1、數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和方法歸納1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an1and(d為常數(shù))，anan1d等差中項(xiàng)：x.A,y成等差數(shù)列2Axy印annnn1刖n項(xiàng)和Sn-nd22性質(zhì)：an是等差數(shù)列(1) 若mnpq，貝Uamanapaq;(2) 數(shù)列a2n1,a2n,a2n1仍為等差數(shù)列，Sn,S2nSn,S2n仍為等差數(shù)列，公差為n2d;(3) 若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a,ad(4) 若an，bn是等差數(shù)列，且前-項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則勺bmT2m1(5) an為等差數(shù)列Snan2bn(a,b為常數(shù)，是關(guān)于-的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù))Sn的最值可求二次函數(shù)Snan2bn的最值；或者求出a.中的

2、正、負(fù)分界項(xiàng)，ao即:當(dāng)a10,d0,解不等式組n可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的-值.an10a0當(dāng)a10,d0,由n可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的-值.an10(6) 項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an有S2nn(a1a2n)n(a2a?n1)n(anan1)(an,an1為中間兩項(xiàng))S偶S奇nd,.S偶an1(7) 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列an有精品文檔S2n1(2n1)an(an為中間項(xiàng)),2. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義:q(q為常數(shù)，q0),a.n1等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列G2xy，或Gnq（q1）前n項(xiàng)和：Sna11qn(要注意！)彳(q1)1qan1anag性質(zhì)：an是等比數(shù)列(1)若mnpq，

3、貝Uam-a.ap-aq(2)Sn,S2nSn,SsnS?n仍為等比數(shù)列,公比為q"注意：由Sn求an時(shí)應(yīng)注意什么?n1時(shí)，a13；n2時(shí)，anSnSn13.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法（1）求差（商）法如：數(shù)列an，a<i21、歹習(xí)2n5，求ann1時(shí)，ai212112時(shí)，一42a2225，a1142n得：2U2，an2an14(n1)2n1(n2)練習(xí)數(shù)列an滿(mǎn)足SnSn15an1，a134，求an注意到an1弟Sn，代入得詈4又S4，Sn是等比數(shù)列，q4nn2時(shí)，anSnSn14(2)疊乘法如：數(shù)列an中，a1an1n3,，求anann1解a2a3an扛n1，二an1又a13

4、，.3-ana?an123nn(3)等差型遞推公式由anan1f(n),a1ao，求an，用迭加法a2a,f(2)aaf(3)n2時(shí)，32兩邊相加得an印f(2)f(3)f(n)anan1f(n)二anaof(2)f(3)f(n)練習(xí)數(shù)列an中，a,1,an3n1an1n2，求an(4)等比型遞推公式ancan1d(c、d為常數(shù),c0，c1，d0)xancan1c1x令(c1)xd，.xd?*c1danc1ddn1ana1c，anc1c1(5)倒數(shù)法如：a11，an12an求Ianan2由已知得：an211an12an2an.丄為等差數(shù)列，丄1，公差為ana1可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)anxcan1

5、dn1da1cc1c1是首項(xiàng)為a1九c為公比的等比數(shù)列1丄1an1an21.11,11,n1_n1，2an22-an附:公式法、利用anan1panq或an1耳(n1)SnSm(n2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比panf(n)、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法)4.求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法(1)裂項(xiàng)法如:an是公差為d的等差數(shù)列，求把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)1解：由1111d0ak'ak1akakddakak1.n1n1111111111k1akak1k1dakak1da?a2a3anan111da1an1練習(xí)求和：111112123

6、123nk1akak1an,Sn2n(2)錯(cuò)位相減法若an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列，求數(shù)列anbn(差比數(shù)列)前n項(xiàng)和，可由SnqSn，求Sn，其中q為bn的公比23n1女口：Sn12x3x4xnxx-Snx2x23x34x4n1xn1nxn一1xSn1xx2xn1nxnn1xx1時(shí)，Sn2nnx1xx1時(shí)，Sn1231x(3)倒序相加法把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫(xiě),再與原來(lái)順序的數(shù)列相加Sna1Snana2an1an1a2an相加2Sna1ana2an1aian練習(xí)已知f(x)"則f(1)f(2)f(3)1由f(x)f-xx21x2x21x21FT1原式f(1)f(2)f1f(4)f；(

7、附：a用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和如果一個(gè)數(shù)列an，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可米用把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱(chēng)為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)的得出過(guò)程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類(lèi)知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是倒序相加法”b. 用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。c. 用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)

8、，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。d. 用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列anbn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前n項(xiàng)和。e用迭加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿(mǎn)足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條精品文檔件下，可把這個(gè)式子變成an+i-an=f(n)，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an，從而求出Snof. 用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和所謂分組求和法就是對(duì)一類(lèi)既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的