1、主講：主講：姜貴君姜貴君（一）基本物理量：（一）基本物理量： 一、運動學：一、運動學：ddddddddxyzrxyzijkijkttttkajaiaktjtittazyxzyxddddddddkzj yi xr12rrr xiyjzk (二二)運動方程運動方程直角坐標系中直角坐標系中ktzjtyitxtr)()()()( 分量表示分量表示)(txx )(tyy )(tzz 消去消去t，得到軌道方程，得到軌道方程 f(x,y,z)=0（三）圓周運動：（三）圓周運動：1. 物理量物理量2. 線量和角量的關系線量和角量的關系3.勻角加速轉動公式勻角加速轉動公式 角速度角速度角加速度角加速度ddt22

2、ddddtt 2tnrarar 020220122ttt ddtat2nar二、動力學二、動力學 1.牛頓第一定律：牛頓第一定律：cvF 02.牛頓第二定律：牛頓第二定律：ddddvpFmamtt通常應用其分量形式通常應用其分量形式xxmaF yymaF ddtvFmtRvmFn2 3.牛頓第三定律：牛頓第三定律：2112FF （一）牛頓三定律（一）牛頓三定律（二）動量定理與動量守恒定律（二）動量定理與動量守恒定律1.動量：動量：vmp 2.動量定理：合外力的沖量等于物體動量的增量。動量定理：合外力的沖量等于物體動量的增量。ddddpFpF tt微分式微分式00dtIF tpp積分式積分式3.

3、動量守恒定律：動量守恒定律：當質點系不受外力作用或所受合外力為零時，當質點系不受外力作用或所受合外力為零時， 質點系的總動量保持不變。質點系的總動量保持不變。恒矢量 iivm0 外外iF（三）功和能（三）功和能1.功：功是力的空間累積效應，功是過程量。功：功是力的空間累積效應，功是過程量。dd cosbbaaWFrF rddd()bxyzaWF xF yF z保守力的功保守力的功d0Fr2.機械能：機械能：與物體相對位置和速度有關的狀態量。與物體相對位置和速度有關的狀態量。(1)動能動能221mvEk (2)勢能勢能212pEkx彈性勢能彈性勢能0dMMprFEpp0p)(EEEW保守力3、功

4、、能關系、功、能關系(1)動能定理動能定理220011d22kkWFrEEmvmv)()(0初初末末非非保保內內保保內內外外kkEEWWWW (2)機械能守恒定律機械能守恒定律00()kpWWEEEEC外非保內或注意注意:（二）轉動定律（二）轉動定律ddJMJt（）J和和M必須是一個剛體對必須是一個剛體對同一轉軸同一轉軸的轉動慣量和力矩。若的轉動慣量和力矩。若同時存在幾個剛體，原則上應對每個剛體列出同時存在幾個剛體，原則上應對每個剛體列出 。iiiMJ三、剛體力學三、剛體力學 （一）剛體的運動（一）剛體的運動剛體的運動形式：平動、轉動。剛體的運動形式：平動、轉動。（三）轉動慣量（三）轉動慣量剛

5、體的轉動慣量與剛體的剛體的轉動慣量與剛體的質量、形狀、質量的分布質量、形狀、質量的分布以及轉軸的位置有關。以及轉軸的位置有關。計算轉動慣量的方法：計算轉動慣量的方法：1.已知質量分布，由公式求轉動慣量：已知質量分布，由公式求轉動慣量：2.已知兩軸間距離，用平行軸定理求解：已知兩軸間距離，用平行軸定理求解：2mdJJc iiirmJ22dJrm3.已知剛體系中各個剛體對同一轉軸的轉動慣量，已知剛體系中各個剛體對同一轉軸的轉動慣量， 由疊加法求解：由疊加法求解： iiJJ2()i iiJm r不連續2d()Jrm連續（四）剛體力學中的功和能（四）剛體力學中的功和能1.力矩的功：力矩的功：21dMW

6、2.剛體轉動動能定理：剛體轉動動能定理：21220011d =22WMJJ3.機械能守恒定律：只有保守內力作功時，系統動能與勢能之機械能守恒定律：只有保守內力作功時，系統動能與勢能之和為常量。和為常量。常量cmghJmE222121（五）剛體角動量和角動量守恒定律（五）剛體角動量和角動量守恒定律1 .角動量角動量: :LJL與 同向2 .角動量定理角動量定理: :112221dJJtMtt3. 角動量守恒定律角動量守恒定律: :當剛體當剛體( (系統系統) )所受外力矩為零時或時間極短，則剛體所受外力矩為零時或時間極短，則剛體( (系統系統) )對此軸的總角動量為恒量。對此軸的總角動量為恒量。

7、00iiMtJ 或恒量質點運動與剛體定軸轉動對照質點運動與剛體定軸轉動對照質點運動質點運動剛體定軸剛體定軸轉動轉動速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddddt質量質量 m轉動慣量轉動慣量動量動量角動量角動量mrJd2JL vmP 力力力矩力矩FM沖量矩沖量矩0ttdM t沖量沖量0ttdF tvoompTR圓圓錐錐擺擺子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統以子彈和桿為系統機械能機械能不不守恒守恒 .角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；以子彈和沙袋為系統以子彈和沙袋為系統動量守恒；動量守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能機械能不不守恒守恒 .圓

8、錐擺系統圓錐擺系統動量動量不不守恒；守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能守恒機械能守恒 .vo子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細細繩繩質質量量不不計計例例1 1 一質量為一質量為M 半徑為半徑為R 的轉臺，以角速度的轉臺，以角速度 a 轉動轉動, ,轉軸的轉軸的摩擦不計。摩擦不計。1) 有一質量為有一質量為m 的蜘蛛垂直地落在轉臺邊緣上，的蜘蛛垂直地落在轉臺邊緣上，求此時轉臺的角速度求此時轉臺的角速度 b ; ;2) 如果蜘蛛隨后慢慢地爬向轉臺中如果蜘蛛隨后慢慢地爬向轉臺中心，當它離轉臺中心距離為心，當它離轉臺中心距離為r 時時, ,轉臺的角速度轉臺的角速度 c c 為多少？為多少？解解: :aabb

9、amMMJJJmRJMRJ)JJ(J 22111002120100 ）aaCcamrMRMRJJJmrJMRJ)JJ(J 22220022202002212 ）aabbamMMJJJmRJMRJ)JJ(J 22111002120100 ）aabbamMMJJJmRJMRJ)JJ(J 22111002120100 ）aaccamrMRMRJJJmrJMRJ)JJ(J 22220022202002212 ）aaCcamrMRMRJJJmrJMRJ)JJ(J 22220022202002212 ）例：例：2 2一質量為一質量為M長度為長度為L的均質細桿可繞一水平軸自由轉動。的均質細桿可繞一水平軸自由

10、轉動。開始時桿子處于鉛垂狀態。現有一質量為開始時桿子處于鉛垂狀態。現有一質量為m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和桿子發生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。和桿子發生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。試求試求: : （1）碰撞后系統的角速度碰撞后系統的角速度（2）碰撞后桿子能上擺的最大角度。）碰撞后桿子能上擺的最大角度。 ）LmML43v解：（解：（1)1)碰撞過程角動量守恒碰撞過程角動量守恒 )JJ(LmvMm 43243)L(mJm 231MLJM 223491163mvLmLML）LmML43v（2)2)上擺過程機械能守恒，得：上擺過程機械能守恒，得：)cos1 (2)cos1 (43)

11、(212LMgLmgJJmM22max932cos 13191()()42163m varcmMmM gL注意：橡皮泥和桿子的零勢點注意：橡皮泥和桿子的零勢點取得不同。取得不同。例例3 3 如圖如圖, ,質量為質量為m 的粘土塊從距的粘土塊從距勻質圓盤勻質圓盤h 處落下處落下,盤的質量盤的質量 M=2m, = 60, , 盤心為光滑軸。盤心為光滑軸。求求（1 1）碰撞后瞬間盤的碰撞后瞬間盤的 0 ；（；（2）P 轉到轉到x 軸時盤的軸時盤的 ， 。解解：（：（1 1）m下落到下落到P 點前一瞬間有點前一瞬間有221mvmgh ghv2得 碰撞時間極短，對碰撞時間極短，對m + +盤系統盤系統，

12、沖力遠大沖力遠大于重力，故重力對于重力，故重力對o o 的力矩可忽略，角動的力矩可忽略，角動量守恒：量守恒：0 JcosmvR xyo hmM PR222221mRmRMRJ 022cos24ghghRRxyo hmM PR（2 2）對對m + 盤盤+ 地球系統地球系統，只有重力做功，機械能守恒。，只有重力做功，機械能守恒。2022121 JJsinmgR 令令x 軸為零勢面軸為零勢面, ,則：則：221cossin(4 3 )222ghgghRRRR222MmgRgJmRR22mRJ 解：解：由角動量守恒由角動量守恒摩擦力矩作負摩擦力矩作負功，有機械能功，有機械能損失。損失。例例4 4 兩摩

13、擦輪對接。若對接前兩輪的角速度分別為兩摩擦輪對接。若對接前兩輪的角速度分別為 1、 2 ，求：求：1) 對接后共同的角速度對接后共同的角速度 ; ; 2) 對接過程中的機械能損失。對接過程中的機械能損失。)(212211JJJJ212211JJJJ)2121()(21222211221JJJJE)(2)(2122121JJJJJ2J112例例5人和轉盤的轉動慣量為人和轉盤的轉動慣量為J0 ,啞鈴的質量為啞鈴的質量為m , 初始轉速為初始轉速為1 。求：雙臂收縮由求：雙臂收縮由r1變為變為r2時的角速度及機械能增量。時的角速度及機械能增量。r2r1mmJ01 1解：解：由角動量守恒由角動量守恒2

14、2201210)2()2(mrJmrJ12202102)2()2(mrJmrJ0) 122()2(21)2(21)2(21220210212102121022220mrJmrJmrJmrJmrJE非保守內力作正功非保守內力作正功 ，機械能增加。，機械能增加。例例6一轉臺繞其中心的豎直軸以角速度一轉臺繞其中心的豎直軸以角速度0 =s-1 轉動，轉臺對轉轉動，轉臺對轉軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為J0 = 4.010-3 kgm2 。今有沙粒以。今有沙粒以Q = 2t gs-1的流量豎直落至轉臺，并粘附于臺面形成一圓環，若環的半徑的流量豎直落至轉臺，并粘附于臺面形成一圓環，若環的半徑為為r = 0.

15、10m，求沙粒下落，求沙粒下落t = 10 s 時，轉臺的角速度。時，轉臺的角速度。解：解：在在0 t s內落至臺面的沙粒質量為：內落至臺面的沙粒質量為：沙粒下落對轉臺不產生力矩作用（沖擊力與軸平行）沙粒下落對轉臺不產生力矩作用（沖擊力與軸平行）, ,則則任意時刻系統角動量守恒：任意時刻系統角動量守恒：t = 10 s 時轉臺的角速度：時轉臺的角速度：32300d210 d10 kgttmQ tttt22320000()(10)JJmrJtr1001023200.81010tJsJr例例7 7如圖所示，求系統中物體的加速度。設滑輪為質量均勻分布的圓柱體，其質量為 M15kg，半徑為r 0.1m

16、，在繩與輪邊緣的摩擦力作用下旋轉, 忽略轉軸的摩擦，m1物體在光滑水平桌面上。兩物體的質量分別為m1 50kg，m2 200kg 。1m2m1m2mamTgm222amT11解解：分別以滑輪為研究對象，受力圖如圖(b)所示對 運用牛頓定律，有對滑輪運用轉動定律，有)21(212MrrTrTra 聯立以上4個方程，得2212200 9.87.6m s155020022m gaMmm022000cos3 cos21123dddd(2)dddd3 cos13ddsinsin2223sinsinlmggMJlmlttggllgl （）（）（）例例8 8長為l、質量為m的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑

17、水平軸，因而可以在豎直平面內轉動。最初棒靜止在與水平方向成0夾角的位置，求： 1.它由此下擺到與水平位置成角時的角加速度2.此時角速度與的關系。0解：解：例例9如圖，一空心圓環可繞豎直軸如圖，一空心圓環可繞豎直軸OO 自由轉動，轉動慣量為自由轉動，轉動慣量為J0 ，環的半徑為，環的半徑為R，初始角速度為，初始角速度為0 ，今有一質量為，今有一質量為m的小的小球靜止在環內球靜止在環內A點，由于微小擾動使小球向下滑動。問小球到點，由于微小擾動使小球向下滑動。問小球到達達B、C點時，環的角速度與小球相對于環的速度各為多少？點時，環的角速度與小球相對于環的速度各為多少？（設環內壁光滑）。（設環內壁光滑