1、第4章 時(shí)變電磁場(chǎng)李婷主要內(nèi)容n波動(dòng)方程n矢量位和標(biāo)量位n能流密度矢量n時(shí)諧電磁場(chǎng)n波動(dòng)方程 wave equation n時(shí)諧場(chǎng) time-harmonic fieldn周期函數(shù) cycle/period functionn能流密度矢量（坡印廷矢量） energy flow density vector (Poynting vector)兩邊取旋度4.1 4.1 波動(dòng)方程波動(dòng)方程00tt EHHEHEt EH2t EEH得得2220tEE電場(chǎng)電場(chǎng)E的波動(dòng)方程的波動(dòng)方程同理同理2220tHH磁場(chǎng)磁場(chǎng)H的波動(dòng)方程的波動(dòng)方程得得2 EEE將矢量恒等式考慮均勻無(wú)耗媒質(zhì)的無(wú)源區(qū)域（考慮均勻無(wú)耗媒質(zhì)的無(wú)

2、源區(qū)域（）的麥克斯韋方程為）的麥克斯韋方程為000，J式中式中2為拉普拉斯算子，在直角坐標(biāo)系中為拉普拉斯算子，在直角坐標(biāo)系中2222222xyz 而而波動(dòng)方程波動(dòng)方程在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系中可分解為三個(gè)標(biāo)量方程中可分解為三個(gè)標(biāo)量方程222222220 xxxxEEEExyzt222222220yyyyEEEExyzt222222220zzzzEEEExyzt 波動(dòng)方程的解是空間一個(gè)沿特定方向傳播的電磁波。波動(dòng)方程的解是空間一個(gè)沿特定方向傳播的電磁波。 電磁波的傳播問(wèn)題歸結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求解波動(dòng)方程。電磁波的傳播問(wèn)題歸結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求解波動(dòng)方程。 靜態(tài)場(chǎng)中為問(wèn)題簡(jiǎn)

3、化引入了標(biāo)量位和矢量位。靜態(tài)場(chǎng)中為問(wèn)題簡(jiǎn)化引入了標(biāo)量位和矢量位。 時(shí)變場(chǎng)中也可引入相應(yīng)的輔助位，使問(wèn)題的分析簡(jiǎn)單化。時(shí)變場(chǎng)中也可引入相應(yīng)的輔助位，使問(wèn)題的分析簡(jiǎn)單化。由麥克斯韋第二方程由麥克斯韋第二方程t BEt A0t AE于是于是t AE由麥?zhǔn)系谌匠逃甥準(zhǔn)系谌匠? B，可令，可令 BA4.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)電磁場(chǎng)的位函數(shù) 4.2.1 矢量位與標(biāo)量位矢量位與標(biāo)量位即即式中式中A稱為稱為動(dòng)態(tài)矢量位動(dòng)態(tài)矢量位，簡(jiǎn)稱矢量位（，簡(jiǎn)稱矢量位（Wb/m)Wb/m)。稱為稱為動(dòng)態(tài)標(biāo)量位動(dòng)態(tài)標(biāo)量位，簡(jiǎn)稱標(biāo)量位（，簡(jiǎn)稱標(biāo)量位（V)V)。t AE 已知矢量位已知矢量位A 和標(biāo)量位和標(biāo)量位 可求相應(yīng)的磁場(chǎng)和電

4、場(chǎng)。可求相應(yīng)的磁場(chǎng)和電場(chǎng)。 注意，這里的矢量位注意，這里的矢量位 A 及標(biāo)量位及標(biāo)量位 均是均是時(shí)間時(shí)間及及空間空間函數(shù)。函數(shù)。 當(dāng)它們與當(dāng)它們與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)，矢量位時(shí)，矢量位 A 及標(biāo)量位及標(biāo)量位 與場(chǎng)量的關(guān)系和與場(chǎng)量的關(guān)系和靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)完完全相同。因此矢量位全相同。因此矢量位 A 又稱為又稱為矢量磁位矢量磁位，標(biāo)量位，標(biāo)量位 又稱為又稱為標(biāo)量電位標(biāo)量電位。 矢量位和標(biāo)量位由源決定。其滿足的方程討論如下。矢量位和標(biāo)量位由源決定。其滿足的方程討論如下。由麥克斯韋第四方程由麥克斯韋第四方程 E2tt AA由麥克斯韋第二方程由麥克斯韋第二方程t EHJ1ttt EHAJAJ將將 BAt AE

5、將矢量恒等式將矢量恒等式2A AA得得222tt AAAJ即即222Att AAJ 由亥姆霍茲定理：一矢量由其散度和旋度確定。由亥姆霍茲定理：一矢量由其散度和旋度確定。 前面定義前面定義A的旋度等于磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度等于磁感應(yīng)強(qiáng)度B。為確定矢量位。為確定矢量位A，還需規(guī)定其散度。，還需規(guī)定其散度。t A 令令 （洛侖茲條件（洛侖茲條件) )222t AAJ所以所以222t 同理同理這兩個(gè)方程稱為這兩個(gè)方程稱為達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程。由上可見(jiàn)，按照洛倫茲條件規(guī)定。由上可見(jiàn)，按照洛倫茲條件規(guī)定A的的散度后，原來(lái)兩個(gè)相互散度后，原來(lái)兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€(gè)的方程變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立獨(dú)立方程。矢量位方程

6、。矢量位A僅與僅與電流電流J有關(guān)，標(biāo)量位有關(guān)，標(biāo)量位 僅與電荷僅與電荷 有關(guān)。此方程表明矢位有關(guān)。此方程表明矢位A的源是的源是J，而，而標(biāo)位標(biāo)位 的源是的源是 。時(shí)變場(chǎng)中。時(shí)變場(chǎng)中J和和是相互聯(lián)系的。是相互聯(lián)系的。 由上可見(jiàn)，已知電流及電荷分布，即可求出矢量位由上可見(jiàn)，已知電流及電荷分布，即可求出矢量位 A和標(biāo)量位和標(biāo)量位 。求出求出 A 及及 以后，即可求出電場(chǎng)與磁場(chǎng)。以后，即可求出電場(chǎng)與磁場(chǎng)。 這樣，這樣，麥克斯韋方程麥克斯韋方程的求解歸結(jié)為的求解歸結(jié)為位函數(shù)方程位函數(shù)方程的求解，而且求解過(guò)的求解，而且求解過(guò)程顯然得到了程顯然得到了簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化。4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律BHDE

7、w2121n電磁場(chǎng)具有能量。電磁場(chǎng)具有能量。 靜電場(chǎng)的能量密度靜電場(chǎng)的能量密度 恒定磁場(chǎng)的能量密度恒定磁場(chǎng)的能量密度22121EDEwe22121HBHwm因此，時(shí)變電磁場(chǎng)的能量密度為因此，時(shí)變電磁場(chǎng)的能量密度為 在時(shí)變場(chǎng)中，由于電場(chǎng)能量密度隨電場(chǎng)強(qiáng)度變化，磁場(chǎng)能量密度在時(shí)變場(chǎng)中，由于電場(chǎng)能量密度隨電場(chǎng)強(qiáng)度變化，磁場(chǎng)能量密度隨磁場(chǎng)強(qiáng)度變化，空間各點(diǎn)能量密度的改變引起能量的隨磁場(chǎng)強(qiáng)度變化，空間各點(diǎn)能量密度的改變引起能量的流動(dòng)流動(dòng)。 為了衡量這種能量流動(dòng)的為了衡量這種能量流動(dòng)的方向方向及及強(qiáng)度強(qiáng)度，引入，引入能量流動(dòng)密度矢量能量流動(dòng)密度矢量，其其方向方向表示能量表示能量流動(dòng)流動(dòng)方向，其方向，其大小

8、大小表示表示單位單位時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)垂直垂直穿過(guò)單位面穿過(guò)單位面積的能量。或者說(shuō)，垂直穿過(guò)單位面積的積的能量。或者說(shuō)，垂直穿過(guò)單位面積的功率功率，所以能量流動(dòng)密度，所以能量流動(dòng)密度矢量又稱為矢量又稱為功率功率流動(dòng)密度矢量，又稱為流動(dòng)密度矢量，又稱為坡印廷坡印廷矢量。矢量。 能量流動(dòng)密度矢量或簡(jiǎn)稱為能量流動(dòng)密度矢量或簡(jiǎn)稱為能流密度能流密度矢量以矢量以 S 表示，表示， 單位為單位為W/m2。能流密度矢量能流密度矢量 S 與電場(chǎng)強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度 E 及磁場(chǎng)強(qiáng)度及磁場(chǎng)強(qiáng)度 H 的關(guān)系如何？的關(guān)系如何？ 設(shè)設(shè)無(wú)外源無(wú)外源 (J = 0, = 0) 的區(qū)域的區(qū)域 V 中，媒質(zhì)是中，媒質(zhì)是線性線性且且各向同性各

9、向同性的，的，則此區(qū)域中麥克斯韋方程為則此區(qū)域中麥克斯韋方程為t EEHt HE0) (H0) (E利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，將上式代入，整理，將上式代入，整理后求得后求得HEEHHE)(2222 2 )(EEtHtHE將上式兩邊對(duì)區(qū)域?qū)⑸鲜絻蛇厡?duì)區(qū)域 V 求積分，得求積分，得 VVVVEVHEtV 222d d) (21d)(HE, , , , E, HV考慮到考慮到 ，那么，那么VSV d)(d)(SHEHEVVSVEVHEtd d) (21d)(2 22 SHE根據(jù)能量密度的定義，上式又可表示為根據(jù)能量密度的定義，上式又可表示為 VSHE dd d )(VpVwtVS上式稱為時(shí)變上

10、式稱為時(shí)變電磁場(chǎng)的能量守恒定律，也稱坡印廷定理電磁場(chǎng)的能量守恒定律，也稱坡印廷定理。任何滿足上。任何滿足上述麥克斯韋方程的時(shí)變電磁場(chǎng)均必須服從該能量定理。述麥克斯韋方程的時(shí)變電磁場(chǎng)均必須服從該能量定理。 矢量（矢量（ ）代表垂直穿）代表垂直穿過(guò)單位面積的功率，因此，就過(guò)單位面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量是前述的能流密度矢量 S ， 即即HE , , , , E, HHESSHES 此式表明，此式表明，S 與與 E 及及 H 垂直。又知垂直。又知 ，因此，因此，S，E 及及 H 三者三者在空間是在空間是相互垂直相互垂直的，且由的，且由 E 至至 H 與與 S 構(gòu)成構(gòu)成右旋右旋關(guān)系，如圖

11、示。單位是關(guān)系，如圖示。單位是W/m2。HESEHn例：已知電磁波的電場(chǎng) ，求此電磁波的磁場(chǎng)、能流密度矢量。xetzEE cos000tHE0解：通過(guò) 求H。zxyyzxxyzeyExEexEzEezEyEE)()()(yetzE)sin(00000dttzEeHy)sin(1000000)cos(00000tzEeyEey00HES)(cos0020020tzEez4.5 4.5 時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng)4.5.1 4.5.1 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示電磁場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度的三個(gè)分量可用余弦函數(shù)表示電磁場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度的三個(gè)分量可用余弦函數(shù)表示式中式中稱

12、為稱為時(shí)諧電場(chǎng)的復(fù)振幅時(shí)諧電場(chǎng)的復(fù)振幅zzyyxxetzyxEetzyxEetzyxEtzyxE),(),(),(),(),(cos),(),(),(cos),(),(),(cos),(),(zyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzmzzymyyxmxx根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式)(jsin)(cos)(ttetj所以，可用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示三個(gè)分量所以，可用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示三個(gè)分量ReRe),(ReRe),(ReRe),()()()(tjzmtjzmztjymtjymytjxmtjxmxeEeEtzyxEeEeEtzyxEeEeEtzyxEzyxzmjzmym

13、jymxmjxmEeEEeEEeEzyx故故式中式中稱為稱為時(shí)諧電場(chǎng)的復(fù)矢量時(shí)諧電場(chǎng)的復(fù)矢量在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，在復(fù)數(shù)運(yùn)算中， 的微積分運(yùn)算的微積分運(yùn)算tjetjtjtjtjejdteejedtd1即即jdtjdtd1是對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算，是空間的概念是對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算，是空間的概念ReRe),(tjmztjzmytjymxtjxmeEeeEeeEeeEtzyxEzzyyxxeEeEeEtzyxE),(zzmyymxxmmeEeEeEzyxE),(Re),(Re),(Re),(tjmtjmtjmeJtzyxJeDtzyxDeHtzyxH同理，例：將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式。例：將下列

14、場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式。)sin()cos(),(yymyxxmxkztEekztEetzE解：解：)sin()cos(),(yymyxxmxkztEekztEetzERe)2( j)( jyxkztymykztxmxeEeeEe所以)2( j)( j)(yxkzymykzxmxmeEeeEezEkzymyxmxeeEeeEeyxjjj)j(例：寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值形式。例：寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值形式。)cos(j)(zkEezEzxmxm解：解：)cos(jRe),(j tzxmxezkEetzE)cos(Re)2j(tzxmxezkEe)2(cos)cos(tzkEezxmx 時(shí)諧場(chǎng)

15、對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)時(shí)諧場(chǎng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)ReReRej tj tj tmmmeejetttEEEE22222ReRej tj tmmeettEEE4.5.2 4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程由麥克斯韋第一方程由麥克斯韋第一方程tDHJReReRej tj tj tmmmeejeHJD設(shè)為時(shí)諧場(chǎng)設(shè)為時(shí)諧場(chǎng)將對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算和取實(shí)部運(yùn)算順序交換將對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算和取實(shí)部運(yùn)算順序交換ReRej tj tj tmmmeejeHJDj tj tmmmejeHJD約定不寫出時(shí)間因子約定不寫出時(shí)間因子 ，去掉場(chǎng)量的下標(biāo)和點(diǎn)，即得麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形，去掉場(chǎng)量的下標(biāo)和點(diǎn)，即得麥克斯韋方程的復(fù)

16、數(shù)形式式j(luò) tejHJD同理其它三個(gè)麥克斯韋方程同理其它三個(gè)麥克斯韋方程jEB0BD復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程波動(dòng)方程波動(dòng)方程2220tEE設(shè)為時(shí)諧場(chǎng)設(shè)為時(shí)諧場(chǎng)22222ReRej tj tmmeettEEE得得220kEE同理同理220kHH亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程式中式中22k 4.5.6 平均能流密度和平均能流密度矢量平均能流密度和平均能流密度矢量 坡印廷矢量 表示瞬時(shí)功率流密度。在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，計(jì)算平均能流密度矢量更有意義。時(shí)諧電磁場(chǎng)的一般表示式為：HEzzHzmyyHymxxHxmzzEzmyyEymxxExmetHetHetHHetEetEetEE)cos()cos()cos()cos()cos()cos(求一個(gè)周期內(nèi)坡印廷矢量的x分量的平均值：dtttHEttHETd