1、 綜合是和分析相反的一個命題。 系統的分析：的是系統結構和參數及外輸入作用，有待研究的是系統運動的定性行為(如能控性、能觀測性、穩定性等)和定量的變化規律。 系統的綜合：的是系統的結構和參數，以及所期望的系統運動形式或其某些特征，所要確定的那么是所需要施加于系統的外輸入作用即控制作用的規律。通常，這種控制作用規律常取為反響的形式。1在控制理論中，反響結構是系統設計的主要方式。對輸入輸出模型，只能采用輸出反響；而狀態空間模型由于能夠提供系統內部的狀態信息，所以不僅能夠采用輸出反響，還能夠采用狀態反響對系統進行控制。2第六章 線性定常系統的反響結構及狀態觀測器6.1 線性定常系統常用的反響結構及其

2、對系統特性的影響6.2 系統的極點配置6.4 別離特性6.3 全維狀態觀測器及其設計36.1 常用反響結構及其對系統特性的影響 一 . 兩種常用反響結構式中：v是p維參考輸入向量；K是pn維實反響增益矩陣。式中：x,u,y分別為n維、p維和q維向量。 常用的反響形式是狀態反響和輸出反響。 1. 狀態反響設有n維線性定常系統引入狀態的線性反響：線性狀態反響，簡稱狀態反響4狀態反響系統的結構圖uxy+BCA狀態反響(閉環)系統的狀態空間描述為：特征多項式：傳遞函數矩陣：K+-v52. 輸出反響輸出反響有兩種形式:a) 將輸出量反響至參考輸入 常用形式b) 將輸出量反響至狀態微分少見形式1) 將輸出

3、量反響至參考輸入當將系統的控制量u取為輸出y的線性函數時，稱之為線性輸出反響，常簡稱為輸出反響。式中：v是p維參考輸入向量；F是pq維實反響增益矩陣。6輸出反響系統的結構圖v+-Fuxy+BCA輸出反響(閉環)系統的狀態空間描述為：特征多項式：傳遞函數矩陣：7傳遞函數矩陣：uxy+-BHCA2) 將輸出量反響至狀態微分將輸出量反響至狀態微分的系統結構圖：輸出反響(少見)系統的狀態空間描述為：特征多項式：83. 狀態反響結構與輸出反響結構比較相同點：1)無論是狀態反響結構還是輸出反響結構都使閉環系統的系統矩陣不同于原系統矩陣 A 。2) 狀態反響是一種完全的系統信息反響，輸出反響那么是系統結構信

4、息的一種不完全反響。 3)設計者可以通過選取適當的反響矩陣K或F來改變系統的特性，到達設計要求。不同點：輸出反響能完成的設計任務,狀態反響必然能夠完成；狀態反響能完成的設計任務,輸出反響不一定能完成。91. 對系統可控性和可觀測性的影響二. 反響結構對系統性能的影響定理9-1P502：狀態反響不改變系統的可控性，但可能改變系統的可觀測性。證明：證可控性不變。顯然對于任意的K陣以及所有的s，有根據系統可控性的PBH秩判據可知，其可控性在狀態反響前后保持不變。10再來證狀態反響系統，不一定能保持可觀測性。由于狀態反響改變系統的極點(特征值)，假設發生零點與極點抵消情況，那么改變系統的可觀性。 例：

5、可控可觀測系統原系統的傳遞函數：假設采用的狀態反響是：11那么閉環系統的系統矩陣為：閉環系統可觀測性判別矩陣為：那么閉環系統為：所以閉環系統是不完全可觀測，其傳遞函數為12定理9-3(P503)：輸出反響不改變系統的可控性和可觀測性，即輸出反響系統為可控可觀測的充分必要條件是被控系統為可控可觀測。證明：證可控性不變。可見對于任意的F陣以及所有的s，有根據系統可控性的PBH秩判據可知，其可控性在輸出反響前后保持不變。13證可觀性不變：可見對于任意的F陣以及所有的s，有根據系統可觀測性的PBH秩判據可知，其可觀測性在輸出反響前后保持不變。 142. 反響結構對系統穩定性的影響 如果采用反響措施能夠

6、使閉環系統穩定，稱該系統是反響可鎮定的。狀態反響和輸出反響都改變系統的特征值，故都影響系統的穩定性。鎮定：參加反響，使得通過反響構成的閉環系統成為穩定系統，稱之為鎮定。 由于狀態反響具有許多優越性，而且輸出反響總可以找到與之性能等同的狀態反響系統，故在此只討論狀態反響的可鎮定問題。 15對于線性定常受控系統如果可以找到狀態反響控制律使得通過反響構成的閉環系統是漸近穩定的，即A-BK的特征值均具有負實部，那么稱系統實現了狀態反響鎮定。定理9-4 (P505) 當且僅當線性定常系統的不可控局部漸近穩定時，系統是狀態反響可鎮定的。16證明：由于系統A, B不完全可控，其結構分解為對于任意的狀態反響矩

7、陣 ，可導出即狀態反響不能改變不可控極點，因此使閉環系統穩定的必要條件是不可控局部是漸近穩定的。其中：176.2 系統的極點配置() 利用狀態反響和輸出反響使閉環系統的極點位于所希望的極點位置，稱為極點配置。狀態反響和輸出反響都能配置閉環系統的極點。 狀態反響K不能改變不可控局部的極點，但能夠任意配置可控局部的極點。 輸出反響F也只能配置可控局部的極點，但不一定能實現期望極點的任意配置；肯定不能將極點配置到系統的零點處。18一極點可配置條件1利用狀態反響的極點可配置條件定理9-5 P505利用狀態反響任意配置閉環極點的充分必要條件是被控系統可控。 證明：以單輸入多輸出系統來證明該定理。1充分性

8、：假設系統完全可控，那么通過非奇異線性變換 可變換為可控標準型:其中：19引入狀態反響：其中： 20閉環特征方程為： 那么引入狀態反響后閉環系統的系統矩陣為：21閉環特征方程為： 該n階特征方程中的n個系數，可通過 來獨立設置，也就是說 的特征值可以任意選擇，即系統的極點可以任意配置。2必要性：如果系統A, b不可控，說明系統的有些狀態將不受u的控制，那么引入狀態反響時就不可能通過控制 k 來影響不可控的極點。222. 利用輸出反響的極點可配置條件定理9-6 P506用輸出至狀態微分的反響輸出反響矩陣H任意配置閉環極點的充分必要條件是被控系統可觀測。 證明：根據對偶定理證明。參見教材P506

9、定理(補充)用輸出至參考輸入的反響(輸出反響矩陣F)不能任意配置完全可控系統的閉環極點。 23二. 單輸入單輸出系統的極點配置算法() 給定可控系統(A,b,c)和一組期望的閉環特征值 , 要確定(1n)維的反響增益向量k,使閉環系統矩陣(A-bk)的特征值為 。1. 通用的計算方法()：設(1) 計算期望的特征多項式：24(2) 用待定系數計算閉環系統的特征多項式：(3) 由以下n個方程計算反響矩陣k的元素：注意：系統完全可控，單輸入系統的極點配置有唯一解；系統不完全可控，假設期望極點中包含所有不可控極點，極點配置有解，否那么無解。25例 9-23(P507) 線性定常系統狀態方程為求反響向

10、量k，使系統的閉環特征值為：解：(1) 計算期望的特征多項式：(2) 設 用待定系數計算閉環系統的特征多項式：26(3) 系數對應相等：解得：即：27(1) 計算A的特征多項式:(2) 計算期望的特征多項式: 計算(可控標準型)反響矩陣 :2. 完全可控系統極點配置的標準算法28(6) 計算原系統的反響增益陣：(4) 計算變換矩陣P-1:(5) 計算P：29例 9-23的標準計算方法解：系統的可控性判別陣為：系統是完全可控的，滿足可配置條件。1系統的特征多項式為：302系統的期望特征多項式為：3計算 ：4變換矩陣為： 315求P：6計算反響增益向量：326.3 全維狀態觀測器及其設計 問題的提

11、出 全維狀態觀測器觀測器的結構形式 觀測器的存在條件 觀測器綜合算法33圖1 狀態重構問題的直觀說明一、問題的提出n 維的線性定常系統+觀測器+-圖1 參加狀態反響后的系統結構圖 系統的極點配置、鎮定、解耦控制、無靜差跟蹤以及線性二次型最優控制，都有賴于引入適當的狀態反響才能得以實現。在狀態反響問題的分析中，我們均假設所有狀態都是可以測量的，但這一假設在實際系統中常常得不到滿足。因為為了利用狀態進行反響，必須用傳感器來測量狀態變量。但是并不是所有的狀態變量在物理上都可測量，或者由于不易直接測量，或者由于量測設備在經濟性和使用性上的限制，使得在實際應用中不可能獲得系統的全部狀態變量，從而使狀態反

12、響在物理上難以實現。 狀態反響在性能上的優越性和物理上的不能實現性形成了一個鋒利的矛盾。解決這一矛盾一般可采用如下兩種途徑：(1)直接利用輸出反響加以動態補償，到達與狀態反響同樣的控制效果；(2)用被控系統易獲得的外部變量的知識，來獲得狀態變量的近似值或精確值，用以進行反響，這就是所說的狀態重構。也就是說由于被控對象的輸入量u和輸出量y都是能夠用傳感器測量的，因此可以利用這些外部變量重構系統的狀態，并用這個重構狀態來代替系統的真實狀態，來實現所要求的狀態反響。 狀態重構問題的實質，就是重新構造一個系統，利用原系統中可直接測量的變量，如輸出向量和輸入向量作為它的輸入信號，并使該系統的輸出信號 在

13、一定的提法下等價于原系統的狀態 。通常，稱 為 的重構狀態或估計狀態，這樣就可以用該估計狀態 來代替真實狀態 。我們稱用以實現狀態重構的系統為觀測器。它是一個估計或觀測狀態變量的動態系統。狀態重構問題實際上就是觀測器設計問題。 34狀態觀測器：輸出 漸進等價于原系統狀態x(t)的觀測器，即以為性能指標綜合得到的觀測器。 狀態觀測器全維狀態觀測器：降維狀態觀測器：重構狀態向量的維數等于被控對象狀態向量的維數.重構狀態向量的維數小于被控對象狀態向量的維數35二、全維狀態觀測器考慮n維的線性定常系統 該系統的狀態x不能直接加以量測，但輸出y和輸入u是可以量測并加以利用的。的一個n維線性定常系統. 所

14、謂全維狀態觀測器，就是以y和u為輸入，且其輸出 滿足如下關系式(1)(2)其中：A，B和C分別為nn，np，qn實常陣。36開環觀測器的狀態方程為：1、全維狀態觀測器的結構形式+圖2 開環狀態觀測器被控系統開環狀態觀測器式中： 是被控對象狀態向量x的估計值.1) 開環觀測器37+-+圖3 全維狀態觀測器-狀態反響被控系統全維狀態觀測器狀態空間描述為：32) 全維狀態觀測器觀測器輸出反響陣38圖4 全維狀態觀測器(3)式可改寫為：+被控系統閉環狀態觀測器(4)392、觀測器的存在條件 狀態觀測器分析設計的關鍵問題是能否在任何初始條件下，即盡管 與 不同，但總能保證成立。只有滿足上式， 或所示系統

15、才能作為實際的狀態觀測器。 (4)(3)(2) 那么，如何通過選取H，使得由式(3)或(4)反映的觀測器能滿足式(2)呢？ 40觀測器的存在條件即觀測器任意極點配置的條件定理9-7(P510)：假設被控系統(A,B,C)可觀測，那么必可采用所示的全維狀態觀測器來重構其狀態，并且必可通過選擇增益陣H而任意配置(A-HC)的全部特征值。 41證：利用對偶原理，系統(A,B,C)可觀測意味著其對偶系統 可控。由極點配置的結論：利用狀態反響任意配置閉環極點的充要條件是被控系統可控。 所以對于可控系統 來說，對于任意給定的n個特征值，必可以找到一個狀態反響增益陣 ，使反響后的系統特征值等于指定的特征值

16、，即使下式成立：(5)其中：42是由期望特征值所確定的閉環系統特征多項式。由于矩陣的轉置不改變矩陣的特征值，故(6)這就意味著(A-HC)的特征值可由H任意配置。因此，只要給定的系統A, B, C可觀測，必然可以通過選擇增益陣H將(A-HC)配置到特定的特征值上，從而使設計的全維狀態觀測器滿足觀測器存在條件，可以實際運用。 433、觀測器綜合算法方法一：原理性算法方法二：標準算法 對于給定的n維被控系統設系統(A,B,C)可觀測，再對要設計的全維狀態觀測器給定一組期望的特征值: ，設計全維狀態觀測器。 44方法一：原理性算法1) 計算期望的特征多項式2設反響增益陣 ，用待定系數計算閉環觀測系統

17、特征多項式其中：系數ai中包含未知元素hi 。453求解以下n個方程，計算出反響矩陣H的元素4計算(A-HC)，那么所要設計的全維狀態觀測器就為而 即為x的估計狀態。46方法二：標準算法1導出被控系統(A,B,C)的對偶系統(AT,CT, BT) ；2利用完全可控系統極點配置的標準算法，計算系統(AT,CT, BT)的反響增益陣HT,將(AT,CT, BT) 的極點配置到期望的 ；3計算(A-HC)，那么所要設計的全維狀態觀測器就為而 即為x的估計狀態。47例：給定系統解：方法一觀測器系統的特征值為： , 試構造全維狀態觀測器.1) 期望特征多項式：該系統可觀測，可任意配置全維狀態觀測器的極點

18、。484設計的全維狀態觀測器為：3得到方程組：2設增益陣 , 閉環觀測系統特征多項式為49方法二：50 516.4 別離特性 現在要討論的是用全維狀態觀測器提供的估計狀態 代替真實狀態x來實現狀態反響，其閉環特性與利用真實狀態進行反響的情況會有什么區別？也就是說為了保持系統的期望特征值，其狀態反響陣K是否需要重新設計？當觀測器被引入系統以后，狀態反響系統局部是否會改變已經設計好的觀測器的閉環極點配置，觀測器輸出反響陣H是否需要重新設計？為此需要對引入觀測器的狀態反響系統作進一步分析。 52+-+-狀態反響被控系統圖5 引入全維狀態觀測器的狀態反響系統全維狀態觀測器53考慮n維的線性定常系統假設系統是可觀測的，那么可設計全維狀態觀測器 得到真實狀態 x 的估計值 ，引入狀態反響此時狀態反響子系統的狀態空間描述為：全維狀態觀測器的狀態空間描述為：54故組合系統的狀態空間描述為： 由此可見，引入全維狀態觀測器的狀態反響系統，其維數為被控系統和觀測