1、高中概率問題.隨機事件的概率隨機事件的概率1必然事件：一般地，把在條件S下，一定會發生的事件叫做相對于條件S的必然事件。2、不可能事件：把在條件S下，一定不會發生的事件叫做相對于條件S的不可能事件。3、確定事件：必然事件和不可能事件統稱相對于條件S的確定事件。4、隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事件。5、頻數：在相同條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數。6、頻率：事件A出現的比例7、概率：隨機事件A的概率是頻率的穩定值，反之，頻率是概率的近似值概率的意義1概率的正確解釋：隨機事件在一次試驗中發生與否

2、是隨機的，但隨機性中含有規律性。認識了這種隨機中的規律性，可以比較準確地預測隨機事件發生的可能性。2、游戲的公平性：抽簽的公平性。3、決策中的概率思想：從多個可選答案中挑選出正確答案的決策任務，那么“使得樣本出現的可能性最大”可以作為決策的準則。極大似然法、小概率事件4、天氣預報的概率解釋：明天本地降水概率為70%解釋是“明天本地下雨的機會是70%”。5、試驗與發現：孟德爾的豌豆試驗。6、遺傳機理中的統計規律。概率的基本性質1、事件的關系與運算(1) 包含。對于事件A與事件B,如果事件A發生，則事件B一定發生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，記作BA(或AB)。不可能事件記作。(2

3、) 相等。若BA且AB，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。(3)事件A與事件B的并事件(和事件)：某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生。(4)事件A與事件B的交事件(積事件)：某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生。(5) 事件A與事件B互斥：AIB為不可能事件，即AIB=，即事件A與事件B在任何一次試驗中并不會同時發生。(6) 事件A與事件B互為對立事件：AIB為不可能事件，AUB為必然事件，即事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生。2、概率的幾個基本性質(1) 0P(A)1.(2) 必然事件的概率為1.P(E)1.(3) 不可能事件的概率為0.P(F)0.(4)事件A與事件

4、B互斥時，P(AUB)=P(A)+P(B)概率的加法公式。(5)若事件B與事件A互為對立事件，則AUB為必然事件，P(AUB)1.古典概型古典概型1基本事件:基本事件的特點：（1）任何兩個事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本時間的和。2、古典概型：（1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;（2）每個基本事件出現的可能性相等。具有這兩個特點的概率模型稱為古典概型。3、公式：A包含的基本事件的個數（）=基本事件的總數（整數值）隨機數的產生如何用計算器產生指定的兩個整數之間的取整數值的隨機數一一書上例題。幾何概型幾何概型1幾何概型：每個事件發生的概率只有與構成該事件區域的

5、長度（面積或體積）成比例的概率模型。2、幾何概型中，事件A發生的概率計算公式：構成事件A的區域長度（面積或體積）（）試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體積）均勻隨機數的產生常用的是0,1上的均勻隨機數，可以用計算器來產生01之間的均勻隨機數。本章知識小結隨機事件頻率概率，概率的意義與性質古典概型幾何概型用概率解決實際問隨機數與隨機模擬（1）在具體情境中，了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，進一步了解概率的意義以及頻率與概率的區別。（2）通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式。（3）通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率。（

6、4）了解隨機數的意義，能運用模擬方法（包括計算器產生隨機數來進行模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義（參見例3）。（5）通過閱讀材料，了解人類認識隨機現象的過程。重難點的歸納：重點：1、了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，正確理解概率的意義2、理解古典概型及其概率計算公式3、關于幾何概型的概率計算4、體會隨機模擬中的統計思想：用樣本估計總體難點：1、理解頻率與概率的關系.2、設計和運用模擬方法近似計算概率3、把求未知量的問題轉化為幾何概型求概率的問題(二)高考概率概率考試內容：隨機事件的概率.等可能性事件的概率互斥事件有一個發生的概率相互獨立事件同時發生的概率獨立重復試驗.考試要求：(

7、1) 了解隨機事件的發生存在著規律性和隨機事件概率的意義.(2) 了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率。(3) 了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率.(4) 會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率.以下歸納9個常見考點：解析概率與統計試題是高考的必考內容。它是以實際應用問題為載體，以排列組合和概率統計等知識為工具，以考查對五個概率事件的判斷識別及其概率的計算和隨機變量概率分布列性質及其應用為目標的中檔師，預計這也是今后高考概率統計試題的考查特點和命題趨向。下面對其常見題型和

8、考點進行解析。考點1考查等可能事件概率計算。在一次實驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等。如果事件A包含的結果有m個，那么P(A)m。這就是等可能事件的判斷方法及其概率的計n算公式。n高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的計算方法以及分析和解決實際問題的能力。例1(2004天津)從4名男生和2名女生中任3人參加演講比賽.(I) 求所選3人都是男生的概率；(II) 求所選3人中恰有1名女生的概率；(III) 求所選3人中至少有1名女生的概率考點2考查互斥事件至少有一個發生與相互獨立事件同時發生概率計算。不可能同時發生的兩個事件A、B叫做互斥事件，它們至少有一個發生的事件

9、為A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)計算。事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響，則A、B叫做相互獨立事件，它們同時發生的事件為AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)計算。高考常結合考試競賽、上網工作等問題對這兩個事件的識別及其概率的綜合計算能力進行考查。例2.(2005全國卷川)設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響。已知在某一小時內，甲、乙都需要照顧的概率為，甲、丙都需要照顧的概率為，乙、丙都需要照顧的概率為，(I)求甲、乙、丙每臺機器在這個小時內需要照顧的概率分別是多少；(H)計算這個小時內至少有一臺需要照顧的概率。考點3考查

10、對立事件概率計算。必有一個發生的兩個互斥事件A、B叫做互為對立事件。用概率的減法公式P(A)=1-P(A)計算其概率。高考常結合射擊、電路、交通等問題對對立事件的判斷識別及其概率計算進行考查。1 2例3.(2005福建卷文)甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為丄和-。2 5(I)甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；(n)甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；考點4考查獨立重復試驗概率計算。若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴其它各次試驗的結果，則此試驗叫做n次獨立重復試驗。若在1次試驗中事件A發生的概率為P,則在n次獨立重復試驗中，事件A恰好

11、發生k次的概率為Pn(k)=Pn(A)Cnpk(1p)nk。高考結合實際應用問題考查n次獨立重復試驗中某事件恰好發生k次的概率的計算方法和化歸轉化、分類討論等數學思想方法的應用。例4（2005湖北卷）某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為pl,壽命為2年以上的概率為p2。從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換。（I）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；（n）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；（川）當P仁

12、，p2=時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結果保留兩個有效數字）考點5考查隨機變量概率分布與期望計算。解決此類問題時，首先應明確隨機變量可能取哪些值，然后按照相互獨立事件同時發生概率的法公式去計算這些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根據分布列和期望、方差公式去獲解。以此考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念和運用概率知識解決實際問題的能力。例5（2005湖北卷）某地最近出臺一項機動車駕照考試規定；每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，使可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概

13、率依次為，求在一年內李明參加駕照考試次數E的分布列和E的期望，并求李明在一年內領到駕照的概率。考點6考查隨機變量概率分布列與其他知識點結合1、考查隨機變量概率分布列與函數結合。例6.（2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設E表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值。（I）求E的分布及數學期望；（n）記函數f（x）=x23EX1在區間2,+s）上單調遞增”為事件A，求事件A的概率。2、考查隨機變量概率分布列與數列結合。例7甲乙兩人做射擊游戲，甲乙兩人射擊擊中與否是相互獨立事件，規則如下：若射擊次

14、擊中，原射擊者繼續射擊，若射擊一次不中，就由對方接替射擊。已知甲乙兩人射擊一次擊中的概率均為7，且第一次由甲開始射擊。（1）求前4次射擊中，甲恰好射擊3次的概率。（2）若第n次由甲射擊的概率為an，求數列an的通項公式；求liman，并說明極限值的實際意義。3、考查隨機變量概率分布列與線形規劃結合。例8（2005遼寧卷）某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有A、B兩個等級對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品。（I）已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結果為A級的概率如表一所示，分別求生

15、產出的甲、乙產品為一等品的概P（甲卜P（乙）;（n）已知一件產品的利潤如表二所示，用E、n分別表示一件甲、乙產品的利潤，在（I）的條件下，求En的分布列及EEEn；（川）已知生產一件產品需用的工人數和資金額如表三所示該工廠有工人40名，可用資金60萬元。設x、y分別表示生產甲、乙產品的數量，在（II）的條件下，y為何值時，z=xEE+yEn最大最大值是多少（解答時須給出圖示）考查隨機變量概率分布列性質性質應用考點7考查隨機變量概率分布列性質應用。離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.，高考常結合應用問題對隨機變量概率分布列及其性質的應用進行考查。例9（2004

16、年全國高考題）某同學參加科普知識競賽,需回答三個問題,競賽規則規定：每題回答正確得100分，回答不正確得0分。假設這名同學每題回答正確的概率均為,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.。求這名同學回答這三個問題的總得分的概率分布和數學期望；求這名同學總得分不為負分（即的）概率。考點8樣本抽樣識別與計算。簡單隨機抽樣，系統抽樣，分層抽樣得共同特點是不放回抽樣，且各個體被抽取得概率相等，均為工（N為總體個體數，n為樣本容量）。系統抽樣、分層抽樣的實質分別是等距抽N樣與按比例抽樣，只需按照定義，適用范圍和抽樣步驟進行，就可得到符合條件的樣本。高考常結合應用問題，考查構照抽樣模型，識別圖形，搜集數據，處

17、理材料等研究性學習的能力。例11（2005年湖北湖北高考題）某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現要利用抽樣方法抽取10人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統一編號為1,2,，270;使用系統抽樣時，將學生統一隨機編號1,2,，270，并將整個編號依次分為10段如果抽得號碼有下列四種情況：7,34,61,88,115,142,169,196,223,250:5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;11,38,65,92,119,146,173,20

18、0,227,254;30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;關于上述樣本的下列結論中，正確的是（）A、都不能為系統抽樣B.、都不能為分層抽樣C.、都可能為系統抽樣D.、都可能為分層抽樣考點9考查直方圖。這是統計的知識，不是概率的吧例12.（2005江西卷）為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分數據丟失，但知道前4組的頻數成等比數列，后6組的頻數成等差數列，設最大頻率為a,視力在到之間的學生數為b,則a、b的值分別為（）A.0,27,78B.0,27,83C.,78D.,83方法小結：解

19、決概率問題時，一定要根據有關概念，判斷問題是否是等可能性事件、互斥事件、相互獨立事件，還是某一事件在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的情況，以便選擇正確的計算方法，同時注意上述各類事件的綜合問題，要全面考慮，特別是近幾年高考概率與期望的綜合，體現了高考對概率知識要求的進一步提高。下面僅以幾個例題作以小結。一、用排列組合求概率例1從0到9這10個數字中任取3個數字組成一個沒有重復數字的三位數，這個三位數不能被3整除的概率為()(A)19/54(B)35/5(C)38/54(D)41/60分析：等可能事件的概率關鍵是利用排列組合出基本事件數。答案：B點評：本題將等可能事件與對立事件的概率，以及分類討

20、論綜合在一起，體現了知識交匯點的命題精神，是高考的熱點。二、互斥事件有一個發生的概率例2某廠生產A產品，每盒10只進行包裝，每盒產品都需要檢驗合格后才能出廠，規定以下，從每盒10只中任意抽4只進行檢驗，如果次品數不超過1只，就認為合格，否則就認為不合格，已經知道某盒A產品中有2只次品(1)求該盒產品被檢驗合格的概率(2)若對該盒產品分別進行兩次檢驗，求兩次檢驗的結果不一致的概率分析：對一個復雜事件的概率可以分拆成幾個互斥事件的概率或者轉化為求其對立事件的概率。點評：求相互獨立事件同時發生的概率，要保證兩者確是“相互獨立”事件。本例的“比賽型”題，分析比較簡單，只要結合有關比賽規則即可解決，此類

21、題也是高考的熱點題。三、對立重復試驗例3一位學生每天騎自行車上學，從他家到學校有5個交通崗，假設他在交通崗遇到紅燈是相互獨立的，且首末兩個交通崗遇到紅燈的概率均為p，其余3個交通崗遇到紅燈的概率均為。2(1) 若p=2/3，求該學生在第三個交通崗第一遇到紅燈的概率；(2) 若該學生至多遇到一次紅燈的概率不超過5/18，求p的取值范圍。分析：首末兩個交通崗遇紅燈的概率相同，其余3個交通崗遇紅燈的概率也相同，可看作獨立重復試驗。點評：要注意恰有k次發生和某指定的k次發生的差異。對獨立重復試驗來說，前者的概率為總結：概率初步的考題一般以(1)等可能事件；(2)互斥事件有一個發生；(3)相互獨立事件同

22、時發生；(4)獨立重復試驗為載體。有的考題可能綜合多個概率題型；在等可能事件的概率計算中，關鍵有二：一是誰是一次試驗(一次事件所含的基本事件的總數)；二是事件A所含基本事件數。當然，所有基本事件是等可能的是前提；善于將復雜的事件分解為互斥事件的和與獨立事件的積是解題的關鍵。(三)高考數學概率中的易錯題辨析一、概念理解不清致錯例1拋擲一枚均勻的骰子，若事件A:“朝上一面為奇數”，事件B:“朝上一面的點數不超過3”，求P(A+B)錯誤解法1:事件A:朝上一面的點數是1,3,5;事件B:趄上一面的點數為1,2,3 313,二P(A+B)=P(A)+P(B)=-662錯因分析：事件A:朝上一面的點數是

23、1,3,5;事件B:趄上一面的點數為1,2,3,很明顯，事件A與事件B不是互斥事件。即P(A+B)P(A)+P(B),所以上解是錯誤的。實際上：正確解法為：A+B包含：朝上一面的點數為1,2,3,5四種情況P(A+B)=-63錯誤解法2:事件A:朝上一面的點數為1,3,5;事件B:朝上一面的點數為1,2,3,即以A、B事件中重復的點數1、3P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)1丄=222242錯因分析：A、B事件中重復點數為1、3，所以P(AB)=;這種錯誤解法在于簡6單地類比應用容斥原理Card(AB)Card(A)Card(B)Card(AB)致錯正確解答：p(a+B)=P(A)+P

24、(B)P(AB)例2某人拋擲一枚均勻骰子，構造數列an，使an1,(當第n次擲出偶數)1,(當第n次擲出奇數)，記Sna1a2an求Sj0(i1,2,3,4)且2的概率。錯解：記事件A:S82，即前8項中，5項取值1,另3項取值一1518S82的概率P(A)C8()2記事件B:Sj0(i1,2,3,4)，將Sj0(i1,2,3,4)分為兩種情形：(1) 若第1、2項取值為1，貝U3,4項的取值任意(2) 若第1項為1,第2項為一1,則第3項必為1第四項任意P(B)=(1)33所求事件的概率為P=P(A)P(B)=3C；(丄)88 2錯因分析：S0且S82是同一事件的兩個關聯的條件，而不是兩個相

25、互獨立事件。S0對S82的概率是有影響的，所以解答應為：正解：Si0(i1,2,3,4).前4項的取值分為兩種情形 若1、3項為1;則余下6項中3項為1，另3項為-1即可。即RC；()8; 若1、2項為正，為避免與第類重復，則第3項必為-1,1則后5項中只須3項為1，余下2項為-1，即R2C3(丄)8,2115所求事件的概率為r(c6c5)(1)8、有序與無序不分致錯例3甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙依次各抽一題。求：（1）甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少（2）甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少錯誤解法：（1）甲從選擇題抽到

26、一題的結果為C6乙從判斷題中抽到一題的結果為C：而甲、乙依次抽到一題的結果為C20所求概率為:c6c21015錯因分析：甲、乙依次從10個題目各抽一題的結果，應當是先選后排，所以應為a：。為避免錯誤，對于基本事件總數也可這樣做：甲抽取一道題目的結果應為C；。種，乙再抽取余下的9道題中的任一道的結果應為C；種，所以正確解答:c：cCwC415（2）錯誤解法：從對立事件考慮，甲、乙都抽到判斷題的結果為C42種，所以都抽到判斷題的概率為c；oc91亦，所求事件的概率為1141-1515錯因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一題，那么甲、乙都提到判斷題的結果應為c：c3種，所以所求事件概率應為c4cc

27、；c915說明：對于第（2）問，我們也可以用這樣解答：C2212，這里啟示我們，當基本事件是有序的，則指定事件是有序的（指定事件C2。15包含在基本事件中）；當基本事件是無序的，則指定事件也必無序。關鍵在于基本事件認識角度必須準確。例4已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率。錯解：將8支球隊均分為A、B兩組，共有C；C：種方法：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的分法為：先從3支弱隊取2支弱隊，又從5支強隊取2支強隊，組成這一組共有CIC3種方法，其它球隊分在另一組，只有一種分法。所求事件的概率為：3C；c：7。錯因分析：

28、從基本事件的結果數來看，分組是講求順序的，那么指定事件：“A、B組中有一組有2支弱隊”應分為兩種情形。即“A組有”或“B組有”，所以正確解答為：正解:2C(C；c：c：6 或7 或C；C：/A；說明：這道題也可從對立事件求解:3支弱隊分法同一組共有：c5c5種結果。.所求事件概率為ic5c5cQ三、分步與分類不清致錯例5某人有5把不同的鑰匙，逐把地試開某房門鎖，試問他恰在第3次打開房門的概率錯誤解法：由于此人第一次開房門的概率為1率應為丄；所以此人第3次打開房門的概率為4錯因分析：此人第3次打開房門實際是第1丄，若第一次未開，第2次能打開房門的概51。31次未打開，第2次未打開，第3次打開“這

29、三個事件的積事件”，或者理解為“開房門是經過未開、未開、開”這三個步驟，不能理解為此事件只有“開房門”這一個步驟，所以，正確解答應為：4 3正解：第1次未打開房門的概率為4;第2次未開房門的概率為-;第3次打開房門的5 41概率為丄，所求概率為:3例5某種射擊比賽的規則是：開始時在距目標100m處射擊，若命中記3分，同時停止射擊。若第一次未命中，進行第二次射擊，但目標已在150m遠處，這時命中記2分，同時停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進行第3次射擊，此時目標已在200m遠處。若第3次命中則記1分，同時停止射擊，若前3次都未命中，則記0分。已知身手甲在100m處1擊中目標的概率為丄，他命中目

30、標的概率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨2立的。求：射手甲得k分的概率為Pk，求P3,P2，P1，P0的值。:設射手射擊命中目標的概率P與目標距離X之間的關系k1k為P卩，由已知市k50001錯誤解法：F3-250002P22150295000120028F049144錯因分析：求P2時，將第150m處射擊命中目標的概率作為第2次命中目標的概率，隔離了第1次射擊與第2次射擊的關系，實際上，第2次射擊行為的發生是在第1次未擊中的前提下才作出的。P2應為“第1次未擊中，第2次擊中”這兩個事件的積事件的概率。求F1時也如此。1正解：P3丄2121F2(1)29912、17F(1)(1)_2

31、9814412149P。(1-)(1-)(1)298144四、考慮不周致錯例6.某運動員射擊一次所得環數x的分布列如下:9 10現進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高的環數作為他的成績記為，求：的分布列。錯誤解法：的取值為8，9，10。=7,兩次環數為7,7；=8，兩次成績為7,8或8,8；=9，兩次成績7，9或8，9或9，9；=10，兩次隊數為7，10或8，10或9，10或10，10。P(7)0.20.20.04P(8)0.20.30.320.15P(9)0.20.30.30.30.320.232P(10)0.20.30.20.30.30.220.2（分布列略）錯因分析：8，即兩次成績應為7，8或8，7或8，8實際為三種情形，P(8)20.20.30.320.219兩次環數分別為7,9(或9,7);8,9(或9,8)，P(9)20.20.320