1、面積問題1. 在梯形ABCD中,AB/CDAGBD相交于點0,若AC=5BD=12中位線長為13,AOB2的面積為$,COD的面積為S,貝USiS2=.（山東省競賽題）過B做直線平行于AC,并交DC延長線于E點AB平行CE,BE平行AC那么四邊形ACEB就是平行四邊形就有:BE=AC=5;CE=ABDE=CD+CE=CD+AB=2*（2分之13）=13那么就有在三角形BDE中,BD=12,BE=5,DE=12就可以得到：角DBE=90度也就是AC垂直于BD所以有三角形DCO與三角形DEB相似所以有:S2:S（三角形BDE的面積）=CDA2:DEA2也就是:S2:30=CDA2:13A2那么就有

2、根號S2=（根號30/13）*CD又因為有三角形AOB與三角形COD相似得到：根號S1:根號S2=AB:CD那么根據(jù)比例式的性質(zhì)就有：（根號S1+根號S2）:根號S2=（CD+AB）:CD也就是：（根號S1+根號S2）=根號S2*（CD+AB）/CD=（根號30/13）*CD*13/CD=根號30AP與CQ相交于點E,且/PAD=設(shè)2. 如圖，在ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BDLCEBD=4,CE=6那么ABC的面積等于（）A.12B.14C.16D.18（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試解：連接DED、E分別為AC,AB的中點DE|BC,DE=1/2BCSADE=1/4SABC=1/3

3、S四邊形BCDEBD丄CES四邊形BCDE=1/2BD*CE=1/2*4*6=12SAED=4SABC=4SAED=163. 如圖，P、Q是矩形ABCD的邊BC和CD延長線上的兩點,/QAD求證：S矩形ABCt=SAPQ（重慶市競賽題）延長AD交PQ于F,S三角形APQ=1/2*AF*DQ+1/2*AF*CD=1/2AB=a,BC=b,DQ=DE=h則AD:CP=DE:CE即b/CP=h/(a-h)CP=b(aJh)</hp且DF:CP=DQ:CQ即DF/CP=h/(h+a)推得:DF=b*(a-h)/(a+h)所以AF=b+DF=2ab/(a+h)S三角形APQ=1/2*2ab/(a+

4、h)*(a+h)=ab=S矩形ABCD因為/QAPhPAD可得D為QE中點SAAQP=&QAE+&QEPSAQEP=CP*QE/2CP/CE=AD/DE所以SAQEP=AD*CE*QE/2DE=AD*CESAAPQ=2ADE+SPEQ=2AD*DE/2+AD*CE=AD*(DE+CE矩形ABCD4. 如圖，ABC中，AD與BE相交于F,已知SaAFE=12cmf,Sabfd=9c,SAAFE=6cmi，那么四DFE的面邊形CDFE的面積為cm2連接CF，設(shè)SCEF=X,SaCDF=y，根據(jù)三角形的面積與三角形底邊成比例，進而求出四邊形解答:積.解：連接CF，設(shè)SCEF=X，Sa

5、CDF=y，y+9EFBF6125yx+6DFAF912解得x=10.8，y=12.6，故四邊形CDFE的面積=x+y=23.4.故答案為：23.4.5. 如圖，分別延長厶ABC的三邊ABBGCA至A'、B'、C,使得AA'=3ABBB'=3BC,CCABCSaABC由于SaABA'B1即：SaaB(=2XSaabc=2，同理可以求出其他部分的面積，最后求出總和，即是SA"BzC解答：£解：如下圖所示：連接AB,BG,GA由三角形的面積公式且AA=3AB，易知：SaABCSaABCABA'BABA'AAB12所以，Sa

6、ab=2XSabc=2,同理可得SaABC=sAB'=2,SaaBz=SABC=SABC=4,所以，SaaB'=sABC+SAB+SABC+SABC+SABC+SAB'+SABC=1+2+2+2+4+4+4=19故答案為19.點評：本題主要考查了靈活運用三角形的面積公式，求岀各部分之間的關(guān)系，進而求岀面積的方法6. 如圖，設(shè)ABC的面積是1,D是邊BC上一點，且竺1,若在邊AC上取一點，使DC2四邊形ABDE勺面積為4，則AE的值為.(天津市競賽題)5EC設(shè)厶ABC的BC邊上的高為h,BC=a;CDE的DC邊上的CDE面積=1/5;解得：x=3h/5h/x=(AE+EC

7、)/ECAE/EC=2/31、3、5，則7. 如圖，從等邊三角形內(nèi)一點向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為這個等邊三角形的邊長為.(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)“你是不是想求等邊三角形的面積??？若是這樣，則方法如下：/I.設(shè)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且P到AB、BC、AC的距離依次是、5。那么：/!ABC的面積=PAB的面積+PBC的面積+PAC的面積=(1+3+5)AB/2=(9/2)AB。又厶ABC的面積=(1/2)ABA2sin60°=(V3/4ABA2。(V3/4ABA2=(9/2)AB。顯然有：AB>0，二AB=(9/2)/(V3/4=6“3。ABC的面積=(9/2)

8、AB=27V3。&如圖，已知DE、F分別是銳角ABC的三邊BGCAAB上的點，且ADBE、CF相交ABC先求證SaPBCSaABCx+6，同理:SaPACSa于P點，AP=BP=CP=，設(shè)PD=x，PE=y,PF=z，若xy+yz+zx=28，求xyz的值.yy+65SaPABSaABCzz+612PM?BC,Saabc=12AN?BC,SaPBCSaABCPMANPDADxx+6同理:SaPACSaABCyy+65SaPABSaABCz+zz+6=1.即1-6x+6+1-6y+6+16z+6+3z+6=1,/3(yz+zx+xy)+36(x+y+z)+324=xyz+6(xy+yz+

9、zx)+36(x+y+z)+216,xy+yz+zx=28.xyz=108-3(xy+yz+zx)=24.答：xyz的大小為：24.點評：此題主要考查學(xué)生對三角形面積計算的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證SaPBCSaABCxx+65SaPACSaABCyy+65SaPABSaABCz+6.此題有一定的拔高難度，屬于難題.9.如圖甲，ABCD是兩條線段，M是AB的中點，SadmcSadac&dbc分別表示厶DMCADACDBC的面積，當(dāng)AB/CD時，有Sadmc=SDACSDBC2(1)如圖乙，若圖甲中AB不平行CD式是否成立？請說明理由;如圖丙，若圖甲中A月與CD相交于點0時，問Sa

10、dm和SaDAC和Sadbc有何種相等關(guān)系？試證明你的結(jié)論.(安徽省中考題)圖乙(1)先看題中給出的條件為何成立，由于三角形ADC,DMC,DBC都是同底，而由于AB/DC,因此高相等，就能得出題中給出的結(jié)論，那么本題也要用高來求解，過A,M,B分別作BC的垂線AE,MN,BF,AE/MN/BF,由于M是AB中點，因此MN是梯形AEFB的中位線，因此MN=12(AE+BF)，三個三角形同底因此結(jié)論是成立的.(2)本題可以利用AM=MB，讓這兩條邊作底邊來求解，三角形ADB中，小三角形的AB邊上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面積就相等(等底同高)，因此三角形OAD,OMD的和就等于三角形

11、BMD的面積，同理三角形AOC和OMC的面積和等于三角形CMB的面積.根據(jù)這些等量關(guān)系即可得出題中三個三角形的面積關(guān)系.DBC解答:解：(1)當(dāng)AB和CD不平行時，結(jié)論仍然成立.如圖，由已知，可得AE、BF和MN兩兩平行,四邊形AEFB是梯形./M為AB的中點，/MN是梯形AEFB的中位線./MN=2(AE+BF).二SaDAC+SDBC=12DC?2MN=2Sadmc,SaDMC=SDAC+S(2)vM為AB的中點，二ADM=SBDM,SACM=SBCM,SaDCM=SMOD+SMOC=(SAMD-SAOD)+(SAMC-SaAOC)=(SBDM+SBCM)-(SAOD+SAOC)=(SDBC-SDMC)-SDAC,2SaDCM=SDBC-SaDAC,二SaDMC=SDBC-SDAC2點評：本題主要考查了中位線定理的應(yīng)用，根據(jù)中位線或中點得岀三角形的底相等或高成比例是解題的關(guān)鍵.10.如圖，設(shè)PABC內(nèi)任意一點，直線AP、BP、CP交BCCAAB于點DE、F.PDPEPF彳求證：(1)1;ADBECF證明：因為BDP和厶ABD是等高三角形,所以BDP和厶ABD的面積的比取決于底的比，即SBDP/SABD=DP/AD,同理：SCDP/SACD=DP/AD,所以DP/A