1、會計學1函數的連續性函數的連續性7返 回什么是連續函數什么是連續函數?直觀感受直觀感受: 圖象上的點都連在一起的函數叫作連圖象上的點都連在一起的函數叫作連續函數續函數.直觀描述直觀描述: 當自變量越來越接近時當自變量越來越接近時, 其函數值也其函數值也越來越靠近的函數就是連續函數越來越靠近的函數就是連續函數.可惜的是可惜的是, 上面這種定性描述的要求過強了些上面這種定性描述的要求過強了些, 可以舉出直觀上連續的函數可以舉出直觀上連續的函數, 但不滿足上面的但不滿足上面的要求要求.| )()(| ,|,0)(,0:2121 xfxfxx時時當當定定性性描描述述第1頁/共27頁.uuu).(uuu

2、uuuuu01010110 記作記作或增量或增量的改變量的改變量變量變量稱為稱為之差之差與初值與初值終值終值，變到終值變到終值從初值從初值變量變量.)x( f)x( f)xx( f)x( f)x( fy000的改變量的改變量稱為函數稱為函數相應地，相應地， .xx,xxx),x(Ux,)x(U)x( f0000的改變量的改變量在點在點稱為自變量稱為自變量內有定義內有定義在在設函數設函數 第2頁/共27頁 20202000002xxx2x)xx()x( f)xx( fy,xxxx,x)x( f1 函函數數的的改改變變量量為為時時變變化化到到從從當當自自變變量量設設例例時時變化到變化到，即自變量從

3、，即自變量從當當2 . 222 . 0 x, 2x0 84. 02 . 02 . 022y2 時時變化到變化到，即自變量從，即自變量從當當8 . 122 . 0 x, 2x0 76. 0)2 . 0()2 . 0(22y2 第3頁/共27頁二、連續函數的概念二、連續函數的概念 定義定義1 1 設函數設函數 在點在點 的某領域內有定義的某領域內有定義, ,如果當自變量如果當自變量的改變量的改變量 趨向于零時趨向于零時, ,對應的函數的改變量對應的函數的改變量 也趨向于零也趨向于零, ,即即 則稱函數則稱函數 在點在點 處連續處連續, ,稱稱 為為 的連續點的連續點. .x y ylim0 x 0

4、)x( f)xx( f lim000 x )x( f0 x0 x)x( f0 x)x( fxy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 第4頁/共27頁例例2 2.),(xsiny內任一點連續內任一點連續在區間在區間函數函數證明證明 證證),(x0 任取任取00 xsin)xxsin(y )2xxcos(2xsin20 , 1)2xxcos(0 ,x2xsin2y 故故. 0y,0 x 時時當當.),(xxsiny0都是連續的都是連續的對任意對任意函數函數即即 .),(xcosy內任一點連續內任一點連續在區間在區間函數函數同理，同理， 第5頁/共27頁定義

5、定義2 2 設函數設函數)x( f在點在點0 x的某領域內有定義的某領域內有定義, ,如果函數如果函數)x( f在點在點0 x處滿足處滿足 )x( f)x( flim0 xx0 則稱函數則稱函數)x( f在點在點0 x連續連續. . ,xx0 x, xxx00 時，時，令令 ),x( f)x( f)x( f)xx( fy000 0)x( f)x( f limylim0 xx0 x0 )x( f)x( flim0 xx0 第6頁/共27頁例例3 3.0 x, 0 x, 0, 0 x,x1sinx)x( f處連續處連續在在試證函數試證函數 證證, 0 x1sinxlim0 x , 0)0( f 又

6、又.0 x)x( f處連續處連續在在則函數則函數 ),0( f)x( flim0 x 第7頁/共27頁;x)x( f)x( f)x( flim),x( f)0 x( f,x, a()x( f00 xx0000處左連續處左連續在點在點則稱則稱即即且且內有定義內有定義在在若函數若函數 .x)x( fx)x( f00處既左連續又右連續處既左連續又右連續在在是函數是函數處連續處連續在在函數函數.x)x( f)x( f)x( flim),x( f)0 x( f,)b,x)x( f00 xx0000處右連續處右連續在點在點則稱則稱即即且且內有定義內有定義在在若函數若函數 第8頁/共27頁例例4 4.0 x

7、, 0 x, 2x, 0 x, 2x)x( f處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 解解)2x(lim)x( flim0 x0 x 2 )2x(lim)x( flim0 x0 x 2 .0 x)x( f處不連續處不連續在點在點故函數故函數 不存在。不存在。)x( flim0 x第9頁/共27頁 如果函數在開區間如果函數在開區間(a,b)(a,b)內每一點都連續內每一點都連續, ,則稱函則稱函數在在開區間數在在開區間(a,b)(a,b)內連續內連續. .b, a)x( f,bx,ax,)b, a(上連續上連續在閉區間在閉區間則稱函數則稱函數處左連續處左連續在右端點在右端點右連續右連續處處并且

8、在左端點并且在左端點內連續內連續如果函數在開區間如果函數在開區間 連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線. .連續函數的定義連續函數的定義第10頁/共27頁:x)x( f0條件條件處連續必須滿足的三個處連續必須滿足的三個在點在點函數函數;x)x( f)1(0處有定義處有定義在點在點;)x( flim)2(0 xx存在存在).x( f)x( flim)3(0 xx0 .)x( fx,0的間斷點的間斷點為為則稱點則稱點要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只三、函數的間斷點三、函數的間斷點第11頁/共27頁.)x( fx),0 x(

9、 f)0 x( f,x)x( f0000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數為函數則稱點則稱點但但右極限都存在右極限都存在處左處左在點在點如果如果 .xx00處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在在點在點時函數的間斷點且函數時函數的間斷點且函數若若.第二類間斷點第二類間斷點除此以外的間斷點稱為除此以外的間斷點稱為.)f(xx0的第一類間斷點的第一類間斷點為為稱稱.)x( fxx)x( f),x( fA)x( flim,x)x( f000 xx00的可去間斷點的可去間斷點為函數為函數處無定義則稱點處無定義則稱點在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果 躍間斷點。躍間斷點。又分為可去間

10、斷點和跳又分為可去間斷點和跳第一類間斷點第一類間斷點.非無窮型第二類間斷點非無窮型第二類間斷點又分為無窮型間斷點和又分為無窮型間斷點和第二類間斷點第二類間斷點.xx)x( f00窮型間斷點窮型間斷點為無為無，則稱，則稱一個為一個為處的左右極限中至少有處的左右極限中至少有在點在點如果如果 .間斷點間斷點點稱為非無窮型第二類點稱為非無窮型第二類除此以外的第二類間斷除此以外的第二類間斷第12頁/共27頁 , 1x, x11x, 1x0, 1,x2)x( foxy112xy 1xy2 .0 x為函數的可去間斷點為函數的可去間斷點 注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義可去間斷點只要改變或

11、者補充間斷處函數的定義, , 則可使其變為連續點則可使其變為連續點. .第13頁/共27頁., 0 x, x, 0 x,x1)x( f oxy, 0)00( f ,)00( f .1間間斷斷點點為為函函數數的的第第二二類類無無窮窮型型 x第14頁/共27頁x1sin)x( f xy1sin .0 x點點為第二類非無窮型間斷為第二類非無窮型間斷 .斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間第15頁/共27頁.x)0)x(g()x(g)x( f),x(g)x( f),x(g)x( f,x)x(g),x( f000處也連續處也連續在點在點則則處連續處連續在點在點若函數若函數 例如例如,),(x

12、cos, xsin內連續內連續在在.xcsc, xsec, xcot, xtan在其定義域內連續在其定義域內連續故故四、連續函數的性質四、連續函數的性質1.連續函數的四則運連續函數的四則運算算第16頁/共27頁).x(lim f)u( f)x( flim,u)x(lim,u)u( f000 xx0 xx0 xx0 則有則有若若連續連續在點在點函數函數2.復合函數的連續性復合函數的連續性.xx)x( fy,uu)u( fy,u)x(,xx)x(u00000也連續也連續在點在點則復合函數則復合函數連續連續在點在點數數而函而函且且連續連續在點在點設函數設函數 第17頁/共27頁單調連續函數必有連續的

13、反函數，且單調性不變單調連續函數必有連續的反函數，且單調性不變. .例如例如, ,2,2xsiny上單調增加且連續上單調增加且連續在在 .1 , 1xarcsiny上也是單調增加且連續上也是單調增加且連續在在故故 ;1 , 1xarccosy上單調減少且連續上單調減少且連續在在同理同理 .),(xcotarcy, xarctany內單調且連續內單調且連續在在 反三角函數在其定義域內皆連續反三角函數在其定義域內皆連續. .3.反函數的連續性反函數的連續性第18頁/共27頁三角函數及反三角函數在它們的定義域內是連續的三角函數及反三角函數在它們的定義域內是連續的.)1a, 0a(ayx 指數函數指數

14、函數;),(內單調且連續內單調且連續在在)1a, 0a(xlogya 對數函數對數函數;), 0(內單調且連續內單調且連續在在4.初等函數的連續性初等函數的連續性xy xlogaa ,ayu . xlogua ,), 0(內連續內連續在在 , 不同值不同值討論討論均在其定義域內連續均在其定義域內連續.基本初等函數在定義域內是連續的基本初等函數在定義域內是連續的. .一切初等函數在其定義區間內都是連續的一切初等函數在其定義區間內都是連續的. .第19頁/共27頁例例5 5. 1esinlimx1x 求求1esin1 原式原式. 1esin 例例6 6.x1x1lim20 x 求求解解解解)1x1

15、(x)1x1)(1x1(lim2220 x 原式原式1x1xlim20 x 20 . 0 第20頁/共27頁例例7 7.x)x1ln(lim0 x 求求. 1 x10 x)x1ln(lim 原式原式)x1(limlnx10 x eln 解解例例8 8.x1elimx0 x 求求. 1 )y1ln(ylim0y 原式原式解解,y1ex 令令),y1ln(x 則則. 0y,0 x 時時當當y10y)y1ln(1lim 第21頁/共27頁 定理定理( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區間上連續的函數一定在閉區間上連續的函數一定取得最大值和最小值取得最大值和最小值. .ab2 1 x

16、yo)(xfy ).x( f) ( f),x( f) ( f,b, ax,b, a ,2121 有有使得使得注意注意: :1.若區間是開區間若區間是開區間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區間內有間斷點若區間內有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.五、閉區間上連續函數的性質五、閉區間上連續函數的性質第22頁/共27頁 定理定理( (有界性定理有界性定理) ) 在閉區間上連續的函數一定在該區間上在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界有界. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 第23頁/共27頁MCmab2x1xxyo)(xfy 定理定理( (介值定理介值定理) ) 設函數設函數)x( f在閉區間在閉區間 b, a上連續，且在上連續，且在 b, a上的最大值與最小值分別為上的最大值與最小值分別為M M與與m,m,則對于則對于m m與與M M之間的任之間的任意一個數意一個數C(mCM)(mCM)，在開區間，在開區間 b, a內至少有一點內至少有一點 ，使得，使得C) ( f . . 第24頁/共27頁推論推論( (零值定理零值定理) ) 設函數設函數)x( f在閉區間在閉區間 ba, 上連續，且上連續，且)a( f與與)b( f異號異號( (即即0)b( f)a( f ),),那末在開區間那末在開區間 b, a內至少有內至少有函數函數)x(