1、第四章第四章 流體動力學(xué)流體動力學(xué) 李傳奇李傳奇2022-5-211內(nèi)容內(nèi)容41 流體的運(yùn)動微分方程42 元流的伯努利方程43 總流的伯努利方程44 總流的動量方程三大守恒定律三大守恒定律質(zhì)量守恒動量守恒能量守恒連續(xù)方程能量方程動量方程恒定總流三大方程恒定總流三大方程流體力學(xué)課程重點(diǎn)流體力學(xué)課程重點(diǎn)（1）流體動力學(xué)）流體動力學(xué)研究流體運(yùn)動且涉及力的規(guī)律及在工程中的應(yīng)用。研究流體運(yùn)動且涉及力的規(guī)律及在工程中的應(yīng)用。（2）遵循的規(guī)律）遵循的規(guī)律牛頓第二定律牛頓第二定律（3）對于理想流體，因沒有）對于理想流體，因沒有黏黏性，故作用于流體的表面力性，故作用于流體的表面力 只有壓應(yīng)力，即動水壓強(qiáng)。只有壓

2、應(yīng)力，即動水壓強(qiáng)。p = p ( x，y，z，t )（4 4）實(shí)際流體運(yùn)動微分方程；伯努利方程；動量方程。）實(shí)際流體運(yùn)動微分方程；伯努利方程；動量方程。學(xué)習(xí)內(nèi)容：學(xué)習(xí)內(nèi)容：1.取微元體在某一瞬時在運(yùn)動無粘性流體中取出棱邊為dx，dy，dz的一微小平行六面體。基本思路基本思路:(1):(1)取微元體取微元體 (2)(2)受力分析受力分析 (3)(3)導(dǎo)出關(guān)系導(dǎo)出關(guān)系 (4)(4)得出結(jié)論得出結(jié)論2.2.受力分析受力分析作用在流體上力：作用在流體上力：(1) (1) 表面力；表面力；(2)(2)質(zhì)量力質(zhì)量力(1)(1)表面力（以表面力（以X X方向?yàn)槔┓较驗(yàn)槔┌▔簯?yīng)力包括壓應(yīng)力左表面左表面右

3、表面右表面(2)(2)質(zhì)量力質(zhì)量力 X X、Y Y、Z Z表示流體單位質(zhì)量力在坐標(biāo)軸上的分量。這個微元體的表示流體單位質(zhì)量力在坐標(biāo)軸上的分量。這個微元體的質(zhì)量為質(zhì)量為d dx xd dy yd dz z ，質(zhì)量力在各個在坐標(biāo)軸上的分量分別為：，質(zhì)量力在各個在坐標(biāo)軸上的分量分別為：Xdxdydz 、Ydxdydz 、Zdxdydz 3.3.導(dǎo)出關(guān)系導(dǎo)出關(guān)系 由牛頓第二運(yùn)動定律，由牛頓第二運(yùn)動定律，x x方向有：方向有： 化簡得：4.4.結(jié)論結(jié)論dtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1無粘性流體無粘性流體運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程dtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1無

4、粘性流體運(yùn)動微分方程無粘性流體運(yùn)動微分方程 流體平衡微分方程流體平衡微分方程dtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力在X、Y、Z坐標(biāo)軸上分量單位質(zhì)量流體的慣性力在X、Y、Z坐標(biāo)軸上分量單位質(zhì)量流體的表面力在X、Y、Z坐標(biāo)軸上分量1、以應(yīng)力表示的實(shí)際流體運(yùn)動微分方程、以應(yīng)力表示的實(shí)際流體運(yùn)動微分方程（1）方程推導(dǎo)依據(jù)：）方程推導(dǎo)依據(jù)：牛頓第二定率：牛頓第二定率： F = m a（2）分析受力：）分析受力：因?yàn)槭菍?shí)際流體，故運(yùn)動流體的表面因?yàn)槭菍?shí)際流體，故運(yùn)動流體的表面力既有壓應(yīng)力（動壓強(qiáng)）也有切應(yīng)力。力既有壓應(yīng)力（動壓強(qiáng)）也有切應(yīng)力。 二、粘性流體運(yùn)動微分方程二

5、、粘性流體運(yùn)動微分方程zyzxzyzxMstAFCBDEGHyxZ設(shè)設(shè)M點(diǎn)的相應(yīng)要素為：點(diǎn)的相應(yīng)要素為： py , u y , zy , xy zy與與 Z 軸垂直的平面軸垂直的平面上，沿上，沿 y 方向。方向。xy 與與 x 軸垂直的平軸垂直的平面上，沿面上，沿 y 方向。方向。以以 y 方向?yàn)槔较驗(yàn)槔簔yzxzyzxMstAFCBDEGHyxZA. 質(zhì)量力：質(zhì)量力：B. 表面力：表面力：dxdydzypdxdzdyyppdyypp)21()21(壓力壓力 ：Ydx dy dz切應(yīng)力切應(yīng)力（四個表面）（四個表面） ：ABGHCDEFABCFGDEH切應(yīng)力（四個表面）切應(yīng)力（四個表面） ：

6、dydzdxxxyxy)21(ABGH:dydzdxxxyxy)21(CDEF:dydxdzzzyzy)21(GDEH:dydxdzzzyzy)21(ABCF:mdu ydt整理，整理，F(xiàn)y= m ay =將以上所有的力代入將以上所有的力代入即可得實(shí)際流體運(yùn)動微分方程。即可得實(shí)際流體運(yùn)動微分方程。dtduyxzpZdtduzxypYdtduzyxpXzyzxzzyzyxyyxzxyxx)(1)(1)(1式式4-2（3）公式：）公式： 對于不可壓縮均質(zhì)流體，對于不可壓縮均質(zhì)流體，= c，而，而 X，Y，Z通常是已知的通常是已知的, 故在三個方程中有故在三個方程中有九個表面應(yīng)力九個表面應(yīng)力、三個速

7、度分量三個速度分量，共，共十二個未知量十二個未知量，既使加上連續(xù)，既使加上連續(xù)性微分方程（四個方程，解十二個未知量），也性微分方程（四個方程，解十二個未知量），也無法求得唯一的解，所以還應(yīng)再找出其它的關(guān)系。無法求得唯一的解，所以還應(yīng)再找出其它的關(guān)系。2、流體質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)、流體質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（1）切應(yīng)力的特性：）切應(yīng)力的特性： )()()(zuxuzuyuyuxuxzxzzxyzzyyzxyxyyx式式4-3實(shí)際流體切實(shí)際流體切應(yīng)力普遍表達(dá)應(yīng)力普遍表達(dá)式，也稱廣義式，也稱廣義的牛頓內(nèi)摩擦的牛頓內(nèi)摩擦定律。定律。 （2）壓應(yīng)力的特性和大小：）壓應(yīng)力的特性和大小：pz= p+ pz px= p+

8、pxp y= p+ pyp 平均壓應(yīng)力平均壓應(yīng)力p =（px+py+pz ）31切應(yīng)力互等定律。原切應(yīng)力互等定律。原方程減少方程減少3個變量。個變量。因?yàn)閷?shí)際流體運(yùn)動存在切應(yīng)力，故各方位的壓應(yīng)力不因?yàn)閷?shí)際流體運(yùn)動存在切應(yīng)力，故各方位的壓應(yīng)力不盡相等，可取其平均值，每個方向上的壓應(yīng)力均可看盡相等，可取其平均值，每個方向上的壓應(yīng)力均可看作由均值作由均值 p 加上附加壓應(yīng)力加上附加壓應(yīng)力 px 、 py 、 pz 。zuppzupyuppyupxuppxupzzzzzzyyyyyyxxxxxx222222222 式式 4-4 式式 4-5 3、NS 方程方程 將以上關(guān)系式將以上關(guān)系式4-3、4-5代

9、入實(shí)際流體運(yùn)動微分方程代入實(shí)際流體運(yùn)動微分方程4-3，結(jié)合不可壓縮、均質(zhì)流體連續(xù)性微分方程整理即可，結(jié)合不可壓縮、均質(zhì)流體連續(xù)性微分方程整理即可得得NS方程。方程。 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 例：例： 此此 NS方程方程 + 連續(xù)性微分方程連續(xù)性微分方程共共 4 個方程，解個方程，解 4 個未知量。個未知量。20 法國工程師和物理學(xué)家。特別對力學(xué)法國工程師和物理學(xué)家。特別對力學(xué)理論有很大貢獻(xiàn)。流體力學(xué)中的理論有很大貢獻(xiàn)。流體力學(xué)中的納維爾納維爾. .斯斯托克斯（托克斯（Navier-StokesNavier-Stokes）方程）方程就用他和斯托克就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以于

10、工程實(shí)際斯的名字命名的。他首次建立了可以于工程實(shí)際的的彈性理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式彈性理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式。1819年，納維爾定義年，納維爾定義了了應(yīng)力零線應(yīng)力零線，并修正了伽利略的錯誤結(jié)果。，并修正了伽利略的錯誤結(jié)果。1826年，他提出年，他提出彈性模量彈性模量概念。納維爾通常被認(rèn)為是概念。納維爾通常被認(rèn)為是現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析的奠基人現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析的奠基人。納維爾的最大貢獻(xiàn)當(dāng)然。納維爾的最大貢獻(xiàn)當(dāng)然還是還是N-S方程，流體力學(xué)的基本方程。方程，流體力學(xué)的基本方程。 一、無粘性流體運(yùn)動微分方程的伯努利積分一、無粘性流體運(yùn)動微分方程的伯努利積分00,0tututututpzyxdtduxpXx1dtduypYy1d

11、tduzpZz1dxdxdydydzdzEuler方程三式分別乘以流線上微元線段的投影dx、dy、dz，則相加后得：dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZdzYdyXdxzyx)(1)(1 1、公式推導(dǎo)前提條件：、公式推導(dǎo)前提條件：（）即即因?yàn)楹愣鲃訒r，流線與跡線重合流線與跡線重合，則此時的dx，dy，dz與時間 dt 的比為速度分量，即有：dtdzudtdyudtdxuzyx)(212udduuduuduudzdtdudydtdudxdtduzzyyxxzyx則：4.2 元流的的伯努利方程元流的的伯努利方程 則（則（1 1）式）式 變成變成 1)(1)(dzdtdu

12、dydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZdzYdyXdxzyxdpdzzpdyypdxxp（3 3） 2211)(uddpZdzYdyXdx（4 4）因此，方程是沿流線才適用的。條件之二gZYX00)(2112uddpgdz（5 5）cupgz22cgupz22c（6 6）條件三：質(zhì)量力僅為重力條件四：不可壓縮流體對于任意兩點(diǎn)對于任意兩點(diǎn) 1 1、2 2 （6 6）、（）、（7 7）式為）式為。gupzgupz2222222111（7）（1 1）公式）公式：無粘性流體、恒定流動、質(zhì)量力只有重：無粘性流體、恒定流動、質(zhì)量力只有重力、不可壓流縮體、沿流線或微小流束。力、不可壓流縮體、沿流

13、線或微小流束。 （2 2）幾何意義和）幾何意義和： cgupz22位置水頭、比位能位置水頭、比位能 單位重量流體單位重量流體 所具有的位能所具有的位能 壓強(qiáng)水頭、比壓能壓強(qiáng)水頭、比壓能單位重量流體所具有的壓能單位重量流體所具有的壓能流速水頭、比動能流速水頭、比動能 單位重量流體所具單位重量流體所具有的動能有的動能三種形式的能量和功在流動的過程中是可以相互轉(zhuǎn)化的，三者之和始三種形式的能量和功在流動的過程中是可以相互轉(zhuǎn)化的，三者之和始終保持一常數(shù)。終保持一常數(shù)。 三、畢托管三、畢托管AhuA圖：圖：AhuA原理：原理：利用無粘性元流流體伯努利方程利用無粘性元流流體伯努利方程。測量點(diǎn)流速的儀器測量點(diǎn)

14、流速的儀器VBAZZ圖皮托管測速原理公式：公式：ghu2理論流速：實(shí)際流速：修正系數(shù)，數(shù)值接近于1，由實(shí)驗(yàn)確定， =0.97 ； h：為兩管水頭差。 022gpzgugpzABgugpgphBA22ghppuBA22四、實(shí)際液體元流能量方程四、實(shí)際液體元流能量方程實(shí)際液體具有粘滯性，由于內(nèi)摩擦阻力的影響，液體流動實(shí)際液體具有粘滯性，由于內(nèi)摩擦阻力的影響，液體流動時，其能量將沿程不斷消耗，總水頭線因此沿程下降，固時，其能量將沿程不斷消耗，總水頭線因此沿程下降，固有有H1H 2設(shè)單位重量液體沿元流設(shè)單位重量液體沿元流( (或流線或流線) )兩點(diǎn)間的能量損失為兩點(diǎn)間的能量損失為hwhw，按能量守恒原

15、理，上式可寫成按能量守恒原理，上式可寫成即即上式即恒定流、不可壓縮實(shí)際液體動能量方程，又稱實(shí)際上式即恒定流、不可壓縮實(shí)際液體動能量方程，又稱實(shí)際液體元流伯努利方程。液體元流伯努利方程。一、漸變流及其性質(zhì)一、漸變流及其性質(zhì)（1）按運(yùn)動要素是否隨流程改變，可將流動劃分）按運(yùn)動要素是否隨流程改變，可將流動劃分 為均勻流與非均勻流。為均勻流與非均勻流。（2）在非均勻流中，按流線是否接近平行直線，可）在非均勻流中，按流線是否接近平行直線，可 將流動劃分漸變流與急變流。將流動劃分漸變流與急變流。1、均勻流、均勻流3 各過流斷面上各過流斷面上流速分布沿程不變流速分布沿程不變。1 流體的流體的遷移加速度為零遷

16、移加速度為零；特點(diǎn)：特點(diǎn)：2 流線是平行的直線；流線是平行的直線；某時刻，流體各相應(yīng)點(diǎn)（某時刻，流體各相應(yīng)點(diǎn)（位于同一流線上的點(diǎn)位于同一流線上的點(diǎn)）的流）的流 速都不隨流程改變的流動。速都不隨流程改變的流動。2、非均勻流、非均勻流某一時刻，流體相應(yīng)點(diǎn)的流速因位置的不同而不某一時刻，流體相應(yīng)點(diǎn)的流速因位置的不同而不 同的流動。同的流動。3、均勻流與非均勻流的判別標(biāo)準(zhǔn)、均勻流與非均勻流的判別標(biāo)準(zhǔn)可據(jù)可據(jù)遷移加速度（位變導(dǎo)數(shù)）遷移加速度（位變導(dǎo)數(shù)）是否為是否為零零來判斷。來判斷。3、漸變流、漸變流流線之間夾角很小，各流線為近似的平行直線。流線之間夾角很小，各流線為近似的平行直線。特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）過

17、流斷面近似平面；）過流斷面近似平面； （2）同一過流斷面上，流體各點(diǎn)的動壓強(qiáng)分布符合靜壓強(qiáng)分布。）同一過流斷面上，流體各點(diǎn)的動壓強(qiáng)分布符合靜壓強(qiáng)分布。（3）均勻流是漸變流的特例，同時具有以上兩點(diǎn)。）均勻流是漸變流的特例，同時具有以上兩點(diǎn)。 在漸變流過流斷面上作任一微小柱體，長為在漸變流過流斷面上作任一微小柱體，長為 dL，截面積為，截面積為 dA。然后，。然后， 分析該微元體的受力情況。由于流體在分析該微元體的受力情況。由于流體在 n 方向（軸方向（軸向）上沒有流速，故向）上沒有流速，故 n 方向上的合力應(yīng)平衡。方向上的合力應(yīng)平衡。簡單分析：簡單分析：ABdLGnZ1Z2dA假設(shè)：假設(shè)：ABd

18、LGnZ1Z2dAA點(diǎn)：點(diǎn)： 壓強(qiáng)為壓強(qiáng)為 pA , 面積為面積為 dAB點(diǎn)：點(diǎn)： 壓強(qiáng)為壓強(qiáng)為 pB ,面積為面積為 dA微元微元體的密體的密度為度為ABdLGnZ1Z2dA平衡方程：平衡方程：pA dA pB dA g dA dl cos= 0 其中：其中：cos=Z2 - Z1dl= CZ +pg代入上式代入上式即可得證：即可得證：說明：說明：1 對不同的過水?dāng)嗝妫?shù)對不同的過水?dāng)嗝妫?shù) C 是不同的。是不同的。2 過水?dāng)嗝鎯蓚?cè)液體互相作用的動水壓力可按靜水過水?dāng)嗝鎯蓚?cè)液體互相作用的動水壓力可按靜水 壓力公式計(jì)算。壓力公式計(jì)算。4、急變流、急變流流線間的夾角較大，流線的曲率半徑較小的

19、流動。流線間的夾角較大，流線的曲率半徑較小的流動。如突擴(kuò)、水跌等如突擴(kuò)、水跌等注：注： 漸變流、急變流是相對而言的，兩者的區(qū)分漸變流、急變流是相對而言的，兩者的區(qū)分要視工程精度而言。漸變流簡單、易計(jì)算。要視工程精度而言。漸變流簡單、易計(jì)算。動壓強(qiáng)特性：在斷面上有動壓強(qiáng)特性：在斷面上有 漸變流過流斷面漸變流過流斷面12hp2 = p1 +h12急變流過流斷面急變流過流斷面 二、恒定總流能量方程二、恒定總流能量方程 1.1.方程的推導(dǎo)方程的推導(dǎo) 設(shè)元流的流量為設(shè)元流的流量為d dQ Q= =u u1 1d dA A1 1= =u u2 2d dA A2 2，則在上述等式兩端同乘以，則在上述等式兩端

20、同乘以ggd dQ Q 。 沿總流過水?dāng)嗝嫔戏e分可得總流能量關(guān)系：沿總流過水?dāng)嗝嫔戏e分可得總流能量關(guān)系： 2, 12222211122whgugpzgugpz（1 1）勢能積分：在漸變流斷面或均勻流斷面上，有）勢能積分：在漸變流斷面或均勻流斷面上，有則：則： 1122z1z2（2 2）動能積分：）動能積分： （3 3）損失積分：）損失積分： 實(shí)際流體恒定總流的能量方程（對單位重流體而言）實(shí)際流體恒定總流的能量方程（對單位重流體而言） 式中：式中： z z 比位能（位置水頭）比位能（位置水頭） 比壓能（壓強(qiáng)水頭，測壓管高度）比壓能（壓強(qiáng)水頭，測壓管高度） 比動能（流速水頭）比動能（流速水頭） 比

21、勢能（測壓管水頭）比勢能（測壓管水頭） 總比能（總水頭）總比能（總水頭） 平均比能損失平均比能損失 （水頭損失）（水頭損失）, ,單位重流體克服單位重流體克服 流動阻力所做的功。流動阻力所做的功。 伯努利積分伯努利積分lCgupz22 伯努利方程的物理意義伯努利方程的物理意義*單位重量流體所具有的單位重量流體所具有的位置勢能位置勢能（簡稱單位位置勢能）（簡稱單位位置勢能）單位重量流體所具有的單位重量流體所具有的壓強(qiáng)勢能壓強(qiáng)勢能（簡稱單位壓強(qiáng)勢能）（簡稱單位壓強(qiáng)勢能）單位重量流體所具有的單位重量流體所具有的總勢能總勢能（簡稱單位總勢（簡稱單位總勢能）能）zppz *gu22單位重量流體所具有的單

22、位重量流體所具有的動能動能（簡稱（簡稱單位動能單位動能）gupz22單位重量流體所具有的單位重量流體所具有的總機(jī)械能總機(jī)械能（簡稱單位總機(jī)械能）（簡稱單位總機(jī)械能）*位置水頭位置水頭z壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭p測壓管水頭測壓管水頭pz gu22速度水頭速度水頭總水頭總水頭gupzH22lCgupz22 伯努利方程的幾何意義伯努利方程的幾何意義伯努利積分各伯努利積分各項(xiàng)都具有長度項(xiàng)都具有長度量綱，幾何上量綱，幾何上可用某個高度可用某個高度來表示，常稱來表示，常稱作作水頭水頭。伯伯努努利利積積分分 伯努利方程在流線上成立，也可認(rèn)為伯努利方程在流線上成立，也可認(rèn)為在元流上成立，所以伯努利方程也就是在元流上成

23、立，所以伯努利方程也就是理想流體恒定元流的能量方程。理想流體恒定元流的能量方程。 伯努利方程是能量守恒原理在流體力學(xué)中的具伯努利方程是能量守恒原理在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)，故被稱之為能量方程。體體現(xiàn)，故被稱之為能量方程。 總機(jī)械能不變，并總機(jī)械能不變，并不是各部分能量都保不是各部分能量都保持不變。三種形式的持不變。三種形式的能量可以各有消長，能量可以各有消長，相互轉(zhuǎn)換，但總量不相互轉(zhuǎn)換，但總量不會增減。會增減。 伯努利方程可理解為：元流的任意兩個過水?dāng)嗝娴膯挝豢偛匠炭衫斫鉃椋涸鞯娜我鈨蓚€過水?dāng)嗝娴膯挝豢倷C(jī)械能相等。由于是恒定流，通過元流各過水?dāng)嗝娴馁|(zhì)量流機(jī)械能相等。由于是恒定流，通過元流

24、各過水?dāng)嗝娴馁|(zhì)量流量相同，所以在單位時間里通過各過水?dāng)嗝娴目倷C(jī)械能（即量相同，所以在單位時間里通過各過水?dāng)嗝娴目倷C(jī)械能（即能量流量）也相等。能量流量）也相等。* 將各項(xiàng)水頭沿程變化的情況幾何表示出來。將各項(xiàng)水頭沿程變化的情況幾何表示出來。2. 水頭線水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線總水頭線總水頭線位置水頭線位置水頭線zpgu22oo水平基準(zhǔn)線水平基準(zhǔn)線H理想流理想流體恒定體恒定元流的元流的總水頭總水頭線是水線是水平的。平的。 總流水頭線總流水頭線的畫法和元流的畫法和元流水頭線是相仿水頭線是相仿的，其中位置的，其中位置水頭線一般為水頭線一般為總流斷面中心總流斷面中心線。線。恒定總流能量方程的幾何表

25、示恒定總流能量方程的幾何表示水頭線水頭線 與元流一樣，恒定總流能量方程的各項(xiàng)也都是長度量綱，所與元流一樣，恒定總流能量方程的各項(xiàng)也都是長度量綱，所以可將它們幾何表示出來，畫成水頭線，使沿流能量的轉(zhuǎn)換和以可將它們幾何表示出來，畫成水頭線，使沿流能量的轉(zhuǎn)換和變化情況更直觀、更形象。變化情況更直觀、更形象。水平基準(zhǔn)線水平基準(zhǔn)線位置水頭線位置水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線總水頭線總水頭線oozpgu22wh*水力坡度水力坡度shsHJwdddd稱為水力坡度。其中稱為水力坡度。其中 s 是流程長度，是流程長度，hw 為為相應(yīng)的水頭損失。水力坡度表示單位重量相應(yīng)的水頭損失。水力坡度表示單位重量流體在單位長

26、度流程上損失的平均水頭。流體在單位長度流程上損失的平均水頭。 實(shí)際流體的流動總是有水頭損失的，所實(shí)際流體的流動總是有水頭損失的，所以總水頭線肯定會沿程下降，將水頭線的以總水頭線肯定會沿程下降，將水頭線的斜率冠以負(fù)號斜率冠以負(fù)號 測壓管水頭測壓管水頭線可能在位置線可能在位置水頭線以下，水頭線以下，表示當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)表示當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)是負(fù)值。是負(fù)值。畢畢托托管管測測速速 元流能量方程的應(yīng)用舉例元流能量方程的應(yīng)用舉例Ah管管B管管uApBp0BAuuu022BApgupghppguAB2)(2BAzz 代代 入入伯努利方程伯努利方程 假假 設(shè)設(shè)、管的存管的存在不擾在不擾動原流動原流場。場。 畢托管利用兩管測得總

27、水頭和畢托管利用兩管測得總水頭和測壓管水頭之差測壓管水頭之差速度水頭，速度水頭，來測定流場中某來測定流場中某點(diǎn)流速點(diǎn)流速。ucgh2 實(shí)際使用中，在測得實(shí)際使用中，在測得 h，計(jì)算流速，計(jì)算流速 u 時，還時，還要加上畢托管修正系數(shù)要加上畢托管修正系數(shù)c，即，即 實(shí)用的畢托管常將測壓實(shí)用的畢托管常將測壓管和總壓管結(jié)合在一起。管和總壓管結(jié)合在一起。管管 測壓管，開口方向與流速垂直。測壓管，開口方向與流速垂直。管管 總壓管，開口方向迎著流速。總壓管，開口方向迎著流速。管管管管管測壓孔管測壓孔管測壓孔管測壓孔*3.3.總流能量方程的限制條件總流能量方程的限制條件 （1 1）恒定流；）恒定流； （2

28、2）不可壓縮流體；）不可壓縮流體； （3 3）質(zhì)量力只有重力；）質(zhì)量力只有重力； （4 4）所選取的兩過水?dāng)嗝姹仨毷菨u變流斷面，但兩過水?dāng)嗝骈g可）所選取的兩過水?dāng)嗝姹仨毷菨u變流斷面，但兩過水?dāng)嗝骈g可以是急變流。以是急變流。 （5 5）總流的流量沿程不變。）總流的流量沿程不變。 （6 6）兩過水?dāng)嗝骈g除了水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。）兩過水?dāng)嗝骈g除了水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。 （7 7）式中各項(xiàng)均為單位重流體的平均能（比能），對流體總重的能）式中各項(xiàng)均為單位重流體的平均能（比能），對流體總重的能量方程應(yīng)各項(xiàng)乘以量方程應(yīng)各項(xiàng)乘以gQ。1.在位置高度相同，管徑相同的同一管道

29、的兩斷面上，其勢能、動能在位置高度相同，管徑相同的同一管道的兩斷面上，其勢能、動能都相等。都相等。 （）2.運(yùn)動水流的測壓管水頭線可以沿程上升，也可以沿程下降。運(yùn)動水流的測壓管水頭線可以沿程上升，也可以沿程下降。 （）判斷：判斷：（1）選擇基準(zhǔn)面：）選擇基準(zhǔn)面：原則上可任選，一般可盡量使原則上可任選，一般可盡量使位置水頭為零（即：位置水頭為零（即：Z=0）。）。（2）選擇計(jì)算斷面：）選擇計(jì)算斷面：1 漸變流過流斷面；漸變流過流斷面；2 已知數(shù)較多的斷面；已知數(shù)較多的斷面；3 包含未知數(shù)的斷面。包含未知數(shù)的斷面。 4. 4. 解題步驟解題步驟 （三選一列（三選一列 ）（3）選擇計(jì)算點(diǎn)：）選擇計(jì)算

30、點(diǎn)：2 對明渠，可選擇在液面上。對明渠，可選擇在液面上。1 對圓形管路，可選擇在軸心處；對圓形管路，可選擇在軸心處；（4）列方程解題）列方程解題注意：注意：1）公式中的壓強(qiáng)）公式中的壓強(qiáng) p可以是絕對壓強(qiáng)，也可以是相對壓強(qiáng)，可以是絕對壓強(qiáng)，也可以是相對壓強(qiáng)，只要方程前后統(tǒng)一即可（對氣體必須是絕對壓強(qiáng)）。只要方程前后統(tǒng)一即可（對氣體必須是絕對壓強(qiáng)）。2)公式中的公式中的是指計(jì)算流體的重度，各項(xiàng)單位要統(tǒng)一。是指計(jì)算流體的重度，各項(xiàng)單位要統(tǒng)一。 簡言之，分析流動，劃分?jǐn)嗝妫喲灾治隽鲃樱瑒澐謹(jǐn)嗝妫x擇基準(zhǔn)面，寫出方程。選擇基準(zhǔn)面，寫出方程。注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。

31、例例1：如圖所示的虹吸管泄水，已知斷面：如圖所示的虹吸管泄水，已知斷面1,2及及2,3的損失分別為的損失分別為hw1,2=0.6v2/(2g)和和hw2,3=0.5v2/(2g) ，試求斷面，試求斷面2的平均壓強(qiáng)。的平均壓強(qiáng)。 解：取解：取0-00-0，列斷面，列斷面1 1，2 2的能量方程（取的能量方程（取1 1= =2 2 =1=1） 而而v v2 2= =v v3 3= =v v（因（因d d2 2= =d d1 1= =d d），因此可對斷面），因此可對斷面1 1，3 3寫出能量方程寫出能量方程 可得：可得： 代入式（代入式（a a）中得：）中得： 可見虹吸管頂部，相對壓強(qiáng)為負(fù)值，即出

32、現(xiàn)真空。為使之不產(chǎn)生空化，可見虹吸管頂部，相對壓強(qiáng)為負(fù)值，即出現(xiàn)真空。為使之不產(chǎn)生空化，應(yīng)控制虹吸管頂高（即吸出高），防止形成過大真空。應(yīng)控制虹吸管頂高（即吸出高），防止形成過大真空。 (a)(b)例例2：水深：水深1.5m、水平截面積為、水平截面積為3m3m的水箱，箱底接一直徑為的水箱，箱底接一直徑為200mm，長為，長為2m的豎直管，在水箱進(jìn)水量等于出水量情況下作的豎直管，在水箱進(jìn)水量等于出水量情況下作恒定出流，略去水頭損失，試求點(diǎn)恒定出流，略去水頭損失，試求點(diǎn)2的壓強(qiáng)。的壓強(qiáng)。 解解: : 根據(jù)題意和圖示，水流為恒定流；水箱根據(jù)題意和圖示，水流為恒定流；水箱表面，管子出口，管中點(diǎn)表面，管

33、子出口，管中點(diǎn)2 2所在斷面，都所在斷面，都是漸變流斷面；符合總流能量方程應(yīng)用是漸變流斷面；符合總流能量方程應(yīng)用條件。水流不可壓縮，只受重力作用。條件。水流不可壓縮，只受重力作用。 取漸變流斷面取漸變流斷面1-1,2-21-1,2-2和和3-33-3。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)?-11-1斷面為水?dāng)嗝鏋樗渌妫^豎直管大得多，故流速水頭箱水面，較豎直管大得多，故流速水頭 可近似可近似取取。取。取 ，并將基準(zhǔn)面，并將基準(zhǔn)面O-OO-O取在管子出口取在管子出口斷面斷面3-33-3上，寫出斷面上，寫出斷面1-11-1和斷面和斷面3-33-3的總流能量方程的總流能量方程 采用相對壓強(qiáng)采用相對壓強(qiáng) 。將已知數(shù)據(jù)代入上

34、式，。將已知數(shù)據(jù)代入上式， 即得即得 由連續(xù)性方程，可得由連續(xù)性方程，可得 因此有因此有 取斷面取斷面3-33-3為基準(zhǔn)面，取為基準(zhǔn)面，取 ，寫斷面，寫斷面1-11-1和和2-22-2的總流能量方程的總流能量方程 將已知數(shù)據(jù)代入上式可得將已知數(shù)據(jù)代入上式可得 所以所以 其真空值為其真空值為0.98N/cm2，或絕對值壓強(qiáng)為，或絕對值壓強(qiáng)為8.82N/cm2 。 上式說明點(diǎn)上式說明點(diǎn)2 2壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)，其真空度為壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)，其真空度為1m1m水柱，或絕對壓強(qiáng)相當(dāng)于水柱，或絕對壓強(qiáng)相當(dāng)于10-1=9m 水柱。水柱。 思考題思考題: 1. 1.拿兩張薄紙，平行提在手中，當(dāng)用嘴順紙間縫隙吹拿

35、兩張薄紙，平行提在手中，當(dāng)用嘴順紙間縫隙吹氣時，問薄紙是不動、靠攏、還是張開？為什么？氣時，問薄紙是不動、靠攏、還是張開？為什么？ 2.2.恒定總流能量的限制條件有哪些？如何選取其計(jì)算斷恒定總流能量的限制條件有哪些？如何選取其計(jì)算斷面、基準(zhǔn)面、計(jì)算點(diǎn)、壓強(qiáng)？面、基準(zhǔn)面、計(jì)算點(diǎn)、壓強(qiáng)？ 3.3.總流能量與元流能量方程有什么不同點(diǎn)？總流能量與元流能量方程有什么不同點(diǎn)？ 1.設(shè)有一水平壓力管流，當(dāng)不考慮水頭損失的影響時，其測設(shè)有一水平壓力管流，當(dāng)不考慮水頭損失的影響時，其測壓管水頭線沿程下降、上升或水平的條件各是怎樣的？壓管水頭線沿程下降、上升或水平的條件各是怎樣的？ 2.什么是水頭線？總水頭線與測

36、壓管水頭線有何區(qū)別？什么是水頭線？總水頭線與測壓管水頭線有何區(qū)別？ 思考題：思考題： 四、有能量輸入或輸出的能量方程四、有能量輸入或輸出的能量方程21222222111122wmhgvpzHgvpz1、2斷面之間單位重量流體從水力機(jī)械獲斷面之間單位重量流體從水力機(jī)械獲得（取得（取+號，如水泵）或給出（取號，如水泵）或給出（取-號，如水輪號，如水輪機(jī)）的能量機(jī)）的能量1122ooz水泵管路系統(tǒng)水泵管路系統(tǒng)21222222111122wmhgvpzHgvpz= 000z21wmhzH水泵水泵21wmhzHpmpQHN水泵軸功率水泵軸功率單位時間水流單位時間水流獲得總能量獲得總能量分子分子水泵效率水

37、泵效率分母分母揚(yáng)揚(yáng)程程揚(yáng)揚(yáng)程程提水高提水高度度引水渠引水渠壓力鋼管壓力鋼管水輪機(jī)水輪機(jī)122ooz1水輪機(jī)管路系統(tǒng)水輪機(jī)管路系統(tǒng) =z21222222111122wmhgvpzHgvpz 0=0021wmhzH21wmhzHmttQHN水輪機(jī)功率水輪機(jī)功率單位時間水流單位時間水流輸出總能量輸出總能量水輪機(jī)效水輪機(jī)效率率揚(yáng)揚(yáng)程程水輪機(jī)作水輪機(jī)作用水頭用水頭不包括水不包括水輪機(jī)系統(tǒng)輪機(jī)系統(tǒng)內(nèi)的損失內(nèi)的損失mQHt 五五. .文丘里流量計(jì)文丘里流量計(jì) 為確定管道流量，常用如圖所示的文丘里流量計(jì)測量。它由漸變管為確定管道流量，常用如圖所示的文丘里流量計(jì)測量。它由漸變管 和和壓差計(jì)兩部分組成。壓差計(jì)中的

38、工作液體與被測液體或相同（圖壓差計(jì)兩部分組成。壓差計(jì)中的工作液體與被測液體或相同（圖a a），或），或不同（圖不同（圖b b），測量大壓差常用水銀作為工作液體（圖），測量大壓差常用水銀作為工作液體（圖b b）。）。 （a） （b） 取管軸取管軸0-00-0為基準(zhǔn)面，測壓管所在斷面為基準(zhǔn)面，測壓管所在斷面1,21,2為計(jì)算斷面（符合漸變流），斷為計(jì)算斷面（符合漸變流），斷面的形心點(diǎn)為計(jì)算點(diǎn)，對斷面面的形心點(diǎn)為計(jì)算點(diǎn)，對斷面1,21,2寫能量方程，由于斷面寫能量方程，由于斷面1 1，2 2間的水頭損間的水頭損失很小，可視失很小，可視，取，取1 1= =2 2=1=1，得，得 由此得：由此得： 故可

39、解得：故可解得： 因此：因此： 式中式中,K,K對給定管徑是常量，稱為文丘里流量計(jì)常數(shù)。對給定管徑是常量，稱為文丘里流量計(jì)常數(shù)。 實(shí)際流量：實(shí)際流量： 文丘里流量計(jì)系數(shù)，隨流動情況和管道收縮的幾何形狀而不同。文丘里流量計(jì)系數(shù)，隨流動情況和管道收縮的幾何形狀而不同。 對水銀壓差計(jì)有：對水銀壓差計(jì)有： 4-4 4-4 恒定總流動量方程恒定總流動量方程 恒定流動量方程主要作用是解決作用力問題，恒定流動量方程主要作用是解決作用力問題，特別是流體特別是流體與固體之間的總作用力。與固體之間的總作用力。動量定律：動量定律：作用于物體的沖量，等于物體的動量增量。作用于物體的沖量，等于物體的動量增量。vmddt

40、F即：即： 彎管彎管利用螺絲固定利用螺絲固定彎管彎管66vmddtF222111F dtd mvQ dt vQ dt v 222111FQvQ v 現(xiàn)以現(xiàn)以恒定總流恒定總流的一段為例，取的一段為例，取1和和2兩個漸變流斷面間的流兩個漸變流斷面間的流體為體為研究對象研究對象，兩斷面間流段，兩斷面間流段1-2在在dt時間后移動到時間后移動到1-2。1. 動量方程的推導(dǎo)動量方程的推導(dǎo)A111v1dtA222v2dt67222AAu dAu dAQvAv 方程是以斷面平均流速模型建立的，實(shí)際的流速是不均勻方程是以斷面平均流速模型建立的，實(shí)際的流速是不均勻分布的，以動量修正系數(shù)分布的，以動量修正系數(shù)a0

41、修正。修正。 定義為實(shí)際動量和按照平均流速計(jì)算的動量的比值。即：定義為實(shí)際動量和按照平均流速計(jì)算的動量的比值。即：工程計(jì)算中取工程計(jì)算中取=1。動量方程式改寫為：動量方程式改寫為：22221111Fd mvQvQ v 這就是這就是恒定流動量方程式恒定流動量方程式。取決于斷面流速分布的不均勻性。不均勻性越大，取決于斷面流速分布的不均勻性。不均勻性越大， 越大，一般取越大，一般取=1.0568 將將物質(zhì)系統(tǒng)物質(zhì)系統(tǒng)的動量定理應(yīng)用于的動量定理應(yīng)用于流體流體時，動量定理的表時，動量定理的表述形式是：對于恒定流動，所取述形式是：對于恒定流動，所取流體段（簡稱流段，它流體段（簡稱流段，它是由流體構(gòu)成的）是

42、由流體構(gòu)成的）的動量在單位時間內(nèi)的變化，等于單的動量在單位時間內(nèi)的變化，等于單位時間內(nèi)流出該流段所占位時間內(nèi)流出該流段所占空間空間的流體動量與流進(jìn)的流體的流體動量與流進(jìn)的流體動量之差；該變化率等于流段受到的表面力與質(zhì)量力之動量之差；該變化率等于流段受到的表面力與質(zhì)量力之和，即外力之和。和，即外力之和。22221111FQvQ v 2.2.公式說明：公式說明：69控制體控制體：是空間的一個固定不變的區(qū)域，是根據(jù)問題的：是空間的一個固定不變的區(qū)域，是根據(jù)問題的需要所選擇的固定的空間體積。它的邊界面稱為控制面需要所選擇的固定的空間體積。它的邊界面稱為控制面p 系統(tǒng)與控制體系統(tǒng)與控制體系統(tǒng)系統(tǒng)：是一團(tuán)

43、確定不變的流體質(zhì)點(diǎn)的集合。：是一團(tuán)確定不變的流體質(zhì)點(diǎn)的集合。 系統(tǒng)外的一切稱為外界。系統(tǒng)外的一切稱為外界。703.3.適用條件適用條件：恒定流恒定流 過水?dāng)嗝鏋榫鶆蛄骰驖u變流過水?dāng)嗝孢^水?dāng)嗝鏋榫鶆蛄骰驖u變流過水?dāng)嗝?無支流的匯入與分出。無支流的匯入與分出。222 2333 31 11 1FQ vQ vQv n如圖所示的一分叉管路，如圖所示的一分叉管路，動量方程式應(yīng)為：動量方程式應(yīng)為：v3112233Q3Q1Q2v1v222221111FQvQ v 71對于不可壓縮流體，對于不可壓縮流體，1=2=和連續(xù)性方程和連續(xù)性方程Q1=Q2，其恒定流動能量，其恒定流動能量方程為：方程為：2211FQ vQ

44、 v 在直角坐標(biāo)系中的分量式為：在直角坐標(biāo)系中的分量式為：221122112211xxxyyyzzzFQ vQ vFQ vQ vFQ vQ v 工程計(jì)算中，通常取工程計(jì)算中，通常取1=2=172動量方程是一個動量方程是一個矢量方程矢量方程。應(yīng)首先選擇和在圖上標(biāo)明坐標(biāo)。應(yīng)首先選擇和在圖上標(biāo)明坐標(biāo)系。注意外力、速度的方向問題，它們與坐標(biāo)方向一致時系。注意外力、速度的方向問題，它們與坐標(biāo)方向一致時為正，反之為負(fù)。為正，反之為負(fù)。全面分析作用于控制體的全面分析作用于控制體的所有外力所有外力。動量方程式中的動量差是指流出控制體的動量減去流入控動量方程式中的動量差是指流出控制體的動量減去流入控制體的動量，

45、兩者不能顛倒制體的動量，兩者不能顛倒 。動量修正系數(shù)動量修正系數(shù)在計(jì)算要求精度不高時，常取在計(jì)算要求精度不高時，常取1。動量方程中的各項(xiàng)物理量的動量方程中的各項(xiàng)物理量的單位要一致單位要一致。統(tǒng)一采用國際單。統(tǒng)一采用國際單位制中的位制中的m、kg、N(kN)和和s。若力的單位為。若力的單位為kN，取取1，若，若力的單位為力的單位為N，則，則 取取1000。4.4.應(yīng)用動量方程應(yīng)用動量方程應(yīng)注意的問題：應(yīng)注意的問題：22221111FQvQ v 73p 兩端斷面上的水總壓力兩端斷面上的水總壓力P1、P2。p 邊界的摩擦力邊界的摩擦力T（可忽略）。（可忽略）。p 控制體的重力控制體的重力G。p 固體

46、邊界給控制體水流的總作用力固體邊界給控制體水流的總作用力R。GRPPF21xxxxxGRPPF21yyyyyGRPPF21yyyyyGRPPF21在各軸的投影在各軸的投影作用于控制體的所有外力作用于控制體的所有外力74根據(jù)動量方程可求出固體邊界給控制體液流（即壁面對流根據(jù)動量方程可求出固體邊界給控制體液流（即壁面對流體）的總作用力體）的總作用力R，而求解問題中往往需要確定流體作用，而求解問題中往往需要確定流體作用在壁面上的力在壁面上的力R，這兩個力按牛頓第三定理，這兩個力按牛頓第三定理 R =R。222zyxRRRR222zyxRRRRR21FQ vQ v 755. 應(yīng)用動量方程式解決問題的步

47、驟：應(yīng)用動量方程式解決問題的步驟：（）取控制體；（）取控制體；（3）正確分析受力，未知力設(shè)定方向；）正確分析受力，未知力設(shè)定方向； （2）建立坐標(biāo)系）建立坐標(biāo)系 以計(jì)算簡便為原則以計(jì)算簡便為原則（）流出和流進(jìn)控制體的動量差：（）流出和流進(jìn)控制體的動量差： (下游斷面的動量下游斷面的動量)(上游斷面的動量上游斷面的動量) 1122FP1FP2FRFG動量方程解決的是固體壁面和流體之動量方程解決的是固體壁面和流體之間相互作用的整體作用力，應(yīng)使控制間相互作用的整體作用力，應(yīng)使控制體既包含待求作用力的固壁，又不含體既包含待求作用力的固壁，又不含其他的未知作用力的固壁其他的未知作用力的固壁（5）聯(lián)立動量

48、方程求解。）聯(lián)立動量方程求解。 21()xxQ vv766. 動量方程式在實(shí)際工程中的應(yīng)用動量方程式在實(shí)際工程中的應(yīng)用彎管內(nèi)水流對管壁的作用力彎管內(nèi)水流對管壁的作用力管軸水平放置管軸水平放置管軸豎直放置管軸豎直放置77例例3-15 水在直徑為水在直徑為10cm的的60水平彎管中，以水平彎管中，以5m/s的流速流的流速流動。彎管前端的壓強(qiáng)為動。彎管前端的壓強(qiáng)為0.1at(9807Pa)。如不計(jì)水頭損失，也不考。如不計(jì)水頭損失，也不考慮重力作用，求水流對彎管慮重力作用，求水流對彎管1-2的作用力。（彎管水平放置）的作用力。（彎管水平放置）解解（1）確定控制體。）確定控制體。取控制體為取控制體為1-

49、2斷面間彎管占有的空間；斷面間彎管占有的空間； （2）選擇坐標(biāo)系。）選擇坐標(biāo)系。如圖所示；如圖所示； xyz60A1A2v2v12p1p1122x軸為彎管進(jìn)口前管道的軸線軸為彎管進(jìn)口前管道的軸線xy平面為水平面平面為水平面78（3）控制體內(nèi)流體受力分析。）控制體內(nèi)流體受力分析。由于不考慮重力，質(zhì)量力為零，表面力包括：由于不考慮重力，質(zhì)量力為零，表面力包括：斷面斷面1上：上：P1=p1A1；斷面斷面2上：上：P2=p2A2；其余表面：彎管內(nèi)表面的作用力設(shè)為其余表面：彎管內(nèi)表面的作用力設(shè)為 ，其投影與，其投影與x軸成軸成角。角。未知壓強(qiáng)未知壓強(qiáng)p2應(yīng)用能量方程：應(yīng)用能量方程： 由于由于Z1=Z2，

50、v1=v2=v，可得：，可得：R2211221222pvpvZZgggg129807pppPaxyzR60A1A2v2v12p1p1122可求出在可求出在x、y軸上的分力軸上的分力79（4）流出和流進(jìn)控制體的動量差：）流出和流進(jìn)控制體的動量差：xyzR60A1A2v2v12p1p1122由于斷面面積不變由于斷面面積不變v1= v2=5m/s（5）聯(lián)立動量方程得：）聯(lián)立動量方程得：1 12 2211 1212cos60cos1cos60coscos60cos601xxxVFpAp ARpARQvvv A vvAv21()xxQ vv8022212221sin 60sinsin 60sinsin

51、600sin 60yVyyzzvzzFp ARpARQvvvA vAvFRQvv 22211cos60coscos601sin60sinsin60zvzzpARAvpARAvRQ vv29807(0.1 )77.14pAPamN也即：也即：8123223277.11cos 60cos1000/(0.1 )5/cos 601477.1sin 60sin1000/(0.1 )5/sin 6040NRkgmmmsNRkgmmmsRz272 ,60 ,0zRNR聯(lián)立求解，得：聯(lián)立求解，得：（6）由于水流對彎管的作用力與彎管對水流）由于水流對彎管的作用力與彎管對水流的作用力大小相等方向相反。的作用力大小

52、相等方向相反。 因此水流對彎管的作用力因此水流對彎管的作用力F為：為： F=272N，方向與，方向與R相反。相反。FR 82【例例】 一變徑彎管，軸線位于同一水平面，轉(zhuǎn)角一變徑彎管，軸線位于同一水平面，轉(zhuǎn)角 ，直徑由，直徑由 dA200 mm 變?yōu)樽優(yōu)?dB150 mm ，在流量，在流量 時，壓強(qiáng)時，壓強(qiáng) ，求水流對，求水流對 AB 段段 彎管的作用力。不計(jì)彎管段的水彎管的作用力。不計(jì)彎管段的水頭損失。頭損失。（彎管水平放置）（彎管水平放置）o60sQ/m1 . 032KN/m 18Ap解：解：222221 4 3.18 m/s4 5.66 m/s2 ()7.03 KN/m22ABAABBBA

53、BBAvvQvdQvdpvvppgg（）用連續(xù)性方程計(jì)算和（ ）用能量方程計(jì)算BAyxoQxRyRB832223 () () cos(cos)44 sin4xyxBxAxyByAyAABBxBABBABRRxyFQ vvFQ vvpdpdRQ vvpd（）將流段作為隔離體取出，規(guī)定坐標(biāo)正方向，假定彎管反力和的方向，寫和兩個坐標(biāo)方向的動量方程：代入題中的外力和流速，注意力和流速的正負(fù)性221(sin0) 0.538 KN , 0.598 KN , tanyBxyyxyxRQvRRRRRRR代入已知數(shù)據(jù)可求得。相反，即方向彎管的反力大小相等，流體對彎管的作用力與結(jié)論：）（ 4RRBAyxoQxRyRB84【例例】如圖所示，夾角呈如圖所示，夾角呈60的分岔管水流射入大氣，的分岔管水流射入大氣，干 管 及 管 的 軸 線 處 于 同 一 水 平 面 上 。 已 知干