1、高考沖刺 函數(shù)與方程的思想【高考展望】縱觀近幾年的高考試題，函數(shù)的主干知識、知識的綜合應(yīng)用以及函數(shù)與方 程思想等數(shù)學(xué)思想方法的考查，一直是高考的重點內(nèi)容之一。在高考試卷上， 與函數(shù)相關(guān)的試題所占比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試 題，又有一定能力要求的主觀性試題。函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思 想，高考中所占比重比較大，綜合知識多、題型多、應(yīng)用技巧多。在高中新課 標(biāo)數(shù)學(xué)中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容，可見其重要所在。在近幾年的高考中，函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等， 方程觀點的應(yīng)用可分為逐步提高的四個層次：(1)解方程；(2)含參數(shù)方程討論；(3)轉(zhuǎn)化為對

2、方程的研究，如直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系，函數(shù)的性 質(zhì)，集合關(guān)系；(4)構(gòu)造方程求解。高考函數(shù)與方程思想的命題主要體現(xiàn)在三個方面：是建立函數(shù)關(guān)系式， 構(gòu)造函數(shù)模型或通過方程、方程組解決實際問題；是運用函數(shù)、方程、不等 式相互轉(zhuǎn)化的觀點處理函數(shù)、方程、不等式問題；是利用函數(shù)與方程思想研 究數(shù)列、解析幾何、立體幾何等問題.在構(gòu)建函數(shù)模型時仍然十分注重“三個 二次”的考查.特別注意客觀形題目，大題一般難度略大。【知識升華】函數(shù)與方程(不等式)的思想貫穿于高中學(xué)習(xí)的各個內(nèi)容，求值的問題就 要涉及到方程，求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù)，函數(shù)與方程(不等式)思想的運用使我們解

3、決問題的重要手段。函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程式x)=0 的解就是函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，函數(shù)y=/(x)也可以看作二 元方程式x)y=O通過方程進(jìn)行研究。就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的 應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證) 不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過 建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)， 達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的。許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決, 反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)

4、學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點。1 .函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系， 建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從 而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善 于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題；2 .方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程 組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化 問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題 就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究 運動中的等量關(guān)系；3 .函數(shù)的

5、思想與方程的思想的關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方 程的問題需要用函數(shù)的知識和方法去解決.對于函數(shù)y = f(x),當(dāng)y=0時，就 轉(zhuǎn)化為方程f(x)=O,也可以把函數(shù)y = f (x)看作二元方程yf (x) =0,函數(shù)與方程可相互轉(zhuǎn)化。4 .函數(shù)方程思想的幾種重要形式(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y = f(x),當(dāng)y=0時，就轉(zhuǎn)化為 方程f (x) =0,也可以把函數(shù)式y(tǒng) = f (x)看做二元方程y f (x) =0。函數(shù)問題(例 如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以 轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)=0

6、,就是求函數(shù)y = f(x)的零點；(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y = f(x),當(dāng)y>0時，就轉(zhuǎn) 化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)， 也離不開解不等式；(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理 數(shù)列問題十分重要；(4)函數(shù)f(x) = (ox + »" (n£N*)與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個 函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題；(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要 通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)

7、的有關(guān)理論；(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用布列方 程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。【典型例題】類型一、函數(shù)思想在方程中應(yīng)用【例1】設(shè)方程上有實根，求的取值范圍。【思路點撥】本題若直接由條件出發(fā)，利用實根分布條件求出a, b滿足的 條件，視為區(qū)域內(nèi)點與原點距離的平方，以此數(shù)形結(jié)合，亦可獲解，但過程繁瑣。考慮到變量a, b是主變量，反客為主，視方程為aob坐標(biāo)平面上的一條直線7：, P (a, b)為直線上的點，則即為IPO-【解析】設(shè)d為點0到直線1的距離，由幾何條件知：，因為，令 ，則。且易知函數(shù) 在 上為增函數(shù)。所以。即。【總結(jié)升華】解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地

8、抓住了數(shù)與式的特點，運用方 程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b?是a、c的函數(shù)，運用重要不等式， 思路清晰，水到渠成。舉一反三：【變式1】(1)已知®= 1 (a、b、ceR),則有()5。(A) b2 > 4ac (B) h2 > 4ac (C) h2 < 4ac (D) b2 < 4ac【解析】法：依題設(shè)有a 5 b V5 +c = 0,75是實系數(shù)一元二次方程ox? +bx + c = 0的一個實根；. = /J? -4ac 20b2 >4ac 故選(B);法二：去分母，移項，兩邊平方得：5b2 =25a2 +10izc + c2 10ac +

9、 2 , 5a , c = 20ac, b2 > 4ac 故選(B)【例2】若關(guān)于x的方程cos2x2cosx+勿=0有實數(shù)根，則實數(shù)力的取值 范圍是【思路點撥】將方程變形為加=-cos2x+2cosx,則當(dāng)方程有實數(shù)根時，一 cos2x+2cosx的取值范圍就是勿的取值范圍.【解析】原方程可化為“=cos2x+2cosx.令 7(x)= cos2x+2cosx,則 Ax)= 2cos2x+1 + 2cosx=-2 (cos x -夕 + -1,由于-1 Wco&xW 1,所以當(dāng)cosx=；時，y(x)取得最大值g，當(dāng)cosx= -1時，/U)取得最小值一3,故函數(shù)段)的值域為-

10、3-京，即加 £ -3-.【總結(jié)升華】本題若令cosx=3則可通過換元法將原方程化為關(guān)于1的一 元二次方程，但求解過程將非常繁瑣，而通過分離參數(shù)，引進(jìn)函數(shù)，便可通過 函數(shù)的值域較為簡單地求得參數(shù)加的取值范圍.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)/(x) = a?+公2 + cx + d的圖象如下，貝I()(A) /?e(-oo,0)(B)be(0,l)y八(C) be(1,2)(D)be(2,+00)/ / .答案a.一可-'Vy2 "【變式2】若關(guān)于x的方程分+(4+>3，+4=0有大于1的解，則實數(shù)。的 取值范圍是()1 aA. a< B. aW 8 C.

11、a<-D. aW433【答案】A【解析】由原方程得4+。= +色)，3令人無)=3，+二，取 f=3 貝Ug«)=t + &，Tg在(0,2)上遞減，在(2, +8)上遞增,而x>l, z>3,，g>g(3)=*y.gp4+a<-, ：.a<33【例3】已知/(r) = log2'，teV2 , 8J,對于f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m,不等式 /+nir + 4 > 2m + 4x怛成立，求x的取值范圍。【思路點撥】將原題轉(zhuǎn)化為:m(x-2) + (x-2)2>0怛成立，y=/n(x-2) + (x-2>為 m的一次

12、函數(shù)(這里思維的轉(zhuǎn)化很重要)【解析】VteV2, 8,3當(dāng) x=2 時，不等式不成立。.”#2。令 g(m)= w(x-2) + (x-2)2, mG 1, 3問題轉(zhuǎn)化為g(m)在止，3上恒對于0,貝心 心中>°；解得：x>2或x<T2h(3)>0【總結(jié)升華】首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m,不 等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字 母變量的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。1 1【例4】函數(shù)= 的零點個數(shù)為()A. 0 B. 1 C. 2D. 3【思路點撥】利用對函數(shù)零點存在判定定理，同時采用數(shù)形結(jié)合的方

13、法解題。 【答案】B；【解析】函數(shù)的零點,即令/(x) = 0,根據(jù)此題可得.=(夕,在平面直角坐標(biāo)系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖像,可得交點只有一個,所以零點只 有一個，故選答案B.【總結(jié)升華】函數(shù)的零點、方程的根以及函數(shù)圖像與X軸的交點之間存在 相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。本題主要考察學(xué)生對方程的根與函數(shù)零點關(guān)系的理解，以及利 用函數(shù)圖象確定函數(shù)零點的個數(shù)的方法。舉一反三：【變式1已知函數(shù)/(x) = 2x + ln(l - x),則方程/(x) = 0在(-2, 1)內(nèi)有沒 有實數(shù)解？說明理由？【解析】由基本初等函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)/(x) = 2x + ln(l-x)在其定義域(-卻) 內(nèi)的圖象連續(xù)，I1

14、12且有/(l-e) = 2(l-e) + lne = 3-2e<0, /(I一一) = 2(1一一) + ln - = 1一一>0,eeee于是有了(1-6)/(1-3<0。e，函數(shù)/(x)在區(qū)間(l-e, 1-1)內(nèi)至少有一個零點，e即方程7(x) = 0在區(qū)間(l-e, 1)u (-2, 1)內(nèi)至少有一個實數(shù)解.e【變式2】設(shè)函數(shù)y = d與y = 的圖象的交點為(如y°),則所在的區(qū)間是( )A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)【答案】B；【解析】令g(x) = d-22T,可求得:g(0)<0,g(l)<0,g

15、(2)>0,g(3)>0,g(4) > 0。易知函數(shù)g(x)的零點所在區(qū)間為(1.2)。【總結(jié)升華】本題主要考察學(xué)生對方程的根與函數(shù)零點關(guān)系的理解，以及 利用函數(shù)圖象確定函數(shù)零點的個數(shù)的方法。類型二、函數(shù)思想在不等式中的應(yīng)用【例5】設(shè)ab>c,且a+b+c=O,拋物線>=#+2"+c被x軸截得的弦長為 L求證：/<，<243 .【思路點撥】由于弦長1是與a, b, c有關(guān)的變量，若能建立, =/3心。）的表 達(dá)式，那么結(jié)論相當(dāng)于確定該函數(shù)的值域.為了確定函數(shù)' = a，九。）的值域，需 要解決好三個問題：一是求出變量1關(guān)于a, b,

16、c的解析式；二是將這個多元函 數(shù)通過集中變量、消元或變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)；三是需要確定這個一元函 數(shù)的定義域.【證明】'：a>b>c ,且 a + 3+c = 0,；. a>O,c <0.從而 A =0 4ac > 0 .故拋物線股"、2"+c與x軸有兩個不同的交點，即方程4+2"+c = 0必_2b _c有兩個不相等的實數(shù)根再用,由韋達(dá)定理得=一丁內(nèi)町=1.,2 =（再一勺）'=（X1 +矛2）2 4/叼=竺=4（與一與 a a a a=4 -a - - - = 4（1 + -）2 - = 4（- + -1）2 +

17、3a a a a a 2可見，1是。的二次函數(shù).由a>右”及a + "c = 0,得a>-a-c>c,解得.1 = 4(，+32 + 3 (-2,-1)- 4(-1 + 1)2 + 3</2 <4(-2 + -)2 + 3a 2，在2,上是減函'2 2，'2，即3<1<12.門 >0,.:幣 <1 <2幣.【總結(jié)升華】應(yīng)用函數(shù)與方程思想處理不等式問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個適當(dāng) 的函數(shù)和用好方程理論，弄清函數(shù)、方程及不等式的內(nèi)在聯(lián)系，樹立相互轉(zhuǎn)化 的觀點.舉一反三：【變式】當(dāng)（1,2）時，不等式f +4<0恒

18、成立，則機(jī)的取值范圍【答案】m<-5【解析】構(gòu)造函數(shù)：f(x) = x2+tw( + 4, xel,2o由于當(dāng)xw(L2)時,不等式/+如+4<0恒成立。則/W0J(2)W0,即1 + w + 4<0, 4 + 2/7?+4<0 解得：m<-5 o【例6】設(shè)a大于0, b大于0.A. 2a+2a=2b+3b,則 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,則 a>bC.若 2a-2a=23> 則 a>b D.若 2a-2a=ak3b,則 aVb【思路點撥】利用構(gòu)造函數(shù)的方法加以解決。【答案】A；【解析】若2" +2a = 2+勸，必有

19、2"+2a>2" +2b.構(gòu)造函數(shù)：f(.x) = 2x + 2x ,則 /(r)=2Fn2+2>0恒成立，故有函數(shù)/(x) = 2*+2x在X>0上單調(diào)遞增，即a>h成 立.其余選項用同樣方法排除.故選A。【總結(jié)升華】當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)建一元二次方程的 明顯信息，構(gòu)造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決。當(dāng)問題中出現(xiàn)多個 變量時，往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一個變量表 示成關(guān)于另一個變量的表達(dá)式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決。【例7高清課程函數(shù)與方程的思想例題3】已知人。=log2f, /£啦

20、，8,對 于.大。值域內(nèi)所有實數(shù)7,不等式/+如+42?+4%恒成立，求x的取值范圍.【思路點撥】本題可用參變分離或看作關(guān)于勿的一次函數(shù)處理.【解析】VreV2 , 8, .；Wlog2/W3,解法一：不等式可化為：(24x+4.即(2 x)m<(2x)2,當(dāng)x=2時，上式不成立；當(dāng)xW2時，若x<2,則m<2x.'.2-x>3 即 x< 1,若 x>2, RlJ m>2x,解法二：原不等式可化為(%2)/篦+(x2)2>0,令7(/%)=(x2)/+(x2>，引時，有人”)的最小值大于0,：x=2時，不成立.x x 2, fx x

21、 2,< /() > 0, BP < 1 (x - 2) + (% - 2)2 >0,八3)>0,3(x-2) + (x-2)2 >0,解得為<一 1或x>2.綜上可得x的取值范圍是小<1或x>2.【總結(jié)升華】應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問題，是多元 問題中的常見題型，常見的解題思路有以下兩種：(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立、方程求解等轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最 值(或值域)，然后求解.(2)換元，將問題轉(zhuǎn)化為一次不等式、二次不等式或二次方程，進(jìn)而構(gòu)造函 數(shù)加以解決.舉一反三：【變式】對于滿足0Wp<4的實數(shù)p,使x

22、2+px>4x+p3恒成立的x的取 值范圍是【答案】(-8, 1) U (3, + °°)【解析】x2+px>4x-p3對于0WpW4恒成立可以變形為jc24x+3 + p(x- 1 )>0對于0WpW4恒成立，所以一次函數(shù)加) = (x l)p+f4x+3在區(qū)間 0,4上的最小值大于0,即卜：一以+ 30,x2-l>0,所以x的取值范圍是(一8, -1)U(3, +8).類型三、函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用【例8】設(shè)等差數(shù)列a/的前n項和為Sn，已知出=12, Sl2>0, S”<0,(1)求公差d的取值范圍；(2)指出斗、£、S3

23、，Sn中哪一個最大，并說明理由。【思路點撥】可利S“與n的函數(shù)關(guān)系加以求解。【解析】(1)由%=12得:4=1221，S12 = 12a, +44J = 144 + 42d>0, S,3 = 13a, + 78 J = 156 + 52d<0, 24 7(2) S = na. +d = dn2 +(2 d)n ,"1222Vd<0, S“是關(guān)于n的二次函數(shù)，對稱軸方程為：X=-O 2 d.24。. a/5 12/13<d<3, .o<<,72 d 2.當(dāng)n=6時，S“最大。【總結(jié)升華】數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點

24、處理數(shù)列問題十分重要。【例9】已知等差數(shù)列的公差dwO,對任意非e獷都有4*0,函數(shù) /(x) = %/ + 2a"+a*+2.(1)求證：對任意6獷，函數(shù)x)的圖象過一定點. = ?(2)若=",函數(shù)f(x)與x軸的一個交點為(c*h°),且 q+i,求 數(shù)列&的通項公式.e 111S 1+ I(3)在(2)的條件下，求 她 她4-月.【思路點撥】函數(shù)f(x)的圖象過一定點，可運用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行論證；后一 問中可運用根與系數(shù)的特點進(jìn)行求解.【解析】(1) 為等差數(shù)列，故%-2%- + %+2=0,故x = -l必是方程+2%+/ + %+2 = o的

25、一個根，即方程/ V +2%+m+%+2 = o均有一個相同的根為一 1.故函數(shù)f(x)過一定點(一1, 0).(2)方程+2%+/+%+2 = 0的兩根為分與7.有(7)="«1 +（力+ l）d _ （%+2）d%+（力- l）dndG+l 2(_匕)(一七)H上一D【總結(jié)升華】數(shù)列綜合題往往和函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合，以數(shù)列為載體, 利用函數(shù)性質(zhì)研究數(shù)列與方程，或以數(shù)列為載體，利用方程為工具去研究相關(guān) 函數(shù)或數(shù)列的性質(zhì).舉一反三：【變式】若(Z x)2 4(Xy) (yz) =0,求證：x y、z成等差數(shù)列。【證明】當(dāng)x = y時，可得x = z, .x、y、z成等差

26、數(shù)列；當(dāng) xWy 時,設(shè)方程(x y)t2 (zx)t+(yz) =0,由=()得 3=12, 并易知t = l是方程的根。tj t2= yz =1> 即 2y=x + z, .,.x、y、z 成等差數(shù)列。類型四、函數(shù)思想在立體幾何中的應(yīng)用【例10】如右圖，已知正四棱錐S-ABC。所有棱長都為1,點E是側(cè)棱SC上 一動點，過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記SE = x(0<x<l), 截面下面部分的體積為V(x),則函數(shù)y = V(x)的圖像大致為( )8【答案】A；【解析】：(定性法)當(dāng)0<x<；時，隨著x的增大，觀察圖形可知，V(x)單 調(diào)遞

27、減，且遞減的速度越來越快；當(dāng)時，隨著x的增大，觀察圖形可知, V(x)單調(diào)遞減，且遞減的速度越來越慢；再觀察各選項中的圖象，發(fā)現(xiàn)只有A 圖象符合.故選Ao【點評】對于函數(shù)圖象的識別問題，若函數(shù)y = /(x)的圖象對應(yīng)的解析式不好 求時，作為選擇題，沒必要去求解具體的解析式，不但方法繁瑣，而且計算復(fù) 雜，很容易出現(xiàn)某一步的計算錯誤而造成前功盡棄；再次，作為選擇題也沒有 太多的時間去給學(xué)生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且準(zhǔn)確節(jié)約 時間。舉一反三：【變式1】已知由長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱長之和為1,表面積為， 求長方體的體積的最值。【解析】設(shè)三條棱長分別為x, y, z,則長方體的體

28、積V=xyz。由題設(shè)有:所以故體積V (x)下面求x的取值范圍。因為的兩個實根。所以y、z是方程因為所以當(dāng)時,時,【例11如圖，已知力_L面3C,于D,BC = CD = AD = 1(1)令尸2? = x,乙BPC = 6 ,試把tanS表示為x的函數(shù),并求其最大值;(2)在直線PA上是否存在一點Q,使/即C>N班C成立？【思路點撥】(1)為尋求tan6與x的關(guān)系，首先可以將6轉(zhuǎn)化為48-4(2)由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：點Q的存在性等價于：是否存在點Q使得tan /BQC > tan Z.BAC【解析】(1).為_L面工3C,于D, ：.PDLBD.PP)pn Ttan APCD

29、= = x, tanZP5D = =- DCBD 2.X x tan (/產(chǎn) 8 - /FBD)=L =tan 6a . x x + 2 1 + x2;工。為尸。在面工3。上的射影.：.PD>AD=,即x>l.x _ 1 < 1 _ 42 ?+2- %+222/. tan &X即tan。的最大值為彳，等號當(dāng)且僅當(dāng)x =、巧時取得.1（2）tan ABAC = tan /.ACD-ABD = jX 、1令tane=7Ti>5,解得：l<x<2,與X>1交集非空.滿足條件的點Q存在.【總結(jié)升華】本題將立體幾何與代數(shù)融為一體，不僅要求有一定的空間想象

30、力, 而且，做好問題的轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵.類型五、利用方程思想處理解析幾何問題【例12直線與圓相切，則a的值為（）A. B C. 1D.【思路點撥】利用方程聯(lián)立結(jié)合判別式可得解。【解析】由直線方程得，并代入圓方程，整理得又直線與圓相切，應(yīng)有，解得 。故選Do【總結(jié)升華】即把直線方程代入圓或圓錐曲線的方程，消去y,得關(guān)于x的 一元二次方程，其判別式為,則有：（1）曲線C與直線相離 ；（2） 曲線C與直線 相切 ：（3）曲線C與直線 相交 。舉一反三：【變式】ZXABC的三邊a, b, c滿足b=8c,試確定ABC的形狀。【解析】因為b+c = 8,所以b, c是方程的兩實根，即，所以a=6。從

31、而得b=c=4,因此AABC是等腰三角形。【總結(jié)升華】構(gòu)建一元二次方程的模型解決數(shù)學(xué)問題，是一種行之有效的 手段，其獨特功能在于充分運用構(gòu)建的一元二次方程及根的判別式和求根公式 變更命題，從而使問題獲得圓滿解決。【例13】給定拋物線C：/=4x , f是C的焦點，過點F的直線1與C相交 于A, B兩點.(1)設(shè)1的斜率為1,求與與麗的夾角的大小；(2)設(shè)前=板,若北4,9,求1在y軸上的截距的變化范圍.【解析】 C的焦點為F (1, 0),直線1的斜率為1,所以1的方程為丁 = x -1 .將y = x -1代入方程/= 4x ,并整理得x2-6x + 1 = 0.設(shè)451，%),3*2，N)

32、，則有占+叼=6,心=1.OA OB=(五,珀(叼，乃)=叼 +y必=2x2 - 氏 + 入2)+1 = -3.I網(wǎng)I1=舊+代 & +£ = Jx/2再叼+ 4（1+盯）+16=標(biāo)cos < OA,OB >=OA .QBOAOB3國413標(biāo) > »7T- arc cos所以8與08夾角的大小為41(2)由題設(shè)施=兄樂得(向-L為)=2(1-F)，攵2 - 1=4(1 一X。即 = 一初. 由得只=足X； , :火=4再,只=4X2, 叼=機(jī)卜聯(lián)立、解得4=4,依題意有4>0. .3(%2、/1),或3(%-23),又f(1, 0),得直線

33、1 方程為(4T» =-1)5( -1)7 = -2-JI(x -1),當(dāng)融4,9時，1在y軸上的截距為二取一7Tp設(shè)g（A等叫爪杏肅£/2VIg） = _4+1 <0可知默尸二T在4, 9上是遞減的，（或用導(dǎo)數(shù)W-1）2,證明3r 20/4 4r 2。廠 3g是減函數(shù).）.泊& 二T'5'-5&一一7 r_4 _33 4直線1在y軸上截距的變化范圍為點評：不少解析幾何問題，其中某些元素處于運動變化之中，存在著相互聯(lián)系、 相互制約的量，它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系；對于直線和曲線交點問題，經(jīng)常 要轉(zhuǎn)化為方程問題，用方程的理論加以解決.舉一反

34、三：【變式】直線“，=丘+ 1和雙曲線芯?一/：的左支交于人、b兩點，直線1過點 P（-2, 0）和線段AB的中點M,求I在y軸上的截距b的取值范圍.分析：b的變化是由于k的變化而引起的，即對于k的任一確定的值，b有確定 的值與之對應(yīng)，因此b是k的函數(shù)，本題即為求這個函數(shù)的值域.y = H+L（x<-l）【解析】由三一八=1， 消去y,得曲-1）/ +而+2 = 0. （*）因為直線m與雙曲線的左支有兩個交點，所以方程（*）有兩個不相等的 負(fù)實數(shù)根. =4/+8。-/）>0,2k 八<+叼=匚m<0，一 2-T>0.廣所以1-/解得1<左<、傷.設(shè)兩飛

35、,加，則&=也+1=_上2)r 12由十2。)以6，前).三點共線，得出八與R. Q,1 017設(shè)次"% +H27S2) +百，則分)在(L、上為減函數(shù)，./()</W</(l),- -(2-72)</W<0,或0</(后<1,:. b <-及-2 ,或b>2.【總結(jié)升華】根據(jù)函數(shù)的思想建立b與k的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)方程的思想，運用 二次方程的理論具體求出b的表達(dá)式，是解此題的兩個關(guān)鍵問題.不少解析幾 何問題，其中某些元素處于運動變化之中，存在著相互聯(lián)系、相互制約的量， 它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系；對于直線和曲線交點問題，經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為

36、方程問 題，用方程的理論加以解決.類型六、函數(shù)思想在三角中的應(yīng)用【例14】求的取值范圍。【思路點撥】利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題。【解析】設(shè)，,構(gòu)造二次函數(shù)由圖1可知:【總結(jié)升華】該題通過三角換元構(gòu)造了二次函數(shù)，最終求得最值。舉一反三：【變式1】已知函數(shù)，當(dāng) 有實數(shù)解時，求a的取值范圍。【解析】由得，分離a得：問題轉(zhuǎn)化為求a的值域。因為，所以。故當(dāng)時， 有實數(shù)解。【變式 2】例 10. A.ABC 中，求證：cosA cosB cosC<l8【證明】設(shè) k=cosA cosB cosC = 1 cos(A + B)+cos(A B) cosC = 1 cosC 22+cos(A B)co

37、sC；整理得：cos2 C - cos( A - B )-cosC+2k=0,即看作關(guān)于cosC的一元二次方 程。.,.=cos2(A-B)-8k>0,即 8k<cos2(A-B)<l；k<l 即 cosA cosB cosC<l o 88【總結(jié)升華】既是方程思想，也屬判別式法。還可用放縮法：cosA cosB cosC =.=1 cos2 C + 1 cos(A B) cosC = 1 cosC 8s(A-8)2 + 1 Cos2 (A 22228B)<lcos2(A-B)<lo 88類型七、方程思想在求函數(shù)最值中的應(yīng)用【例15】求正整數(shù)。的最大值，

38、使不等式- +，+ . + 二>。一7對一切 +1 + 23 +1正整數(shù)都成立.【思路點撥】要求正整數(shù)。的最大值，應(yīng)先求。的取值范圍，關(guān)鍵是求出 代數(shù)式一 +- +一的最小值，可將其視為關(guān)于n的函數(shù)，通過單調(diào)性 求解.【解析】= + - +(GN*), +1 + 23 +1對任意的“GN*,/(«+1) - Rn) = - + f 八 3“+ 2 3+ 3 3+ 4 n + 1=>03(+ 1)(3+ 2)(3+ 4)所以角7)在N*上是增函數(shù).又yU)=j|，對一切正整數(shù)，大)>。一7都成立的充要條件是j|>a7,所以衛(wèi)，故所求正整數(shù)。的最大值是8.12【總結(jié)升華】本題是構(gòu)造函數(shù)解題的很好的例證.如果對數(shù)列求和，那就 是誤入歧途.本題構(gòu)造函數(shù)次)，通過單調(diào)性求其最小值解決了不等式恒成立的