1、返回(fnhu)目錄 1.如果如果a，bR,那么那么 （當且僅當（當且僅當 時時取取“=”）.2.如果如果a，b是正數是正數(zhngsh)，那么，那么 （當且僅當（當且僅當 時取時取“=”）.3.通常把通常把 叫做基本不等式叫做基本不等式.(a0,b0)a2+b22ab a=ba=b abab2 2b b+ +a a2 2b b+ +a aabab第1頁/共30頁第一頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 設設a，b是正實數，以下是正實數，以下(yxi)不等式：不等式： ;a|a-b|-b;a2+b24ab-3b2;ab+ 2恒成恒成立的序號為（立的序號為（ ）A. B. C. D. 【分析】判

2、斷命題是否成立(chngl)，即判斷命題的條件是否成立(chngl)，所給命題是否與基本不等式不矛盾.b b+ +a a2ab2ab abababab2 2第2頁/共30頁第二頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 abab2 2b b+ +a ab b+ +a a2ab2ababababab2 2abab2 2 abab2 2abab2 2b b+ +a a第3頁/共30頁第三頁，共31頁。若若a，b是正數，則是正數，則 這四個數的這四個數的大小大小(dxio)順序是順序是 .(a，b是正數是正數(zhngsh)，而而 ,又又a2+b22ab 2(a2+b2)(a+b)2 , ，因此因此 .)2

3、 2b ba a, ,b ba a2ab2ab, ,abab, ,2 2b ba a2 22 2+2 2b b+ +a a2 2b b+ +a aababb b+ +a a2ab2ab2 22 2返回目錄 abababab2 22ab2abb b+ +a a2ab2ab2 2b b+ +a aabab 2 2b b+ +a a2 22 22 2) )2 2b b+ +a a( (2 2b b+ +a a2 2b b+ +a a2 22 22 2b b+ +a a2 2b b+ +a aababb b+ +a a2ab2ab2 22 2第4頁/共30頁第四頁，共31頁。（1）設0 x2,求函數

4、的最大值；（2）求 +a的取值范圍(fnwi)；（3）已知x0,y0,且x+y=1，求 的最小值.返回目錄 ) )3x3x- -3x(83x(8 = =y y4 4- -a a3 3y y2 2+ +x x8 8a a+ +4 4- -a a3 34 4- -a a3 34 4- -a a3 3第5頁/共30頁第五頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 ) )3x3x- -3x(83x(8 = =y y4 4= =2 28 8= =2 23x)3x)- -(8(8+ +3x3x3 34 43 34 4) )3x3x- -3x(83x(8 = =y y第6頁/共30頁第六頁，共31頁。(2)顯然(x

5、inrn)a4,當a4時，a-40， +a= +（a-4）+42 +4=2 +4,當且僅當 =a-4，即a=4+ 時，取等號；當a4時，a-40, +a= +(a-4)+4=- +(4-a) +4-2 +4=-2 +4,當且僅當 =4-a，即a=4-3時，取等號. +a的取值范圍是（-,-2 +42 +4,+).返回(fnhu)目錄 4 4- -a a3 34 4- -a a3 34)4)- -(a(a4 4- -a a3 33 34 4- -a a3 33 34 4- -a a3 34 4- -a a3 3a a- -4 43 3 4)4)- -(a (aa a- -4 43 33 34 4

6、- -a a3 3a a- -4 43 33 33 3第7頁/共30頁第七頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 (3)x0,y0,且且x+y=1， = （x+y）=10+ 10+2 =18.當且僅當當且僅當 ，即，即x=2y時等號成立時等號成立(chngl)，當當x= ，y= 時，時， 有最小值有最小值18.y y2 2+ +x x8 8) )y y2 2+ +x x8 8( (y y2x2x+ +x x8y8yy y2 2x x+ +x x8 8y yy y2x2x= =x x8y8y3 32 23 31 1y y2 2x x8 8+第8頁/共30頁第八頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 4

7、4- -a a3 34 4- -a a3 34 4- -a a3 3g(x)g(x)A A第9頁/共30頁第九頁，共31頁。 （2）第（3）小題要求根據條件求最值，如何合理利用條件x+y=1是解答本題的關鍵，方法是在式子(sh zi)上乘以（x+y）.利用均值不等式求最值時，要注意三個條件，即：“一正、二定、三相等”，本題常見的誤解為：x0,y0, = （x+y）2 2 =16，此法錯誤的原因是沒有考慮等號成立的條件中 和x=y同時成立是不可能的.所以在不等式連續放縮的時候,要時刻注意是否在同一條件下進行放縮,放縮時還要注意有目的性、同向性，不要出現放縮后不能比較大小的情況.在第（2）小題中當

8、a4,即a-40時，要用均值不等式必須前面添負號變為正.返回(fnhu)目錄 y y2 2+ +x x8 8) )y y2 2+ +x x8 8( (xyxy1616x xy yy y2 2+ +x x8 8第10頁/共30頁第十頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 （1）已知）已知x0,y0,且且 =1，求，求x+y的最小值；的最小值；（2）已知）已知x ,求函數求函數y=4x-2+ 的最大值；的最大值；（3）若）若x，y（0，+）且）且2x+8y-xy=0,求求x+y的最小值的最小值.y y9 9+ +x x1 14 45 55 5- -4x4x1 1y y9 9+ +x x1 1y y9

9、9+ +x x1 1y y9x9x+ +x xy yy y9x9x= =x xy yy y9 9+ +x x1 1第11頁/共30頁第十一頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 4 45 55 5- -4x4x1 14x4x- -5 51 14x4x- -5 51 1第12頁/共30頁第十二頁，共31頁。(3)由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy， ，x+y=（x+y）（ ） =10+ =10+2（ ）10+22 =18，當且僅當 ，即x=2y時取等號，又2x+8y-xy=0，x=12，y=6，當x=12，y=6時，x+y取最小值18.返回(fnhu)目錄 1 1= =x x8 8+ +y

10、y2 2y y2 2+ +x x8 8y y2x2x+ +x x8y8yy yx x+ +x x4 4y yy yx x x x4 4y yy yx x= =x x4y4y第13頁/共30頁第十三頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 已知a，b，cR+,且a+b+c=1，求證：可進行“1的代換”，為使用基本不等式創造條件.9 9c c1 1+ +b b1 1+ +a a1 19 9= =2 2+ +2 2+ +2 2+ +3 3) )c cb b+ +b bc c( (+ +) )c ca a+ +a ac c( (+ +) )b ba a+ +a ab b( (+ +3 3= =c cc c+

11、 +b b+ +a a+ +b bc c+ +b b+ +a a+ +a ac c+ +b b+ +a a= =c c1 1+ +b b1 1+ +a a1 13 31 1第14頁/共30頁第十四頁，共31頁。【評析】（【評析】（1）用好公式）用好公式 2(a,b同號同號).（2）“1”的代換的代換(di hun)技巧技巧.返回(fnhu)目錄 b ba a+ +a ab b第15頁/共30頁第十五頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 已知已知x0,y0,z0.求證求證(qizhng)：x0,y0,z0,（當且僅當x=y=z時等號成立）8 8) )z zy y+ +z zx x) () (y y

12、z z+ +y yx x) () (x xz z+ +x xy y( (0 0 2 2y yz z+ +y yx x, ,0 0 2 2x xz z+ +x xy yy yxzxzx xyzyz0 0 2 2z zy y+ +z zx xz zxyxy8.8.= =xyzxyzxyxy xzxz yzyz8 8) )z zy y+ +z zx x) () (y yz z+ +y yx x) () (x xz z+ +x xy y( (第16頁/共30頁第十六頁，共31頁。某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積(min j)為為200m2 的三級污水處理池（平面圖如圖的

13、三級污水處理池（平面圖如圖5-4-1所示）所示）.如果池四如果池四周圍墻建造單價為周圍墻建造單價為400元元/m，中間兩道隔墻建造單價為，中間兩道隔墻建造單價為248元元/m，池底建造單價為，池底建造單價為80元元/m2，水池所有墻的厚，水池所有墻的厚度忽略不計度忽略不計.(1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價最低總造價.(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16m， 試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價造價.返回(f

14、nhu)目錄 第17頁/共30頁第十七頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 第18頁/共30頁第十八頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 x x200200 x x200200 x x200200 x x 2 20 00 0 2 25 59 9 x x200200 259259800 x800 xx x 2 20 00 0 2 25 59 99 91 10 00 0第19頁/共30頁第十九頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 （2）0 x16,0 16,12.5x16,x18, 不能用基本不等式，但我們可用函數不能用基本不等式，但我們可用函數(hnsh)單調性定單調性定義證明上述目標函數義證明上述目

15、標函數(hnsh)在區間在區間12.5,16上是減函數上是減函數(hnsh)，從而利用單調性求得最小值，從而利用單調性求得最小值. 由（由（1）知，）知，y=(x) =800(x+ )+16 000(12.5x16). 對任意對任意x1,x212.5,16,設設x1x2, 則則(x1)-(x2)=800 (x1-x2)+324( ) x x200200 x x3243242 21 1x x1 1- -x x1 10 0 x xx x324)324)- -x x)(x)(xx x- -800(x800(x= =2 21 12 21 12 21 1第20頁/共30頁第二十頁，共31頁。返回(fnh

16、u)目錄 【評析】不等式應用的特點是：（【評析】不等式應用的特點是：（1）問題的背景）問題的背景是人們關心的社會熱點問題，如是人們關心的社會熱點問題，如“物價、稅收、銷售、物價、稅收、銷售、市場信息市場信息”等，題目往往篇幅較長等，題目往往篇幅較長.（2）建立函數模型）建立函數模型常見的有常見的有“正（反）比例函數、一次函數、二次函數、正（反）比例函數、一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數，以及指數函數、對數函數、三角函數，以及y=ax+ （a0,b0）”等形式等形式.解函數應用題中的最值問題一般利用解函數應用題中的最值問題一般利用二次函數的性質或基本二次函數的性質或基本(jbn)

17、不等式來解決不等式來解決.(x1)(x2),故y=(x)在12.5,16上為減函數.從而(cng r)有(x)(16)=45 000,當污水池的長度為16m，寬為12.5m時有最低總造價，最低總造價為45 000元.x xb b第21頁/共30頁第二十一頁，共31頁。如圖如圖5-4-2所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成.(1)現有可圍現有可圍36m長網的材料，每間虎籠的長、寬各設計長網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少為多少(dusho)時，可使每間虎籠面積最

18、大？時，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為若使每間虎籠面積為24m2， 則每間虎籠的長、寬各設計則每間虎籠的長、寬各設計 為多少為多少(dusho)時，可使圍成四間虎時，可使圍成四間虎 籠的鋼筋網總長最??？籠的鋼筋網總長最?。糠祷?fnhu)目錄 第22頁/共30頁第二十二頁，共31頁。返回(fnhu)目錄 (1)設每間虎籠長為xm,寬為ym,則由條件得4x+6y=36,即2x+3y=18, 設每間虎籠面積(min j)為S,則S=xy. 解法一:由于2x+3y2 =2 , 2 18,得xy , 即S ，當且僅當2x=3y時,等號成立. 2x+3y=18 x=4.5 2x=3y, y=3, 故每間虎籠長為4.5m,寬為3m時,可使每間虎籠面積(min j)最大.2 2x x 3 3y y6 6x xy y6 6x xy y2 22727由解得 2 22727第23頁/共30頁第二十三頁，共31頁。NoImage返回(fnhu)目錄 2 23 32 23 32 23 32 227272 2 y y+ +y)y)- -(6 (62 23 3第24頁/共30頁第二十四頁，共31頁。