1、第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第二節第二節第四章第四章 基本內容：基本內容：一、電場線一、電場線 二、電場強度通量二、電場強度通量三、高斯定理三、高斯定理4.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理一一. . 電場線：人為引入的假想線電場線：人為引入的假想線 1 1） 曲線上每一點曲線上每一點切線切線方向為該點電場方向方向為該點電場方向, , 2 2） 通過通過垂直垂直于電場方向于電場方向單位面積單位面積電場線的條電場線的條數為該點電場強度的大小數為該點電場強度的大小. .規定規定ESEcEbcaEbEa第二

2、節第二節第四章第四章SNE第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理qq2第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+ + + + + + + + + + + + 第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理電場線的特點電場線的特點 1 1）

3、 始于正電荷始于正電荷, ,止于負電荷止于負電荷( (或來自無窮遠或來自無窮遠, ,去去向無窮遠向無窮遠) )，不會在沒有電荷處中斷不會在沒有電荷處中斷. . 2 2） 電場線不相交電場線不相交. . 3 3） 靜電場的電場線不閉合靜電場的電場線不閉合. . 4) 4) 電場線不僅能夠表示電場強度的方向，而且電場線不僅能夠表示電場強度的方向，而且電場線在空間的密度分布還能表示電場強度的大小。電場線在空間的密度分布還能表示電場強度的大小。第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理ES二二. . 電場強度通量電場強度通量(electric flux) 通過

4、電場中某一個通過電場中某一個任意面任意面的電場線的條數叫做通的電場線的條數叫做通過這個過這個面面的電場強度通量的電場強度通量e. 均勻電場均勻電場 ， 垂直平面垂直平面EES ecoseES 均勻電場，均勻電場， 與平面夾角與平面夾角EneSE ,e SSen ES第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理EE 非均勻電場強度電通量非均勻電場強度電通量 sSEdcosdeesSEdeSEddene SdSd 為封閉曲面為封閉曲面SSdEne1dS2dS22E11E第二節第二節第四章第四章022e2d,0201e1d,第七章第七章7-3 7-3 靜電場的

5、高斯定理靜電場的高斯定理SSSESEdcosde 閉合曲面的電場強度通量閉合曲面的電場強度通量SEddeESdES規定規定1. 規定閉合曲面法線方向規定閉合曲面法線方向:向外為正！向外為正！2.2.即如果電場線從閉合曲面內向外穿出，則電通即如果電場線從閉合曲面內向外穿出，則電通量為正；反之，電通量為負量為正；反之，電通量為負; ;第二節第二節第四章第四章電通量是一個電通量是一個標量，可正可負標量，可正可負第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理, 0 sdEde, 0 sdEde左半球左半球:電力線穿入電力線穿入, e為負為負右半球右半球:電力線穿出電力線穿出, e為正為正

6、S SEdSdS第二節第二節第四章第四章不難看出：當封閉曲面內沒有電荷時，穿過曲不難看出：當封閉曲面內沒有電荷時，穿過曲面的電通量為零！面的電通量為零！第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理三三. . 高斯定理高斯定理第二節第二節第四章第四章高斯定理高斯定理：是關于電場線、電荷分布、空間：是關于電場線、電荷分布、空間曲面三者之間的關系；曲面三者之間的關系；高斯定理的導出高斯定理的導出高斯高斯定理定理庫侖定律庫侖定律電場強度疊加原理電場強度疊加原理第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+Sd 點電荷點電荷q位于球面中心位于球面中心20 4rqESSSr

7、qSEd 4d20e0eq r第二節第二節第四章第四章 對以點電荷對以點電荷q為中心的為中心的任意任意球面來說，通球面來說，通過它們的電通量都等于過它們的電通量都等于q/ 0第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+ 點電荷點電荷q在任意封閉曲面內在任意封閉曲面內cosd 4d20eSrq SdSd第二節第二節第四章第四章 通過任意形狀的包圍點電通過任意形狀的包圍點電荷荷q的閉合面的電通量等于的閉合面的電通量等于q/ 0任取兩個球面，一任取兩個球面，一個包圍曲面，另一個包圍曲面，另一個在曲面內：則兩個在曲面內：則兩個球面的電通量都個球面的電通量都為為q/ 0+S SS Su

8、由電場線的性質由電場線的性質可知，通過可知，通過球面球面S的電場線必定全部的電場線必定全部通過通過閉合面閉合面S，因此，因此，通過任意形狀的，通過任意形狀的包圍點電荷包圍點電荷q的閉合的閉合面的電通量都等于面的電通量都等于q/0第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理q 點電荷點電荷q在封閉曲面之外在封閉曲面之外2dS2E0dd111SE0dd222SE0dd210dSeSE1dS1E第二節第二節第四章第四章 如果閉合面如果閉合面S不包圍點電荷不包圍點電荷q，則由電場線的連續，則由電場線的連續性可知，由一側進入性可知，由一側進入S的電場線條數一定等于從另一側的電場線條數一定

9、等于從另一側穿出穿出S的電場線條數，那么凈穿出閉合面的電場線條數，那么凈穿出閉合面S的電場線總的電場線總條數為零，也即通過條數為零，也即通過S面的電通量為零。面的電通量為零。第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 由點電荷系產生的電場由點電荷系產生的電場iiEEEEqqq2121.,SiiSSESEdde （外）內）iSiiSiSESEdd( 內）（內）(0e1diiiSiqSESdE1qiq2qs0d （外）iSiSE第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理niiSqSE10e1d高斯定理的數學表達式：高斯定理的數學表達式：第

10、二節第二節第四章第四章 高斯定理的含義：高斯定理的含義：在真空中，通過任一閉合曲面的電場強度通在真空中，通過任一閉合曲面的電場強度通量量, ,等于該曲面所包圍的所有電荷電量的代等于該曲面所包圍的所有電荷電量的代數和的數和的1/1/ 0 0倍。倍。（電通量與（電通量與面外面外電荷無關，電荷無關， 閉合曲面稱為閉合曲面稱為高斯面高斯面）第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第二節第二節第四章第四章niiSqSE10e1d高斯定理的數學表達式：高斯定理的數學表達式：積分中的積分中的E是曲面上各點的場強是曲面上各點的場強,它是空間全部電荷它是空間全部電荷(曲面內曲面內外外)共同產

11、生的共同產生的.總電通量只決定于曲面內電荷總電通量只決定于曲面內電荷,曲面外部的電荷對總電通量曲面外部的電荷對總電通量沒有貢獻沒有貢獻;閉合曲面內電荷的代數和為零，只說明通過閉合曲面的電閉合曲面內電荷的代數和為零，只說明通過閉合曲面的電通量為零，曲面上各點的電場強度不一定為零通量為零，曲面上各點的電場強度不一定為零;高斯面高斯面為封閉曲面為封閉曲面. .靜電場是靜電場是有源場有源場. . q0, e0, 說明電場線從封閉面內發出，正電荷是源；說明電場線從封閉面內發出，正電荷是源； q0, e0, 說明電場線向封閉面內匯聚，負電荷是尾；說明電場線向封閉面內匯聚，負電荷是尾； 靜電場是靜電場是有源

12、場，有源場，正負電荷是正負電荷是場源場源. 1 1）高斯面上的高斯面上的 與哪些電荷有關與哪些電荷有關 ？ Es2 2）哪些電荷對閉合曲面哪些電荷對閉合曲面 的的 有貢獻有貢獻 ？e思考思考第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理通過閉合曲面的電通量為零通過閉合曲面的電通量為零, ,則說明（則說明（ ）第二節第二節第四章第四章(1)(1)曲面上各點的電場強度一定為零；曲面上各點的電場強度一定為零；(2)(2)閉合曲面內一定沒有電荷存在；閉合曲面內一定沒有電荷存在；(3)(3)閉合曲面內電荷的代數和一定為零；閉合曲面內電荷的代數和一定為零；(4)(4)閉合曲面內電荷的代數和不

13、一定為零；閉合曲面內電荷的代數和不一定為零；第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理1S2S3Sqq01e1dqSES02e03eq 在點電荷在點電荷 和和 的靜電場中，做如下的三的靜電場中，做如下的三個閉合面個閉合面 求求通過各閉合面的電通量通過各閉合面的電通量 . .,321SSSqq1q2q2qABsP討論討論 將將 從從 移到移到 , ,2qABePs點點 的電場強度是否變化的電場強度是否變化？穿過高斯面穿過高斯面 的的 有變化有變化？第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理四四 高斯定理的應用高斯定理的應用 其步驟為其步

14、驟為: : 對稱性分析；對稱性分析； 根據對稱性選擇合適的高斯面；根據對稱性選擇合適的高斯面； 應用高斯定理計算應用高斯定理計算. .（用高斯定理求解的靜電場必須具有一定的（用高斯定理求解的靜電場必須具有一定的對稱性對稱性）第二節第二節第四章第四章求電場強度求電場強度E的方法：的方法：. .電場強度疊加原理；電場強度疊加原理；. .高斯定理；高斯定理；1).1).球對稱性：帶電球面（體）球對稱性：帶電球面（體）2).2).軸對稱性：無限長帶電直線軸對稱性：無限長帶電直線3).3).面對稱性：無限大帶電平面面對稱性：無限大帶電平面第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+OR

15、例例4.4 均勻帶電球面的電場強度？均勻帶電球面的電場強度？04d21rESES0E02dQSESr1S20 4rQE02 4QErr2s 一半徑為一半徑為 , 均勻帶電均勻帶電 的薄的薄球殼球殼 . 求球面內外任意點電場強度求球面內外任意點電場強度.RQ20 4RQrRoE解（解（1）Rr 0Rr（2）第二節第二節第四章第四章推廣到：推廣到： 均勻帶電均勻帶電球體球體，半徑為，半徑為R，均勻帶電，均勻帶電Q，求球體內外的任意一點的電場強度？，求球體內外的任意一點的電場強度？02dQSES20 4rQE02 4QErRr（1）+R+0332134344d1rRQrESES （2）Rr 030

16、4RQrE第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+oxyz例例4-74-7：無限長均勻帶電細棒的電場強度分布？：無限長均勻帶電細棒的電場強度分布？下底）上底）柱側面）(dd dsssSESESE選取閉合的選取閉合的柱型柱型高斯面高斯面 無限長均勻帶電直線，單位長度上的電荷，即無限長均勻帶電直線，單位長度上的電荷，即電荷線密度為電荷線密度為 ，求距直線為，求距直線為 處的電場強度處的電場強度. .r對稱性分析：對稱性分析：軸對稱軸對稱解解hSSEd00d(柱側面）sSEneneneE+r第二節第二節第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理0h

17、rE0 20 2hrhE 柱側面）(ddsSSESE+oxyzhneE+r第二節第二節第四章第四章例例4-7,4-7,可推廣到可推廣到: : 無限長均勻帶電的無限長均勻帶電的圓柱面圓柱面的電場的電場強度分布？已知沿軸向單位長度的線電荷密度為強度分布？已知沿軸向單位長度的線電荷密度為 +R+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +rE0 2Rr（1） （2）Rr 00E+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

18、 + + + + + + + + + + + + + + + + + 例例4.5 無限大均勻帶電平面的電場強度分布？無限大均勻帶電平面的電場強度分布？ 無限大均勻帶電平面，單位面積上的電荷，即電無限大均勻帶電平面，單位面積上的電荷，即電荷面密度為荷面密度為 ，求距平面為，求距平面為 處的電場強度處的電場強度. .r選取閉合的選取閉合的柱型柱型高斯面高斯面02E對稱性分析：對稱性分析： 垂直平面垂直平面E解解0dSSES底面積底面積+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

19、 + + + + + + + + + + + + + + + + + + SEESSS20SE 勻強電場！勻強電場！02EEEEExEO)0(000000討討 論論無無限限大大帶帶電電平平面面的的電電場場疊疊加加問問題題第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理4.3 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 一、靜電場力所做的功一、靜電場力所做的功 電勢能電勢能 二、靜電場的環路定理二、靜電場的環路定理 電勢電勢 三、電勢的計算三、電勢的計算 四、等勢面四、等勢面 電勢梯度電勢梯度第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章第三節第三節 靜電場的

20、環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢一一. . 靜電場力所作的功靜電場力所作的功: :1. 點電荷電場中移動試驗電荷點電荷電場中移動試驗電荷q0點電荷點電荷q的電場強度為：的電場強度為：2014rqEer正點電荷正點電荷q固定于原點固定于原點O，試驗電荷試驗電荷q0在在q的電場中，由的電場中，由A點沿任意路徑點沿任意路徑ACB到達到達B點。點。0qABCorq E第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢020002001411()44dddBABArlrrrABqqWWrrqqrqqrrrcos dddrellr則在則在q0從從A移至移至B點的過程點的過程中，電場力作的總功為：中

21、，電場力作的總功為：002014dddrqqWq Elelrq0移過位移元移過位移元 時，電場力作的元功為：時，電場力作的元功為：dl0qldABCBroArrrdrq E可見：可見：W與與q0所在的始末位置有關，與路徑無關。所在的始末位置有關，與路徑無關。0011()4ABqqWrr000()dddiillliiWqElqElqEl2. 任意帶電體的電場任意帶電體的電場 (視為點電荷的組合視為點電荷的組合)iiEE由電場強度疊加原理知：由電場強度疊加原理知： 因為上式中每一項都與路徑無關，所以它因為上式中每一項都與路徑無關，所以它們的代數和也必然與路徑無關。們的代數和也必然與路徑無關。第三節

22、第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢結結 論：論：1. 在點電荷在點電荷q的非勻強電場中，電場力對試驗電荷的非勻強電場中，電場力對試驗電荷q0所所作的功只與起點和終點的位置有關，與所經歷的路作的功只與起點和終點的位置有關，與所經歷的路徑無關。徑無關。2. 推廣到一般的電場，電場可以是任意帶電體的電荷推廣到一般的電場，電場可以是任意帶電體的電荷產生的電場。產生的電場。電場力對電荷所作的功只與起點和終電場力對電荷所作的功只與起點和終點的位置有關，與所經歷的路徑無關。點的

23、位置有關，與所經歷的路徑無關。u說明說明：靜電場力是保守力，靜電場是保守場。：靜電場力是保守力，靜電場是保守場。第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章二二. . 靜電場的環路定理靜電場的環路定理ab1L2L000 WldEqldEqWll0llEd在靜電場中，若將試驗電荷在靜電場中，若將試驗電荷q q0 0沿閉合路徑移動沿閉合路徑移動一周，電場力所做的功為：一周，電場力所做的功為：表明表明:電場強度沿任一閉合路徑的線積分為零！電場強度沿任一閉合路徑的線積分為零！第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定

24、理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章0dlE靜電場的環路定理：靜電場的環路定理： 1. 靜電場的電場強度沿任一閉合路徑的線積分為零，靜電場的電場強度沿任一閉合路徑的線積分為零，靜電場是保守場。靜電場是保守場。2. 靜電場中電場強度靜電場中電場強度 的環流為零。的環流為零。EE電場強度沿任一閉合路徑的線積分電場強度沿任一閉合路徑的線積分 的環流；的環流；討論討論表征靜電場的性質有兩個方程表征靜電場的性質有兩個方程:0iiSqSEd0LlEd第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理

25、 電勢電勢 第四章第四章三三. .電電 勢勢 能能l類似于重力場和重力勢能，類似于重力場和重力勢能，l電荷在靜電場中的一定位置上具有一定的電荷在靜電場中的一定位置上具有一定的電勢能電勢能。l靜電場力對電荷所做功等于電荷電勢能靜電場力對電荷所做功等于電荷電勢能增量的負值增量的負值 pbpababaabEEl dEql dfW0ab0qE如圖示點電荷如圖示點電荷q0在場中受力在場中受力Eqf0 電場力作功以減小電勢能為代價電場力作功以減小電勢能為代價電場力作正功電場力作正功,電勢能減少電勢能減少paE和pbE分別為分別為q0在靜電場中的在靜電場中的a點和點和b點的點的電勢能電勢能；第七章第七章7-

26、3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章勢能零點apalEqEd01. 若選若選b點的電勢能為參考零點點的電勢能為參考零點 則則 a點的電勢能：點的電勢能：電勢能的量綱電勢能的量綱(能量的單位能量的單位)：SI制單位：制單位： J (焦耳焦耳);表明：試驗電荷表明：試驗電荷q0在電場中某點在電場中某點電勢能電勢能，在數值上，在數值上等于把等于把q0從該點移到零勢能點處靜電場力所做的功從該點移到零勢能點處靜電場力所做的功 電勢能的電勢能的大小大小是是相對相對的，的， 電勢能的電勢能的差差是是絕對絕對的。的。 電勢能是電場和

27、電場中的電荷電勢能是電場和電場中的電荷q0共同擁有的。共同擁有的。第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章 bapbpabaVVqEqEldE00na點的電勢點的電勢:單位正電荷在該點處的電勢能；單位正電荷在該點處的電勢能；nVa,Vb與試驗電荷無關，反映了電場在與試驗電荷無關，反映了電場在a,b兩點的性質兩點的性質;na,b兩點的電勢之差稱為兩點的電勢之差稱為a,b兩點的兩點的電勢差電勢差或電壓或電壓Uab四四. . 電勢電勢 電勢差電勢差靜電場的矢量描述靜電場的矢量描述-電場強度電場強度 靜電場的標量

28、描述靜電場的標量描述-電勢電勢 00qEVqEVpbbpaabaabVVU第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章 aalEVd1. 若選若選b點的勢能為參考零點點的勢能為參考零點(一般為無窮遠處一般為無窮遠處) 2. 則則a點的電勢：點的電勢：表明：表明：1.電場中某點的電場中某點的電勢電勢Va，在數值上等于把，在數值上等于把單位正電荷單位正電荷從從A點移到無窮遠處（零勢能處）時，靜電場力所做功；點移到無窮遠處（零勢能處）時，靜電場力所做功；2. 電勢是和檢驗電荷無關的。電勢是和檢驗電荷無關的。電勢的電

29、勢的相對性相對性第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章 電電勢零點的選擇勢零點的選擇( (參考點參考點): ):電勢的量綱電勢的量綱:SI制：單位制：單位 V (伏特伏特) 1V=1J/C源電荷為有限大小，一般以源電荷為有限大小，一般以無窮遠無窮遠為電勢零點。為電勢零點。 實際問題中常選擇地球電勢為零。實際問題中常選擇地球電勢為零。無限擴展的源電荷無限擴展的源電荷( (如無限長帶電圓柱面如無限長帶電圓柱面) )只能選在只能選在有限區域內的任一點為電勢零點。有限區域內的任一點為電勢零點。實際實際應用中或研

30、究電路問題時取應用中或研究電路問題時取大地大地、儀器、儀器外殼外殼等等第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章 一般情況下，一般情況下，電勢是場源電荷和空間位置的函數電勢是場源電荷和空間位置的函數，當電勢，當電勢分布已知時，可以方便地求出電荷分布已知時，可以方便地求出電荷q0在電場中某點的電勢能在電場中某點的電勢能和在電場中移動電荷和在電場中移動電荷q0時靜電場力作的功。時靜電場力作的功。 電勢差是電勢差是絕對絕對的，與電勢零點的選擇無關；的，與電勢零點的選擇無關； 電勢大小是電勢大小是相對相對的，與電勢

31、零點的選擇有關。的，與電勢零點的選擇有關。 靜電場中靜電場中A、B兩點電勢差兩點電勢差UAB，在數值上等于把單位正電，在數值上等于把單位正電荷從荷從A點移到點移到B點時，靜電場力所作的功。點時，靜電場力所作的功。ABABdABUVVEl2. 2. 電勢差電勢差U UABAB=V=VA A-V-VB B000ABABBAWqVqVqUa0paVqE第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章u點電荷場的電勢公式：點電荷場的電勢公式：球對稱球對稱電勢是標量電勢是標量, , 正、負由正、負由q的正負而定的正負而定（

32、以無限遠為電勢零點）（以無限遠為電勢零點）與半徑成反比；與半徑成反比；rldEdrrqr 204 rqV04 qPrEl d PPl dEVrderqrr420五五. . 電勢的電勢的計算計算第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章電勢的疊加原理電勢的疊加原理-標量疊加標量疊加iiiniiiniinrqrqVVVVV0021414.u1.1.點電荷系點電荷系( (q1,q2. qn), ,電場中任一點的電勢：電場中任一點的電勢：為第為第i個電個電荷到場點荷到場點P的距離的距離ir在點電荷系的電場中，任一點

33、的電勢等于各點在點電荷系的電場中，任一點的電勢等于各點電荷單獨存在時激發的電場在該點電勢的代數電荷單獨存在時激發的電場在該點電勢的代數和。和。 靜電場的電勢疊加原理靜電場的電勢疊加原理第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理第三節第三節 靜電場的環路定理靜電場的環路定理 電勢電勢 第四章第四章 rqdV041 u 2. 2. 任意形狀有限區域任意形狀有限區域電荷連續分布電荷連續分布的帶電體，的帶電體， 在任意場點的電勢：在任意場點的電勢：r是電荷元是電荷元 到場點的距離到場點的距離qd分割成電荷元分割成電荷元dq, 對帶電體進行積分：對帶電體進行積分：rqdVd410VQd

34、qp積分是對各電荷元求和：積分是對各電荷元求和：lSVdddqd體體 面面 線線 其步驟為：其步驟為： 將帶電體劃為許多電荷元將帶電體劃為許多電荷元dq。 選擇無窮遠處為電勢零點，選擇無窮遠處為電勢零點， 寫出電荷元寫出電荷元dq在場點的電勢在場點的電勢dV。 由電勢疊加原理求由電勢疊加原理求V。1. 1. 利用電勢疊加原理求解利用電勢疊加原理求解六六. . 電勢的計算方法電勢的計算方法計算電勢常用的方法有兩種。計算電勢常用的方法有兩種。1.1.電勢疊加原理電勢疊加原理2.2.由電勢的定義求由電勢的定義求 rqdV041 前提：已知空間電荷的分布；前提：已知空間電荷的分布； 補充例題：補充例題

35、： 點電荷點電荷q1，q2，q3，q4, 各為各為4.0 10-9C，放置在一正方形，放置在一正方形的四個頂角上，各頂角與正方形中心的四個頂角上，各頂角與正方形中心O的距離為的距離為5.0cm,(1).計算計算O點的電勢；點的電勢；(2).將試驗電荷將試驗電荷q01.010-9C從無窮遠處移到從無窮遠處移到O點，電場力點，電場力作功多少？作功多少？(3).電勢能改變多少？是增加還是減少？電勢能改變多少？是增加還是減少？解解:1).:1).根據電勢疊加原理，四個電荷在中心根據電勢疊加原理，四個電荷在中心O O點產生的電勢點產生的電勢相等，且：相等，且：(V)102.7100.5100.4100.

36、9r4qU22990i O O點的總電勢：點的總電勢：(V)321088210274 .UUi(2).(2).電場力作的功電場力作的功 (J) 6-108821088201001390 .UUqAo(3).(3).電場力作負功，電勢能增加；電場力作負功，電勢能增加；例例4-12. 正電荷正電荷q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R的細圓環上的細圓環上。 求圓環求圓環 軸線上距環心軸線上距環心O為為x處點處點P的電勢的電勢。解解 在環上取小段在環上取小段dl，電荷元：，電荷元：2dddqqllR0014142PdddqVrq lrR00114242Pdddlllq lqVVlrRrRoxRqxrP

37、dq000044P qqxVxR VRx，2204PqVxR即： 環心和無窮遠處的電勢環心和無窮遠處的電勢: :類似于點電荷類似于點電荷2. 2. 由電勢的定義求解：由電勢的定義求解： 其步驟為：其步驟為： 確定電場強度確定電場強度 的分布。的分布。 選擇選擇電勢零點電勢零點和和積分路徑積分路徑，其原則是使計算盡，其原則是使計算盡量簡便。量簡便。 由由 (零電勢參考點零電勢參考點)計算計算VA 。E0AdVAVEl前提：已知空間的電場強度分布；前提：已知空間的電場強度分布；QRreroABArrBrdr令令V=0=0，并沿徑向積分。，并沿徑向積分。任一點任一點P P的電勢的電勢VP例例4-10

38、 4-10 求：求：均勻帶電球殼在空間的電勢分布。均勻帶電球殼在空間的電勢分布。真空中一半徑為真空中一半徑為R，帶電帶電Q的球殼。試求：的球殼。試求：(1)(1)球殼外任意點的電勢球殼外任意點的電勢? ?(2)(2)球殼內任意點的電勢球殼內任意點的電勢? ? (3)(3)球殼外兩點間的電勢差球殼外兩點間的電勢差? ?(4)(4)球殼內兩點間的電勢差球殼內兩點間的電勢差? ?解解 由高斯定理可得：由高斯定理可得：20014rr RQEer Rr2200010444PPPPdddddd RARRrRRrRVE rE rE rrQQrrerrrrQR202001444PPPPPP dddd rAQR

39、rVE rE rerrrrQrQrrr球內是一個等勢體球內是一個等勢體球殼外任意點：球殼外任意點：球殼內任意點：球殼內任意點： 可見，帶電球殼為一等勢體，即球殼內各處的可見，帶電球殼為一等勢體，即球殼內各處的 電勢與球殼表面的電勢相等。電勢與球殼表面的電勢相等。均勻帶電球殼內、外的電勢分布均勻帶電球殼內、外的電勢分布曲線如圖。曲線如圖。00(2)044ABAB QQr RUVVRRroV04QRR04Qr球殼外兩點間的電勢差：球殼外兩點間的電勢差：000(1)11()444ABABABAB r RQQQUVVrrrr球殼內兩點間的電勢差：球殼內兩點間的電勢差：例例4-11 4-11 無限長均勻帶電直線。其電荷線密度為無限長均勻帶電直線。其電荷線密度為，求：求：P點的電勢；點的電勢；解解 由高斯定理可得：由高斯定理可得：02rEerPreroBrBrdr取取B B點為零電勢