1、剛體力學剛體力學5.3 剛體的基本運動形式剛體的基本運動形式一、剛體的平動一、剛體的平動: 在運動過程中剛體上的任在運動過程中剛體上的任意一條直線在各個時刻的位置意一條直線在各個時刻的位置都相互平行都相互平行.任意質元運動都代表整體運動任意質元運動都代表整體運動剛體的運動形式：平動、轉動剛體的運動形式：平動、轉動 . 剛體平動剛體平動 質點運動質點運動 剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發生變化的物體在外力作用下，形狀和大小都不發生變化的物體 . （任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）二、剛體的定軸轉動二、剛體的定軸轉動 剛體所有質元都繞一固定直

2、線剛體所有質元都繞一固定直線（定軸）（定軸）做圓周運動做圓周運動.定軸轉動的特點：定軸轉動的特點： (1) 線量不同，但角量相同。線量不同，但角量相同。(2) 角速度矢量角速度矢量 的方向均沿軸線。的方向均沿軸線。 剛體的一般運動剛體的一般運動 質心的平動質心的平動繞質心的轉動繞質心的轉動+用角量描述轉動用角量描述轉動1) 角位移角位移 : 在在 t 時間內剛體轉動角度時間內剛體轉動角度2)角速度角速度 : 0limtt 3)角加速度角加速度 :0limtt z剛體定軸轉動剛體定軸轉動角速度角速度 的方向：的方向：按右手螺旋法則確定按右手螺旋法則確定ddtddt22ddtrva切向分量切向分量

3、 ddddtarrttv法向分量法向分量 22narrvzvOP線量與角量關系線量與角量關系rddSrddS勻變速直線運動勻變速直線運動ddtddtddStvddatv0atvv2012Statv2202aSvv勻變速定軸轉動勻變速定軸轉動0t2012tt2202例例 在高速旋轉的微型電機里，有一圓柱形轉子可繞垂在高速旋轉的微型電機里，有一圓柱形轉子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉動直其橫截面通過中心的軸轉動 . 開始時，它的角速開始時，它的角速度度 ，經，經300s 后，其轉速達到后，其轉速達到 18000rmin-1 . 已知轉已知轉子的角加速度與時間成正比子的角加速度與時間成正比 . 問在

4、這段時間內，轉子轉問在這段時間內，轉子轉過多少轉？過多少轉？00解解 由題意，令由題意，令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct當當t=300s 時時112218000r min600rad sn所以所以3322srad75srad30060022tc轉子的角速度轉子的角速度2212150ctt由角速度的定義由角速度的定義2dd150tt得得200dd150ttt有有3450t在在 300 s 內轉子轉過的轉數內轉子轉過的轉數43103)300(45022N32srad)75(2tc5.45.4 剛體定軸轉動動能剛體定軸轉動動能 轉動慣量轉動慣量iriOzimi

5、v質元質元mi 動能為：動能為：212kiiiEmv21()2iiimr221()2i iimr212J212ikiiEmv整個剛體的動能整個剛體的動能212kEJ剛體的剛體的轉動動能轉動動能2i iiJmr剛體剛體對轉軸對轉軸的的轉動慣量轉動慣量一、剛體定軸轉動動能一、剛體定軸轉動動能 轉動慣量的物理意義轉動慣量的物理意義:1. 剛體轉動慣性大小的量度剛體轉動慣性大小的量度2. 轉動慣量與剛體的質量有關轉動慣量與剛體的質量有關3. J 在質量一定的情況下與質量的分布有關在質量一定的情況下與質量的分布有關4. J 與轉軸的位置有關與轉軸的位置有關2jjjrmJ二、剛體的轉動慣量二、剛體的轉動慣

6、量轉動慣量的計算方法：轉動慣量的計算方法： 質量離散分布剛體質量離散分布剛體2j jjJm r221 12 2mrm r對質量連續分布剛體對質量連續分布剛體2dJrm線分布線分布 ddmx面分布面分布ddmS體分布體分布ddmV哪哪種種握握法法轉轉動動慣慣量量大？大？設一均勻細棒長設一均勻細棒長 l 質量為質量為 m odxxxZ 1ddmxddmx線密度線密度lm122221d12llZJxxml22201d3lzJxxml12zzJJ dx oZ 2l2l2l例例:勻質圓盤繞垂直于盤面通過中心軸的轉動慣量勻質圓盤繞垂直于盤面通過中心軸的轉動慣量解解:圓盤半徑為圓盤半徑為 R, 2mR2dz

7、Jrm2drs202 dRrr r3202dRmrrR221mR總質量為總質量為 m .質量面密度質量面密度例例:勻質圓環通過中心軸的轉動慣量勻質圓環通過中心軸的轉動慣量 如下圖如下圖:ZRdm2dzJRm2dRm2mR解解:zRrdrdmdSm均勻圓環繞垂直于圓面通過圓心的軸均勻圓環繞垂直于圓面通過圓心的軸2JmR均勻球繞直徑的轉動慣量均勻球繞直徑的轉動慣量225JmR均勻薄球殼繞直徑的轉動慣量均勻薄球殼繞直徑的轉動慣量223JmR均勻圓盤繞垂直于盤面且通過中心的軸均勻圓盤繞垂直于盤面且通過中心的軸212JmR 有關轉動慣量計算的幾個定理有關轉動慣量計算的幾個定理平行軸定理平行軸定理2mhJ

8、Jczzh式中式中: 關于通過質心軸的轉動慣量關于通過質心軸的轉動慣量cJm 是剛體質量是剛體質量, h 是是 c 到到 z 的距離的距離zJ是關于平行于通過質心軸的一個軸的轉動慣量是關于平行于通過質心軸的一個軸的轉動慣量C轉動慣量疊加轉動慣量疊加, 如圖如圖ACzCBAzJJJJ式中式中: 是是A 對對z 軸的轉動慣量軸的轉動慣量AJBJ是是B 棒對棒對z 軸的轉動慣量軸的轉動慣量cJ是是C 球對球對z 軸的轉動慣量軸的轉動慣量B回轉半徑回轉半徑任意剛體的回轉半徑任意剛體的回轉半徑 mJRG式中式中: J 是剛體關于某一軸的轉動慣量是剛體關于某一軸的轉動慣量, m 是剛體的質量是剛體的質量)

9、 (2GRmJ O2zGR2l2312mlJZmJRZG2例例:73.1312lmmlG 不是質心不是質心CG例例: 從一個半徑為從一個半徑為 R 的均勻薄圓板上挖去一個半徑為的均勻薄圓板上挖去一個半徑為 R/2 的圓板，的圓板，所形成的圓洞的中心在距圓薄板中心所形成的圓洞的中心在距圓薄板中心 R/2 處，所剩薄板的質量為處，所剩薄板的質量為 m 。求此時薄板對通過原中心與板面垂直的軸的轉動慣量。求此時薄板對通過原中心與板面垂直的軸的轉動慣量。解：解：ORR/2O半徑為半徑為 R 的大圓盤對的大圓盤對 O 點的轉動慣量為點的轉動慣量為222164)3(2121mRRmmMRJmmM31圓盤質量

10、面密度圓盤質量面密度由平行軸定理，半徑為由平行軸定理，半徑為 R/2 的小圓盤對的小圓盤對 O 點的轉動慣量為點的轉動慣量為222222243)2()2(21mRRmRmJ小圓盤面積的質量小圓盤面積的質量,312mm 總轉動慣量總轉動慣量2212413mRJJJ22234)2(RmRRm大圓盤面積的質量大圓盤面積的質量Pz*OMMFrd : 力臂力臂d1）剛體繞）剛體繞 O z 軸旋轉，作軸旋轉，作用力在剛體的轉動平面內。用力在剛體的轉動平面內。FrM 對轉軸對轉軸 Z 的力矩的力矩 FMsinFr5.5 力矩的功力矩的功 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理一一 力對轉軸的力矩力對轉

11、軸的力矩 Fd大小：大小：方向：右手螺旋方向：右手螺旋zOMFrFFFzMrFsinMrFzFF 2）若力）若力 不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于 轉軸方向的兩個分量轉軸方向的兩個分量 F3）合力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM 其中其中 對對轉軸的力轉軸的力矩為零矩為零(沿轉軸的分量沿轉軸的分量)，故故 對轉軸的力矩對轉軸的力矩zFF大小：大小：方向：右手螺旋方向：右手螺旋21AdM力矩的功力矩的功二二 力矩作功力矩作功 dAPdt三三 力矩的功率力矩的功率dA F drcos |FdrcosFrdcosMFrdAM

12、ddMdtOd rFvP|drM1）外力矩作功）外力矩作功2）內力矩作功（一對內力矩）內力矩作功（一對內力矩）1122dAM dMd1122fdrfdr221fdr剛體決定質元間相對位移為剛體決定質元間相對位移為0022211122AJJ四、剛體繞定軸轉動的動能定理四、剛體繞定軸轉動的動能定理合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量的功等于剛體轉動動能的增量 .21dAM2121d()2J22211122JJ定軸轉動動能定理定軸轉動動能定理21dd()2MJddkAEdddAMFr合外力矩合外力矩M做的元功做的元功系統動能改變系統動能改變2211d

13、d()=d22kiiiEJmv力的空間累積效應力的空間累積效應 力的功力的功,動能動能,動能定理動能定理.力矩的空間累積效應力矩的空間累積效應 力矩的功力矩的功,轉動動能轉動動能,動能定理動能定理.根據動能定理根據動能定理21dd2iiiFrmv五五. 剛體的重力勢能剛體的重力勢能剛體的重力勢能就是它的各質元重力勢能之和。剛體的重力勢能就是它的各質元重力勢能之和。piiiEm ghmhmhiiic根據質心定義，剛體質心的高度應為根據質心定義，剛體質心的高度應為所以剛體勢能寫成所以剛體勢能寫成cpmghE 剛體的勢能可看成是質量全部集中于質心時，質心具有剛體的勢能可看成是質量全部集中于質心時，質

14、心具有的勢能。的勢能。iiigm h六六. 機械能守恒定律機械能守恒定律 對于定軸轉動剛體，只有保守力做功時，機械能對于定軸轉動剛體，只有保守力做功時，機械能保持不變。保持不變。恒量，pkEE即即.212恒量cmghJ212J221122cJmv2222111222 12/23cccmmlmlvvvmlcvc 0對對c點點例題例題. 剛體的勢能等于剛體的勢能等于如圖所示，某人說：剛體如圖所示，某人說：剛體的動能等于的動能等于212cmv你同意嗎？你同意嗎？cmgh【答答】2221 122 3/ 23ccmlmlvv22112 12ml221iiikvmE)()(21iciciikvvvvmEiiiiiiiciic