1、平面向量的投影問(wèn)題數(shù)量積投影定義的適用范圍：作為數(shù)量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問(wèn)題。(1)圖形中出現(xiàn)與所求數(shù)量積相關(guān)的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下(此時(shí)便于確定投影)，例如：直角三角形，菱形對(duì)角線，三角形的外心(外心到三邊投影為三邊中點(diǎn))(2)從模長(zhǎng)角度出發(fā)，在求數(shù)量積的范圍中，如果所求數(shù)量積中的向量中有一個(gè)模長(zhǎng)是定值，則可以考慮利用投影，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找投影最大最小的問(wèn)題1.定值問(wèn)題例題1:已知向量a,b滿足解析：考慮變式1:r3,brrr,rabb在a上的投影為詈，br2rrrraab0,所以ab2.3,且rrrrab,則b在a方向上的投影為rr所以只需求出ab即

2、可。92.33.3兩個(gè)半徑分別為r1,r2的圓M,N,公共弦AB長(zhǎng)為3,rrab可得:如圖所示，則uuuuuumuuuruuu分析：AB為兩個(gè)圓的公共弦，從而圓心uuuuuuurM,N到弦AB的投影為AB的中點(diǎn)，進(jìn)而AM,ANuuu在AB上的投影能夠確定，所以考慮計(jì)算uuuuuuuuuuruuuAMAB和ANAB時(shí)可利用向量的投影定義。解析：取AB中點(diǎn)T,連結(jié)MT,NT,由圓的性質(zhì)可得:MTAB,NTABuuuuuurAMABuuirATuuurAB1uuu2-AB2uuruuuANABuuruuuATAB1uur2一AB2uuuuuuruuuruuuAMABANAB9例題2：如圖，在VABC

3、中，ABBC4,ABC30°,AD是邊BC上的高，則unruurADAC的值等于uuiruuur解析：由圖中垂直可得：AC在AD上的投影為ADuuuruuurADACuuur2AD只需求出變式2:uuuruuuruuur22,所以ADACADVABC的高即可。由已知可得AD|ABsinABC如圖，O為VABC的外心，AB4,AC2,BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn),uuuuuuur則AMAO的值為解析：外心O在AB,AC上的投影恰好為它們的中點(diǎn)，分別設(shè)為P,Q,uuuuuu所以AO在AB,AC上的投影為APuuuu1uuuuuu故考慮AM-ABAC,21uuuuuu-AB,AQ21uu

4、uAC,而M恰好為BC中點(diǎn),2uuuuuuu1uuuuuuuuu所以AMAOABACAO21uuuuuuruuiruuurABAOACAO2uuu21uuir2AB+-AC22.范圍問(wèn)題例題3：若過(guò)點(diǎn)P1,1的直線l與eO:x2y24相交于uuuuuu一A,B兩點(diǎn)，則OAOB的取值范圍是,，一.uuuuuu_、解析：本題中因?yàn)镺A,OB位置不斷變化，所以不易用數(shù)量積定義求解，可考慮利用投影，即過(guò)B作直線OA的垂線，uuuuuuuuuuum垂足為D,通過(guò)旋轉(zhuǎn)AB可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OBOA時(shí)，OAOB0,AB位于其他位置時(shí)，D點(diǎn)始終位于OA的反向延長(zhǎng)線上,uunuuuOAOB|OAOD,故0,下面尋找最小

5、值，即DO的最大值，可得當(dāng)B在OAuuuuumOAOBminuuuuuuuuuuurOAOB0,故OAOBmax上的投影與C重合時(shí)，DA最大，即為AC,此時(shí)直線OP即為直線AB。所以u(píng)uuuuuOAODOAOCr24。進(jìn)而OAOB的范圍是4,0變式3:已知uuuOAuuu1,OBuuuuuu,且OA,OB的夾角為150°,點(diǎn)C是VAOB的外接圓上優(yōu)弧Ab上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),uuuuuur考慮OAOC即為uuuunr則OAOC0r乘以O(shè)uu的最大值是uuu分析：題中OA的模長(zhǎng)為定值,uuuuuuuuir在OA上的投影，從而OAOC的最大值只需尋找投影的大小,uuuuuuu觀察圖形可得只有當(dāng)M

6、C與OA同向時(shí)，投影最大。uuuuiur即OAOCmaxuuuOAuuurOD,只需計(jì)算uuurOD的模長(zhǎng)即可uuuruuu解析：當(dāng)MC與OA同向時(shí),uuuuuuOC在OA上的投影最大,uuruuirOAOCmaxuuruuurOAODuuirAB在VAOB中，|AB2OA22I11IOB2OA|OB|cosAOB7,2RABsinAOBuuur11一OD|ON|ND|-|OAR56uuruuirOAOCuurODmax例題4：如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,A60o,MDC中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則uuuuuuurAMAN的最大值為分析：菱形uuuuAM方向大小確定，在求數(shù)量積時(shí)

7、可想到投影定義，即uuuriuuiruuuuuuuuAM乘以AN在AM上的投影，所以AMuuuruurAN的最大值只需要尋找AN在uuuuAM上的投影的最大值即可，而A點(diǎn)也確定，所以只需在菱形內(nèi)部和邊界尋找在AM投影距離A最遠(yuǎn)的，結(jié)合圖像可發(fā)現(xiàn)C的投影距離A最遠(yuǎn),所以u(píng)uuuAMuuirANmaxuuurAMuuurAC,uuiruuur再由AD,DC表示后進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算;uuuuuuir解析：AMANmaxuuuruuuruuruuuuAMACADDMuurADuuurDCuuuAD1unrDC2uuurADuurDCuur21uuir2AD-DC23uur-AD2uurDC9變式4：如圖，

8、在等腰直角VABC中,ACBC2,點(diǎn)M,N分別是AB,BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)是VABC內(nèi)（包括邊界）任一點(diǎn)，則uuuANuuirMP的取值范圍是解析：因?yàn)镻點(diǎn)為VABC內(nèi)任一點(diǎn)，所以很難用定義表示出uuuruuuruuiruuurANMP,考慮利用投影定義。由AN長(zhǎng)為定值，可彳#ANuuir為AN乘以u(píng)uuruuurMP在AN上的投影，所以只需找到投影的范圍即可。如圖，過(guò)M作AN的垂線，則M點(diǎn)的投影為F,當(dāng)P在B點(diǎn)時(shí),uuruurMP在AN上的投影最大且為線段FE的長(zhǎng),當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí),在圖中有條件可得:uuuMPuuruurMP在AN上的投影最小，為|AF,分別計(jì)算相關(guān)模長(zhǎng)即可。AN|J5,CN|BN

9、|1BEAE，RtVACN:RtVBEN，則黑懾AEAN|NE-V5,5uuuruuuruuu由FM/BE,M為中點(diǎn)可得：F為AE中點(diǎn)，從而MB,MA在AN方向上的投影分別為3,33-=uuuruuuJ5,由AN而，即可求得ANMP的范圍為53.綜合問(wèn)題例題5:已知eM為直角三角形ABC的外接圓，OB是斜邊AC上的高，且AC6,OB2收AOOC,點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)，若DE是eM中繞圓心M一uuur運(yùn)動(dòng)的一條直徑，則PDuuurPE解析：本題的難點(diǎn)在于DE是一條運(yùn)動(dòng)的直徑，所以很難直接用定義求解。uuuuuruuu口DE為直徑，延長(zhǎng)EP交圓M于Q,即可得DQQE,則PD在PE上的投影向量為PQ

10、。uuuruur所求PDPE從而PEPQ由射影定理可得:所以解得AO所以PEPQPEAPAO2,OCAPPQ,而由PEPQ聯(lián)想到相交弦定理,PC。考慮與已知條件聯(lián)系求出直徑AC上的各段線段長(zhǎng)度。COOB8,且AOCO4,再由P為OA的中點(diǎn)可得APPCuuruuu5,進(jìn)而PDPEAC1,PCPEPQ5,變式5：C為線段AB上一點(diǎn),P為直線AB外一點(diǎn),I為PC上一點(diǎn),uiuiuuuPAuuuPB10，uuuuuurPAPCuuur-jPAuuiruuurPBPCuuuPBuirBIuurBAuuurACuuu|ACuuuAPuuuAPuurBIuuu-BAuuuBA的值為解析：考慮作圖觀察幾何特點(diǎn),uuuPAuuuPBuuuAB10。uuriuurPAPC-uuuPAuuuuuuPBPC-uuuPB及所求uuuuuuuuunruuu駕阜可想到投影與數(shù)量積的關(guān)系,BA即PC在PA,PB上的投影相等，即可得到uiruuu再分析BIBAuuuruuruuuruuruuruuuACAP0uurACAP口ACAPuuuruurAIuuuruuruuruuuACAPACAPACAPPC平分APB。由平行四邊形性質(zhì)可得和向量平分為uurAI與和向量共線,uuuuuuAC,AP的單位向量