1、晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式 格波格波 先計算原子之間的相互作用力先計算原子之間的相互作用力 根據牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程根據牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程 一維無限原子鏈一維無限原子鏈 每個原子質量每個原子質量m，平衡時原子間距，平衡時原子間距a 原子之間的作用力原子之間的作用力 第第n個原子離開個原子離開平衡位置的位移平衡位置的位移n第第n個原子和第個原子和第n1個原子間的相對位移個原子間的相對位移nn1第第n個原子和第個原子和第n1個原子間的距離個原子間的距離nna1位移前位移前位移后位移后平衡位置時，兩個原子間的互作

2、用勢能平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能)(av)(av發生相對位移發生相對位移 后，相互作用勢能后，相互作用勢能nn 1itemshigherdrvddrdvavavaa222)(21)()()( 常數常數)(av簡諧近似簡諧近似 振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項dvfd adrvd)(22 相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用力0)( adrdv 平衡條件平衡條件 譬如：Lennard-Jones 勢！ 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力個原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnn第第n個原子的運動方程個原子

3、的運動方程2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 每一個原子運動方程類似每一個原子運動方程類似 方程的數目和原子數相同方程的數目和原子數相同方程解和振動頻率方程解和振動頻率 )2(1122nnnndtdm設方程組的設方程組的)(naqtinAenaq 第第n個原子振動位相因子個原子振動位相因子(1)1(1)1itnaqnitnaqnAeAe)2(2iaqiaqeem代入得到代入得到224sin ()2aqm naqtqinAetq )(, )2sin(4aqmq qq 一維簡單晶格中格波的色散關系，即振動頻譜一維簡單晶格中格波的色散關系，即振動頻譜格波的意義格波的意義連續介質波

4、連續介質波)()2(qxtixtiAeAe波數波數2q 格波和連續介質波具有完全類似的形式格波和連續介質波具有完全類似的形式 一個格波表示的是所有原子同時做頻率為一個格波表示的是所有原子同時做頻率為 的振動的振動格波解格波解 格波的波形圖格波的波形圖 簡諧近似下，格波是簡諧平面波簡諧近似下，格波是簡諧平面波 naqtqinAetq )(, 向上的箭頭代表向上的箭頭代表原子沿原子沿X軸向右振動軸向右振動 向下的箭頭代表向下的箭頭代表原子沿原子沿X軸向左振動軸向左振動,.2, 1 ,0, 1,2.,)2(1122ndtdmnnnn)(naqtinAe224sin ()2aqm類似的數值計算問題：類

5、似的數值計算問題：格波波長格波波長 naqtqinAetq )(, 2q格波波矢格波波矢2qn格波相速度格波相速度 qqvp 不同原子間位相差不同原子間位相差aqnnnaqaqn)(格波方程格波方程相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差aqnaqaqn ) 1()(cos),(0 uxtAtxy波矢的取值波矢的取值和和布里淵區布里淵區naqtqinAe)(格波格波相鄰原子位相差相鄰原子位相差aqaq2 原子的振動狀態相同原子的振動狀態相同aaq2421相鄰原子位相差相鄰原子位相差1/2aqaaq255/42222/2aq相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差當當 q1 = 2 / na + q2會出現什么

6、情況？會出現什么情況？aqqaa 兩種波矢的格波中，兩種波矢的格波中，原子的物理振動完全相同原子的物理振動完全相同21aq222aq波矢的取值波矢的取值相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差 恰好是恰好是晶格的第一布里淵區晶格的第一布里淵區 只需研究清楚第一布里淵區的晶格振動問只需研究清楚第一布里淵區的晶格振動問題題 其它區域不能提供新的物理內容其它區域不能提供新的物理內容 )2sin(4aqmq 從能譜來看也具有第一布里淵區的周期性：從能譜來看也具有第一布里淵區的周期性：q1 = 2 / na + q2 一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每

7、個原子的振動形式都一樣原子的振動形式都一樣 而實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭而實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運動方程來描述的原子不能用中間原子的運動方程來描述 N個原子頭尾相接形成一個環鏈，保持了所有原子等價的個原子頭尾相接形成一個環鏈，保持了所有原子等價的特點特點 處理問題時要考慮處理問題時要考慮到環鏈的循環性到環鏈的循環性 N很大，原子運動很大，原子運動近似為直線運動近似為直線運動設第設第n個原子的位移個原子的位移n再增加再增加N個原子之后，個原子之后，第第N + n個原子的位移個原子的位移nN則有則有nnN)(naqtiaqnNtiAeA

8、e 要求要求1iNaqehNaq22, 12, 22, 0 , 32, 22, 12NNNNNNhhNaq2 h為整數為整數波矢的取值范圍波矢的取值范圍aqaN=even ？22NhN22*LNaNh N個整數值，波矢個整數值，波矢q 取取N個不同的分立值個不同的分立值 第一布里淵區包含第一布里淵區包含N個狀態個狀態波矢密度：單位波矢密度：單位 q 空間的波矢數空間的波矢數hNaq2波矢波矢獨立波矢數獨立波矢數 = N （原胞數）（原胞數）波矢密度：波矢密度：3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2:62 , 1 , 0 , 1:41 , 0:2hNhNhN格波的色散關系格波的色散關系)2(s

9、in422aqm )2sin(2aqmq 頻率是波數的偶函數頻率是波數的偶函數 色散關系曲線具有周期性色散關系曲線具有周期性 q空間的周期空間的周期2a頻率極小值頻率極小值0min頻率極大值頻率極大值max2/m0qa02/m只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強烈衰減其它頻率的格波被強烈衰減02/m 一維單原子晶格看作成低通濾波器一維單原子晶格看作成低通濾波器其實，這也是能帶！ 書上沒這么說？是因為經典物理時，書上沒這么說？是因為經典物理時， 不是能量不是能量 能帶是一個量子概念，這里的情形量子化后是玻色場能帶是一個量子概念，這里的情

10、形量子化后是玻色場NN/2N/2 )2sin(20aqqm0格波格波 長波極限長波極限情況情況 ), 0(aq0q當當 )2sin(2aqmq /am q 一維單原子格波的色散關系與連續一維單原子格波的色散關系與連續 介質中彈性波的色散關系一致介質中彈性波的色散關系一致2)2sin(qaqaq c相鄰原子之間的作用力相鄰原子之間的作用力-f 格波傳播速度格波傳播速度)(aaf/cam/am q/acm a連續介質彈性波的速度連續介質彈性波的速度/ElasticVK 連續介質的彈性模量和介質密度連續介質的彈性模量和介質密度,KaK 長波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波長波極限下，一維單

11、原子晶格格波可以看作是彈性波 晶格可以看成是連續介質晶格可以看成是連續介質 /cq長波極限長波極限情況情況 K 伸長模量伸長模量格波格波 短波極限短波極限情況情況)(aq2/sin()2aqmmax2/m0) 1(qaqnaanq 一個波長內包含許多原子，晶格看作是連續介質一個波長內包含許多原子，晶格看作是連續介質短波極限下短波極限下qaaq22 相鄰兩個原子振動的位相相反相鄰兩個原子振動的位相相反長波極限下長波極限下 ，相鄰兩個原子之間的位相差，相鄰兩個原子之間的位相差(0)q 長波極限下長波極限下0) 1(qaqnaanq短波極限下短波極限下qaaq220q 相鄰兩個原子振動位相差相鄰兩個

12、原子振動位相差2q 原子位移和簡正坐標的關系原子位移和簡正坐標的關系 第第q個格波引起第個格波引起第n個原子位移個原子位移 )(naqtiqnqeAq 第第n個原子總的位移個原子總的位移 qnaqtiqqnnqeAq)( qinaqqneQNm1tiqqqeANmQ令令原子坐標和簡正坐標的變換原子坐標和簡正坐標的變換qqnqnQam(1/)inaqnqqmN eQ(1/)inaqnqaN eNjjijiiQam31動能和勢能的形式動能和勢能的形式 )()(*qQqQinaqeN1 N項獨立的模式，具有正交性項獨立的模式，具有正交性動能的正則坐標表示動能的正則坐標表示nnmT221qqqQQT2

13、1勢能的正則坐標表示勢能的正則坐標表示nnnU21)(211(), 01Nina q qq qneNqinaqqneQNm1原子位移原子位移 為實數為實數 正交性正交性涉及求和符號的推導一定不要怕煩！勢能勢能qinaqqneQNm1qaqniqneQNm)1(11nnnU21)(2122qiaqiaqqqeeQQmUqqqqqqaqQQmaqQQm22sin2 )cos(1FT！能量守恒2212()sin22qqqqqqaqHTUQ QQ Qm我們尋找一個獨立的模式2/sin()2aqmtiqqeQtQ)(2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 回想：力學GSP當時為啥不說FT

14、？ )cos(1*qqqaqQQmU將將 代入得到代入得到)cos(122aqmqqqqqQQU*2122221qqqQU哈密頓量哈密頓量2221()2qqqqHTUQQ 系統復數形式的簡正坐標系統復數形式的簡正坐標tiqqqeANmQ系統勢能系統勢能)()(21)(qibqaqQ)()(21)(*qibqaqQqqQT2212221qqqQU022)()(21qqbqaT實數形式的簡正坐標實數形式的簡正坐標令令0222)()(21qqqbqaU哈密頓量哈密頓量222220011( )( )( )( )22qqqHaqb qaqb q能量本征值能量本征值聲子聲子 晶格振動的能量量子；或格波的能量量子晶格振動的能量量子；或格波的能量量子一個格波是一種振動模，稱為一種聲子，能量為一個格波是一種振動模，稱為一種聲子，能量為q當這種振動模處于當這種振動模處于 時，說明有時，說明有 個聲子個聲子qqn)21(qn2()exp()( )2qqqnqnQH本征態函數本征態函數 一個簡正坐標對應一個諧振子方程，波函數是以簡正一個簡正坐標對應一個諧振子方程，波函數是以簡正坐標為宗量的諧