1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí)題1.11. 什么叫數(shù)值方法？數(shù)值方法的基本思想及其優(yōu)劣的評價標準如何？數(shù)值方法是利用計算機求解數(shù)學(xué)問題近似解的方法2. 試證明 及 證明：（1）令即又即 設(shè)，不妨設(shè)，令即對任意非零，有下面證明存在向量，使得，設(shè)，取向量。其中。顯然且任意分量為，故有即證。3. 古代數(shù)學(xué)家祖沖之曾以作為圓周率的近似值，問此近似值具有多少位有效數(shù)字？解：該近似值具有7為有效數(shù)字。4. 若T(h)逼近其精確值T的截斷誤差為其中，系數(shù)與h無關(guān)。試證明由所定義的T的逼近序列的誤差為，其中諸是與h無關(guān)的常數(shù)。證明：當m=0時 設(shè)m=k時等式成立，即當m=k+1時 即證。習(xí)題2 .1 1. 試構(gòu)

2、造迭代收斂的公式求解下列方程：（1）; (2)。解：（1）迭代公式，公式收斂k012300.250.250980.25098（2）， 局部收斂k0123456789101.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.3861.3862. 方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式：（1）,對應(yīng)迭代公式;（2），對應(yīng)迭代公式;（3）,對應(yīng)迭代公式。判斷以上三種迭代公式在的收斂性，選一種收斂公式求出附近的根到4位有效數(shù)字。解：（1） 局部收斂（2） 局部收斂（3） 不是局部收斂迭代公式（1）：0123456781.51.444441.479291.1.4

3、71081.462091.467791.44161.466479101112131415161.46501.465931.46531.465721.465481.465631.1.迭代公式（2）：k01234561.51.4811.4731.4691.4671.4661.4663. 已知在a,b內(nèi)有一根，在a,b上一階可微，且，試構(gòu)造一個局部收斂于的迭代公式。解：方程等價于構(gòu)造迭代公式令由于在a,b上也一階可微 故上述迭代公式是有局部收斂性.4. 設(shè)在方程根的鄰近有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，證明迭代公式具有局部收斂性。證明：在鄰近有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，則在附近連續(xù)，令則取則 時 有 從而 故 令 ，由定理

4、2.1知，迭代公式是有局部收斂性。5. 用牛頓法求方程在3,4中的根的近似值（精確到小數(shù)點后兩位）。解： y次迭代公式k01233.53.643.633.636. 試證用牛頓法求方程在1,3內(nèi)的根是線性收斂的。解：令 y次迭代公式故 從而 ，時，故，故牛頓迭代公式是線性收斂的7. 應(yīng)用牛頓法于方程, 導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。解： 相應(yīng)的牛頓迭代公式為迭代函數(shù)，則，專心-專注-專業(yè)習(xí)題3.11. 設(shè)有方程組(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程組的收斂性；(2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程組，要求當時迭代終止。解：（1） A是強對

5、角占優(yōu)陣。故用雅克比法及高斯-塞德爾法解此方程均收斂。（2）雅克比法：，取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3），高斯-塞德爾法：，取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3），2. 設(shè)有方程組, ,迭代公式： , .求證由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是.證明：迭代公式中的矩陣，由迭代收斂的充要條件知 即證。3. 用SOR方法解下列方程組（取松馳因子）,要求.解：SOR方法 故，迭代初值k00.0.10.-1.21.-0.30.-1.41.-0.50.-1.61.-0.70.-0.81.-0.90.-1.101.-0.110.-1.121.-0.130.-1.141.-0.150.-

6、1.161.-0.4. 用選列主元高斯消去法求解方程組解： 解得 5. 用追趕法解三角方程組解：高斯迶元回代得 解為 6. 用三角分解法求解方程組解：系數(shù)矩陣三角分解為： 原方程可表為： 解 得 解 得7. 用選主元法去法計算下列行列式的值.解： 8. 設(shè)計算 .解： 習(xí)題四.11. 給出概率積分的數(shù)據(jù)表：試用二次插值計算.X0.460.470.480.49f(x)0.0.0.0.解：取插值節(jié)點： 2. 已知y=sinx的函數(shù)表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166試構(gòu)造出差商表，利用二次Newton插值公式計算sin(1.609)(保留5位小數(shù))，并估計其誤差

7、.解：由題意得如下差商表故 又 故：3. 設(shè)為互異節(jié)點(),求證(1) (2) 證明： 令 又 所以 故 原等式左邊用二項式展開得： 由結(jié)論 得 即證4. 若,求和.解： 5. 證明兩點三次Hermite插值余項是證明： 且 即 為的二階零點 設(shè) 令 易知 又 由微分中值定理（Rolle定理），使得 進而 有三個零點，有兩個零點，有一個零點，即 使得得 6. 構(gòu)造適合下列數(shù)據(jù)表的三次樣條插值函數(shù)S(x) X-1013Y-11331428解：已知 邊界條件 即從而 解 得當 即 時故 同理，在及上均有 7. 用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式，使與下列數(shù)據(jù)相擬合X1925313844Y19.032

8、.349.073.397.8解：依題意 故 正則方程為 解得 故擬合曲線為 習(xí)題5.1 試確定下面求積公式使其具三次代數(shù)精度.解：要公式有3次代數(shù)精度，需有 解得： 故求積公式為2 在區(qū)間上導(dǎo)出含五個節(jié)點的Newton-Cotes公式，并指出其余項及代數(shù)精度.解：當時，又 故當時，有求積公式 （）其中由Lagrange差值定理有：故余項對（）至少有四次代數(shù)精度時 式（）左邊=右邊= 時 故（）式具有5次代數(shù)精度3 分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson公式計算, (取步長h=1/6).解：（1）用復(fù)合梯形公式 故 （2）用復(fù)合Simpson公式：4 用變步長梯形求積公式計算, (精確到).解：

9、由 得：5 用Romberg算法計算積分, (精確到).解：由公式 得： 又即已經(jīng)達到預(yù)定精度取6 試構(gòu)造兩點Gauss公式,并由此計算積分(精確到).解： 二次Lagendre多項式：Gauss點為由公式 得令 即 使得習(xí)題61 試用三種方法導(dǎo)出線性二步方法解：（1） Taylor展開法 線性k步公式為 得即得且（2） 數(shù)值積分法用矩形求積公式令（中矩形公式）即得：（3） 由隱式歐拉法得 由顯示歐拉法得 代入得2 用Taylor展開法求三步四階方法類，并確定三步四階顯式方法.解：線性k步公式為 ，在（6.17）中令 即 取。即 滿足上述條件的多步方法即為一類三步四階顯示方法，令可得 方法即為

10、3 形如的k階方法稱為Gear方法，試確定一個三步Gear方法，并給出其截斷誤差主項。解：線性k步公式為 由Gear法的定義知，三步Gear法滿足方法為階，故有得：取得得三步Gear方法：其中 4 試用顯式Euler法及改進的Euler法計算初值問題（取步長h=0.2）并比較兩者的誤差。解：步長 , 真解 顯式法： 改進法： 顯然改進的法誤差小于法。5 給出線性多步法為零穩(wěn)定的條件，并證明該方法為零穩(wěn)定時是二階收斂的.證明： 線性多步法 的相應(yīng)多項式 多項式的兩根為：，。 由判斷零穩(wěn)定的充要條件 根條件 知：此方法的零穩(wěn)定的條件為 由于 ， ， 得： 當方法為零穩(wěn)定時 ，從而，故 方法是二階收斂的。6 給出題(6.5)題中時的公式的絕對穩(wěn)定域.解： 6.5中當時，即為方法 其相應(yīng)的差分方程的多項式為 令 ，即方法的絕對穩(wěn)定域為 7 指出Heun方法00001/31/3002/302/301/403/4的