1、第四章第四章氣體動理論氣體動理論4-1 4-1 宏觀與微觀宏觀與微觀 統計規律統計規律4-2 4-2 理想氣體的壓強與溫度理想氣體的壓強與溫度4-3 4-3 能量均分定理能量均分定理 理想氣體的內能理想氣體的內能 4-0 4-0 第四章教學基本要求第四章教學基本要求4-4 4-4 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律 * *玻耳茲曼能量分布律玻耳茲曼能量分布律 要點要點1. 什么是宏觀量？什么是微觀量？系統的宏觀量和微什么是宏觀量？什么是微觀量？系統的宏觀量和微觀量之間有什么關系？觀量之間有什么關系？2. 什么是統計規律？什么是統計規律？ 它對個別或少量事件成立嗎它對個別或少量事件成立嗎?3.

2、 什么是平衡態？它與力學中的平衡概念有何不同？什么是平衡態？它與力學中的平衡概念有何不同？2. 2. 氣體分子熱運動的圖象氣體分子熱運動的圖象 1. 1. 熱力學系統熱力學系統 熱學研究的對象，通常是由大量微觀粒子組成的系統熱學研究的對象，通常是由大量微觀粒子組成的系統. . （1 1）分子數巨大，標準狀態下任何氣體）分子數巨大，標準狀態下任何氣體 mol/10023. 623AN3. 3. 宏觀量宏觀量 實測的物理量實測的物理量, , 反映大量分子的集體特征反映大量分子的集體特征. . 如壓如壓強強p、體積、體積V和溫度和溫度T等等. .（2 2）分子頻繁碰撞，每秒內的平均碰撞次數約為數）分

3、子頻繁碰撞，每秒內的平均碰撞次數約為數 1010億次億次. . （3 3）分子的位置和速度瞬息萬變，無法預測）分子的位置和速度瞬息萬變，無法預測. . 只只能用統計方法尋找大量分子整體所遵循的規律性能用統計方法尋找大量分子整體所遵循的規律性. .4. 4. 微觀量微觀量 描述組成系統的單個粒子（分子、原子或其他粒描述組成系統的單個粒子（分子、原子或其他粒子）性質和狀態的物理量子）性質和狀態的物理量, , 如質量、動量、能量等如質量、動量、能量等. .5. 5. 平衡態和非平衡態平衡態和非平衡態 一個系統若和外界無能量交換，其內部也無能量一個系統若和外界無能量交換，其內部也無能量交換，經過足夠長

4、的時間后系統達到一個宏觀性質不交換，經過足夠長的時間后系統達到一個宏觀性質不隨時間變化的狀態隨時間變化的狀態, , 即為即為平衡態平衡態，否則為非平衡態，否則為非平衡態. . 熱平衡時，系統內分子的熱運動不會停息，因此熱平衡時，系統內分子的熱運動不會停息，因此熱平衡是一種動態平衡熱平衡是一種動態平衡. . 大量偶然事件整體所遵守的規律為統計規律，對大量偶然事件整體所遵守的規律為統計規律，對個別或少量事件不成立個別或少量事件不成立. . 宏觀系統的熱現象及其規律宏觀系統的熱現象及其規律就是它所包含的大量分子熱運動的統計規律性表現就是它所包含的大量分子熱運動的統計規律性表現. .1. 1. 統計規

5、律統計規律2. 2. 宏觀量和微觀量的關系宏觀量和微觀量的關系 宏觀量是大量分子微觀量的統計平均值，體現統宏觀量是大量分子微觀量的統計平均值，體現統計規律計規律. . 實測值與統計平均值會存在一定偏差，稱為實測值與統計平均值會存在一定偏差，稱為漲落漲落. . 分子數越多，漲落越小分子數越多，漲落越小. . 對大量無規則的事件進行統計，其滿足一定的規律對大量無規則的事件進行統計，其滿足一定的規律性，事件的次數越多，規律性也越強，用性，事件的次數越多，規律性也越強，用“概率概率”來表來表示示. .（1 1）定義）定義: : 某一事件某一事件i發生的概率發生的概率Pi 3. 3. 概率概率 Ni -

6、事件事件i發生的次數發生的次數N -各種事件各種事件在相同條件在相同條件下發生的總次數下發生的總次數NNPiNi lim（2 2）概率的性質）概率的性質1.bNiiP（歸一化條件）（歸一化條件）10.aiP 實驗表明，對質量為實驗表明，對質量為m，摩爾質量為，摩爾質量為M的理想氣體的理想氣體系統，在平衡態下遵從方程系統，在平衡態下遵從方程RTMmpV式中對質量一定的理想氣體，式中對質量一定的理想氣體，常量TpV（1 1）T一定，一定，pV= =常量常量 玻意耳定律玻意耳定律（2 2）p一定，一定，V/T= =常量常量 蓋呂薩克定律蓋呂薩克定律（3 3）V一定，一定，p/T= =常量常量 查理定

7、律查理定律要點要點1. 理想氣體的微觀模型是怎樣的理想氣體的微觀模型是怎樣的? 推導壓強公式時推導壓強公式時, 哪些地方用到這一模型哪些地方用到這一模型?2. 注意理想氣體壓強公式推導的條件、思路和方法注意理想氣體壓強公式推導的條件、思路和方法. 推導中哪些地方用到了統計假設推導中哪些地方用到了統計假設? 假設的內容是什假設的內容是什么么?3. 理想氣體壓強和溫度這兩個宏觀量與哪些微觀量的理想氣體壓強和溫度這兩個宏觀量與哪些微觀量的統計平均值有關統計平均值有關? 如何理解這兩個宏觀量的微觀本如何理解這兩個宏觀量的微觀本質質?4. 為什么說理想氣體的壓強和溫度這兩個概念僅具有為什么說理想氣體的壓

8、強和溫度這兩個概念僅具有統計意義統計意義?（1） 分子可視為質點；分子可視為質點； 線度線度 間距間距 ,m1010d;,m109rdr（2） 除碰撞瞬間除碰撞瞬間, 分子間及分子與器壁之間均無相分子間及分子與器壁之間均無相互作用力；互作用力；（3 ）分子之間以及分子與器壁之間是完全彈性碰撞）分子之間以及分子與器壁之間是完全彈性碰撞. 即理想氣體分子像一個個極小的彼此間無相互作即理想氣體分子像一個個極小的彼此間無相互作用的遵守經典力學的用的遵守經典力學的彈性質點彈性質點. 其中，其中，N 表示容器體積表示容器體積V內的分子總數，內的分子總數，n是分子是分子數密度數密度. .2. 2. 分子速度

9、在分子速度在各方向分量的算術平均值各方向分量的算術平均值相等相等. .VNVNndd1. 1. 分子按位置的分子按位置的分布是均勻分布是均勻的的 ,常量同樣有同樣有021NNxxxxvvvv, 0yv0zv 由于分子沿由于分子沿x軸正向和軸正向和x軸負向的運動概率是相同軸負向的運動概率是相同的，因此，在的，因此，在x方向上分子的平均速度為方向上分子的平均速度為0.0zyxvvv即即Nx2Nx22xvvv21iixxN221vv3. 3. 分子速度在分子速度在各方向分量的方均值各方向分量的方均值相等相等. .同理，分子速度在同理，分子速度在y、z方向的方均值為方向的方均值為,122iiyyNvv

10、iizzN221vv 由于分子在由于分子在x、y、z三個方向上沒有哪個方向的運三個方向上沒有哪個方向的運動占優勢，所以，分子的三個速度方均值相等動占優勢，所以，分子的三個速度方均值相等. .由矢量合成法則，分子速度的方均值為由矢量合成法則，分子速度的方均值為222zyxvvv222223xzyxvvvvv222231vvvvzyx各方向運動各方向運動概概率均等率均等VNn 分子數密度分子數密度n：單位體：單位體積內的分子數積內的分子數xyzom1A2Aixvixv 設長方形容器的邊長分設長方形容器的邊長分別為別為x、y、z. 體積為體積為V，其內，其內有有N個分子，分子的質量為個分子，分子的質

11、量為m，視為彈性小球，速度為視為彈性小球，速度為 .v1. .跟蹤第跟蹤第i個分子，它在某一時刻的速度個分子，它在某一時刻的速度 在在x方向的分方向的分量為量為 .ivixvxiixixppI0ixixixvvvmmm2)( 由牛頓第三定律，由牛頓第三定律，A1面面受到分子的沖量為受到分子的沖量為ixvmIix23. .分子與分子與A2面發生碰撞后，面發生碰撞后，又與又與A1面發生碰撞，相繼兩面發生碰撞，相繼兩次對次對A1面碰撞所用的時間為面碰撞所用的時間為單位時間內對單位時間內對A1面的碰撞次數為面的碰撞次數為ixv/2xt xt21ixv2. .分子以分子以 向向A1面碰撞，并以面碰撞，并

12、以 彈回，分子受彈回，分子受A1面面的沖量為的沖量為ixvixvxyzom1A2Aixvixv4. .單位時間一個分子對單位時間一個分子對A1面的沖量（即平均沖力）為面的沖量（即平均沖力）為tIFixix5. .容器內容器內N個分子對器壁的平均沖力為個分子對器壁的平均沖力為NiixFF16.A1面受到的壓強為面受到的壓強為SFpxmxm2ixixixvvv22Nixm12ixvNixyzm12ixv體積體積V為為xyzV則壓強則壓強NiVmp12ixv上下同乘上下同乘N 得壓強得壓強由由和和VNn得得壓強公式壓強公式：NiNVNmp12ixvNNi132ix22xvvv2vnmp31定義分子定

13、義分子平均平動動能平均平動動能：壓強公式又可表示為壓強公式又可表示為2vm21kk3231nnmp2v1. .壓強是大量分子對時間和面積的統計平均結果壓強是大量分子對時間和面積的統計平均結果. . 壓強壓強具有統計意義，即它對于大量氣體分子才有明確的意義具有統計意義，即它對于大量氣體分子才有明確的意義. .2. .壓強公式建立起宏觀量壓強壓強公式建立起宏觀量壓強p與微觀氣體分子運動之與微觀氣體分子運動之間的關系間的關系. .3. .分子數密度越大，壓強越大；分子數密度越大，壓強越大；np分子運動得越激烈，壓強越大分子運動得越激烈，壓強越大. .kpk32np 4.4.壓強的物理壓強的物理意義意

14、義宏觀可測量宏觀可測量微觀量的統計平均值微觀量的統計平均值nkTp k32np 理想氣體壓強公式理想氣體壓強公式理想氣體物態方程理想氣體物態方程nkTnk32kTm23212kv 理想氣體分子平均平動動能只和理想氣體分子平均平動動能只和溫度溫度有關，并有關，并且與熱力學溫度成且與熱力學溫度成正比正比.1.1. 溫度公式溫度公式2.2. 溫度的微觀意義溫度的微觀意義 熱力學溫度是分子平均熱力學溫度是分子平均平動動能的量度平動動能的量度. 溫度反溫度反映了物體內部分子無規則運動的映了物體內部分子無規則運動的激烈程度激烈程度.3.3. 溫度的統計意義溫度的統計意義 在同一溫度下，各種氣體分子平均平動

15、動能均相在同一溫度下，各種氣體分子平均平動動能均相等等.Tk 溫度是對大量分子熱運動的統計平均結果，對溫度是對大量分子熱運動的統計平均結果，對個別分子溫度無意義個別分子溫度無意義. .由由kTm23212kv5.5. 方均根速率方均根速率mkT/32v,23212kkTmvMRTmkT332v例：求例：求273K時的氧氣方均根速率的氧氣方均根速率. .解：解：m/s103227331. 833m/s8 .461MRT32v在同一溫度下，就氫分子和氧分子而言，氧分子的質量在同一溫度下，就氫分子和氧分子而言，氧分子的質量大于氫分子的質量，是否氫分子的速率大于氧分子的大于氫分子的質量，是否氫分子的速

16、率大于氧分子的速率？速率？molMRTmkTv332 要點要點1.1. 什么是自由度什么是自由度? ? 單原子和剛性雙原子分子的自由單原子和剛性雙原子分子的自由度各是多少度各是多少? ?2.2. 什么是能量均分定理什么是能量均分定理? ? 為什么平衡態時物質分子為什么平衡態時物質分子的能量會按自由度均分的能量會按自由度均分? ?3.3. 注意理想氣體內能的概念、公式及其特點注意理想氣體內能的概念、公式及其特點. .1、自由度、自由度 確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標數目。確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標數目。以剛性分子（分子內原子間距離保持不變）為例以剛性分子（分子內原子間距離保持

17、不變）為例He2OOH23NHrti2. 氣體分子的自由度數目氣體分子的自由度數目剛性氣體分子的自由度剛性氣體分子的自由度= =平動自由度平動自由度+ +轉動自由度轉動自由度（1）單原子分子氣體單原子分子氣體其模型可用一個質點來代替其模型可用一個質點來代替. .平動自由度平動自由度3t轉動自由度轉動自由度0r303rti總自由度總自由度yxzoyxz（2）雙原子分子氣體雙原子分子氣體 其模型可用看成一根剛性桿兩其模型可用看成一根剛性桿兩端各連一質點的模型來代替端各連一質點的模型來代替. .平動自由度平動自由度3t轉動自由度轉動自由度2r523rti總自由度總自由度xzyoyxz),(zyxC（

18、3）多多原子分子氣體原子分子氣體其模型可用多個剛性質點來代替其模型可用多個剛性質點來代替. .平動自由度平動自由度3t轉動自由度轉動自由度3r633rti總自由度總自由度xzy),(zyxC 單單原子分子原子分子 3 0 3雙雙原子分子原子分子 3 2 5多多原子分子原子分子 3 3 6剛性剛性分子能量自由度分子能量自由度tri分子分子自由度自由度平動平動轉動轉動總總kTm23212kv222231vvvvzyxkTmmmmzyx2121312121212222vvvv 可見，在溫度為可見，在溫度為T的平衡態下，氣體分子每個自的平衡態下，氣體分子每個自由度的平均動能都相等，而且等于由度的平均動

19、能都相等，而且等于kT/2.由由得得 由于氣體分子頻繁碰撞，在平衡態下，不可能有由于氣體分子頻繁碰撞，在平衡態下，不可能有哪種運動形式和在哪個自由度上運動占優勢，每個自哪種運動形式和在哪個自由度上運動占優勢，每個自由度上應分配有和每個自由度平動動能相等的平均動由度上應分配有和每個自由度平動動能相等的平均動能能. .能量均分定理：能量均分定理：在溫度為在溫度為T的平衡態下，物質分子的的平衡態下，物質分子的任何一個自由度上分配有任何一個自由度上分配有kT/2的平均動能，對有的平均動能，對有i個自個自由度的氣體分子，其平均動能為由度的氣體分子，其平均動能為 .kTi2一個分子的能量為一個分子的能量為

20、kTi21 mol氣體分子的能量為氣體分子的能量為定義：定義：氣體內部所有分子的氣體內部所有分子的動能動能和分子間的相互作和分子間的相互作用用勢能勢能的的總和總和稱為氣體的內能稱為氣體的內能. . 對于理想氣體，分子之間無勢能，因此理想氣體對于理想氣體，分子之間無勢能，因此理想氣體的內能就是它的所有分子的動能之和的內能就是它的所有分子的動能之和. .kTNiA2RTi2質量為質量為m 的的氣體的能量為氣體的能量為RTiMmE2 理想氣體的理想氣體的內能內能只是只是溫度的單值函數溫度的單值函數，而且和熱，而且和熱力學溫度成力學溫度成正比，也是狀態函數正比，也是狀態函數. . 對于一定量的理想氣體

21、，當溫度改變對于一定量的理想氣體，當溫度改變 時，時，內能的改變量為內能的改變量為 TTRiMmE2 無論經由什么過程，只要溫度變化相同，一定量無論經由什么過程，只要溫度變化相同，一定量的理想氣體的內能變化就相同的理想氣體的內能變化就相同. .例、試說明下列各量的物理意義例、試說明下列各量的物理意義 （1） （2） （3） （4） （5） （6）kT21kT23kTi2RTiMmmol2RTi2RT232、有兩種不同的理想氣體，同壓、同溫而體積不等，、有兩種不同的理想氣體，同壓、同溫而體積不等，試問下述各量是否相同試問下述各量是否相同?(1)分子數密度；分子數密度；(2)氣體質量密度；氣體質量

22、密度；(3)單位體積內氣體分子總平動動能；單位體積內氣體分子總平動動能；(4)單位體積內氣體分子的總動能單位體積內氣體分子的總動能3、 如果氫和氦的摩爾數和溫度相同，則下列各量如果氫和氦的摩爾數和溫度相同，則下列各量是否相等，為什么是否相等，為什么?(1)分子的平均平動動能；分子的平均平動動能；(2)分子的平動動能；分子的平動動能；(3)內能內能2. 什么是氣體分子的最概然速率、平均速率及方均根什么是氣體分子的最概然速率、平均速率及方均根速率速率? 它們的計算公式是什么？它們的計算公式是什么？要點要點*3. 1. ? 從從NNd)(vf麥氏速率分布實驗實驗動態示意麥氏分布實驗 大量分子速度分布

23、遵循的統計規律叫大量分子速度分布遵循的統計規律叫麥克斯韋速麥克斯韋速度分布律度分布律，只考慮分子速率的分布的規律叫，只考慮分子速率的分布的規律叫麥克斯韋麥克斯韋速率分布律速率分布律.1. 1. 分子速率分布的實驗結果圖分子速率分布的實驗結果圖N：分子總數分子總數)/(vNNovvvvSvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf2. 分布函數分布函數N 為速率在為速率在 區間的分子數區間的分子數.vvvNNS表示速率在表示速率在 區間的分子區間的分子數占總數的百分比數占總數的百分比 .vvvN：分子總數分子總數)/(vNNovvvvSvv)d(dfNN 表示速率在表示速率在 區間的分

24、子數占總分子數區間的分子數占總分子數的百分比的百分比 .vvvd3. 分布函數的意義分布函數的意義 表示在溫度為表示在溫度為 的平衡狀態下，速率在的平衡狀態下，速率在 附近附近單位速率單位速率區間的分子數占總數的百分比區間的分子數占總數的百分比.vT)(vfvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNfvvvde)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麥氏麥氏分布函數分布函數4. 麥克斯韋氣體速率分布律麥克斯韋氣體速率分布律v)(vfovvv dSdpv5. 麥克斯韋氣體速率分布曲線麥克斯韋氣體速率分布曲線1d)(vv0f4）歸一歸一化條件化條件

25、v)(vfovvv dSdpv（1） 可取從可取從 的可能速率；的可能速率；v0（2）具有中等速率的分子數占）具有中等速率的分子數占氣體分子總數的百分比很大，氣體分子總數的百分比很大，而較大和較小速率的分子數占而較大和較小速率的分子數占分子總數的百分比較小；分子總數的百分比較小；NNf21vvvv)d(（3）小面積）小面積 及面積及面積NNfd)d(vv分別表示在分別表示在 和和 兩區間內的氣體兩區間內的氣體相對分子數，或一個分子速率取值分別在上述區間內相對分子數，或一個分子速率取值分別在上述區間內的概率的概率 . vvvd21vv 即一個分子速率取任意數值的概率為即一個分子速率取任意數值的概

26、率為100%.pv1. 最概然速率最概然速率, 0d)(dpvvvvfMRTmkT22pv 物理意義：物理意義：氣體在一定溫度下分布在最概然速率氣體在一定溫度下分布在最概然速率 附近單位速率間隔內的相對分子數最多附近單位速率間隔內的相對分子數最多 . pv 分子出現概率最大時對應的速率，即求分子出現概率最大時對應的速率，即求 的極的極大值對應的速率大值對應的速率. .)(vf2. 平均速率平均速率vMRTmkT88v22232e)2(4)(vvvkTmkTmf3. 方均根速率方均根速率2vMRTmkT332v2pvvv討論討論 溫度升高時溫度升高時, 最概然最概然速率增大速率增大, 分布曲線向速分布曲線向速率大的方向移動；由于曲率大的方向移動；由于曲線下面的面積恒等于線下面的面積恒等于1, 此此時時, 分布曲線的高度下降分布曲線的高度下降.1T1pv2pv2Tv)(vfo21TT MRTmkT