1、2013-2014 2013-2014 第一學期第一學期 張福俊張福俊 波是振動的傳播，它是自然界中一種常見的物質運波是振動的傳播，它是自然界中一種常見的物質運動形式，可分為兩種：機械波和電磁波。動形式，可分為兩種：機械波和電磁波。 各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，聲波需要介質才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，如，聲波需要介質才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，至于光波有時可以直接把它看作粒子至于光波有時可以直接把它看作粒子光子的運動。光子的運動。 我們能夠看到周圍的物體，因為物體上的光線進入我們能夠看到周圍的物體，因為物體上的光線進入

2、我們眼睛我們眼睛, ,、。、。 波不僅傳播信息，還可以傳播能量。波不僅傳播信息，還可以傳播能量。本章內容：本章內容： 15-1 平面簡諧波平面簡諧波 15-2 波的速度和能流波的速度和能流 15-3 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的衍射 15-4 波的疊加原理波的疊加原理 干涉現象干涉現象 15-5 多普勒效應多普勒效應15-1 簡諧波簡諧波簡諧波簡諧波(余弦波或正弦波余弦波或正弦波)是一種最簡單最重要的是一種最簡單最重要的波波, 其它復雜的波都可以看成是若干個簡諧波合成的其它復雜的波都可以看成是若干個簡諧波合成的結果。結果。本節內容：本節內容：15-1-1 機械波的形成和傳播機械波的形成和

3、傳播15-1-3 平面簡諧行波的波函數平面簡諧行波的波函數15-1-2 波函數波函數 波的特征量波的特征量15-1-1 機械波的形成和傳播機械波的形成和傳播& 機械波產生的條件機械波產生的條件1、 能產生機械振動的波源能產生機械振動的波源:2、彈性介質、彈性介質: 機械波是機械波是機械振動機械振動在媒質中的傳播。例如：聲波、在媒質中的傳播。例如：聲波、水波、地震波等。水波、地震波等。注意：注意： 波在介質中傳播時，介質中各點僅在它的平衡位波在介質中傳播時，介質中各點僅在它的平衡位置附近振動，并不沿波的傳播方向遷移。介質中存在置附近振動，并不沿波的傳播方向遷移。介質中存在的回復力可以是彈

4、性力，也可以是非彈性力。的回復力可以是彈性力，也可以是非彈性力。真空真空例如水面波的回復力是重力和表面張力。例如水面波的回復力是重力和表面張力。1. 橫波橫波振動方向與傳播方向垂直，如繩波。振動方向與傳播方向垂直，如繩波。2. 縱波縱波振動方向與傳播方向相同，如聲波。振動方向與傳播方向相同，如聲波。疏疏 密密 波波! !& 橫波和縱波橫波和縱波 橫波在介質中的傳播，需要介質有切向變形，因橫波在介質中的傳播，需要介質有切向變形，因而只有在固體中傳播，液體和氣體都沒有切變彈性。而只有在固體中傳播，液體和氣體都沒有切變彈性。波峰波峰、波谷、波谷! !橫波和縱波是波的兩種基本類型。橫波和縱波是

5、波的兩種基本類型。以水面波為例：以水面波為例：兼有兼有橫橫， 縱縱波特點波特點 水波、地表波都能分解為水波、地表波都能分解為橫波與縱波來進行研究。橫波與縱波來進行研究。 無論橫波或縱波只是振動無論橫波或縱波只是振動狀態的傳播，彈性介質中的狀態的傳播，彈性介質中的各質點僅在各自的平衡位置各質點僅在各自的平衡位置附近振動，并不附近振動，并不隨波逐流隨波逐流。 橫波的傳播過程橫波的傳播過程質點振動方向質點振動方向時刻時刻 t 各質點位各質點位置置波形曲線波形曲線t=0波傳播方向波傳播方向tt=T/4t=T/2t=3T/4t=T波動的基本特征：波動的基本特征：1、波動只是振動狀態的傳播波動只是振動狀態

6、的傳播，而振動狀態是用相，而振動狀態是用相位來描述的，所以波的傳播也是相位的傳播。波位來描述的，所以波的傳播也是相位的傳播。波的傳播速度就是相位的傳播速度（相速）。的傳播速度就是相位的傳播速度（相速）。2、不論波源自身是做自由振動還是受迫振動，空、不論波源自身是做自由振動還是受迫振動，空間某點的振動都是在波源策動下進行的，都是受間某點的振動都是在波源策動下進行的，都是受迫振動。迫振動。3、空間某點受迫振動的能量來源于前一點的振動，、空間某點受迫振動的能量來源于前一點的振動，同時又傳給下一點。可見，能量隨波的傳播而向前同時又傳給下一點。可見，能量隨波的傳播而向前傳播。傳播。波動過程也是能量傳播的

7、過程。波動過程也是能量傳播的過程。4、質點不會、質點不會“隨波逐流隨波逐流”。15-1-2 波的特征量波的特征量1. 波陣面波陣面(或相面、波面或相面、波面) 某時刻介質內振動相位相同的點組成的面某時刻介質內振動相位相同的點組成的面,稱為稱為波面。波面。2. 波射線波射線(或波線或波線) 波的傳播方向稱為波的傳播方向稱為波射線波射線或或波線。波線。平面波平面波球面波球面波波面波面波線波線在各向同性均在各向同性均勻介質中勻介質中,波線波線與波陣面垂直與波陣面垂直!波線波線波面波面波的幾何描述：波的幾何描述：3. 波前波前 某時刻處在最前面的某時刻處在最前面的波陣面波陣面1 波長波長 振動相位相同

8、的兩個相鄰波陣面之間的距離振動相位相同的兩個相鄰波陣面之間的距離為一個波長。或振動在一個周期中傳播的距離，稱為為一個波長。或振動在一個周期中傳播的距離，稱為波長，用波長，用 表示。表示。& 波的特征量波的特征量 有時也用有時也用2長度中所包含的波長數長度中所包含的波長數來描述波動的來描述波動的空間周期性，稱為空間周期性，稱為波數波數。以。以 表示波的傳播方向，表示波的傳播方向，則則 k=k= 成為成為波矢量波矢量，于是，于是 k= , =enenen2 波長是指一個完整波形的長度，也就是在同一時刻，波長是指一個完整波形的長度，也就是在同一時刻，同一波線上，振動相位相差同一波線上，振動相

9、位相差2的兩點間的距離。的兩點間的距離。波長波長描述了波在空間上的周期性描述了波在空間上的周期性。波的波的周期周期用用T 表示；表示；波的波的頻率頻率用用 表示；表示；2 頻率頻率 單位時間經過波線上一點完整波的數目單位時間經過波線上一點完整波的數目 波動的頻率，等于介質中質點的振動頻率波動的頻率，等于介質中質點的振動頻率, ,或波源或波源的振動頻率。它們只與波源有關，而與波通過何種介的振動頻率。它們只與波源有關，而與波通過何種介質無關，所以稱它們為固有周期、固有頻率。質無關，所以稱它們為固有周期、固有頻率。3 波速波速 單位時間某種振動狀態單位時間某種振動狀態(或振動相位或振動相位)所傳播所

10、傳播的距離稱為波速，也稱的距離稱為波速，也稱 相速相速。波速取決于波傳播。波速取決于波傳播空間空間的性質。電磁波的波速為的性質。電磁波的波速為 ，機械波的波速取決，機械波的波速取決于介質的彈性模量及密度。于介質的彈性模量及密度。1u/uuT 三者之間的關系：三者之間的關系：注意注意 ：1. 波的波的T 或或 等于波源的等于波源的T或或 ；2. 波速與質點的振動速度的區別。波速與質點的振動速度的區別。波在波在空間空間中的周期性中的周期性T波在波在時間時間上的周期性上的周期性u通過波速通過波速 聯系起來。聯系起來。 說明波長是由反映波源特性和傳播空間性質說明波長是由反映波源特性和傳播空間性質共同決

11、定的。共同決定的。/uuT 思考題：思考題：周期為周期為T的簡諧波，其波線上任意一點，的簡諧波，其波線上任意一點，t=0時刻的相位為時刻的相位為1，求，求t時間后，該點的相位增加量，時間后，該點的相位增加量，該點振動狀態向前傳播的多遠？該點振動狀態向前傳播的多遠？Tt2Ttx15-1-3 平面簡諧行波的波函數平面簡諧行波的波函數 設設:有一平面余弦行波，在無吸收的均勻無限大介有一平面余弦行波，在無吸收的均勻無限大介質中沿質中沿x 軸（一維）傳播，波速為軸（一維）傳播，波速為u。)cos()(00 tAt已知已知: O點振動表達式點振動表達式 下面用數學表達式描述波線上任一質點在某一時下面用數學

12、表達式描述波線上任一質點在某一時刻的位移，刻的位移，以橫波為例，說明平面簡諧波的波動方程以橫波為例，說明平面簡諧波的波動方程( (質點在質點在y方向振動方向振動) )。這樣的函數這樣的函數 = ( x, t ) 稱為行波的波函數稱為行波的波函數Pxyux o& 波函數的表達式波函數的表達式則則uxt )(cos)(0 uxtAtPPxyux o設波動沿設波動沿x 軸軸正正方向傳播方向傳播,O點運動傳到點運動傳到p點需用時間點需用時間 P點的振動點的振動相位相位落后于落后于O點點點點op0to點0uxtuxtop點點點0tt略去角標略去角標 P, )(cos),(0 uxtAtx)(co

13、s)(0 uxtAtP由由p點的任意性點的任意性 , x 視為變量視為變量, 平面簡諧行波的波函數平面簡諧行波的波函數如果波沿如果波沿x 軸軸 負向傳播，則波動方程為負向傳播，則波動方程為)(cos),(0uxtAtxpPx ux o)cos()(00 tAt平面簡諧波的波動方程可寫成多種平面簡諧波的波動方程可寫成多種等價等價的形式的形式: )(2cos),(0 xTtAtx)(2cos),(0 xtAtx)cos(),(0 kxtAtx利用關系式利用關系式;uT ;22 T 2 k及及( k 又又稱為稱為角波數角波數 )(1) 當當 x 一定時一定時, 給出給出 x 處的位移處的位移時間曲線

14、時間曲線(振動曲線振動曲線)otAy)(cos),(000 uxtAtx(2) 當當t一定時一定時,給出確定時刻的給出確定時刻的 x曲線即曲線即波形圖波形圖 o xA ux1 x2. 僅是僅是 x 的函數的函數同一時刻波線各質點的位移分布情況同一時刻波線各質點的位移分布情況 x 2同一時刻同一時刻x1 和和 x2 兩質點相位分別為兩質點相位分別為:011)( uxt02022)(2)( xTtuxt 12212xx xxx 12 波程差波程差o xAx ux1 x2.01)(2 xTtTt2(3)當當t 和和 x 都變化時都變化時, 波動方程描述了波形的傳播波動方程描述了波形的傳播.波傳播方向

15、波傳播方向oxt 時刻的波形時刻的波形x tuxT+ t 時刻的波形時刻的波形波函數反映了不同時刻、不同空間點的振動情況。波函數反映了不同時刻、不同空間點的振動情況。經時間波向前傳播了，也就是說，波函數描經時間波向前傳播了，也就是說，波函數描述的是述的是波形波形隨時間向前行進的波，因而也稱為隨時間向前行進的波，因而也稱為行波行波。ttux例題例題1 1、 空氣中音叉以空氣中音叉以400Hz400Hz頻率振動，聲速頻率振動，聲速320m/s320m/s，求，求1)1)音叉音叉完成完成3030次振動時，聲波傳播的距離次振動時，聲波傳播的距離; 2) ; 2) 把聲源振動看成把聲源振動看成振幅振幅1

16、mm1mm的諧振動，則某點空氣元振動的最大速度是多的諧振動，則某點空氣元振動的最大速度是多少？；少？；3)3)從從a a點沿波線傳播到點沿波線傳播到b b點為點為20cm20cm，則，則b b 點振動比點振動比a a點落后多長時間點落后多長時間? 4)? 4)同一時刻，兩點的相位差是多少？同一時刻，兩點的相位差是多少？解：解：1）這個音叉產生的聲音波長這個音叉產生的聲音波長mu8 . 0400320波源完成一次全振動，波向前傳播一個波長波源完成一次全振動，波向前傳播一個波長md24302）注意研究的是）注意研究的是振動速度振動速度，不是，不是波速波速)sin(tAvsmAv/5 . 21400

17、22maxsm/3203) 從從a點沿波線傳播到點沿波線傳播到b點為點為20cm，則，則b 點振動比點振動比a點點落后多長時間落后多長時間? suxt160013202.0sT400114Tt a,b兩點相差四分之一波長距離，顯然從時間上兩點相差四分之一波長距離，顯然從時間上b點振動要落后于點振動要落后于 a點四分之一周期。點四分之一周期。28 . 02 . 022x4) 同一時刻，兩點的相位差是多少？同一時刻，兩點的相位差是多少？例題例題2 2一平面簡諧波，一平面簡諧波，t=0時的波形曲線為淺綠色曲線所示，時的波形曲線為淺綠色曲線所示，波以波以4m/s的速度向的速度向X軸正方向傳播，經過時間

18、后，波軸正方向傳播，經過時間后，波形曲線如紅色曲線所示。波源的振幅為形曲線如紅色曲線所示。波源的振幅為0.01m, 周期為周期為0.01s,求求1)質點質點o、b的振動方向，兩點的相位差和距的振動方向，兩點的相位差和距離；離；2) o、b兩點的振動方程；兩點的振動方程；3)波函數；波函數；4)當波沿當波沿X 軸軸負方向傳播時，波函數。負方向傳播時，波函數。 t解：解：對于點而言：對于點而言： t=0 Ax0tx=AO點的振動方向是向上點的振動方向是向上對于對于b點：點：b點的振動方向是向下點的振動方向是向下根據兩點的振動狀態，由旋轉矢量法應很容易得到：根據兩點的振動狀態，由旋轉矢量法應很容易得

19、到：350o20b6700ob負號說明負號說明b點振動相位小于點振動相位小于a點振動相位點振動相位200103 . 222boobxxxm2)簡諧振動的三要素：振幅、角頻率、初相位簡諧振動的三要素：振幅、角頻率、初相位sT/20022以以o點為參考點，建立波函數：點為參考點，建立波函數：)(cos),(0ouxtAtx35)4(200cos01.0 xt以以b點為參考點，建立波函數：點為參考點，建立波函數：)(cos),(0buxtAtx21)4(200cos01.0bxxt4)當波沿當波沿X 軸負方向傳播時，波函數軸負方向傳播時，波函數t=0時，時，?0ouo x2A)(cos),(0oux

20、tAtx331)4(200cos01. 0 xt由波函數推導波動方程由波函數推導波動方程)(cos),(0 uxtAtx波函數波函數分別對分別對t 和和 x 求二階偏導數求二階偏導數)(cos0222 uxtAt)(cos02222 uxtuAx222221tux 得到得到上式對任何平面波都成立。上式對任何平面波都成立。15-2 波的速度和能流波的速度和能流以弦上的橫波為例：以弦上的橫波為例： 平衡時弦是沿平衡時弦是沿X X軸的直線，考慮原長為軸的直線，考慮原長為dxdx的一個小段的一個小段弦，弦，t t時刻離開平衡位置的位移是，兩端張時刻離開平衡位置的位移是，兩端張力分別為力分別為F(x),

21、 F(x+dx),F(x), F(x+dx),其合力就是回復力，指向其合力就是回復力，指向x x軸，從而形成沿軸，從而形成沿y y方向的振動。方向的振動。 對對A端而言，端而言， ， ， 為為F與與x軸的夾軸的夾角。對彈性形變，角。對彈性形變， 很小，很小， 也很小，故也很小，故 cosFFxsinFFy.,F,tansin, 1cosxFFFdxdyx常量即 可見，這一小段弦而言，水平方向合力為零，在可見，這一小段弦而言，水平方向合力為零，在y方向合力為方向合力為 。F設弦線的密度為，則該段弦線的質量為設弦線的密度為，則該段弦線的質量為Y方向上加速度為，有牛頓定律有：方向上加速度為，有牛頓定律有：dx22t2222tdxdxxF222221tux根據波動方程：根據波動方程：Fu 可見，波速僅與波傳播介質的兩個物理量有關，介可見，波速僅與波傳播介質的兩個物理量有關，介質的密度及彈性模量。質的密度及彈性模量。dxxFxFxFxFdxxFFxdxxyy22)()()( 機械波的傳播速度完全取決于介質的機械波的傳播速度完全取決于介質的彈性彈性性質和性質和慣慣性性性質。性質。 即介質的即介質的彈性模量彈性模量和介質的和介質的密度密度，而與振源無，而與振源無關。關。 描述彈性的物理量描述彈性的物理量彈性