友人聯立方程組，求得“也廣的值，即可求解圓的方程.【詳解】(1)設過點尸(2,0)的直線方程為y=%(x-2),由圓Co：X2+V

43、2=1的圓心為(0,0),半徑為7=1,由題意可得擋=6,解得/=士百，J+k2所以所求直線的方程為y=V3(x-2).(2)設圓的方程為(工-4+(丫-娟=/,由題意可得+(3-份2=/，同=八，嶗由聯工方程組，可得a=-3,i=3,r=3或。=1/=3,廠=1,所以圓C的方程為(x+3)2+(y-3)2=9或(x-l+(y-3)2=1.【點睛】本題主要考查了圓方程的求解，以及直線與圓的位置關系的綜合應用，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.例5.(2019上海交大附中高二期中)已知兩個定點40.4),8(0,1),動點尸滿足PA=2PB,設動點P的軌跡為曲線E,直線/：y=kx-4.(1)

44、求曲線E的軌跡方程；(2)若/與曲線E交于不同的C、。兩點，且NCOD=120。(。為坐標原點)，求直線/的斜率；(3)若左=1,Q是直線/上的動點，過。作曲線E的兩條切線QM、QN,切點為M、N,探究：直線MN是否過定點，若存在定點請寫出坐標，若不存在則說明理由.【答案】(1)V+y2=4；(2)715:(3)存在，(1-D.【分析】(I)設點尸的坐標為(x,y),由|叢1=2|尸例列方程化簡可得曲線后的軌跡方程：(2)由L：知條件可得點。到邊CD的距離為1,再利用點到直線的距離公式列方程可求出直線的斜率，從而可得直線的方程；(3)由題意可知都在以為直徑的圓尸匕設Q(”-4),則圓尸的圓心為

45、g,與1),得圓的方程為犬+2-戊-4)丫=0,兩圓方程聯立方程組化簡得rx+(r-4).v-4=0,再由fx4-V=0=*,f1分+4=。可求出直線過的定點【詳解】(1)由題，沒點p的坐標為ay),因為|尸A|=21,即也2+(-4)2=2ylx2+(y-1)2.整理得一+丁=4,所以所求曲線E的軌跡方程為X?+V=4.(2)依題意，OC=OD=2,且NCO=1201由網的性質，可得點。到邊CD的距離為1,4即點50,0)到直線/:履-y-4=0的距離為=1,解得出=715,所以所求直線/的斜率為土后.(3)依題意，ONLQNQMLQM,則M,N都在以OQ為直徑的圓廠上，Q是直線，：y=x-

46、4上的動點，設。(n-4),則圓尸的圓心為g，F),且經過坐標原點，即圓的方程為/+y2-a-(r-4)y=0,又因為M,N在曲線E:V+y2=4上,x24-y2=4由，,，八c，可得戊+(/-4)y-4=0,+y-/x-(Z-4)y=0即直線MN的方程為優+(h4)y-4=0,fx+y=0.fx=l由rwRfV(x+y)-4y-4=0,可得解得4y+4=0y=-1所以直線MN過定點(1,-1).【點睛】關鍵點點暗：此題考查軌跡方程的求法，考隹直線與圓的位置關系，第3問解題的關鍵是山題意得M,N都在以OQ為直徑的圓尸上，從而可求出圓尸的方程，兩圓方程聯立消去二次項后可得直線MN的方程，進而可得

47、答案，考查計算能力，屬于中檔題考點六：圓的弦長與中點弦例1.(2020上海市進才中學高二期中)已知直線/：(2+l)x+(/+l)y+l=0(keR)與圓(x_l)2+(y-2/=25交于A,8兩點，則弦長的取值范圍是()A.4,10B.3,5C.8,10D.6,10【答案】D【分析】由直線(2k+l)x+(A+l)y+l=0,得出直線恒過定點P。,-2),再結合直線與圓的位置關系，即可求解.【詳解】由直線/:（2A+l）x+（+l）y+l=0（AeR）,可得Z（2x+y）+x+y+l=0,又由：；：；【（）解得I；1二即直線恒過定點尸，一2），圓心C（l,2）當CP，/時弦長最短，此時|af

48、+（惇1）=/,解得|A鼠“=6,再由/經過圓心忖弦長最長為直徑2r=10,所以弦長|明的取值范圍是6,10.故選D.【點睛】本題主要考查了直線系方程的應用，以及直線與圓的位置關系的應用，其中解答中熟練利用直線的方程，得出直線恒過定點，再結合直線與圓的位置關系求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.例2.（2019上海市七寶中學高二期末）直線x-y+5=O被圓x2+y2_2x_4y-4=0所截得的弦長等于【答案】2【分析】先求出圓心到直線的距離既得弦心距，求出圓的半徑，利用勾股定理求出弦長的一半，即可求得弦長.【詳解】將圓產+產-2x-4=0化為標準方程（a-1）2

49、+（y-2）-9,得圓心坐標為（1,2）,半徑為3,圓心到宜線x-尹5=0的距離是|1-2 + 5|=2近，有勾股定理得弦長的一半是798所以弦長為2.故答案為2.【點睛】本題考查直線與圓相交的性質，解題的關鍵是了解直線與圓相交的性質，半徑，弦心距，弦長的一半構成一個直角三角形，掌握點到直線的公式，會用它求點直線的距離.例3.（2021上海徐匯高二期末）直線/：x+y-l=0與圓。“2+丁=4交于4、曬點，則【答案】屈【分析】先求出圓心C到直線的距離，即得解.【詳解】網C.x2+y2=4的圓心為原點，半徑為2.由題得圓心C到直線的距離為d=VI2+122所以陷=2出2-（予2=714.故答案為

50、：Vm例4.（2020上海市三林中學高二階段練習）直線x+y-l=O被圓V+y2=i所截得的弦長為【答案】加【詳解】.圓/+丁=1的圓心為（0,0）,半徑為1二圓心到直線x+y-i=o的距離Vl2+122,半徑為1弦長為2x卜隹|=72故答案為&點睛：弦長的兩種求法翻i數方法：將直線和園的方程聯立方程編、消元后得到一個一元二次方程.在判別式A0的前提下，利用根與系數的關系，根據弦長公式求弦長.幾何方法：若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長/=2戶不.例5.（2020上海市嘉定區第二中學高二階段練習）過點44,2）作圓產+爐+2了-4丫-164=0的弦，則弦長的最小值是.【答案】24【分析】先把

51、圓整理成標準方程，求得圓心和半徑，判斷出點A在圓內，推斷出最短的弦是和圓心與A連線垂直的直線所截得的弦，進而利用勾股定理求得弦長，.【詳解】整理圓的方程得（x+1）2+（y-2-=169,圓心為C（-l,2）,半徑r=13,可知點A在圓內，則最短的弦是和4c垂直的直線所截得的弦.4C=7（4+1）2+0=5,所以弦長=2/69-25=24故答案為：24例6.（2020上海市楊浦高級中學高二期末）已知圓F+y2=i,則過且被P平分的弦所在直線方程為【答案】x+y-l=。【分析】利用直線。尸9以點尸為中點的弦所在的直線垂直，利用垂直關系求斜率.，即可求得直線方程.【詳解】圓心0(0,。)，=1,若

52、點尸平分弦，則0P與弦垂直，則所求弦的斜率是-1，所以直線方程是丁一；一1一化簡為+-1=0.故答案為：x+y-l=o例7.(2021上海市進才中學高三階段練習)直線x+2y+l=0與圓Y+y2-4x+8y=0相交所得的弦長為.【答案】2厲|2 + 2x(-4)+ l|u -/- 7 J，V1+4【分析】由題意首先寫出圓的標準方程，然后利用弦長公式確定直線截圓所得的弦長即可【詳解】因為圓x2+y2_4x+8y=0即：(x-2)2+(y+4)2=20.則圓心(2,-4)至IJ直線x+2y+1=0的距離:由弦長公式可得弦長為：2g-d，=2,20-5=2y5故答案為：2厲例8.(2020上海市進才

53、中學高二階段練習)過點(L。)的直線/被圓x2-6x+y2=o截得的弦的長度的最小值為.【答案】26分析山相交弦長IA例和圓的半徑廣，及圓心集IJ過點(1,0)的直線/的距離比間的勾股關系，求弦長的最小值，即轉化為求圓心到直線的距離的最大值，利用直線與勿垂直時娓大，求出。的最大值，進而求出弦長的最小值.【詳解】圓x?-6x+y2=。變形為(x-3)-+Y2=9,圓心坐標C(3,0),半徑r=3,設圓心到直線/的距離為“，則過點。(1。的直線/與圓相交的弦長|AB|=2爐下顯然，當d最大時，弦氏|AB|最小，當直線/與凝直時d最大，這時d=2,所以最小的弦長|4例=2囪=？=2石故答案為：2百【

54、點睛】關鍵點點睛：本題考查求動直線與圓相交求弦長最小值，解題的關鍵是通過圓的弦長公式，將求弦長最小，轉化為求點到動直線的距離最小，考查學生的轉化與化歸思想，運算求解能力，屬于般題.例9.(2020上海華師大二附中高二階段練習)在平面直角坐標系xv中，直線/過點；，2),且與圓C:d+y2-2x-2y-2=0交于4曬點,則1冊的最小值為【答案】而【分析】當|力引的最小時，圓心和定點的連線垂直弦可得答案.【詳解】圓C:x、y2-2x-2y-2=0的標準方程為(x-l)2+(y-l=4,圓心半徑/=2,因為(；-1)+(2-1)21)的右焦點用為圓心，1-C為半徑作圓尸2(其中C為已知橢圓的半焦距)

55、，過橢圓上一點尸作此圓的切線，切點為T.若“吊蘆為桶圓的右頂點，求切線長(2)設圓工與x軸的右交點為Q,過點。作斜率為火(&0)的直線/與橢圓相交于4、B兩點，若|PT|2(a-c)恒成立，且。4_LO8.求:(i)c的取值范圍；(ii)直線/被圓E所截得弦長的最大值.【答案】(1)1；(2)(i)-,1),(ii)型I.4441【分析】(1)利用。求得c,進而得到|周，利用勾股定理可求得切線長：(2)(i)叫3(a-c)恒成立可知歸兒小且(“-C)：根據切線長的求解可知l|帆|最小時，|我|最小，從而構造出不等式求得，1的范圍：(ii)設直線方程y=(x-l),與橢圓方程聯立后寫出韋達定理的

56、形式，同時利用韋達定理表示出丫2，根據垂直關系可得占巧+乂%=。,從而構造等式求得k=a，得到直線方程；利用近徑定理可將所求弦K化為2尸彳=羋二,采用換兀法，可將等式右側變為關于/的V2+c2函數的形式，結合二次函數的性質可求得函數的最大值，即為所求弦長的最大值.【詳解】(1)由得：c=y/a2-b2=444當戶為橢圓右頂點時，|P6|=a-c=t-q=又圓的半徑為l-c=l-1=：IPT=JpE,2-(1-c)2=Jl-J-=4411 OAJ.OBx多 + y % =畔丁 + K 廣 a2k2 + l a2k2 + lv7V4164(2)(i)當仍用取得最小值時，|叩取得最小值.|/L=-c

57、，則|PTL=JS-c)J(j)22#(a-c)，即，a-靖2(1-43又2=l+c2,l-C0,解得：:4c0:.k=a直線/：y=a(x-l),即ar-y。=0圓心居(C,o)到直線/距離d=均3，又半徑r=1-cJl+4.直線/被圓尸2截得的弦長為2廠方=2，1_婚一0+；)(；一_*一：) TOC o 1-5 h z /il2，_2/_2令l-c=f,則，w0，w，令,2+(1一/)2Vr2-2Z+3J1,1(32=41min當7=4,即f=a時，(產一，fS=小=2=迥-3(4)國41即直線/被圓后截得的弦長的最大值為亞41【點睛】本題考查直線與圓、直線與橢圓的綜合應用問題，涉及到直

58、線與圓相切時切線長的求解、直線被圓截得的弦長的求解等知識點：本題中求解最值的關鍵是能夠利用垂徑定理將所求弦長轉化為關于某一變量的函數關系，進而通過函數值域的求解得到所求的最值.例11.(2020上海市新場中學高二階段練習)已知動直線辰+y+l=0和圓x?+y2=l相交(1)當=1時,求|A8|的值;(2)求弦AB的中點的軌跡方程.【答案】(1)及，(2)x2+/+y=0(y*-l)【分析】(1)求出圓心到直線的距離,結合圓的半徑為r=l,利用勾股定理求解即可;(2)由直線系方程判斷出直線過圓上的定點，設出弦中點的坐標，由中點坐標公式得到弦與圓的另一交點坐標，代入圓的方程即可得到答案.【詳解】(

59、1)%=1時，直線方程為x+y+l=O,圓心(0,0)至IJ直線x+y+l=0距離d=又因為圓的半徑為/*=1，所以IAB|=2Jr2-d2=2S-=，(2)動直線履+，+1=0經過定點(0,-D,而點(0,-1)在圓x?+y2=i匕設為4(0,7).設弦A8的中點坐標為(x,y),則點B的坐標為(2x,2y+l),把E點代入圓方程：（2x）（2y+l）2=l化簡，得/+丫2+丫=0.因為直線與圓相交,所以不重合，則yw-1,所以弦48的中點的軌跡方程為丁+y+y=O（yw-1）.【點睛】方法點睛：求軌跡方程常見方法：定義法、待定系數法、直接求軌跡法、反求法、參數方程法等等.考點七：直線與圓的

60、實際應用例1.（2019上海市奉賢中學高二期中）在平面直角坐標系中，A、B分別是x軸和卜軸上的動點，若以AB為宜徑的圓C與直線3x+2y-l=O相切，則圓C面積的最小值（）B.*C.D,【答案】A【分析】根據題意,得到點。在圓C上.（其中。為坐標原點），由。向宜線3x+2y7=。作垂線,垂足為。，當D恰為圓C與直線3x+2y-l=0的切點時.圓C的半徑最小，根據點到直線距離公式，即可求出結果.【詳解】因為AB為直徑，408=90”，（其中。為坐標原點），所以點。在圓C上，由。向直線3x+2y-l=0作垂線,垂足為）,則當。恰為圓C與直線3x+2y-l=0的切點時，圓C的半徑最小，此時圓的直徑為