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1、25例談構造解析幾何模型解代數式或三角題四川省高中數學省級骨干三班學員四川省大竹中學徐天順有些代數或三角問題，有幾何背景，我們可以構造解析幾何模型，化數為形，利用幾 何的直觀性，簡捷獲解。1.1.構造“直線模型”COSCE + COS斜率sint- sin/?3二一COE COS4y =工+為設直線 ABAB 的方程為：425?-24 + （16A30由韋達定理，得：鼻32J)” + 旳=sin + sin/7=-ZJXJ- eosccos/? =1如-1625=COSCK + COE/J =同理，得:2対_瀚+ （腦_9）二Dyy2= sinctsin 0二例 1.1.已知sin a + s

2、in解：因為點切2）、血罰在單位圓才=1=1 上，所以直線的值。ABAB 的2+ 14 0)0) 上所以,72+1 + V2A + 1 0,&，求證:這可認為是點到直線cos4fi(sin* 912 2匚0E。sin a，求證:E sin1證明：由已知，得點Reg匏 1010 丿在單位圓上又點si也在單位圓F +才=1 1 上過點 B B 的切線方程為 L L:心H：-把點 A A 的坐標代入切線 L L 的方程中，顯然滿足，由此知一一 ，從而 A A 點亦為切點，由切點 的唯一性知：coscos3 3a- sin3cs .- =C OSj7, - = 3ia/73Esin Q + (

3、l-反)丿 +COST- 2 即:，且所以,cos4$ sin432 j7+ = ws c + siii a = 1cosJa sin a4.構造“直線與圓相交模型”例 4.4.若八 7 -i-i，求滿足等式cos a + cosP - cosf a + 2 2 的 6P的值。sin a呂ui0 + (1- cos a) cs# + cos a 0解：原等式化為sin?= cos/?，得方程組直線1 1和單位圓2 2有公共點的充要條件是3coses-2IT勺4 + (1 - COS C!)31K= cose = , a = 235.5.構造“橢圓模型”例 5.5.解方程： J J，+4/+4/ + + 8 8 + +_8A + + 2020 = = 1010解：將原方程配方，得：J（j；+ 2）斗4 +_ 4），+4 = 10經檢驗, 6.6.構造“雙曲線模型”jifsec3os tan25fsecaA tan2rf)證明：由已知點由切點的唯一性知，點A A 與點 B B 重合。所以所以,-2-2，0 0）、（ 4 4，0 0）為焦點，長、短半軸分別為5 5、4 4 的橢圓將 b b =4=4 代入橢圓方程中，解得例 6.6.已知sec* a; tan* asecatan3ff，求證:sec4B tan40- - :-=1sec2aaA A 也在此切點上,令尸,

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