1、材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題1第第 6 章章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題6-1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法6-2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題6-3 扭轉超靜定問題扭轉超靜定問題6-4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題2 約束反力不能由平衡方程求得約束反力不能由平衡方程求得超靜定結構：結構的強度和剛度均得到提高超靜定結構：結構的強度和剛度均得到提高超靜定（次）數：超靜定（次）數： 約束反力多于獨立平衡方程的數約束反力多于獨立平衡方程的數(a)(b)第6章 簡單的超靜定問題6.1

2、超靜定問題及其解法材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題3多余約束：多余約束：在靜定結構上在靜定結構上再加再加上的一個或幾個約束，上的一個或幾個約束，對于維對于維持平衡來說是不必要的約束持平衡來說是不必要的約束（但對于特定地工程要求是必（但對于特定地工程要求是必要的）稱要的）稱多余約束多余約束。對應的約。對應的約束力稱束力稱多余約束反力多余約束反力由于超靜定結構能有效降低結構的內力及變形，在工程由于超靜定結構能有效降低結構的內力及變形，在工程上（如上（如等）應用非常廣泛。等）應用非常廣泛。解超靜定問題的關鍵是找出求解所有未知約束反力所缺少解超靜定問題的關鍵是找出求

3、解所有未知約束反力所缺少的的補充方程補充方程。結構變形后各部分間必須象原來一樣完整、。結構變形后各部分間必須象原來一樣完整、連續、滿足約束條件連續、滿足約束條件-即滿足即滿足變形相容條件變形相容條件。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題46-2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題. . 拉壓超靜定基本問題拉壓超靜定基本問題舉例說明拉壓超靜定問題的解法。舉例說明拉壓超靜定問題的解法。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題51.1.比較變形法比較變形法把超靜定問題轉化為靜定問題解，但把超靜定問題轉化為靜定問題解，但必須滿足原結構的變形約束條件

4、。必須滿足原結構的變形約束條件。（1 1）選取基本靜定結構（靜定基如圖），）選取基本靜定結構（靜定基如圖），B B端解除多余約束，代之以約束反力端解除多余約束，代之以約束反力R RB B解解：例例2-16 桿上段為銅桿上段為銅,下段為鋼桿，下段為鋼桿，222,EA 彈性模量截面積下段長桿的兩端為固支桿的兩端為固支,求兩段的軸力。求兩段的軸力。111,EA 彈性模量截面積上段長12FC11AE22AEBABF材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題6（2 2）求靜定基僅在原有外力作用下以及僅在代）求靜定基僅在原有外力作用下以及僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的

5、位移替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移（3 3）比較兩次計算的位移，其值應該滿足變）比較兩次計算的位移，其值應該滿足變形相容條件，建立方程求解。形相容條件，建立方程求解。021BB12FC11AE22AEBA)(1111AEFACCBBF)(2221112為負值BBABBFAEAEF)122211122211122211AEAEFAEFAEAEFAEFBAF材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題7例例2-17 求圖所示等直桿求圖所示等直桿AB上上,下端的約束力，并求下端的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。 解解: :2.

6、2.相容條件相容條件BCBC+ +ACAC=0=03.3.物理方程物理方程EAbFEAaFBA6. 6. C截面的位移截面的位移 lEAFabEAaFAC5.5.求解方程組求解方程組4.4.補充方程為補充方程為 NBCBBCFbF bEAEA 1.1.平衡方程平衡方程F FA A+ +F FB B- -F F=0=0EAaFEAaFANACAClaFFlbFFBA,2.2.補充方程法補充方程法材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題8解解: 1) 畫畫A結點受力圖，建立平衡方程結點受力圖，建立平衡方程F未知力未知力2 2個，平衡方程個，平衡方程1 1個，為一次超靜定

7、。個，為一次超靜定。 例例2-182-18 ，F1NF2NF3NFA123A,3,3311AEAE桿為在在F力作用下，力作用下，求各桿內力。求各桿內力。 1、2桿抗拉剛度為桿抗拉剛度為210NNxFFFFFFFNNy31cos2021A321cos312）如圖三桿鉸結，畫）如圖三桿鉸結，畫A節點位移圖節點位移圖,列列出變形相容條件。要注意所設的變形性出變形相容條件。要注意所設的變形性質必須和受力分析所中設定的力的性質質必須和受力分析所中設定的力的性質一致。由對稱性知一致。由對稱性知材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題93）物理關系）物理關系33333333111

8、11111cosAEFAEFAEFAEFNNNN5）聯立、求解：）聯立、求解：33311321133!cos21coscos2AEAEFFAEAEFFNNcoscos:333111AELFAELFNN得4）物理關系代入幾何關系，建立補充方程）物理關系代入幾何關系，建立補充方程材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題 例例2-192-19剛性梁剛性梁ADAD由由1 1、2 2、3 3桿懸掛，已知三桿材料桿懸掛，已知三桿材料相同，許用應力為相同，許用應力為，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為 E E，桿長，桿長均為均為l l，橫截面面積均為，橫截面面積均為A A，試求各

9、桿內力。，試求各桿內力。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題解：靜力平衡條件：變形協調條件：) 1 ( 3323N2N1NPFFFllll213123,代入物理方程：21312 , 3NNNNF lF lF lF lEAEAEAEA) 2( 3,21312NNNNFFFFaallaall3213121NF3NF2NF求得：PFPFPFNNN149,146,143321材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題12 例例2-19在圖示結構中，設橫梁在圖示結構中，設橫梁AB的的變形可以省略，變形可以省略，1，2兩桿的橫截面面積兩桿的橫截面面

10、積相等，材料相同。試求相等，材料相同。試求1，2兩桿的內力。兩桿的內力。2132cos0NNFFF1 1、列出獨立的平衡方程、列出獨立的平衡方程解：解：2 2、變形幾何關系、變形幾何關系212cosll 3 3、物理關系、物理關系11,NF llEA 22cosNF llEA4 4、補充方程、補充方程2122cosNNF lF lEAEA5 5、求解方程組得、求解方程組得133,4cos1NFF2236cos4cos1NFFF12l2l1lABaaa材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題13II. 裝配應力和溫度應力裝配應力和溫度應力(1) 裝配應力裝配應力 超靜

11、定桿系超靜定桿系(結構結構)由由于存在于存在“多余多余”約束，約束，因此如果各桿件在制造因此如果各桿件在制造時長度不相匹配，則組時長度不相匹配，則組裝后各桿中將產生附加裝后各桿中將產生附加內力內力裝配內力裝配內力，以，以及相應的及相應的裝配應力裝配應力。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題14(2) 幾何方程幾何方程解解:(1) 平衡方平衡方程程:0sinsin21NNxFFF0coscos321NNNyFFFF13cos)(LL例例2-21 如圖，如圖，3號桿的尺寸誤差為號桿的尺寸誤差為 ，求各桿的裝配內力。，求各桿的裝配內力。BAC12DA13A1FN1FN

12、2FN3AA13L2L1L材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題15cos)(33331111AELFAELFNN(3)、物理方程及、物理方程及補充方程補充方程：(4) 、解平衡方程和補充方程，得、解平衡方程和補充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELFFNN / cos21cos23311331133AEAEAELFN材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題16兩端用剛性塊連接在一起的兩端用剛性塊連接在一起的兩根相同的鋼桿兩根相同的鋼桿1、 2（圖（圖a），其長度），其長度l =200 mm，直，直徑徑d

13、 =10 mm。求將長度為。求將長度為200.11 mm，亦即，亦即 e=0.11 mm的銅桿的銅桿3（圖（圖b）裝配在）裝配在與桿與桿1和桿和桿2對稱的位置后對稱的位置后（圖（圖c）各桿內力。已知：銅）各桿內力。已知：銅桿桿3的橫截面為的橫截面為20 mm30 mm的矩形，鋼的彈性模量的矩形，鋼的彈性模量E=210 GPa，銅的彈性模量，銅的彈性模量E3=100 GPa。例2-22材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題17(d)解：02 01NN3FFFx，變形相容條件（圖變形相容條件（圖c）為）為ell31利用物理關系得補充方程：利用物理關系得補充方程：eAE

14、lFEAlF33N3N1將補充方程與平衡方程聯立求解得：將補充方程與平衡方程聯立求解得：EAAElAeEFAEEAleEAFF211 21133333N332NN1，材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題18求裝配內力也是求解靜不定問題，其關鍵仍是求裝配內力也是求解靜不定問題，其關鍵仍是根據相容條件建立變形幾何方程。根據相容條件建立變形幾何方程。以上計算結果表明，很小的制造誤差，卻產生以上計算結果表明，很小的制造誤差，卻產生較大的裝配應力，從而使構件的承載能力降低。較大的裝配應力，從而使構件的承載能力降低。因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應力的因此，要盡量提高加

15、工精度，減小裝配應力的不利影響。不利影響。例題例題 6-3材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題19(2) 溫度應力溫度應力 也是由于超靜定桿系存在也是由于超靜定桿系存在“多余多余”約束，桿約束，桿件會因溫度變化產生的變形受到限制而產生溫度件會因溫度變化產生的變形受到限制而產生溫度內力及溫度應力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫內力及溫度應力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產生度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產生相當可觀的溫度應力。相當可觀的溫度應力。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題20 例例2

16、-232-23圖示的等直桿圖示的等直桿AB的兩端分別與剛性支承連接。的兩端分別與剛性支承連接。設兩支承間的距離設兩支承間的距離(即桿長即桿長)為為L,桿的橫截面面積為桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為材料的彈性模量為E，線膨，線膨脹系數為脹系數為，試求溫度升高，試求溫度升高t時桿內的溫度應力。時桿內的溫度應力。解：溫度升高以后，桿將自由地伸長解：溫度升高以后，桿將自由地伸長(圖圖b)?，F因剛性支承?，F因剛性支承B的的阻擋，使桿不能伸長，相當于在桿的兩端加了壓力而將桿頂住。阻擋，使桿不能伸長，相當于在桿的兩端加了壓力而將桿頂住。由平衡方程可知兩端的軸向壓力相等，而壓力的大小仍不知道。由平衡方程

17、可知兩端的軸向壓力相等，而壓力的大小仍不知道。 變形幾何方程變形幾何方程L=Lt - LF F=0材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題21物理方程物理方程計算表明，在超靜定結構中，溫度應力是一個不容忽視的因素。計算表明，在超靜定結構中，溫度應力是一個不容忽視的因素。在鐵路鋼軌接頭處，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高溫在鐵路鋼軌接頭處，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高溫管道隔一段距離要設一個彎道，都為考慮溫度的影響，調節因溫管道隔一段距離要設一個彎道，都為考慮溫度的影響，調節因溫度變化而產生的伸縮。如果忽視了溫度變化的影響，將會導致破度變化而產生的伸縮。如

18、果忽視了溫度變化的影響，將會導致破壞或妨礙結構物的正常工作。壞或妨礙結構物的正常工作。EAlFlNFtllt 說明原先認為桿受軸向壓力是對的，該桿的溫度應力為壓應說明原先認為桿受軸向壓力是對的，該桿的溫度應力為壓應力。若桿為鋼桿，其力。若桿為鋼桿，其 =1.2 =1.21010-5-5/()/()，E E=210GPa=210GPa，則當溫，則當溫度升高度升高t= 40t= 40時，桿內的溫度應力上式算得時，桿內的溫度應力上式算得0EAlFtlNtEAFN由此得溫度應力為由此得溫度應力為 = FN/A=Et=Et =100106Pa =100 Mpa (壓應力壓應力)材料力學材料力學()電子教

19、案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題22 例例2-242-24溫度應力：如圖所示，鋼溫度應力：如圖所示，鋼柱與銅管等長為柱與銅管等長為l，置于二剛性平板，置于二剛性平板間間, ,受軸向壓力受軸向壓力. .鋼柱與銅管的橫鋼柱與銅管的橫截面積、彈性模量、線膨脹系數分截面積、彈性模量、線膨脹系數分別為別為s、s、s，及，及c、c、c。試導出系統所受載荷僅由銅。試導出系統所受載荷僅由銅管承受時，所需增加的溫度管承受時，所需增加的溫度。（二者同時升溫）（二者同時升溫）解：變形協調條件解：變形協調條件TlAElPTlSCCCSTCPCTlll材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的

20、超靜定問題23 兩端固定的圓截面等直桿兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面C處受處受扭轉力偶矩扭轉力偶矩Me作用，如圖作用，如圖a所示。已知桿的扭轉剛所示。已知桿的扭轉剛度為度為GIp。試求桿兩端的反力偶矩以及。試求桿兩端的反力偶矩以及C截面的扭截面的扭轉角。轉角。例題例題 6-56-3 扭轉超靜定問題扭轉超靜定問題材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題24) 1 (MMMBA靜力平衡方程為靜力平衡方程為變形協調條件為變形協調條件為解：解：0ABCBAC（2）材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題250BAppIGbMIGaM（

21、3 3）式代入）式代入(2)(2)式即式即物理方程物理方程pIGbMBCB（3）（4）（1 1）式和（）式和（4 4）式聯立求解得：）式聯立求解得：MbabMA（5）MbaaMBpIGaMAAC材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題26 圖圖a所示組合桿，由半徑為所示組合桿，由半徑為ra的實心銅桿和外的實心銅桿和外半徑為半徑為rb，內半徑為，內半徑為ra的空心鋼桿牢固地套在一的空心鋼桿牢固地套在一起，兩端固結在剛性塊上，受扭轉力偶矩起，兩端固結在剛性塊上，受扭轉力偶矩Me作用。作用。試求實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩試求實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩Ta和和T

22、b，并繪出它們橫截面上切應力沿半徑的變化情況。并繪出它們橫截面上切應力沿半徑的變化情況。例題例題 6-6材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題27實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩分別為實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩分別為Ta和和Tb(圖圖b)，但只有一個獨立平衡方程，但只有一個獨立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故為一次超靜定問題。故為一次超靜定問題。例題例題 6-6解：解：TbTaMe材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題282. 位移相容條件為實心桿和空心桿的位移相容條件為實心桿和空心桿的B截面相對截面相對于于A截面的扭轉

23、角相等。在圖截面的扭轉角相等。在圖b中都用中都用 表示（設表示（設A端固定）。端固定）。)2(BbBa 例題例題 6-6TbTaMe材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題293. 利用物理關系由利用物理關系由(2)式得補充方程為式得補充方程為)3( ppppbbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlT ，即即例題例題 6-6TbTaMe材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題304. 聯立求解聯立求解(1)式和式和(3)式得：式得：)4(epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa ，例題例題 6

24、-6TbTaMe材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題315. 實心銅桿橫截面上任意點的切應力為實心銅桿橫截面上任意點的切應力為 abbaaaaaarIGIGMGIT 0ppep空心鋼桿橫截面上任意空心鋼桿橫截面上任意點的切應力為點的切應力為 bbbaabbbbraIGIGMGIT ppep切應力沿半徑的變化切應力沿半徑的變化情況如圖情況如圖c所示。所示。ara arb rarb(c)例題例題 6-6材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題32 由圖由圖c可見，在可見，在 = ra處，處， a b，這是因為，這是因為 Ga C A的情的

25、情況進行分析。此時，支座況進行分析。此時，支座B相對于支座相對于支座A 、C 沉陷沉陷后的點后的點A1 、C1 的連線有位移的連線有位移材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題54于是，如以支座于是，如以支座B1作為作為“多余多余”約束，以約束力約束，以約束力FB為為“多余多余”未知力，則作為基本靜定系的簡支未知力，則作為基本靜定系的簡支梁梁A1C1(參見圖參見圖b)在荷載在荷載 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共共同作用下應滿足的位移相容條件就是同作用下應滿足的位移相容條件就是210CABBBBw 材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜

26、定問題55于是得補充方程于是得補充方程由此解得由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的wB按疊加原理有按疊加原理有( (參見圖參見圖c、d):):材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題56再由靜力平衡方程可得再由靜力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題57(2) 梁的上梁的上,下表面溫度差異的影響下表面溫度差異的影響 圖圖a所示兩端固定的梁所示

27、兩端固定的梁AB在溫度為在溫度為 t0 時時安裝安裝就位，其后，由于梁的就位，其后，由于梁的頂頂面溫度升高至面溫度升高至 t1，底，底面面溫度升高至溫度升高至 t2，且，且 t2t1，從而產生，從而產生約束力約束力如圖如圖中所示。中所示。 由于未知的由于未知的約束力約束力有有6個，而獨立的平衡方個，而獨立的平衡方程只有程只有3個，故為三次超靜定問題。個，故為三次超靜定問題。l材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題58 現將右邊的固定端現將右邊的固定端B處的處的3個約束作為個約束作為“多余多余”約束，則解除約束，則解除“多余多余”約束后的基本靜定系為左約束后的基本靜

28、定系為左端固定的懸臂梁。端固定的懸臂梁。它在上它在上, ,下表面有溫差的情況下，右端產生轉角下表面有溫差的情況下，右端產生轉角 Bt和撓度和撓度wBt( (見圖見圖c) )以及軸向位移以及軸向位移 Bt。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題59 如果忽略如果忽略“多余多余”未知力未知力FBx對撓度和轉角的對撓度和轉角的影響，則由上影響，則由上,下表面溫差和下表面溫差和“多余多余”未知力共同未知力共同引起的位移符合下列相容條件時，圖引起的位移符合下列相容條件時，圖b所示的懸臂所示的懸臂梁就是原超靜定梁的相當系統：梁就是原超靜定梁的相當系統：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題60式中一些符號的意義見圖式中一些符號的意義見圖c、d、e。0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題61 現在先來求現在先來求 Bt和和wBt與梁的上與梁的上, ,下表面溫差下表面溫差( (t2- - t1) )之間的物理關系。之間的物理關系。 從上面所示的圖從上面所示的圖a中取出的微段中取出的微段dx, 當其下表當其下表