1、中南大學數字信號處理實驗報告姓名： 余啟航 班級：通信1204班 學號： 0909123227 指導老師： 李宏 實驗一 常見離散時間信號的產生和頻譜分析一、 實驗目的（1） 熟悉MATLAB應用環境，常用窗口的功能和使用方法；（2） 加深對常用離散時間信號的理解；（3） 掌握簡單的繪圖命令；（4） 掌握序列傅里葉變換的計算機實現方法，利用序列的傅里葉變換對離散信號進行頻域分析。二、 實驗原理（1） 常用離散時間信號a）單位抽樣序列 如果在時間軸上延遲了k個單位，得到即： b）單位階躍序列 c）矩形序列 d）正弦序列e）實指數序列f）復指數序列（2）離散傅里葉變換：設連續正弦信號為這一信號的頻

2、率為，角頻率為，信號的周期為。如果對此連續周期信號進行抽樣，其抽樣時間間隔為T，抽樣后信號以表示，則有，如果令為數字頻率，滿足，其中是抽樣重復頻率，簡稱抽樣頻率。為了在數字計算機上觀察分析各種序列的頻域特性，通常對在上進行M點采樣來觀察分析。 對長度為N的有限長序列x(n), 有其中 通常應取得大一些，以便觀察譜的細節變化。取模可繪出幅頻特性曲線。（3）用DFT進行普分析的三種誤差三種誤差：混疊現象、泄露現象、柵欄效應 a) 混疊現象 當采樣頻率小于兩倍信號（這里指是信號）最大頻率時，經過采樣就會發生頻譜混疊，這使得采樣后的信號序列頻譜不能真實地反映原信號的頻譜。所以在利用DFT分析連續信號的

3、頻譜時，必須注意這一問題。避免混疊現象的唯一方法是保證采樣速率足夠高，使頻譜交疊現象不致出現。也就是說，在確定采樣頻率之前，必須對信號的性質有所了解，一般在采樣前，信號通過一個防混疊低通濾波器。b) 泄漏現象 實際中的信號序列往往很長,為了方便我們往往用截短的序列來近似它們,這樣可以使用較短的DFT來對信號進行頻譜分析,這種截短等價于給原信號序列乘以一個矩形窗函數。泄漏是不能與混疊完全分離開的,因為泄漏導致頻譜的擴散，從而造成混疊。為了減小泄漏的影響，可以選擇適當的窗函數，使頻譜的擴散減到最小。c) 柵欄效應 因為DFT是對單位圓上Z變換的均勻采樣，所以他不可能將頻譜視為一個連續函數。這樣就產

4、生了柵欄效應，就一定意義上看，DFT來觀看頻譜就好像通過一個尖樁的柵欄來觀看一個圖景一樣，只能在離散點上看到真實頻譜，這樣就可能發生一些頻譜的峰點或谷點被“尖樁的柵欄”所擋住，不能被我們觀察到。減小柵欄效應的一個方法就是借助在原序列的末端添補一些零值，從而變動DFT的點數。這一方法實際上是人為地改變了對真實譜采樣的點數和位置，相當于搬動了每一根“尖樁柵欄”的位置，從而使得頻譜的峰點或者谷點暴露出來。當然，這是每根譜線所對應的頻率和原來的不同了。 綜上所述，DFT可以用于信號的頻譜分析，但必須注意可能產生的誤差，在應用過程中要盡可能減少和消除這些誤差的影響。 3、 實驗內容（一）復指數序列t=0

5、:0.01:5;y=K*exp(a*t);plot(t,y),grid ont=0:0.01:3;K=4;a=-3;b=10;y=K*exp(a+i*b)*t);plot(t,y),grid on圖（2） 指數序列K=3;a=2;t=0:0.01:5;y=K*exp(a*t);plot(t,y),grid on圖 （3） 正弦序列K=2;w=2*pi;phi=pi/4;t=0:0.01:3;y=K*sin(w*t+phi);plot(t,y),grid onaxis(0,3,-2.2,2.2) 圖（4） 混疊現象fs=2000;n=1/fs;N=length(t);t=0:n:0.1;x=si

6、n(2*pi*f01*t);plot(t,x);X=fft(x,N);plot（fs/N*(0:N/2-1)）,abs(X(1:N/2)）;f01=500;fs=1200;n=1/fs;N=length(t);t=0:n:0.1;x=sin(2*pi*f01*t);plot(t,x);X=fft(x,N);plot(fs/N*(0:(N/2-1),abs(X(1:(N/2);f01=500;fs=800;n=1/fs;N=length(t);t=0:n:0.1;x=sin(2*pi*f01*t);plot(t,x);X=fft(x,N);plot(fs/N*(0:(N/2-1),abs(X(1

7、:(N/2);（800）（1200）（2000）（5） 截斷效應subplot(2,2,1);n=25;Rn=ones(1,n);wn=Rn;xn=cos(pi./4)*(0:n-1);yn=xn.*wn;N=20;Y=fft(yn,2*N);plot(2*pi/N*(0:N/2-1),abs(Y(1:N/2);title('截斷效應(N=40時)');subplot(2,2,1);n=25;Rn=ones(1,n);wn=Rn;xn=cos(pi./4)*(0:n-1);yn=xn.*wn;N=20;Y=fft(yn,2*N);plot(2*pi/N*(0:N/2-1),ab

8、s(Y(1:N/2);title('截斷效應(N=80時)');subplot(2,2,1);n=25;Rn=ones(1,n);wn=Rn;xn=cos(pi./4)*(0:n-1);yn=xn.*wn;N=20;Y=fft(yn,2*N);plot(2*pi/N*(0:N/2-1),abs(Y(1:N/2);title('截斷效應(N=120時)');（6） 柵欄效應n=4;Rn=ones(1,4),zeros(1,100);xn=Rn;N=16;Xn=fft(xn,N);stem(0:(N-1),abs(Xn(1:N);N=32;Xn=fft(xn,N);

9、stem(0:(N-1),abs(Xn(1:N);N=64;Xn=fft(xn,N);stem(0:(N-1),abs(Xn(1:N);（16點）（32點）（64點）實驗二 數字濾波器的設計三、 實驗目的（1） 熟悉用雙線性變換法設計IIR數字濾波器的原理與方法；（2） 學會調用MATLAB信號處理工具中濾波器設計函數，設計各種IIR濾波 器，學會根據濾波需求確定濾波器指標參數；（3）掌握用窗函數法設計FIR數字濾波器的原理和方法。四、 實驗原理（1） 利用雙線性變換設計IIR濾波器，首先要設計出滿足指標要求的模擬濾波器的傳遞函數，然后由通過雙線性變換可得所要設計的IIR濾波器的系統函數。如果

10、給定的指標為數字濾波器的指標，則首先要轉換成模擬域指標。（2） 模擬濾波器設計 巴特沃茲濾波器的振幅平方函數為 （1）其傳輸函數為 （2） （3）首先確定技術指標：i. 通帶中允許的最大衰減和通帶截止頻率；ii. 阻帶允許的最小衰減和阻帶起始頻率。由式（8-11）可得： （4） （5）得到 （6） （7）再利用上面兩式得到令， 則 （8）已知，可由式(8)求出濾波器的階數N。求出的N可能有小數部分一般取大于等于N的最小整數。關于3dB截止頻率，有時在技術指標中給出，如果沒有給出可以按照式（6）或式（7）求出。根據以上所述，巴特沃茲濾波器的設計步驟為：i. 根據要求，由式(8)求出階數

11、N；ii. 由式（6）或式(7)求出3dB截止頻率；iii. 由式（3）求出N個極點；iv. 由式（2）寫出傳遞函數。實際設計中，第、兩步由以下兩步代替：v. 由N可查下表，得歸一化低通巴特沃茲濾波器，vi. 去歸一化，即將用代替，得到實際。 （3）設所希望得到的濾波器的理想頻率響應為。那么FIR濾波器的設計就在于尋找一個傳遞函數去逼近。在這種逼近中最直接的一種方法是從單位取樣響應序列著手，使逼近理想的單位取樣響應。我們知道可以從理想頻率響應通過傅里葉反變換來得到，即： （9）但是一般來說，這樣得到的單位取樣響應往往都是無限長序列；而且是非因果的。以一個截止頻率為的線性相應位理想低通

12、為例來說明。設低通濾波器的時延為，即： （10）則 這是一個以為中心的偶對稱的無限長非因果序列。這樣一個無限長的序列怎樣用一個有限長序列去近似呢？最簡單的辦法就是直接截取它的一段來代替它。例如把到的一段截取來作為，但是為要保證所得到的是線性相位濾波器。必須滿足的對稱性，所以時延應該取長度的一半，即這種直接截取的辦法可以形象地想象為，好比是通過一個“窗口”所看到的一段。中表達為和一個“窗口函數”的乘積。在這里，窗口函數就是矩形脈沖函數，即 但是一般來說，窗口函數并不一定是矩形函數，可以在矩形以內還對作一定的加權處理，因此，一般可以表示為 這里就是窗口函數。這種對理想單位取樣響應加窗的處理對頻率響

13、應會產生以下三點影響：a) 使理想特性不連續的邊沿加寬，形成一過渡帶，過渡帶的寬度取決于窗口頻譜的主瓣寬度。b) 在過渡帶兩旁產生肩峰和余振，它們取決于窗口頻譜的旁瓣；旁瓣越多，余振也越多；旁瓣相對值越大，肩峰則越強。c) 增加截取長度N，只能縮小窗口頻譜的主瓣寬度而不能改變旁瓣的相對值；旁瓣與主瓣的相對關系只決定于窗口函靈敏的形狀。因此增加N，只能相對應減小過渡帶寬。而不能改變肩峰值。肩峰值的大小直接決定通帶內的平穩和阻帶的衰減，對濾波器性能有很大關系。例如矩形窗的情況下，肩峰達8.95%，致使阻帶最小衰減只有21分貝，這在工程上往往是不夠的。怎樣才能改善阻帶的衰減特性呢？只能從改善窗口函數

14、的形狀上找出路，所以希望的窗口頻譜中應該減少旁瓣，使能量集中在主瓣，這樣可以減少肩峰和余振，提高阻帶的衰減。而且要求主瓣寬度盡量窄，以獲得較陡的過渡帶，然而這兩個要求總不能兼得，往往需要用增加主瓣寬度帶換取決瓣的抑制，于是提出了海明窗、凱塞-貝塞爾窗、切比雪夫窗等窗口函數。 三、實驗一步驟1、 設計一個巴特沃思數字低通濾波器，設計指標如下：通帶內幅度衰減不大于1dB；阻帶幅度衰減不小于15dB；（1） 分別讓滿足所設計的濾波器的通帶、過渡帶、阻帶頻率特性的正弦波通過濾波器，驗證濾波器性能；（2） 改變正弦抽樣時間，驗證數字低通濾波器的模擬截止頻率實抽樣時間的函數。 四、實驗源程序及結

15、果clear allwp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;As=15;N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,'s'); z,p,k=buttap(N);bp,ap=zp2tf(z,p,k);bs,as=lp2lp(bp,ap,wc);T=1;bz,az=impinvar(bs,as,1/T)H,w=freqz(bz,az);figure;plot(w/(2*pi),abs(H),title('Butterworth數字低通濾波器')h=ifft(H);n=0:50;figure;x1=sin(0.1*pi*n);subplot(211),

16、stem(n,x1);title('x1=sin(0.08*pi*n)')y=conv(x1,h);subplot(212),stem(y);title('y1=conv(x1,h)')figure,x2=sin(500*n);subplot(211),stem(n,x2);title('x2=sin(500*n)')y2=conv(x2,h);subplot(212),stem(y2);title('y2=conv(x2,h)')五、實驗二、三步驟1、 設計一個FIR數字濾波器，設計指標如下：通帶內幅度衰減不大于1dB；阻帶幅度

17、衰減不小于15dB；2、 編制計算設計的數字濾波器幅度特性和相位特性的程序，并進行實驗驗證。3、 分別用矩形窗、漢寧窗設計一的線性相位帶通濾波器，觀察它們的3dB和20dB帶寬，并比較兩種窗的特點。6、 實驗源程序及運行結果function shiyan4()%41 FIR filterwp=0.2*pi;ws=0.3*pi;tr_width=ws-wp;M=ceil(6.6*pi/tr_width)+1;n=0:M-1;wc=(ws+wp)/2;alpha=(M-1)/2;m=n-alpha+eps;hd=sin(wc*m)./(pi*m);w_ham=(hamming(M)'% h

18、=hd.*w_ham;%加漢明窗% h=hd;%加矩形窗h=hd.*(blackman(M)'mag,db,pha,w=freqz_m(h,1);delta_w=2*pi/1000;Rp=-(min(db(1:wp/delta_w+1);As=-round(max(db(ws/delta_w+1:501);subplot(2,2,1);stem(n,hd);title('理想沖激響應');axis(0,M-1,-0.1,0.3);ylabel('hd(n)');subplot(2,2,2);stem(n,h);title('實際沖激響應');axis(0,M-1,-0.1,0.3);ylabel('h(n)');subplot(2,2,3);plot(w/pi,pha);title('濾波器相位響應&#