1、3.1 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 一次可靠度分析法一次可靠度分析法(First Order Reliability Method, FORM)計算結構構件可靠度的基本思路是：首先將結構構計算結構構件可靠度的基本思路是：首先將結構構件功能函數件功能函數Z=g(Xl，X2，Xn)展開成展開成Taylor級數，忽略級數，忽略高階項，僅保留線性項，再利用基本隨機變量高階項，僅保留線性項，再利用基本隨機變量X= (Xl, X2, , Xn)的一階矩、二階矩求取的一階矩、二階矩求取Z的均值的均值z與標準差與標準差z，從而確定結構構件可靠指標。根據功能函數線性化點的取從而確定結構構件可靠指標。根據功

2、能函數線性化點的取法不同以及是否考慮基本隨機變量的分布類型，一次可靠法不同以及是否考慮基本隨機變量的分布類型，一次可靠度分析法分為：度分析法分為：均值一次二階矩法均值一次二階矩法(中心點法中心點法)，改進的一，改進的一次二階矩法次二階矩法(驗算點法驗算點法)和和JC法法。3.1 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理(一元一元): 如果函數如果函數f(x)在含有在含有x0的某個開區間的某個開區間(a，b)內具有直到內具有直到(n+1)階導數，則當階導數，則當x在在(a，b)時，時， f(x)可表示為可表示為(x- x0)的一的一個個n次多項式與一個余項次多項

3、式與一個余項Rn(x)之和：之和：200000( )00(1)100()( )()()()()2!()()( )!( )( )()(1)!nnnnnnfxf xf xfxxxxxfxxxR xnfR xxxnxx是 與 之間某個值一元函數一元函數3.1 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 泰勒公式泰勒公式(二元二元): 設設z=f(x,y)在點在點(x0,y0)的某一鄰域內連續且有直到的某一鄰域內連續且有直到(n+1)階導數，有：階導數，有：00000000( , )(,)()(,)()(,)f x yf xyxxf xyyyf xyxy一次可靠度分析常取前面一次可靠度分析常取前面兩項。即線性項

4、。兩項。即線性項。可以推廣至有可以推廣至有n元情況元情況 2.2.1 均值一次二階矩法均值一次二階矩法2.2 一次可靠度分析法一次可靠度分析法1 、均值一次二階矩法、均值一次二階矩法(中心點法中心點法) 當功能函數包含有多個相互獨立的當功能函數包含有多個相互獨立的正態隨機變量正態隨機變量 X= (Xl, X2, , Xn)，狀態函數為：，狀態函數為：Z=g(Xl，X2，Xn)。隨機變量隨機變量標準差與標準差與其函數標其函數標準差的近準差的近似表達。似表達。 3.1.1 均值一次二階矩法均值一次二階矩法3.1 一次可靠度分析法一次可靠度分析法1 、均值一次二階矩法、均值一次二階矩法(中心點法中心

5、點法) 計算步驟：計算步驟： 當功能函數包含有多個相互獨立的當功能函數包含有多個相互獨立的正態隨機變量正態隨機變量 X= (Xl, X2, , Xn)，狀態函數為：，狀態函數為：Z=g(Xl，X2，Xn)。 (1)用各隨機變量的均值代入功能函數，得出功能函數的均用各隨機變量的均值代入功能函數，得出功能函數的均值值Z； (2)求功能函數求功能函數 的標準差的標準差Z； (3)求求和和Pf。將隨機將隨機變量的變量的均值代均值代入入 例題：可靠度分析例題：可靠度分析解：結構基本變量為解：結構基本變量為fy和和d，荷載極限狀態方程：，荷載極限狀態方程：右圖所示圓截面直桿，承受拉力右圖所示圓截面直桿，承

6、受拉力P=100KN，已知，已知材料的強度設計值材料的強度設計值fy的均值的均值fy=290MPa，標準差，標準差fy=25MPa，桿直徑，桿直徑d的均值的均值d=30mm，標準差，標準差d=3mm，求此桿的可靠指標。，求此桿的可靠指標。 例題：可靠度分析例題：可靠度分析解：結構基本變量為解：結構基本變量為fy和和d，應力極限狀態方程：，應力極限狀態方程：右圖所示圓截面直桿，承受拉力右圖所示圓截面直桿，承受拉力P=100KN，已知，已知材料的強度設計值材料的強度設計值fy的均值的均值fy=290MPa，標準差，標準差fy=25MPa，桿直徑，桿直徑d的均值的均值d=30mm，標準差，標準差d=

7、3mm，求此桿的可靠指標。，求此桿的可靠指標。 均值一次二階矩法簡單，使用方均值一次二階矩法簡單，使用方便。但存在缺陷：其一是對同樣條件便。但存在缺陷：其一是對同樣條件下的同一結構，若采用不同的功能函下的同一結構，若采用不同的功能函數來描述結構的同一功能要求，將得數來描述結構的同一功能要求，將得出不同的出不同的值；其二是選取基本隨機值；其二是選取基本隨機變量均值點作為功能函數的線性化點變量均值點作為功能函數的線性化點來求取來求取將產生較大誤差。將產生較大誤差。 3.1.1 均值一次二階矩法均值一次二階矩法3.1 一次可靠度分析法一次可靠度分析法2 、可靠指標、可靠指標的幾何意義的幾何意義 設設

8、Z=g(Xl，X2，Xn)是線性函數，極限狀態方程為：是線性函數，極限狀態方程為：2 1/22 1/211(|) () XiiinnzXiXiiigaXD(AX+BY)=A2D(X)+B2D(Y) 3.1.1 均值一次二階矩法均值一次二階矩法3.1 一次可靠度分析法一次可靠度分析法2 、可靠指標、可靠指標的幾何意義的幾何意義 將將Xl，X2，Xn作作標準化標準化變換：變換：iiiXiXXUUi在在空間的均值為零，標準差為空間的均值為零，標準差為1。有：。有：iiiXiXXU原結構極限狀態方程：原結構極限狀態方程：在在空間極限狀態方程：空間極限狀態方程： 3.1.1 均值一次二階矩法均值一次二階

9、矩法3.1 一次可靠度分析法一次可靠度分析法2 、可靠指標、可靠指標的幾何意義的幾何意義 該方程表示該方程表示U空間中的一個空間中的一個超平面超平面。由解析幾何知識。由解析幾何知識可知，在可知，在U空間中坐標原點空間中坐標原點(即中心點即中心點M)到此極限狀態超平到此極限狀態超平面的距離為：面的距離為：在在空間極限狀態方程：空間極限狀態方程：兩維情況：兩維情況：Z=R-S 3.1.1 均值一次二階矩法均值一次二階矩法3.1 一次可靠度分析法一次可靠度分析法2 、可靠指標、可靠指標的幾何意義的幾何意義 上式說明了可靠上式說明了可靠指標指標的幾何意義：的幾何意義：指在經過標準化變換指在經過標準化變

10、換得到的得到的U空間中，從空間中，從坐標原點坐標原點(即中心點即中心點O)到相應的極限狀態超到相應的極限狀態超平面的距離。當結構平面的距離。當結構的功能函數為非線性的功能函數為非線性函數時，可以得出相函數時，可以得出相同的結論。中心點在同的結論。中心點在可靠區內，它離開極可靠區內，它離開極限狀態超平面越遠，限狀態超平面越遠，表明結果越可靠。表明結果越可靠。 3.2.1 改進的一次二階矩法改進的一次二階矩法3.2 一次可靠度分析法一次可靠度分析法-(改進一次二階矩法改進一次二階矩法) 針對均值一次二階矩法將功能函數線性化點取作基本隨機針對均值一次二階矩法將功能函數線性化點取作基本隨機變量均值點帶

11、來的問題，改進的一次二階矩法將功能函數線性變量均值點帶來的問題，改進的一次二階矩法將功能函數線性化點取在設計驗算點，從而提高了計算化點取在設計驗算點，從而提高了計算的精度，并保證了對的精度，并保證了對同一結構問題同一結構問題的唯一性。改進的一次二階矩法也稱為驗算點的唯一性。改進的一次二階矩法也稱為驗算點法。法。 當極限狀態方程中包含有多個當極限狀態方程中包含有多個相互獨立相互獨立的的正態隨機變量正態隨機變量X= (Xl, X2, , Xn)，假設方程為：，假設方程為：Z=g(Xl，X2，Xn)=0，則此，則此超曲面超曲面Z=0上距離中心點上距離中心點M=(X1，X2，Xn)最近的點最近的點P=

12、(x1，x2 ， ，xn)為設計驗算點，簡稱驗算點。顯然，為設計驗算點，簡稱驗算點。顯然， xi(I=1，2，n)滿足極限狀態方程：滿足極限狀態方程：*12(,)0nZg x xx 3.2.1 改進的一次二階矩法改進的一次二階矩法3.2 一次可靠度分析法一次可靠度分析法*12(,)0nZg x xx*11(,)()()inniXiZig xxg xx偏導數在驗算點的值偏導數在驗算點的值 3.2.1 改進的一次二階矩法改進的一次二階矩法3.2 一次可靠度分析法一次可靠度分析法結構可靠指標為：結構可靠指標為：引入靈敏系數引入靈敏系數i i靈敏系數靈敏系數i i實際上是各基本變量的實際上是各基本變量

13、的不定性對可靠度影響的不定性對可靠度影響的“權權”，有：，有：于是有：于是有：*11*1(,)()()()iinniXiiniXiig xxg xxg x 上式展開：上式展開：*12(,)0nZg x xx 3.2.1 改進的一次二階矩法改進的一次二階矩法3.2 一次可靠度分析法一次可靠度分析法*11*1(,)()()()iinniXiiniXiig xxg xxg x 上式展開：上式展開：g(xi*) 0，必有：，必有：有有x1，x2 ， ，xn和和的方程組的方程組(n+1)：解方程組可得驗算點解方程組可得驗算點P*=(x1，x2 ， ，xn)和和值。但這值。但這僅是理論上的結論，實際上僅是

14、理論上的結論，實際上求解此方程組是相當困難的。求解此方程組是相當困難的。通常在給定通常在給定Xi的統計參數的統計參數Xi，Xi后，進行迭代運算，求出后，進行迭代運算，求出xi*和和的近似值。的近似值。 3.2.1 改進的一次二階矩法改進的一次二階矩法3.2 一次可靠度分析法一次可靠度分析法改進的一次二階矩法迭代步驟：改進的一次二階矩法迭代步驟：(第第1步：步：假定假定=2.0)；第第2步：步：設驗算點為設驗算點為xi*，i=1,2,n，第一步取基本變量，第一步取基本變量平均值平均值xi*=Xi；第第3步：步：計算非正態隨機變量計算非正態隨機變量的當量正態分布均值和標準差；的當量正態分布均值和標

15、準差；第第4步：步：計算偏導數計算偏導數 在在驗算點驗算點xi*的值；的值；第第5步：步：計算靈敏系數計算靈敏系數i在驗算在驗算點點xi*的值；的值；第第6步：步：計算驗算點計算驗算點xi*新值新值 重復步驟重復步驟36，直到靈敏系數，直到靈敏系數i i收斂收斂(前后兩次的之差的絕對值前后兩次的之差的絕對值小于小于0.005)。一旦。一旦i i 收斂，就收斂，就把把作為未知參數。如果不檢驗作為未知參數。如果不檢驗的收斂性，則刪除第的收斂性，則刪除第1步。步。第第7步：步：將將視為未知數，把視為未知數，把xi*值代入極限狀態方程，解方程值代入極限狀態方程，解方程得出得出值，并計算設計驗算點值，并

16、計算設計驗算點xi*的新值。的新值。第第8步：步：重復步驟重復步驟27，直至前，直至前后兩次算出的后兩次算出的值之差小于允許值之差小于允許誤差誤差(一般一般 0.01)*|ixigX代入當量代入當量標準差。標準差。代入當代入當量均值。量均值。 3.2.2 JC法法3.2 一次可靠度分析法一次可靠度分析法-JC法法 1、當量正態化、當量正態化 一次二階矩法適用于結構功能函數所含隨機變量為一次二階矩法適用于結構功能函數所含隨機變量為獨立獨立、正態變量正態變量情況。但在可靠性分析中，極限狀態方程常常包含非情況。但在可靠性分析中，極限狀態方程常常包含非正態分布的隨機變量。正態分布的隨機變量。 JC法的

17、基本思路是：法的基本思路是：對非正態變量當量正態化，將其轉換對非正態變量當量正態化，將其轉換為等效正態隨機變量，即可利用一次二階矩法求結構可靠指標。為等效正態隨機變量，即可利用一次二階矩法求結構可靠指標。 “當量正態化當量正態化”的條件是：的條件是： (1)在設計驗算點在設計驗算點xi處，非正態變量處，非正態變量Xi(其均值為其均值為Xi，標準，標準差為差為Xi)的分布函數值的分布函數值FXi(xi)與當量正態變量與當量正態變量Xi(其均值為其均值為Xi，標準差為標準差為Xi)的分布函數值的分布函數值Fxi(xi)相等；相等； (2)在設計驗算點在設計驗算點xi處，非正態變量處，非正態變量Xi

18、的概率密度函數值的概率密度函數值fXi(xi)與當量正態變量與當量正態變量Xi的概率密度函數值的概率密度函數值fXi(xi)相等。相等。 根據以上兩個條件可以計算出當量正態分布的均值和標準根據以上兩個條件可以計算出當量正態分布的均值和標準差。差。 3.3.1 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 1、當量正態化、當量正態化 非正態分非正態分布函數布函數當量正態當量正態分布函數分布函數第一個條件：分布函數相等。第一個條件：分布函數相等。 3.3.1 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 1、當量正態化、當量正態化 非正態非正態分布密分布密度函數度函數當量正態當量正態分布密

19、度分布密度函數函數第二個條件：分布密度函數相等。第二個條件：分布密度函數相等。2*2*/2() /2()()121( )2iiiiiXiXiiXXiXXxxxfxxef xe標準正態分布: ( )正態分布密度函數: 3.3.1 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 1、當量正態化、當量正態化 非正態非正態分布密分布密度函數度函數當量正態當量正態分布密度分布密度函數函數第二個條件：分布密度函數相等。第二個條件：分布密度函數相等。 3.3.1 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 1、當量正態化、當量正態化 當量正態化分析步驟：當量正態化分析步驟：(1)根據分布密度函數相等

20、得出當量正態分布的標準差。根據分布密度函數相等得出當量正態分布的標準差。(2)根據分布函數相等得出當量正態分布的均值。根據分布函數相等得出當量正態分布的均值。將驗算點將驗算點xi代入非正態分布函數，得一計代入非正態分布函數，得一計算值，反查正態分布表，將該值代入標準算值，反查正態分布表，將該值代入標準正態分布密度函數得分子值。將驗算點正態分布密度函數得分子值。將驗算點xi代入非正態分布密度函數，得分母值。代入非正態分布密度函數，得分母值。(2)在極限狀態方程中，非正態隨機變量的當量正態的均在極限狀態方程中，非正態隨機變量的當量正態的均值和標準差求得后，即將問題化為正態變量的情形。值和標準差求得

21、后，即將問題化為正態變量的情形。前提條件是必須得出前提條件是必須得出非正態分布的分布函非正態分布的分布函數和分布密度函數。數和分布密度函數。 3.3.1 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 1、當量正態化、當量正態化 對于對數正態分布變量對于對數正態分布變量Xi，其分布，其分布函數和分布密度函數為：函數和分布密度函數為：分布密度函數：分布密度函數：在正態分布公式中令在正態分布公式中令z=(t-)/，可將隨機變，可將隨機變量量X標準化，標準化后的隨機變量標準化，標準化后的隨機變量z服從服從標準正態分布。標準正態分布。( )()tz 分布函數：對數正態分布的密度函數為：對數正態分布的

22、密度函數為：正態分布的密度函數為：正態分布的密度函數為： 3.3.1 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 1、當量正態化、當量正態化 對于對數正態分布的分對于對數正態分布的分布函數和分布密度函數：布函數和分布密度函數：由公式，當量標準差為：由公式，當量標準差為：*ln1*ln*2ln*ln()()ln(1)()()iiiiiiiiiXXiXiXiXXXiXixFxxxfxfx由公式，當量均值為：由公式，當量均值為：*ln*1*lnlnlnln()()(1 ln)iiiiiiiiXiXiiiXiiXXXXxxFxxxxx正態與對數正態與對數正態分布轉正態分布轉換換P29頁。頁。1*

23、()()iiiXiXXiFxfx*1*()iiiiXiXXxFx關鍵的兩個公式：關鍵的兩個公式：例題：當量正態化例題：當量正態化解：從前面的分析中得到如下公式：解：從前面的分析中得到如下公式：設某隨機變量服從對數正態分布，設某隨機變量服從對數正態分布， 其樣本均值和方差分別為：其樣本均值和方差分別為：試求其當量正態分布的均值試求其當量正態分布的均值Xi 和標準差和標準差Xi。2226.75360.0XXXS*lniiiXXx*ln(1 ln)iiiiXXxx 驗算點驗算點xi即為均值點。題目已知的是樣本的均值和方差，即為均值點。題目已知的是樣本的均值和方差，但公式中為樣本取對數后的均值但公式中

24、為樣本取對數后的均值X X和方差和方差X X 。由。由P29頁：頁：22222()exp(/2)()exp() 1exp(2)XXXXE XXD XS解方程組，可得均值解方程組，可得均值X X和標準差和標準差X X 。2222ln/2ln(1)XXXX2222360ln(1)ln(1)0.64ln/23.0826.75XXXX*ln26.75 0.64iiiXXx*ln(1 ln)26.75(1 ln26.753.08iiiiXXxx）對數當量正態化公式對數當量正態化公式*2ln(1)XiiXx*21 lnln0.5ln(1)iiiXXXxxXi為樣本的均值，為樣本的均值，X為樣本的變異系數為

25、樣本的變異系數xi為驗算點，為驗算點，Xi為當量正態分布的均值，為當量正態分布的均值，Xi為當量正態分布的標準差。為當量正態分布的標準差。例題：改進一次二階矩法例題：改進一次二階矩法解解：1第一次迭代第一次迭代已知極限狀態方程已知極限狀態方程Z=g(B,W)=BW-1140=0，隨機變量，隨機變量B服從對數正態分服從對數正態分布，平均值布，平均值B=38，標準差，標準差B=3.8；隨機變量；隨機變量W服從正態分布，平均服從正態分布，平均值值W=54，標準差，標準差W=2.7。求可靠指標。求可靠指標值。值。 (2)取驗算點取驗算點x1=b=38，x2=W=54(為均值點為均值點)。 (3)對于對

26、于B隨機變量當量正態化，隨機變量當量正態化，B=3.8/38=0.1。*2ln(1)XiiXx*21 lnln0.5ln(1)iiiXXXxx對數正態對數正態分布當量分布當量正態化公正態化公式式3.7905487NB37.810944BN (1)設設=3。 (4) 例題：改進一次二階矩法例題：改進一次二階矩法 (6)計算設計驗算點計算設計驗算點xi的新值：的新值： (5)計算靈敏系數計算靈敏系數i i在設計驗算點的值在設計驗算點的值xi 。重復步驟重復步驟(3)(6)，直到靈敏系數，直到靈敏系數i i收斂收斂(前后兩次的前后兩次的i i之差之差的絕對值小于允許誤差的絕對值小于允許誤差(一般一般

27、0.005)經過三次迭代，經過三次迭代， B B和和W W的值收斂為的值收斂為0.8800674和和0.4748486。此時計算的此時計算的BN=36.698103，標準差，標準差BN=2.8942793； 例題：改進一次二階矩法例題：改進一次二階矩法 (7)將將視為未知數，把視為未知數，把 代入極限狀態方代入極限狀態方程，解方程計算程，解方程計算值，并計算設計驗算點值，并計算設計驗算點xi的新值。的新值。 (8)重復重復(2)(7)步，直到前后兩次計算得到的步，直到前后兩次計算得到的相差小于相差小于 0.01。3.262-184.36 +841.7=0兩個解：一個為兩個解：一個為5.002，

28、另一，另一個為個為51.543，取第一個解，取第一個解例題：例題： 對于對于這種比較這種比較復雜的迭復雜的迭代計算，代計算，一般習慣一般習慣于將計算于將計算結果列成結果列成一個表格一個表格 。 3.3.2 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 2、相關隨機變量的處理、相關隨機變量的處理 對于隨機變量相關的情形，需將它們先變換為相互獨立的對于隨機變量相關的情形，需將它們先變換為相互獨立的變量，然后再運用一次二階矩法或改進的一次二階矩法求可靠變量，然后再運用一次二階矩法或改進的一次二階矩法求可靠指標和失效概率。指標和失效概率。將相關變量變換為不相關變量的方法是：通將相關變量變換為不相關

29、變量的方法是：通過正交變換。過正交變換。 (1)相關正態隨機變量的情況相關正態隨機變量的情況 假設相關正態基本隨機變量假設相關正態基本隨機變量Xi=( X1,X2,Xn)，其協方差矩，其協方差矩陣為：陣為： 3.3.2 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 2、相關隨機變量的處理、相關隨機變量的處理 相關正態基本隨機變量相關正態基本隨機變量Xi=( X1,X2,Xn)，其協方差矩陣為：，其協方差矩陣為：如果如果Xi=( X1,X2,Xn)是不相關正態基本隨機變量，其協方差是不相關正態基本隨機變量，其協方差矩陣為：矩陣為：12()000()000()XnVar XVar XCVar

30、X 3.3.2 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 2、相關隨機變量的處理、相關隨機變量的處理 若若Xi=( X1,X2,Xn)轉換為不相關隨機變量轉換為不相關隨機變量Yi=( Y1,Y2,Yn) ，令：，令：將將X值代入極限狀態方程值代入極限狀態方程Z=g(X1,X2,Xn)=0，得，得:Z=f (Y1,Y2,Yn)=0式中：式中：A是正交矩陣，表示是正交矩陣，表示D=ATCXAD矩陣為特征向量構成的矩陣，其對角上的值為對應不相矩陣為特征向量構成的矩陣，其對角上的值為對應不相關隨機變量的方差。關隨機變量的方差。D即為不相關隨機變量的協方差矩陣。即為不相關隨機變量的協方差矩陣。1

31、 ( ) TTYAXXAY TTXE YAE XD YACAMatlab求解式為：求解式為：V,D=eig(C)C=3 6 1;6 4 0;1 0 2A,D=eig(C) 3.3.2 JC法法3.3 一次可靠度分析法一次可靠度分析法 2、相關隨機變量的處理、相關隨機變量的處理 由由Xi=( X1,X2,Xn)相關隨機變量轉換為不相關相關隨機變量轉換為不相關隨機變量隨機變量Yi=( Y1,Y2,Yn)的方法與步驟：的方法與步驟：(1)根據相關隨機變量根據相關隨機變量Xi的協方差矩陣的協方差矩陣CX，求得特征值矩，求得特征值矩陣陣D(即不相關隨機變量辦方差矩陣即不相關隨機變量辦方差矩陣)和正交矩陣

32、和正交矩陣A，由，由D可求得不相關隨機變量的方差。可求得不相關隨機變量的方差。由由 可得不相關隨機變量的均值。可得不相關隨機變量的均值。(2)由由X=(AT)-1Y，可得出，可得出Xi，將其代入極限狀態方程，將其代入極限狀態方程Z=g(X1,X2,Xn)=0，得，得:Z=f (Y1,Y2,Yn)=0Z即為由不相關隨機變量構成的極限狀態方程。即為由不相關隨機變量構成的極限狀態方程。 TE YAE X例題：例題：JC法法 有一極限狀態方程為：有一極限狀態方程為：Z=50+5X1-4X2-2X3+X4，四個變量均為，四個變量均為正態分布，正態分布， X1，X2，X3為相關變量且協方差矩陣為：為相關變

33、量且協方差矩陣為： 均值均值 標準差標準差X1 15 3.5X2 10 3.0X3 15 2.5X4 5 1.5 協方差矩陣：協方差矩陣： X1 X2 X3 X1 12.25 -5 2X2 -5 9 -4X3 2 -4 6.25 求系統可靠性指標：求系統可靠性指標：(1)假設沒有相關影響；假設沒有相關影響；(2)考慮相關影響。考慮相關影響。 解：解：(1)假設沒有相關影響：用假設沒有相關影響：用yi=(Xi-Xi)/Xi進行標準化處理。進行標準化處理。Z=50+5(y11+1)-4 (y22+2)-2 (y33+3)+ (y44+4) =60+17.5y1 -12y2-5y3+1.5y4可靠指

34、標可靠指標的迭代過程為：的迭代過程為： y1 y2 y3 y4 Z 1 0 0 0 0 0 60 2 -2.20 1.51 0.63 -0.19 2.75 0.0 3 -2.2 1.51 0.63 -0.19 2.75 0.0例題：例題：JC法法 解：解： (2)考慮相關影響考慮相關影響由協方差矩陣可得由協方差矩陣可得A和和D 協方差矩陣：協方差矩陣： X1 X2 X3 X1 12.25 -5 2X2 -5 9 -4X3 2 -4 6.25C=12.25 5 2; -5 9 4; 2 -4 6.25A,D=eig(C)D=3.1233 0 0 0 7.0280 0 0 0 17.3487A=0

35、.2068 0.6596 -0.7226 0.6646 0.4473 0.5985 0.7180 -0.6040 -0.34591233.12331.7673;7.02802.651;17.34874.1652YYY TE YA E XEX=15; 10; 15EY=A*EX EY=20.5178; 5.3071; -10.0427 將將Y標準化標準化yi=(Yi-Yi)/Yi:112233y +11.60970.0178 0.0572 0.0618 y +2.0012 0.3296 0.2235 -0.3018 0.2997 -0.2482 0.1435 y -2.4111XXX112233

36、y +11.60972.4006 1.3200 1.7423 7.7161 0.8951 -1.4430 y +2.0012 8.3357 -1.2087 0.8340 y -2.4111XXX例題：例題：JC法法 將將X代入至極限狀態方程：代入至極限狀態方程： 得得Z=50+5X1-4X2-2X3+X4=60+21.96y1+7.072y2-5.33y3+1.5y4112233y +11.60972.4006 1.3200 1.7423 7.7161 0.8951 -1.4430 y +2.0012 8.3357 -1.2087 0.8340 y -2.4111XXX Z極限狀態方程中極限狀

37、態方程中yi各變量不相關，且得出了其均值與方各變量不相關，且得出了其均值與方差，可用均值一次二階矩法求解可靠指標。差，可用均值一次二階矩法求解可靠指標。可靠指標可靠指標的迭代過程為：的迭代過程為： y1 y2 y3 y4 Z 1 0 0 0 0 0 60 2 -2.34 0.75 0.57 -0.16 2.53 0.0 3 -2.34 0.75 0.57 -0.16 2.53 0.0 可以看出，考慮相關影響時，可靠指標為可以看出，考慮相關影響時，可靠指標為2.53，不考慮相，不考慮相關影響時，可靠指標增加，為關影響時，可靠指標增加，為2.753.4 混沌優化可靠度分析法混沌優化可靠度分析法 3

38、.4.1 混沌優化混沌優化混沌優化是利用混沌優化是利用Logistic 迭代方程迭代方程Xn+1=uXn(1-Xn)遍歷遍歷(0,1)區間的混區間的混沌特性，用來搜索最優解的方法。沌特性，用來搜索最優解的方法。Logistic 迭代方程中迭代方程中u=4時，系統進入完全混沌狀態。時，系統進入完全混沌狀態。 6 . 00 x5 . 3u8 . 00 x0 . 4uMatlab模擬程序模擬程序x1=0.8u=4for i=1:100 x1=u*x1*(1-x1) y(i)=x1endplot(1:100,y,*)hold onplot(1:100,y,-)3.4 混沌優化可靠度分析法混沌優化可靠度

39、分析法 3.4.1 混沌優化混沌優化迭代方程迭代方程Xn+1=4Xn(1-Xn)遍歷遍歷(0,1)區間的混區間的混沌特性，用來搜索最優解的方法。沌特性，用來搜索最優解的方法。如求方程：如求方程：f1=x2-32X+10的極小值。的極小值。步驟：步驟：1)賦初值賦初值wmin=10000;2)迭代初值迭代初值x1=0.82；3)混沌搜索區間混沌搜索區間10,20， xx1=a1+(a2-a1)*x1 ；4)搜索最優解搜索最優解200次；次；當計算當計算f1wmin側放棄記錄；直到搜索達到側放棄記錄；直到搜索達到200次。次。 %搜索最優解搜索最優解wmin=1000000 x1=0.82a1=1

40、0a2=20for ii=1:200 x1=x1*4*(1-x1) xx1=a1+(a2-a1)*x1 f1=xx1.2-32*xx1+10 if f1wmin rx=xx1 wmin=f1 endend%畫圖畫圖for i=1:160 xx2=i*0.2 ff1(i)=xx2.2-32*xx2+10 j(i)=xx2endplot(j,ff1,-)設功能函數設功能函數Z=R-S，R和和S均為正態分布，均為正態分布，R均值為均值為3，方差為，方差為1，S均值為均值為2，方差為，方差為1。 值的幾何意義是中心點值的幾何意義是中心點M至至P*點的最近距點的最近距離。離。22321/22RSRS22

41、3SR1P*3.4 混沌優化可靠度分析法混沌優化可靠度分析法 3.4.2 混沌優化計算結構可靠度混沌優化計算結構可靠度%搜索最優解搜索最優解bt=10000 x1=0.512a1=0a2=4for ii=1:200 x1=x1*4*(1-x1) xx1=a1+(a2-a1)*x1 f1=sqrt(xx1-2)2+(xx1-3)2) if f1bt rx=xx1 bt=f1 endendM計算方法與步驟：計算方法與步驟：(1)取初始值取初始值wmin，迭代，迭代x0值值(有有m隨機變量取隨機變量取m-1個初始個初始值值)，搜索范圍，迭代次數，搜索范圍，迭代次數N；(2)設設Z=g(X1,X2,X

42、m)=0，有，有m個隨機變量，將方程變為個隨機變量，將方程變為Xm= g(X1,X2,Xm-1)，確保搜索在超平面上進行。，確保搜索在超平面上進行。(3)進行混沌迭代，進行混沌迭代，Vn+1,i=4*Vn,i(1-Vn,i)，i=1,2,(m-1)(4)將搜索值映射到搜索范圍，將搜索值映射到搜索范圍，VVi=a1+(a2-a1)*Vn+1,i； i=1,2,(m-1)(5) 根據根據VVi值，計算值，計算Xm= g(X1,X2,Xm-1)，得到曲平面上，得到曲平面上的搜索點的搜索點P*(VV1，VV1， VVm-1，Xm)(6)計算均值點計算均值點M點至點至P*點的距離，得點的距離，得wz，如

43、果，如果wzwmin，放棄，放棄wz，轉步，轉步(3)，繼續迭代；，繼續迭代；(7)如果迭代達到規定的次數如果迭代達到規定的次數N，wmin即為即為M點至點至P*點的點的最小距離，即最小距離，即=wmin。3.4 混沌優化可靠度分析法混沌優化可靠度分析法 3.4.2 混沌優化計算結構可靠度混沌優化計算結構可靠度例題：混沌優化可靠度分析方法例題：混沌優化可靠度分析方法 有一極限狀態方程為：有一極限狀態方程為：Z=50+5X1-4X2-2X3+X4，四個變量均為正態分布，四個變量均為正態分布， X1，X2，X3為不相關為不相關隨機變量，求系統可靠性指標。隨機變量，求系統可靠性指標。 均值均值 標準

44、差標準差X1 15 3.5X2 10 3.0X3 15 2.5X4 5 1.5 解：用解：用yi=(Xi-Xi)/Xi進行標準化處進行標準化處理。理。Z=50+5(y11+1)-4 (y22+2)-2 (y33+3)+ (y44+4) =60+17.5y1 -12y2-5y3+1.5y4則中心點座標為則中心點座標為(0,0,0,0)，搜索范，搜索范圍圍(-3,2) ，計算程序如右側：，計算程序如右側：可靠指標可靠指標的迭代計算結果為：的迭代計算結果為： y1 y2 y3 y4 Z 1 0 0 0 0 0 60 2 -2.20 1.51 0.63 -0.19 2.75 0.0 3 -2.2 1.

45、51 0.63 -0.19 2.75 0.0wmin=100 x1=0.512;x2=0.485;x3=0.31a1=-3;b1=2;for ii=1:1000 x1=x1*4*(1-x1) xx1=a1+(b1-a1)*x1 x2=4*x2*(1-x2) xx2=a1+(b1-a1)*x2 x3=4*x3*(1-x3) xx3=a1+(b1-a1)*x3 xx4=-(60+17.5*xx1-12*xx2-5*xx3)/1.5 f1=sqrt(xx12+xx22+xx32+xx42) if f1wmin rx=xx1 xx2 xx3 xx4 wmin=f1 endend z=60+17.5*x

46、x1-12*xx2-5*xx3+1.5*xx4 蒙特卡洛蒙特卡洛(Monte Carl)法又稱隨機模擬法或統計試驗法又稱隨機模擬法或統計試驗法，它源于第二次世界大戰期間，法，它源于第二次世界大戰期間，Von Neuman和和Ulam在在對裂變物質的中子隨機擴散進行直接模擬中，以世界聞名對裂變物質的中子隨機擴散進行直接模擬中，以世界聞名的賭城蒙特卡洛作為該研究的秘密稱呼而得名。的賭城蒙特卡洛作為該研究的秘密稱呼而得名。 設功能函數設功能函數Z=g(X1,X2,Xn)，式中：，式中：Xi(i=1,2,n)為為具有任意分布的隨機變量。對具有任意分布的隨機變量。對Xi進行進行N次抽樣，得次抽樣，得N組

47、組Xij(i=1,2,n；j=1,2,N)隨機變量樣本。將第隨機變量樣本。將第j組的組的Xij (i=1,2,n)的值代入功能函數的值代入功能函數Zj=g(X1,X2,Xn) ，如果，如果N個個Zj值中有值中有Nf個個Zj00，則結構失效的概率為：，則結構失效的概率為：3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.1 蒙特卡洛模擬的基本原理蒙特卡洛模擬的基本原理/fffPPNN 當當N時，根據伯努利大數定理，時，根據伯努利大數定理，Pf=Nf/N。 與其它可靠性分析方法相比，蒙特卡羅模擬應重點解與其它可靠性分析方法相比，蒙特卡羅模擬應重點解決決兩個基本問題兩個基本問題：一是模擬的精度和效率，這主要

48、涉及隨：一是模擬的精度和效率，這主要涉及隨機抽樣數機抽樣數N，二是任意分布隨機變量的隨機抽樣方法。，二是任意分布隨機變量的隨機抽樣方法。 由于隨機抽樣試驗是概率為由于隨機抽樣試驗是概率為p的伯努利試驗，所以估的伯努利試驗，所以估計值計值Pf的期望為：的期望為：3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.2 蒙特卡洛模擬的精度和效率蒙特卡洛模擬的精度和效率()(/)ffE PE NNpK/2為標準正態分布的百分位值，為標準正態分布的百分位值， K/2與與的關系為：的關系為： K/20.01 2.57580.02 2.32630.05 1.96Pf的方差為：的方差為：()()(1)/ffVar NV

49、ar PppNNPf的標準差為：的標準差為：(1)/fPppN(1)/ppN是伯努利試是伯努利試驗的方差。驗的方差。根據概率統計檢驗，顯著水平為根據概率統計檢驗，顯著水平為的置信區間為的置信區間為/21ffPPpPK 3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.2 蒙特卡洛模擬的精度和效率蒙特卡洛模擬的精度和效率由由/21ffPPpPK 誤差誤差為：為：/2/21(1)ffPPppKKpppN需要的試驗次數為需要的試驗次數為/ 222(1)KpNp當當p較小時，所需的試驗次數較小時，所需的試驗次數N較大，隨著較大，隨著N的增大，誤差的增大，誤差減小并趨于收斂。當減小并趨于收斂。當p=0.001，

50、 =20， K/2=1.96 2時時222 (1 0.001)999000.2 *0.001N當當p=0.1， =20， K/2=1.96 2時時222 (1 0.1)9000.2 *0.1N3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.3 蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法 隨機變量的抽樣是通過產生隨機數的方法來完成。通常隨機變量的抽樣是通過產生隨機數的方法來完成。通常要分兩步進行：要分兩步進行： (1)產生在區間產生在區間0,1上的均勻分布隨機數；上的均勻分布隨機數； (2)變換成給定分布的隨機數。變換成給定分布的隨機數。 人們已提出了各種數學方法產生均勻分布隨機數，

51、例如人們已提出了各種數學方法產生均勻分布隨機數，例如取中法、加同余法、乘同余法、混合同余法和組合同余法。取中法、加同余法、乘同余法、混合同余法和組合同余法。 1、混合同余法產生偽隨機數的方法為：、混合同余法產生偽隨機數的方法為：3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.3 蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法1、混合同余法產生偽隨機數的方法為：、混合同余法產生偽隨機數的方法為：如果如果M=16,a=5,c=2,x0=7i xi axi+c mod(axi+c,16) ui1 7 38 6 6/162 6 33 1 1/163 1 8 8 8/164 8 43 11 11

52、/16.要求要求c與與M互為質互為質數；若數；若M能被能被4整除，則整除，則a-1也也能被能被4整除。整除。x1=7;a=5;c=3;m=16for i=1:40 x1=mod(x1*a+c),m) xx(i)=x1 jj(i)=iendplot(jj,xx,-)hold onplot(jj,xx,*)3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.3 蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法2、正態分布隨機數產生、正態分布隨機數產生如果如果M=16,a=5,c=3,x0=7x1=7;a=5;c=3;m=16for i=1:40 x1=mod(x1*a+c),m) if x11

53、x1=7 end xx(i)=x1 jj(i)=iendu=xx/16for i=1:2:30 x(i)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*cos(2*pi*u(i+1) x(i+1)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*sin(2*pi*u(i+1) j(i)=i j(i+1)=i+1endplot(j,x,-)hold onplot(j,x,*)產生產生40個標準正態隨機數個標準正態隨機數3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.3 蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法2、正態分布隨機數產生、正態分布隨機數產生如果如果M=16,a=5,c=3,x0=7正態

54、分布均值為正態分布均值為100,標準差為標準差為20 x1=7;a=5;c=3;m=16for i=1:40 x1=mod(x1*a+c),m) if x11 x1=7 end xx(i)=x1 jj(i)=iendu=xx/16for i=1:2:30 x(i)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*cos(2*pi*u(i+1)*20+100 x(i+1)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*sin(2*pi*u(i+1)*20+100 j(i)=i j(i+1)=i+1endplot(j,x,-)hold onplot(j,x,*)產生產生30個一般正態分布隨機數個一般正態分布隨機

55、數在正態分布公式中令在正態分布公式中令z=(t-)/，可將隨機變，可將隨機變量量X標準化，標準化后的標準化，標準化后的隨機變量隨機變量z服從標準正態分布。服從標準正態分布。則：則：t=+z3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.3 蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法3、對數正態分布隨機數產生、對數正態分布隨機數產生 對數正態分布隨機數可以由正態分布隨機數轉化而來。假設對數正態分布隨機數可以由正態分布隨機數轉化而來。假設隨機變量隨機變量X服從對數正態分布，則隨機變量服從對數正態分布，則隨機變量Y=lnX服從正態分布。服從正態分布。Y的標準差和變異系數可以由的標準差和變

56、異系數可以由X的標準差和變異系數求得：的標準差和變異系數求得： 然后根據正態分布隨機數產生的方法求得然后根據正態分布隨機數產生的方法求得Y的隨機數的隨機數yi，則，則xi服從對數正態分布的隨機數為服從對數正態分布的隨機數為xi=exp(yi)。22ln(1)ln(/ 1)YXYXX3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.3 蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法3、對數正態分布隨機數產生、對數正態分布隨機數產生 對數正態分布隨機數產生隨機數方法如下：對數正態分布隨機數產生隨機數方法如下：(1)首先求相應正態分布的均值和標準差。首先求相應正態分布的均值和標準差。22ln(

57、1)ln(/ 1)YXYXX(3)xi服從對數正態分布的隨機數為服從對數正態分布的隨機數為xi=exp(yi)。(2)產生正態分布隨機變量產生正態分布隨機變量一般正一般正態分布態分布1112lncos(2)2lnsin(2)iYYiiiYYiiyuuyuu111exp2lncos(2)exp2lnsin(2)iYYiiiYYiixuuxuu3.5 蒙特卡洛模擬蒙特卡洛模擬 3.5.3 蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法蒙特卡洛模擬的隨機變量抽樣方法2、對數正態分布隨機數與正態分布隨機數產生的區別、對數正態分布隨機數與正態分布隨機數產生的區別如果如果M=16,a=5,c=3,x0=7，樣本均值為，樣

58、本均值為100，標準差為，標準差為20 x1=7;a=5;c=3;m=16for i=1:40 x1=mod(x1*a+c),m) if x11 x1=7 end xx(i)=x1 jj(i)=iendu=xx/16for i=1:2:30 x(i)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*cos(2*pi*u(i+1)*20+100 x(i+1)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*sin(2*pi*u(i+1)*20+100 j(i)=i j(i+1)=i+1endplot(j,x,-)hold onplot(j,x,*)產生產生30個一般正態分布隨機數個一般正態分布隨機數x1=7;a=5;c=3;