1、精選優質文檔-傾情為你奉上現代控制理論復習題1二、（15分）考慮由下式確定的系統： 試求其狀態空間實現的能控標準型、能觀標準型和對角線標準型，并畫出能控標準型的狀態變量圖。 解： 能控標準形為 能觀測標準形為 對角標準形為 三、（10分）在線性控制系統的分析和設計中，系統的狀態轉移矩陣起著很重要的作用。對系統 求其狀態轉移矩陣。解：解法1。 容易得到系統狀態矩陣A的兩個特征值是，它們是不相同的，故系統的矩陣A可以對角化。矩陣A對應于特征值的特征向量是取變換矩陣 ， 則 因此， 從而， 解法2。拉普拉斯方法 由于 故 解法3。凱萊-哈密爾頓方法 將狀態轉移矩陣寫成 系統矩陣的特征值是-1和-2，

2、故 解以上線性方程組，可得 因此， 四、（15分）已知對象的狀態空間模型,是完全能觀的，請畫出觀測器設計的框圖，并據此給出觀測器方程，觀測器設計方法。 解 觀測器設計的框圖： 觀測器方程： 其中：是觀測器的維狀態，L是一個n×p維的待定觀測器增益矩陣。 觀測器設計方法： 由于 因此，可以利用極點配置的方法來確定矩陣L，使得具有給定的觀測器極點。具體的方法有：直接法、變換法、愛克曼公式。 五、（15分）對于一個連續時間線性定常系統，試敘述Lyapunov穩定性定理，并舉一個二階系統例子說明該定理的應用。 解 連續時間線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理： 線性時不變系統在平衡點處漸近穩

3、定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程有惟一的對稱正定解P。 在具體問題分析中，可以選取Q = I。考慮二階線性時不變系統： 原點是系統的惟一平衡狀態。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程 其中的未知對稱矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 進一步可得聯立方程組 從上式解出、和，從而可得矩陣 根據塞爾維斯特方法，可得 故矩陣P是正定的。因此，系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。 六、（10分）已知被控系統的傳遞函數是 試設計一個狀態反饋控制律，使得閉環系統的極點為-1 ± j。 解 系統的狀態空間模型是 將控制器 代入到所考慮系統的狀態方程中

4、，得到閉環系統狀態方程 該閉環系統的特征方程是 期望的閉環特征方程是 通過 可得 從上式可解出 因此，要設計的極點配置狀態反饋控制器是 七、（10分）證明：等價的狀態空間模型具有相同的能控性。 證明 對狀態空間模型 它的等價狀態空間模型具有形式 其中： T是任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關系式，等價狀態空間模型的能控性矩陣是 由于矩陣T是非奇異的，故矩陣，和具有相同的秩，從而等價的狀態空間模型具有相同的能控性。 八、（15分）在極點配置是控制系統設計中的一種有效方法，請問這種方法能改善控制系統的哪些性能？對系統性能是否也可能產生不利影響？如何解決？ 解： 極點配置可以改善系統的動態性能，如調

5、節時間、峰值時間、振蕩幅度。 極點配置也有一些負面的影響，特別的，可能使得一個開環無靜差的系統通過極點配置后，其閉環系統產生穩態誤差，從而使得系統的穩態性能變差。 改善的方法：針對階躍輸入的系統，通過引進一個積分器來消除跟蹤誤差，其結構圖是 構建增廣系統，通過極點配置方法來設計增廣系統的狀態反饋控制器，從而使得閉環系統不僅保持期望的動態性能，而且避免了穩態誤差的出現。現代控制理論復習題2二、（20分）已知系統的傳遞函數為 （1） 采用串聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖； （2） 采用并聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖。 答:（1）將G(s)寫成以下形

6、式：這相當于兩個環節和串連，它們的狀態空間模型分別為： 和 由于，故可得給定傳遞函數的狀態空間實現是： 將其寫成矩陣向量的形式，可得： 對應的狀態變量圖為： 串連分解所得狀態空間實現的狀態變量圖（2）將G (s)寫成以下形式： 它可以看成是兩個環節和的并聯，每一個環節的狀態空間模型分別為： 和 由此可得原傳遞函數的狀態空間實現： 進一步寫成狀態向量的形式，可得： 對應的狀態變量圖為： 并連分解所得狀態空間實現的狀態變量圖 三、（20分）試介紹求解線性定常系統狀態轉移矩陣的方法，并以一種方法和一個數值例子為例，求解線性定常系統的狀態轉移矩陣； 答：求解狀態轉移矩陣的方法有： 方法一 直接計算法：

7、 根據狀態轉移矩陣的定義 來直接計算，只適合一些特殊矩陣A。 方法二 通過線性變換計算狀態轉移矩陣，設法通過線性變換，將矩陣A 變換成對角矩陣或約當矩陣，進而利用方法得到要求的狀態轉移矩陣。 方法三 拉普拉斯變換法：。 方法四 凱萊-哈密爾頓方法 根據凱萊-哈密爾頓定理和，可導出具有以下形式： 其中的均是時間 t 的標量函數。根據矩陣A有n個不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數。 舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態矩陣 所確定的自治系統的狀態轉移矩陣。 由于 故 四、（10分）解釋狀態能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉例說明之。 答：狀態能觀性的含義：狀態能觀性反映了通過系

8、統的輸出對系統狀態的識別能力，對一個零輸入的系統，若它是能觀的，則可以通過一段時間內的測量輸出來估計之前某個時刻的系統狀態。 狀態能觀的判別方法： 對于n階系統 1. 若其能觀性矩陣列滿秩，則系統完全能觀2. 若系統的能觀格拉姆矩陣 非奇異，則系統完全能觀。 舉例： 對于系統 其能觀性矩陣 的秩為2，即是列滿秩的，故系統是能觀的。 五、（20分）對一個由狀態空間模型描述的系統，試回答： （1） 能夠通過狀態反饋實現任意極點配置的條件是什么？ （2） 簡單敘述兩種極點配置狀態反饋控制器的設計方法； （3） 試通過數值例子說明極點配置狀態反饋控制器的設計。 答：（1）能夠通過狀態反饋實現任意極點配

9、置的條件：系統是能控的。 （2）極點配置狀態反饋控制器的設計方法有直接法、變換法、愛克曼公式法。 直接法 驗證系統的能控性，若系統能控，則進行以下設計。 設狀態反饋控制器u =Kx，相應的閉環矩陣是ABK，閉環系統的特征多項式為由期望極點可得期望的閉環特征多項式 通過讓以上兩個特征多項式相等，可以列出一組以控制器參數為變量的線性方程組，由這組線性方程可以求出極點配置狀態反饋的增益矩陣K。 變換法 驗證系統的能控性，若系統能控，則進行以下設計。 將狀態空間模型轉化為能控標準型，相應的狀態變換矩陣設期望的特征多項式為而能控標準型的特征多項式為 所以，狀態反饋控制器增益矩陣是 （3） 采用直接法來說

10、明極點配置狀態反饋控制器的設計 考慮以下系統 設計一個狀態反饋控制器，使閉環系統極點為2和3。 該狀態空間模型的能控性矩陣為 該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統能控。 設狀態反饋控制器將其代入系統狀態方程中，得到閉環系統狀態方程 其特征多項式為 由期望的閉環極點 2和3，可得閉環特征多項式通過 可得 由此方程組得到 因此，要設計的極點配置狀態反饋控制器 六、（20分）給定系統狀態空間模型（1） 試問如何判斷該系統在李雅普諾夫意義下的穩定性？ （2） 試通過一個例子說明您給出的方法； （3） 給出李雅普諾夫穩定性定理的物理解釋。 答： （1）給定的系統狀態空間模型是一個線性時不變系統，根據線性時不

11、變系統穩定性的李雅普諾夫定理，該系統漸近穩定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程有一個對稱正定解矩陣P。因此，通過求解矩陣方程，若能得到一個對稱正定解矩陣P，則系統是穩定的；若得不到對稱正定解矩陣P，則系統是不穩定的。一般的，可以選取Q = I。 （2）舉例：考慮由以下狀態方程描述的二階線性時不變系統： 原點是該系統的惟一平衡狀態。求解李雅普諾夫方程：，其中的未知矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 為了計算簡單，選取Q =2I，則從以上矩陣方程可得：求解該線性方程組，可得：即判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統是漸近穩定的。 （3）李雅普諾夫穩定性定理的物理意

12、義：針對一個動態系統和確定的平衡狀態，通過分析該系統運動過程中能量的變化來判斷系統的穩定性。具體地說，就是構造一個反映系統運動過程中能量變化的虛擬能量函數，沿系統的運動軌跡，通過該能量函數關于時間導數的取值來判斷系統能量在運動過程中是否減少，若該導數值都是小于零的，則表明系統能量隨著時間的增長是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統運動上，就是系統運動逐步趨向平緩，直至在平衡狀態處穩定下來，這就是李雅普諾夫意義下的穩定性。現代控制理論復習題3二、（20分）（1）如何由一個傳遞函數來給出其對應的狀態空間模型，試簡述其解決思路？ （2）給出一個二階傳遞函數的兩種狀態空間實現。 解：（1）單輸入單輸出線性

13、時不變系統傳遞函數的一般形式是 若，則通過長除法，傳遞函數總可以轉化成將 分解成等效的兩個特殊環節的串聯： 可得一個狀態空間實現 串聯法 其思想是將一個n階的傳遞函數分解成若干低階傳遞函數的乘積，然后寫出這些低階傳遞函數的狀態空間實現，最后利用串聯關系，寫出原來系統的狀態空間模型。并聯法 其的思路是把一個復雜的傳遞函數分解成若干低階傳遞函數的和，然后對每個低階傳遞函數確定其狀態空間實現，最后根據并聯關系給出原來傳遞函數的狀態空間實現。 （2）方法一：將重新寫成下述形式：每一個環節的狀態空間模型分別為： 又因為， 所以 因此，若采用串聯分解方式，則系統的狀態空間模型為： 方法二：將重新寫成下述形

14、式：每一個環節的狀態空間模型分別為： 又由于 因此，若采用并聯分解方式，則系統的狀態空間模型為： 方法三：將重新寫成下述形式： 則系統的狀態空間模型為： 評分標準：問題（1）10分，由一個傳遞函數轉換為狀態空間模型思路清晰，方法正確10分；問題（2）10分，兩種狀態空間實現方法各5分。 三、（20分）（1）試問狀態轉移矩陣的意義是什么？ （2）狀態轉移矩陣是否包含了對應自治系統的全部信息？ （3）介紹兩種求解線性定常系統狀態轉移矩陣的方法； （4）計算系統的狀態轉移矩陣。 解：（1）狀態轉移矩陣的意義是決定狀態沿著軌線從初始狀態轉移到下一個狀態的規律，即初始狀態x0在狀態轉移矩陣(t,t 0)

15、的作用下，t0時刻的初始狀態x0經過時間tt0后轉移到了時刻t的狀態x (t)。 （2）狀態轉移矩陣包含了對應自治系統的全部信息；對于自治系統（3）拉普拉斯變換法、凱萊-哈密爾頓法、線性變換法、直接計算法。 方法一 直接計算法 根據定義， 我們已經知道上式中的矩陣級數總是收斂的，故可以通過計算該矩陣級數的和來得到所要求的狀態轉移矩陣。 方法二 線性變換法 如果矩陣A是一個可對角化的矩陣，即存在一個非奇異矩陣T，使得 則 方法三 拉普拉斯變換法 方法四 凱萊-哈密爾頓法 解一個線性方程組 其系數矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，當1,2,L ,n互不相同時，行列式的值不為零，從而從方程組可得惟一

16、解0(t), 1 (t), L ,n1 (t) 。由可得狀態轉移矩陣。 （4）方法一：線性變換法， 容易得到系統狀態矩陣A的兩個特征值是，它們是不相同的，故系統的矩陣A可以對角化。矩陣A對應與特征值的特征向量是取變換矩陣因此，從而，方法二：拉普拉斯變換法，由于 故 方法二：凱萊-哈密爾頓法 將狀態轉移矩陣寫成系統矩陣的特征值是-1和-2，故解以上線性方程組，可得因此，評分標準：每個問題5分。問題（1）狀態轉移矩陣的意義敘述完整5分；問題（2）判斷正確5分；問題（3）給出兩種求解線性定常系統狀態轉移矩陣的方法5分；問題（3）方法和結果正確5分。 四、（20分）（1）解釋系統狀態能控性的含義； （

17、2）給出能控性的判別條件，并通過一個例子來說明該判別條件的應用； （3）若一個系統是能控的，則可以在任意短時間內將初始狀態轉移到任意指定的狀態，這一控制效果在實際中能實現嗎？為什么？ 解：（1）對一個能控的狀態，總存在一個控制律，使得在該控制律作用下，系統從此狀態出發，經有限時間后轉移到零狀態。 （2）通過檢驗能控性判別矩陣是否行滿秩來判別線性時不變系統的能控性。若能控性判別矩陣是行滿秩的，則系統是能控的。 試判別由以下狀態方程描述的系統的能控性： 系統的能控性判別矩陣 由于 即矩陣cA, B不是滿秩的，該系統不是狀態完全能控的。 （3）若一個系統是能控的，則可以在任意短時間內將初始狀態轉移到

18、任意指定的狀態，這一控制效果在實際中難以實現，T越小，則控制律的參數越大，從而導致控制信號的幅值很大，這要求執行器的調節幅度要很大，從而使得在有限時間內完成這一控制作用所需要消耗的能量也很大。由于在實際過程中，執行器的調節幅度總是有限的（如閥門的開度等），能量供應也是有限制的。 評分標準：問題（1）系統狀態能控性的含義敘述完整6分；問題(2) 能控性的判別條件4分，舉例3分；問題（3）判斷正確3分，原因分析正確4分。 五、（20分）（1）能夠通過狀態反饋實現任意極點配置的條件是什么？ （2）已知被控對象的狀態空間模型為 設計狀態反饋控制器，使得閉環極點為4和5。 （3）極點配置是否會影響系統的

19、穩態性能？若會的話，如何克服？試簡單敘述之？ 解：（1）能夠通過狀態反饋實現任意極點配置的條件是系統狀態能控。 （2） 由于給出的狀態空間模型是能控標準形，因此，系統是能控的。根據所期望的閉環極點是4和5，可得期望的閉環特征多項式是 因此，所要設計的狀態反饋增益矩陣是 相應的閉環系統狀態矩陣是 閉環傳遞函數是 評分標準：問題（1）給出通過狀態反饋實現任意極點配置的條件6分；問題（2）狀態反饋控制器設計方法正確7分；問題（3）判斷正確3分，敘述克服方法4分。 六、（10分）（1） 敘述線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理； （2） 利用李雅普諾夫穩定性定理判斷系統的穩定性。 解：（1）連續時間線

20、性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理；線性時不變系統在平衡點處漸近穩定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，存在一個對稱正定矩陣P，使得矩陣方程 成立。 離散時間線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理；線性時不變系統在平衡點處漸近穩定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程存在對稱正定解矩陣P。 （2）原點是系統的惟一平衡狀態。求解以下的李雅普諾夫方程 其中的未知對稱矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 進一步將以上矩陣方程展開，可得聯立方程組 應用線性方程組的求解方法，可從上式解出p 11、p12和p22，從而可得矩陣P： 根據矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法

21、，可得 故矩陣P是正定的。因此，系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。 評分標準：問題（1）完整敘述線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性定理5分；問題（2）穩定性判斷方法和結果正確5分。現代控制理論復習題4二、（15分）建立一個合理的系統模型是進行系統分析和設計的基礎。已知一單輸入單輸出線性定常系統的微分方程為： （1）采用串聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖；（7分3分） （2）歸納總結上述的實現過程，試簡述由一個系統的n階微分方程建立系統狀態空間模型的思路。（5分） 解：（1）方法一： 由微分方程可得 令 每一個環節的狀態空間模型分別為： 又因為y1= u1， 所以 因

22、此，采用串聯分解方式可得系統的狀態空間模型為： 對應的狀態變量圖為： 方法二： 由微分方程可得 每一個環節的狀態空間模型分別為： 又因為y1= u1， 所以 因此，采用串聯分解方式可得系統的狀態空間模型為： 對應的狀態變量圖為 （2）單輸入單輸出線性時不變系統傳遞函數的一般形式是 若bn 0，則通過長除法，傳遞函數G(s)總可以轉化成將傳遞函數c(s)/a(s)分解成若干低階(1階)傳遞函數的乘積，然后根據能控標準型或能觀標準型寫出這些低階傳遞函數的狀態空間實現，最后利用串聯關系，寫出原來系統的狀態空間模型。 三、（10分）系統的狀態轉移矩陣不僅包含了對應自治系統的全部信息，而且在線性控制系統

23、的分析、設計中具有重要的作用。已知系統的狀態轉移矩陣如下： （1）試給出對應自治系統的全部信息；（5分） （2）試列舉狀態轉移矩陣的基本性質，并簡述其意義。（5分） 解：（1）一個自治系統的全部信息由其狀態矩陣A描述，可由狀態轉移矩陣(t)確定一線性定常系統的狀態矩陣A。 對任意的t，滿足，而 對等式取 t =0，并利用(0)=I，則可得狀態矩陣A （2）狀態轉移矩陣的基本性質： Ø ，包含對應系統自由運動的全部信息；Ø 對任意的t和s，滿足(t+s)= (t)·(s)，即利用狀態轉移矩陣可以從任意指定的初始時刻t0的狀態x(t0)出發，以確定任意時刻t處的狀態x

24、(t)； Ø 對任意的t，滿足(t)-1= (-t)，即可以由當前的狀態信息確定以前的狀態信息。 四、（20分）實際被控系統通常是連續時間系統，但計算機控制卻是一種基于離散模型的控制，因此一種方法是對連續時間系統做離散化。那么請問 （1）一個能控能觀的連續時間系統，其離散化后的狀態空間模型是否仍然保持能控能觀性？（2分） （2）以如下線性定常系統為例： 說明你的理由以支持你的觀點。（10分） （3）令采樣周期T=/2,初始狀態為，求u(k)，使得（2）中離散化狀態空間模型在第2個采樣時刻轉移到原點。（8分） 解：（1）不一定。 （2）連續系統的狀態空間模型是能控標準形，故系統是能控的

25、。將狀態方程離散化，設采樣周期為T，系統的狀態轉移矩陣為 根據， 可得到離散化狀態方程，此時 因此，離散化狀態空間模型為 則離散化系統的能控性矩陣為 所以，當sin2T=2sin T，即T = k (k=0,1,2,)時，離散化系統是不能控的；當Tk (k=0,1,2)時，離散化系統是能控的。同理，離散化系統的能觀性矩陣為 L所以，sinT=0，即T = k (k=0,1,2,)時，離散化系統是不能觀的；當Tk (k=0,1,2)時，離散化系統是能觀的。因此，一個能控能觀的連續時間系統，其離散化后的狀態空間模型不一定仍然是能控能觀的，主要取決與采樣周期T的選擇。（3）當采樣周期T=/2時，離散

26、化狀態空間模型為 可得 將式(a)代入式(b)得 即 整理可得 五、（10分）證明：狀態反饋不改變被控系統的能控性。 證明一：采用能控性定義證明，具體見教材P125. 證明二：考慮被控系統（A, B, C, D），則狀態反饋后得到閉環系統SK，其狀態空間模型為 開環系統S0的能控性矩陣為閉環系統SK的能控性矩陣為 由于 以此類推，總可以寫成的線性組合。因此，存在一個適當非奇異的矩陣U，使得由此可得：若，即有n個線性無關的列向量，則也有n個線性無關的列向量，故，命題得證。 六、（20分）雙足直立機器人可以近似為一個倒立擺裝置，如圖所示。假設倒立擺系統的一個平衡點線性化狀態空間模型如下： 其中，狀態變量，y是小車的位移，是擺桿的偏移角，u是作用在小車上的動力。試回答 （1）雙足直立機器人在行走過程中被人推了一把而偏離垂直面，那么根據倒立擺原理，請問雙足直立機器人在該擾動推力消失后還能回到垂直面位置嗎？（2分） （2）如果不能，那么請你從控制學的角度，給出兩種能夠使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置的方法。（4分） （3）請結合倒立擺模型，簡單敘述雙足直立機器人能控性的含義。（4分） （4）在狀態反饋控制器設計中，需要用到系統的所有狀態信息，但根據倒立擺原理，可測量的狀態信息只有水平移動的位移y，那么你有什么方法可以實現這個狀態反饋控制器的設計？你所用方法的條件是什么？依據是