1、1第七章置信區間的概念置信區間的概念一、置信區間的概念一、置信區間的概念 二二 、數學期望的置信區間、數學期望的置信區間 三三 、方差的置信區間、方差的置信區間 2這種形式的估計稱為區間估計區間估計. .前面，我們討論了參數點估計. 它是用樣本算得的一個值去估計未知參數.但是點估計值僅僅是未知參數的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.范圍通常用區間的形式給出的。較高的可靠程度相信它包含真參數值.也就是說，我們希望確定一個區間， 使我們能以比 這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平. 習慣上把置信水平置信水平記作 1 ，這里 是一個很小

2、的正數，稱為顯著水平顯著水平。3),(2111nXXX),(2122nXXX)(21若由總體X的樣本 X1,X2,Xn 確定的,21則稱 為隨機區間。兩個統計量隨機區間與常數區間),(ba不同， 其長度與在數軸上的位置與樣本nXXX,21有關。當一旦獲得樣本值nxxx,21那么，),(211nxxx),(212nxxx都是常數。,21為常數區間。4121P若滿足 設 是總體X的 一個未知參數，, 10的置信區間置信區間. 121和（雙側置信區間）. 的置信水平（置信度）為分別稱為置信下限和置信上限為顯著水平. 1為置信度， 則稱區間 是,21,21若存在隨機區間對于給定的5置信水平的大小是根據

3、實際需要選定的.121P根據一個實際樣本，,21，使一個盡可能小的區間 由于正態隨機變量廣泛存在，指標服從正態分布，特別是很多產品的我們重點研究一個正態總體情形由給定的置信水平，我們求出975. 01即取置信水平 或 0.95，0.9 等.例如，通?？扇★@著水平 等., 1 . 0,05. 0,025. 0數學期望 和方差 的區間估計。26設nXXX,21為總體),(2NX的樣本，2,SX分別是樣本均值和樣本方差。對于任意給定的，我們的任務是通過樣本尋找一它以1的概率包含總體X的數學期望。個區間，7設),(2NX),(2nNXnXDXE2則隨機變量) 1 , 0(2NnXZ1 1、已知、已知2

4、 2時，時，的置信區間的置信區間令221XPzn 22z22z8221XPzn 2221XPzzn ,22znXznX這就是說隨機區間它以1的概率包含總體 X的數學期望。由定義可知，此區間即為的置信區間置信區間。221PzXznn 122znXznXP22z22z9,22znXznX置信區間也可簡記為2znX 它以1的概率包含總體X的數學期望。由定義可知，此區間即為的置信區間置信區間。其置信度為 1。置信下限2znX 置信上限2znX 22z22z1016195. 0105. 0n查表得0.02521.96zz若由一個樣本值算得樣本均值的觀察值20. 5x則得到一個區間(5.200.49)(4

5、.71, 5.69)我們稱其為置信度為0.95的的置信區間。 其含義是：若反復抽樣多次，每個樣本值（n =16) 按公式1.961.96(,)44xx即(0.49)x確定一個區間。,22znXznX11(0.49,0.49)xx確定一個區間。在這么多的區間內包含的占0.95,不包含的占0.05。本題中(4.71,5.69)，屬于那些包含的區間的可信程度為0.95. 或“該區間包含”這一事實的可信程度注： 的置信水平1的置信區間不唯一。為0.95.12當 n 充分大時， 無論X服從什么分布，都近似有) 1 , 0( NnDXEXXZ的置信區間是總體),(2NX的前提下提出的。均可看作EX的置信區

6、間。,22znXznX13 設總體X N(,0.09)， 有一組樣本值： 12.6，13.4，12.8，13.2， 求參數的置信度為0.95的置信區間.解解的置信區間為22,XzXznn00 代入樣本值算得 , 12.706，13.294.得到的一個區間估計為注：該區間不一定包含注：該區間不一定包含.0.02521.96zz有 1= 0.95，0= 0.3，n = 4,0.30.313 1 96,13 1.9622.13x 1405. 0可以取標準正態分布上分位點z0.04 和 z0.01 ,則又有0.040.0120.95XPzzn0.010.040.95P XzXznn則的置信度為0.95

7、的置信區間為0.010.04,XzXznn與上一個置信區間比較，同樣是95. 01其區間長度不一樣，上例0.025123.920.984zn比此例0.040.0111()4.081.0244zz短。01. 001. 0z04. 004. 0z15第一個區間為優（單峰對稱的）。 可見，像 N(0,1)分布那樣概率密度的圖形是單峰且對稱的情況。 當n固定時以2znX 的區間長度為最短，我們一般選擇它。若以L為區間長度，則22znL 可見L隨 n 的增大而減少（ 給定時），有時我們嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或0.9. 對于 1 不同的值， 可以得到不同的置信區間。16估計在區間

8、內. ,21 這里有兩個要求:),(2111nXXX只依賴于樣本的界限(構造統計量)可見，對參數 作區間估計， )(21 就是要設法找出兩個),(2122nXXX一旦有了樣本，就把2. 估計的精度要盡可能的高.如要求區間長度12 盡可能短，或能體現該要求的其它準則.,21 1. 要求 很大的可能被包含在區間 內， 21 P就是說，概率即要求估計盡量可靠. 要盡可能大.可靠度與精度是一對矛盾，條件下盡可能提高精度.一般是在保證可靠度的17已知某種油漆的干燥時間X（單位:小時）服從正態分布),1 ,(NX其中未知,現在抽取25個樣品做試驗，得數據后計算得62511nkkxx取05. 0(10.95

9、),求的置信區間。解解0.02521.96zz625xn2znx392. 0696. 1516所求為5.608, 6.392.18中隨機地抽查了9人，其高度分別為：；，置信度為假設標準差%9570的置信區間。試求總體均值由樣本值算得：解：已知.05. 0, 9, 70n.115)110120115(91x，由此得置信區間：查正態分布表得臨界值96. 12Z57.119,43.1109/796. 1115,9/796. 1115已知幼兒身高現從56歲的幼兒115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;,22znXznX2( ,),XN 19當總體X的

10、方差未知時，容易想到用樣本方差 2代替2 2。已知已知) 1(2ntnSXT則對給定的，令1)1(22ntnSXP查t 分布表，可得) 1(2nt的值。則的置信度為1 的置信區間為1)1() 1(22ntnSXntnSXP)1(),1(22ntnSXntnSX)1(2ntnSX2040名旅游者。解解本題是在2 2未知的條件下求正態總體參數的置信區間。選取統計量為05. 0由公式知的置信區間為查表0227. 2)39()39(025. 0205. 0 tt則所求的置信區間為95.113,05.96為了調查某地旅游者的消費額為X，隨機訪問了得平均消費額為105x元，樣本方差2228s設求該地旅游者

11、的平均消費額的置信區間。) 1(2ntnSXT)1(2ntnSX若2 22525的置信區間為2znX 96. 1405105即55.106,45.103),(2NX21用某儀器間接測量溫度，重復測量5次得0000012751260124512651250求溫度真值的置信度為 0.99 的置信區間。解解設為溫度的真值，X表示測量值，通常是一個正態隨機變量 .EX問題是在未知方差的條件下求的置信區間。125925105150511250 x4570)12591275()12591250(151222s339. 55 .2852s01. 041n由公式查表6041. 4)4()4(005. 0201

12、. 0 tt則所求的置信區間為58.241259,58.241259)1(2ntnSX22解解本題是在2 2未知的條件下求正態總體參數的置信區間。05. 0由公式知的置信區間為查表306. 2)8()8(025. 0205. 0tt則所求的置信區間為 1 .6889,9 .6650為了估計一批鋼索所能承受的平均張力（單位kg/cm2),22286720sx設鋼索所能承受的張力X，分別估計這批鋼索所能承受的平均張力的范圍與所能承受的平均張力。)1(2ntnSX隨機選取了9個樣本作試驗，2867202.3063即則鋼索所能承受的平均張力為 6650.9 kg/cm2由試驗所得數據得),(2NX22

13、286720sx23下面我們將根據樣本找出2 2 的置信區間，這在研究生產的穩定性與精度問題是需要的。已知總體),(2NX我們利用樣本方差對2 2進行估計，由于不知道S2與2 2差多少？容易看出把22S看成隨機變量，又能找到它的概率分布，則問題可以迎刃而解了。22S的概率分布是難以計算的，而2222(1)(1)nSn對于給定的).10(1)1() 1() 1(2222221nSnnP) 1(22n2 p yx) 1(221n224212(1)0( )2np y d y) 1(22n2 p yx) 1(221n21)1() 1() 1(2222221nSnnP22(1)( )2np y d y1

14、) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP則得到2 2隨機區間隨機區間) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn以 的概率包含未知方差2 2， 1這就是2 2的置信度為1的置信區間置信區間。25某自動車床加工零件，抽查16個測得長度（毫米）01.1203.1216.1209.1208.1201.1212.1215.12怎樣估計該車床加工零件長度的方差。解解 先求06.1201.1208.1211.1207.1213.1206.1215.12)05. 0(075.1206. 012. 015. 016112x)075.1206.12()075.1215.12

15、(151222s2 2的估計值0024. 05 . 716121515100001222或11)(11122122niiniixnxnxxns查表262. 6)15(2975. 0488.27)15(2025. 02600588. 0,00133. 0所求標準差標準差的置信度為0.95的 置信區間由) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn0765. 0,0365. 0得得) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn262. 60024. 015,488.270024. 015得得27為了估計燈泡使用時數（小時）的均值和解解)05. 0(查表7 . 2)9(2

16、975. 019)9(2025. 0測試了10個燈泡得2220s1500 x方差2 2，若已知燈泡的使用時數為X，),(2NX求和2 2的置信區間。2(1)9 4003600ns由公式知的置信區間為)1(2ntnSX262. 2)9()9(025. 0205. 0tt的置信區間為查表3 .141500即3 .1514,7 .1485由公式知2 2的置信區間為) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn2 2的置信區間為33.1333,47.1897 . 24009,19400928電動機由于連續工作時間（小時）過長會燒壞，解解)05. 0(查表18. 2)8(2975. 054

17、.17)8(2025. 0燒壞前連續工作的時間X，得2265. 2s7 .39x),(2NX求和2 2的置信區間。今隨機地從某種型號的電動機中抽取9臺， 測試了它們在設由公式知的置信區間為2(1)SXtnn0.0252.6539.7(8)9t04. 27 .39即74.41,66.378064.25,2041. 3所求2 2的置信度為0.95的 置信區間) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn18. 265. 28,54.1765. 2822得得29一般是從確定誤差限誤差限入手. 1|P使得稱 為 與 之間的誤差限 . 1，可以找到一個正數 ， 只要知道 的概率分布，確定誤

18、差限并不難. 我們選取未知參數的某個估計量，根據置信水平 由不等式 |可以解出 ：這個不等式就是我們所求的置信區間.30),(2NX1221uWuP被估被估參數參數條件條件統計量統計量置信區間置信區間已知已知2未知未知22未知未知) 1 , 0( NnXZ) 1(ntnSXT22,XzXznn) 1(, ) 1(22ntnSXntnSX2222(1)(1)nSn )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn31P294 4 5 6 8 10 1232例例4 假定初生嬰兒的體重服從正態分布，隨機抽取12 名嬰兒，測得體重為：（單位：克） 3100, 2520, 3000, 3000, 3

19、600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540 試以 95% 的置信度估計初生嬰兒的平均體重以及方差.解解 設初生嬰兒體重為X 克，則 XN( , 2 ),(1) 需估計 ,而未知 2.3057,375.3,xs0.053305. 012)1(/ ntnSXT取取201. 2作為統計量. 有有 = ，n= ，3057,375.3,xs375.3375.3 3057-2.201,30572.2011212 2818, 3296 .t0.025(11)= ，即的置信區間。(1) 需估計 ,而未知 2.)1(),1(22ntnSXntnSX34(2) 需估

20、計2 ,而未知 ，取統計量為92.21816. 3有 20.025(11)= ，20.975(11)= ，) 1() 1(2222nSn2111549350.99,s3.816549000,21.92549000 112的置信區間為 70682.07, 406014.41 .即0.0535解解01. 0由置信區間的概念，所求的0.99的 置信區間為在交通工程中需要測定車速（單位 km/h),由以往2258. 32、現在作了150次觀測，試問平均測量值的誤差在 99. 01XP的經驗知道，即測量值為X，),(2NX測量值的誤差在 之間。11、至少作多少次觀測，才能以0.99的可靠性保證平均之間的概率有