1、CALCULUS 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)第一節(jié) 數(shù)列的極限 第二節(jié) 函數(shù)的極限 第三節(jié)極限的運(yùn)算法則 第四節(jié)無窮小與無窮大 第五節(jié) 兩個(gè)重要極限 第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性 第七節(jié) 函數(shù)的間斷點(diǎn)2 微積分是一門以極限為研究手段微積分是一門以極限為研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)學(xué)科. 微積分的許多重要概念微積分的許多重要概念都是建立在極限的理論基礎(chǔ)之上都是建立在極限的理論基礎(chǔ)之上. 本章中主要介紹極限的概念、無本章中主要介紹極限的概念、無窮小與無窮大、極限的運(yùn)算、函數(shù)的窮小與無窮大、極限的運(yùn)算、函數(shù)的連續(xù)性等內(nèi)容連續(xù)性等內(nèi)容.第二章 極限與連續(xù)CALCULUS 3 返回第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列

2、的極限一、數(shù)列的概念一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限性質(zhì)三、數(shù)列極限性質(zhì)問題導(dǎo)言問題導(dǎo)言 極限思想方法的歷史淵源極限思想方法的歷史淵源第一節(jié) 數(shù)列的極限 自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運(yùn)算是自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運(yùn)算是計(jì)算不出來的計(jì)算不出來的, 而必須通過分析一個(gè)無限變化的過程而必須通過分析一個(gè)無限變化的過程的變化趨勢才能求得結(jié)果的變化趨勢才能求得結(jié)果, 這正是極限思想和極限概這正是極限思想和極限概念產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ)念產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ). 極限思想的淵遠(yuǎn)流源極限思想的淵遠(yuǎn)流源, 早在早在2500年前就已產(chǎn)生年前就已產(chǎn)生. 古希臘偉大數(shù)學(xué)家阿基米德古希臘偉大數(shù)

3、學(xué)家阿基米德(Archimedes公元前公元前287212年年)曾用窮竭法解決過曲邊三角形的面積曾用窮竭法解決過曲邊三角形的面積. 公元三世紀(jì)公元三世紀(jì), 我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其所著的我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其所著的九章算術(shù)九章算術(shù)中增用割圓術(shù)解決了圓的面積中增用割圓術(shù)解決了圓的面積.這些方法中都已滲透著極限的思想這些方法中都已滲透著極限的思想.劉徽割圓術(shù)阿基米德窮竭法xoy2xy R一、數(shù)列的概念一、數(shù)列的概念定義定義 按一定順序排列起來的無窮多個(gè)數(shù)按一定順序排列起來的無窮多個(gè)數(shù)稱為稱為數(shù)列數(shù)列.通常稱通常稱 為數(shù)列的第一項(xiàng)為數(shù)列的第一項(xiàng), 為第二項(xiàng)，為第二項(xiàng)， 將第將第n項(xiàng)項(xiàng) 稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)

4、或一般項(xiàng)或一般項(xiàng).數(shù)列可以簡記為數(shù)列可以簡記為 . ，nuuuu ,3211u2ununu，. , , , 3 , 2 , 1 , ) 1 ( nnun即數(shù)列例. ,1 , ,31 ,21 1, 1)2( nnun，即數(shù)列.,) 1( , , 1 , 1 , 1) 1()3(11 nnnu，即數(shù)列數(shù)列數(shù)列 可以理解為關(guān)于正整數(shù)可以理解為關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，的函數(shù)，因此因此, 數(shù)列又稱為數(shù)列又稱為整變量函數(shù)整變量函數(shù), 其定義域是正整數(shù)集其定義域是正整數(shù)集.nu , 2 , 1 )(nnfun， 數(shù)列的幾何表示數(shù)列的幾何表示(1)用數(shù)軸上的點(diǎn)列表示數(shù)列用數(shù)軸上的點(diǎn)列表示數(shù)列.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列

5、與函數(shù)的關(guān)系(2)用坐標(biāo)面上的點(diǎn)表示數(shù)列用坐標(biāo)面上的點(diǎn)表示數(shù)列. nn1. ,1 , ,31 ,21 1, 數(shù)列例觀察下列數(shù)列的變化趨勢觀察下列數(shù)列的變化趨勢.二、數(shù)列的極限 數(shù)列的變化趨勢數(shù)列的變化趨勢, 可以通過平面直角坐標(biāo)系上的圖可以通過平面直角坐標(biāo)系上的圖形來直觀表示形來直觀表示.) 1(1 ) 1 (nunn21 )2(nnu (3)當(dāng)當(dāng)n 無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， 沒有確定的變化趨勢沒有確定的變化趨勢. (2)當(dāng)當(dāng)n 無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， 無限接近于無限接近于0.nnu211) 1(nnu(1)當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， 無限接近于無限接近于1.nunn) 1(1) 1(

6、)3(1nnu數(shù)列的變化趨勢數(shù)列的變化趨勢2 )4(nun(4)當(dāng)當(dāng)n 無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， 無限增大無限增大.2 nun 定義定義 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 , 若當(dāng)若當(dāng)n無限地增大時(shí)無限地增大時(shí), 無限趨近無限趨近 于某一確定常數(shù)于某一確定常數(shù) A, 則稱常數(shù)則稱常數(shù) A為數(shù)列為數(shù)列 在在 n 趨于無趨于無窮大時(shí)的極限窮大時(shí)的極限. 記為記為nu).( lim nAuAunnn或或nunu, 021limnn. 1) 1(1 (lim nnn觀察幾何圖形可知下述數(shù)列的極限觀察幾何圖形可知下述數(shù)列的極限)()(nunn11 1數(shù)列21)2(nnu 數(shù)列.)()(的極限不存在數(shù)列 1 31nnu 若極

7、限若極限A A存在，則稱數(shù)列存在，則稱數(shù)列 收斂收斂，否則，則，否則，則稱數(shù)列稱數(shù)列 發(fā)散或不收斂發(fā)散或不收斂。nunu11數(shù)列極限定義的精確化數(shù)列極限定義的精確化AunAunnn 時(shí)時(shí)也也即即,lim;,可可以以任任意意小小的的距距離離與與時(shí)時(shí)AuAunnn ;, 正正數(shù)數(shù)可可以以小小于于任任意意給給定定小小的的時(shí)時(shí)Aunn ;, 0 Aunn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對對于于任任意意給給定定的的; , 0 Auunnn都都滿滿足足所所有有的的充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對對于于任任意意給給定定的的; , 0成成立立有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)存存在在正正整整數(shù)數(shù)對對于于任任意意給給定定的的 AuNnNn12)( lim , 0 n

8、AuAuAuAuNnNnnnnn或或，記記為為為為收收斂斂，其其極極限限則則稱稱數(shù)數(shù)列列成成立立恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)存存在在正正整整數(shù)數(shù)若若對對于于任任意意給給定定的的定定義義 數(shù)列極限定義用邏輯語言表述為：數(shù)列極限定義用邏輯語言表述為： AuNnZNAunnn, 0 lim時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)注：正數(shù)注：正數(shù) 具有任意性和給定性，它是用于衡量具有任意性和給定性，它是用于衡量 與與A接近程度的接近程度的. . nu13 極限定義的幾何意義極限定義的幾何意義 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，所有點(diǎn)時(shí)，所有點(diǎn) 全部落在區(qū)間全部落在區(qū)間 內(nèi)，內(nèi)，只有有限多個(gè)（最多只有有限多個(gè)（最多N個(gè)）點(diǎn)落在區(qū)間之外個(gè)）點(diǎn)落在區(qū)間之外. .當(dāng)當(dāng)

9、n無限無限增大時(shí)，區(qū)間增大時(shí)，區(qū)間 向點(diǎn)向點(diǎn)A無限收縮，介于區(qū)無限收縮，介于區(qū)間間 內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)的點(diǎn) 就向就向A無限趨近無限趨近. .nuNn ),(AA),(AA),(AAnuAAA1u2u3u1Nu2Nu14例 證明 2112limnnn分析 因?yàn)?1121122nnnun對于任意給定 ，要使 ，只要0 2nu11n即即可.11n證明 對于任意給定 ，取 0111N時(shí)，當(dāng)Nn 1121122nnnun所以 2112limnnn四、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1(唯一性唯一性) 若數(shù)列若數(shù)列 收斂收斂, 則其極限唯一則其極限唯一.na性質(zhì)性質(zhì)2 (有界性有界性) 收斂數(shù)列必有界收斂數(shù)列必有界.說明說明: (1)無界數(shù)列一定是發(fā)散的無界數(shù)列一定是發(fā)散的.(2) 數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件, 但非充分條件但非充分條件. 例例 數(shù)列數(shù)列 是有界的是有界的, 而而 是發(fā)散的是發(fā)散