1、函數(shù)與方程知識要點(diǎn)：1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)概念：對于函數(shù)yf(x)(xD),把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即:方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)。二次函數(shù)yax2bxc(a0)的零點(diǎn)：1) 厶0,方程ax2bxc0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；22) =0，方程axbxc0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)；)0,f(

2、x)在區(qū)間p,y=ax2+bx+c;y=a(xxi)(xX2)；y=a(xX0)2+n。1x0=(p+q)。2q上的最大值M，最小值m，令若一二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根b2aq,p，貝Uf(p)=m,f(q)=M；2ab“bf(q)=M；右px0,貝Vf()=m,2a2ab小右Xowq,則f(p)=M,f(q)=m。2a(3)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件。 方程f(x)=O的兩根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；2b4ac0, 二次方程f(x)=0的兩根都大于rbr,aaf(r)02b4ac0,af(q)0,af(p)0;二次方程f(x)=0在

3、區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)f(q)0，且a*1)有兩個(gè)零點(diǎn)，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是練習(xí)：設(shè)a為常數(shù)，試討論方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的實(shí)根的個(gè)數(shù)。題型2:零點(diǎn)存在性定理例3.設(shè)函數(shù)f(x)xln(xm)，其中常數(shù)m為整數(shù)。(1) 當(dāng)m為何值時(shí)，f(x)0；(2) 定理：若函數(shù)g(x)在a,b上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點(diǎn)x(a,b)，使得g(x)0試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m1時(shí)，方程f(x)0在emm,e2mm內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。A.若f(a)f(b)0,B.若f(a)f(b)0,C.若f(a)f(b)0,D.若f(a)f(b)0,練習(xí)：若方程2ax210在(0

4、,1)內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是f(c)0；0；練習(xí)：若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是不存在實(shí)數(shù)c(a,b)使得f(c)0；存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c(a,b)使得有可能存在實(shí)數(shù)c(a,b)使得f(c)有可能不存在實(shí)數(shù)c(a,b)使得f(c)0；練習(xí)：已知函數(shù)f(x)3mx4，若在2,0上存在X0，使f(x0)0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.練習(xí)：求證方程3x乙必在(0,1)內(nèi)必有一個(gè)實(shí)數(shù)根x1例4.已知二次函數(shù)f(x)2axbx1(a,bR,a0)，設(shè)方程f(x)x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2.(1)如果x12x24設(shè)函數(shù)f(x)的對稱軸為xx0，求證：x

5、01；(2)如果x12,X2x12,求b的取值范圍.練習(xí)：(1)m為何值時(shí)，f(x)=x2+2mx+3m+4.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1大；(2)若函數(shù)f(x)=|4x-x|+a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22例5.已知二次函數(shù)f(x)4x2(p2)x2pp1在區(qū)間-1，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍練習(xí)：已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+p+3.(1) 若函數(shù)在區(qū)間-1,1上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；(2) 問是否存在常數(shù)q(q0),當(dāng)xq,10時(shí)，f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-q.(注：區(qū)間a,b(avb)的長度為b-a).練習(xí)：已

6、知函數(shù)f(x)=4x+m2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)【思維總結(jié)】1函數(shù)零點(diǎn)的求法： (代數(shù)法)求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根； (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。2學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征.從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法本文將從這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形(一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等)，所以，在解決二次函數(shù)的問題時(shí)，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).(1) 二次函數(shù)的一般式y(tǒng)ax2bxc(c0)中有三個(gè)參數(shù)a,b,c解題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條件確定”這三個(gè)參數(shù)-(2) 數(shù)形結(jié)合：二次函數(shù)f(x)ax2bxca0的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對稱性、單調(diào)性、凹凸性等。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可2b以化難為