1、山東省蒙陰縣2014年中考數(shù)學二輪專題復習學案：全等三角形、相似三角形【近3年臨沂市中考試題】1.(2011?臨沂，T25,11分)如圖1,將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角扳的一邊交CD于點F.另一邊交CB的延長線于點G.(1)求證：EF=EG;(2)如圖2,移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立.請說明理由：(3)如圖3,將(2)中的正方形ABCD”改為矩形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，(1)中的結,且使三角板的一邊經(jīng)過點B,其他條件不變，若AB=a、BC=b,求變的值.EG2. (20

2、12?臨沂T18)在RtABC中，/ACB=90BC=2cmCD!AB,在AC上取一點E,使EC=BC過點E作EFAC交CD的延長線于點F,若EF=5cm則AE=cm.3. (2012?臨沂T25)已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,動點M從點A出發(fā)沿邊(1)如圖1,當b=2a,點M運動到邊AD的中點時，請證明/BMC=90(2)如圖2,當b2a時，點M在運動的過程中，是否存在/BMC=90在，請說明理由；(3)如圖3,當bv2a時，(2)中的結論是否仍然成立？請說明理由.,若存在，請給與證明；若不存4.(2013臨沂T22)如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點,過點

3、A作BC的平行線交BE的延長線于點F,連接CF.(1)(2)求證：AF=DC若ABAC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論.FB【知識點】全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的對應邊、對應角分別相等。全等三角形對應邊上的高，中線相等，對應角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。1 .一般三角形全等的判定(1)邊邊邊公理：三邊對應相等的兩個三角形全等(邊邊邊”或“SSS)。(2)邊角公理：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(邊角邊”或“SAS。)(3)角邊角公理：兩個角和它們的夾邊分別對應相等的兩個三角形全等(角邊角”或“ASAa（4）角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個

4、三角形全等（角角邊”或“AASJ2 .直角三角形全等的判定（1）利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等.（2）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（斜邊、直角邊或HL.）相似三角形的性質(zhì)1 .相似三角形的一切對應線段（對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。2 .相似三角形周長的比等于相似比。3 .相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形的判定方法有:1 .平行與三角形一邊的直線（或兩邊的延長線）和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。2 .如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。3 .如果兩個三角

5、形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。4 .如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。直角三角形相似判定定理1 .斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。2 .直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。【規(guī)律方法】證明兩三角形全等或相似基本方法步驟:1 .確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系）2 .證明三角形全等首先找邊，然后再看三角形滿足怎樣的條件，還需要證明什么條件;3 .從題目中分析每個條件能導出什么新的條件，或者能組合

6、成什么有幫助的條件。4 .從問題倒著思考，考慮回答這個問題需要什么條件，而這個條件是否在題目中出現(xiàn)，或者是否可以重新推理出來、或者是否運用到什么定理、推論、公理、規(guī)律等。5 .當求兩線段之比時，通常構造相似三角形得出對應邊之比；6 .當出現(xiàn)如右圖形時，要考慮三角形相似和三角形全等；7 .當出現(xiàn)“中點+中點”時，要聯(lián)想到三角形中位線【中考集錦】、選擇題1. （2013貴州安順，5,3分）如圖，已知AE=CF,ZAFD=ZCEB,那么添加下列一個條件后，仍無法判定ADF0CBE的是：（）BDEC第3題A./A=/CD.ADIIBCB.AD=CBC.BE=DFA2. （2013河北，11,3分）如圖

7、4,菱形ABCD中，點M,N在AC上，MEXAD,NDAB若NF=NM=2,ME=3,貝UAN=A.3B.4C.5D.63. （2013湖南湘潭，8,3分）如圖，在AABC中，AB=AC,點D、E在BC上，連結AD、AE.如果只添加一個條件使/DAB=ZEAC,則添加的條件不能為A.BD=CEB.AD=AEC.DA=DED.BE=CD4. （2013山東東營，10,3分）如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x,那么x的值（）5. （2013西寧市，6,3分）使兩個直角三角形全等的條件是（）A.一銳角對應相等B,兩銳角對應相等C.一條邊對應相等D

8、.兩條邊對應相等6. （2013貴州貴陽，8,3分）如右圖，M是RtAABC的斜邊BC上異于B、C的一定點，過點M作直線截AABC,使截得的三角形與AABC相似,這樣的直線共有（）A.1條B.2條C.3條D.4條7. （2013浙江臺州，10,3分）已知A1B1C1與A2B2c2的周長相等，現(xiàn)有兩個判斷：若AB=A2B2,A1C=A2c2則A1B1C104A2B2c2若/A=/A2,/B1=/B2,則A1B1C104A2B2c2對于上述的連個判斷，下列說法正確的是（）A.正確錯誤B.錯誤正確C.，都錯誤D.，都正確8. （2013重慶A卷，9,3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD上，

9、連接CE并延長與BA的延長線交于點F,若AE=2ED,CD=3cm,則AF的長A.5cm9（切U哈爾尾9*$分）如圖，在&4以7中，同、分別是邊47的中點，則如加10.（2013廣西桂林,的面積與四邊形的面積比為（12,3分）如圖，已知邊長為4的正方形ABCD,P是BC邊上一動點（與B、C不重合），連結AP,作PELAP交/BCD的外角平分線于E,設BP=x,APCE面積為V,則y與x的函數(shù)關系式是（）A.y=2x+1B. y=x-2x22C. y=2x-1x22D. y=2x、填空題E,一口如圖，已知/C=/D,/ABC=/BAD,AC與BD相交小處j青寫出圖中一組相1. （2013湖南婁底

10、，12,3分）如圖，AB=AC,要使BEAACD,應添加的條件是.（添加一個條件即可）2. （2013天津，14,3分）等的線段.3. （2013黑龍江綏化，3,3分）如圖，A、B、C三點在同一條直線上，/A=/C=90,AB=CD,請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件,使得EABABCDo4. （2013黑龍江農(nóng)墾牡丹江，13,3分）如圖，在ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD,請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件使aABCsACD.（只填一個即可）.一.一.一.一AEAD1AEAD15.（2013浙江臺州，8,4分）如圖，在ABC中，點D,E分別在邊AB,AC上，且CE=把=CE=CD=ABAC2ABAC2則S掙de:

11、S四邊形BCED的值為（）A.1：q3B.1：2C.1：36. （2013寧夏回族自治區(qū)寧，14,3分）4ABC中，D、E分別是邊AB與AC的中點，BC=4,下面四個結論：DE=2;ADEsABC;ADE的面積與ABC的面積之比為1：4;ADE的周長與ABC的周長之比為1：4;其中正確的有.（只填序號）8.（2011山西，11,2分）如圖,ABC中，AB=AC,點D、E分別是邊D,E.當ABDEsABCA時，點E的坐標為AB、AC的中點，點G、F在C7. （2013浙江寧波，18,3分）如圖，等腰直角三角形ABC頂點A,C在x軸上，/BCA=90,AC=BC=2J2,BC邊上，四邊形DEFG是

12、正方形.若DE=2cm,則AC的長為（）9.（2011貴州遵義，10,3分）如圖，在直角三角形ABC中（/C=90）,放置邊長分別3,4,x的三個正方形，則x的值為（）10.（2013山東荷澤，14,3分）如圖所示，在？ABC中，BC=6,E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D,NCBP的平分線交CE于Q,當CQ=1CE時，EP+BP=3三、解答題1.（2013吉林，20,7分）如圖，在ABC中，/ACB=90.延長AB至點D,使DB=AB,連接CD,以CD為直角作等腰三角形CDE,其中/DCE=90,連接BE.交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF長.3. （20

13、11陜西，18,6分）如圖，在正方形ABCD中，點G為BC上任意一點，連接AG,過B、D兩點分另I作BEBG,DFXAG,垂足分別為E、F兩點.求證：AADFABAE.4. （2011山東煙臺，24,10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90,CDLAD,AD2+CD2=2AB2.(1)求證：AB=BC;（2）當BEXAD于E時，試證明:BE=AE+CD.ED5. （2013貴州銅仁，24,12分）如圖，AC是。的直徑，P是。O外一點，連結PC交。于B,連結PA、AB,且滿足PC=50,PA=30,PB=18.(1)求證：PABspCA;(2)求證：AP是。的切線.6.（2013四

14、川成都，20,10分）如圖，點B在線段AC上，點D,E在AC的同側，/A=/C=90,BDXBE,AD=BC.（1）求證：AC=AD+CE;（2）若AD=3,AB=5,點P為線段AB上的動點，連接DP,作PQXDP,交直線BE于點Q.DP.,i）當點P與A,B兩點不重合時，求右的值；PQii）當點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長.（直接寫出結果,不必寫出解答過程）【特別提醒】（1）根據(jù)相似三角形找對應邊時，出現(xiàn)失誤找錯對應邊，因此在寫比例式時出錯，導致解題錯誤信息;（2）在定理的實際應用中，常常忽視夾角相等”這個重條件，錯誤認為有兩邊對應比相等，再有一組角相等

15、，就能得到兩個三角形相似。（3）兩邊一對角（SSA）和三角（AAA）對應相等的兩個三角形不一定全等。答案:1【答案】B【考點解剖】本題考查了全等三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形常見判定方法是解題的關犍.解題思路】已知AE=CF,可知2CE；又/AFD=/CEB,即知道一組對應邊相等，一組對應角相等，因此添加的條件可以是任意一組對應角，或是加一組對應邊且保證已知的對應焉是夾角.2、【答案】B.【考點解剖】本題考查了菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，找出與所求線段有關的相似三龜形是解答本題的關鍵.【解題思路】由菱形對角線平分一組對角可得到/FA步/EAM,由兩角對皮相等的兩個三角形相優(yōu)可得R

16、tAFAJTsRtAE加由瑞相似三角形時應邊成比例”列出含有期的比例式，解之即可.3、t答案】C1考點解剖本題考查全等三角形的判定.，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關健.解題思路】本題主要是轉化為證明ABDR&!,因為AB=AC,所以此時對四個選項逐一判斷，能否證明得到ABD色ME即可.4,【答案】B.【考點解剖】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理、正確運用相似三角形的性質(zhì)對應邊成比例式是解題的關鍵.5,【答案】D考點解剖薛題考查了三角形全等的判定,掌提三角形全等的判定定理是解答本題的關鍵.仇【答案】C1考點解剖本題考查相似三角形判斷，熟練運用兩對角對應相等的兩個三角形相似這一判斷方法

17、是解答此題的關健.解題思路】分兩種可能，C1)過點M作直線截以M為頂點的角等于/片90或等于ZB,(2)過點M作直線截AB,以M為頂點的角等于/A=9。*或等于NC,因為過一點只有一條直線垂直于已知直線，所以以況為頂點的角等于上川90。時的兩直線重合.【解答過程】如圖，分別過點E作aABC三道的垂線11、12,13,易證此時分別形成的三角形均與庾三角形相似，所以其3條.7、【答案】D【考點解剖】考察全等三角形的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，關鍵是根據(jù)等量減等量差相等，證邊相等，及相似比等于周長比靈活應用.【解題思路】由周長相等，A1B1=A2B2,A1C1=A2C2得出第三邊也相等，從而得出三

18、角形全等。由兩角對應相等，證明三角形相似，由三角形的相似比等于周長比，得出相似比為1:1,證出三角形全等.【解答過程】;A1B1=A2B2,A1C1=A2c2A1B1+,A1C1+B1C1=A2c2+A2B2+B2C2;.B1C1=B2C2.A1B1CAA2B2C2(SSS;./A1=/A2,ZB1=ZB2,A1B1CS4A2B2c2,由周長相等，得相似比為1,故A1B1C空A2B2c2.8、【答案】B.【考點解剖】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是找到與已知線段和所求線段有關的相似三角形.【解題思路】由平行四邊形的性質(zhì)可知AB/CD由此可證得AFaDCE利用相似

19、三角形對應邊成比例即可求解.9、【答案】B.【考點解剖】本題考查了三角形的中位線定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，充分利用中位線的性質(zhì)是解題的關腱.【解題思路】先由M,N分別是迪行、AC的中點，確定出MN是ABC的中位線，從而得到MNlAE,因此AMNs細&再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，從而求出AaWC與dABC的面積比，再根據(jù)比例性質(zhì)可求得ANN的面積與四邊形1WCN的面積比10,【答案】C【考點解剖】本題是一道立足正方形的動點問題，綜合著查了相似三弟形判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關德是“動中取靜用，抓住相似三角形的不變性建立pce的面積為芋與BP長度的函數(shù)關

20、系式.【解題思路】這點E作EF_LBC，垂足為F,結合正方形的性質(zhì)可證/BAP+NAPB=90,/FPE+/APB=90，得NBAP=NFPE，又/R二/PFE,可證aBPs4pre,得關系式,由于CE為/BCD的外角平分線,且EF_LBC,得心ECF為等腰直角三角形,CAEF,P4PCW1PC+EF4x+EF）所UA，得xj從而得PCE面積為y=2:cx2.二.埴空題1、【答案】答案不唯一，如：ZC=ZBZC=ZB或ZAEE=ZADCZAEB=ZADC或ZCEB=ZBDCZCEB=ZBDC或AE=期二軸或CE二EE.【著點解剖】本題考查了一般三角形全等的判定方法；SSS%SASAASsASA

21、.【解題思路】根據(jù)已知可知兩個三角形已經(jīng)具備入且對應相等，所以根據(jù)全等三角形的判定方法，可以添加一邊或一焦都可以全等.2、【答案】AC二BD或BC=AD或OD=OC或OA=OB.【考點解剖】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握全等的判定與性質(zhì)是解決問題的關a.【解題思路】先推根據(jù)全等的性質(zhì)得K=BDBC=AD的關系，再推OA=OR,OC=OD.3.【答案】AE=CB或EB=BD或/EED=9O或/E=/DBC等）.【考點解剖體題是一個條件開放性的問題，考查的是全等三角形的判定和分類的數(shù)學思想.掌握全等三角形的判定方法是解題關犍.【附他憶】上門用土）,夏加仃的.和蘭即14、【答案本題答案不唯一

22、，如/AC&/B或/ADG=/ACB或.【考點解剖】本題主要考查相似三角形的判定方法，兩個相似三角形的判定方法有：（1）有個角相等的三角形；（2）兩邊對應成比例，夾角相等；（3）三邊對應成比例.【解題思路】從圖形可知，ABC和4ACD有公共角/A,因此運用判定方法（1）（2）,即只要在添加一對角相等或者添加兩夾邊對應成比例即可.5、【答案】1:3【考點解剖】本題考查了相似三角形的判斷定理及相似三角形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是證相似以及相似比與面積比的關系。【解題思路】根據(jù)比例式判定三角形哪兩組邊對應成比例，觀察夾角是否相等？證出兩三角形相似，再由相似三角形面積比等于相似比的平方算出兩三角形的面積

23、比，繼而推出三角形和四邊形的比仇【答案】.【考點解剖】本題既考查了三角形的中位線，又考查了相似三角形，關健是要從三角形的中位線入手.【解題思路】由D、E分別是邊.AB與AC的中點,知道DE/BC,且DE=BC,從而有aDEsAaBC.7、1答案】3工考點解剖本題將一次函敬與反比例函數(shù)和相似結合在一起考查,屬于綜合題，難度適中.解題思路】由相似三角形的對應角相等推知皿E的等腰直角三角形：根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可設E（古），D（，），由雙曲線的對稱性可以求得ab3；最后，將其代入直線AD的解析式即可求得a的值.【解答過程】解：如圖，JNBCA二go，AC=EC=2,反比例函數(shù)產(chǎn)（x0）的

24、圖象分別與AB,DC交于點D,EiZBAC=ZABC=45，且可設E（a）.D），C（a，0）EQ,2）,A（2-0），易求直線AE的解析式是:y=x+2-a.又,bdes6hca,ZBDE=ZECA=90，直線產(chǎn)k與直線DE垂直，點D、E關于直線產(chǎn)式對稱，則=,即ab=3.又,1點D在直線AB上，/.=b+2-a,RP2a2-2a-3=0解得,a=i二點E的坐標是3）.&分析：由題意知DE是等腰ABC的中位筑,所以DE#BC,DE=BC,因為DE=25,所以BC=4cm,又DE*BC，所以EsaABC，且相似比為.這點A作MLLBC于點M.則MC=2cm,由點E是迫AC的中點，EF#AM,所

25、以FC=1CTD,在乙后就中,，因為正方形DEFG的邊長是25,所以根據(jù)勾股定理得EC=,所以AC=6卡T解.在直角三角形ABC中（1390”）,放置邊長分別3,4,耳的三個正方形，AcefAomeApfn,/.OEiPN=OM：PF,丁EFk，H0=3,PN=4）/.OE=x-3,PFx-4,/.（x-3）（x-4）-12?六靠二0（不符合題意，舍去），x二Z10、【答案】12.【解答過程】如圖，當CQ=CE時，延長BQ交射線EF于點G.BQ平分/CBP，/CBQ=ZQBF?E、F是ARAC的中點，.EF/BG/CBQ=/QGP/QB母ZQGP,.PB=PGEP+BP=EP+PG=EG-EF/BCBCQAGEQ.,CQ=CE,.,.E82BC,BC=6,EG=2X6=12.三、解答題1、【考點解剖】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等的判定方法是解題的關鍵【解題思路】（1）由已知條件可得兩三角形有兩邊對應相等，所以考慮說明其夾角相等，利用SAS證全等；（2）利用全等的結論，可得BE=AD=2AB從而轉化至1!ABC中求線段的長【解答過程】（1）二等腰三角形CDE中，/DCE=90,.CD=CE./ACB=90, /DCE+BCD=ACB+BCD.即/BCE=AC