1、平面上兩直線的夾角求法解析一、內容概述在2004年審定的人教A和B版教材中，平面兩條直線的夾角概念與相應問題沒有涉及到.但是，該問題完全可以作為三角恒等式中兩角差的正切公式：川tan療Tm/口Ftana-5)-0弁g-Tqp-j1+tanffitan用，平面向量中直線法向量夾角的余弦網“金|及直線方28-pr向向量夾角的余弦k甲I的應用來進行考查.二、基本概念平面上直線方程的兩種常用表示：直線的點斜式方程：(I);直線的一般式方程：擊+蜘+C二0gBe不全為。).平面上兩條相交直線夾角的概念：平面上兩條相交直線4所成四個角中的最小角，叫做兩條直線的夾角.平面上兩條直線所成角的范圍：如果兩條直線

2、平行或重合，規定它們所成的角為D;如果兩條直線垂直，規定它們的夾角為90；如果兩條直線相交且互不垂直，則兩直線的夾角范圍為平面上直線的方向向量：基線與平面上一條直線1平行或重合的向量層，叫做直線1的方向向量；直線點斜式方程P二上的一個方向向量為(1平面上直線的法向量：基線與平面上一直線1垂直的向量浮，叫做直線1的法向量；直線的一般式方程*+為+=(&瓦。不全為%勺一個法向量為(討.12n儂二網空巴亙l+tMqtanf求兩直線夾三、理論推導1 .已知傾斜角或斜筆“根據兩角差的正切公式角.證明：如下圖所示，在平面直角坐標系克。中，直線力的傾斜角為%,直線%的傾斜角為.假設囪日會91為直線匕，4所成

3、的一角，顯然%=%4日,則由公式得:.=冗（左圖）或日二吟（右圖）由法向量夾角的余弦得：一一%一的COSMN,直口=:-:i=JJ=J_F=網同爐正廳57壽灑石又因為平面上兩條相交且互不垂直的直線夾角近范圍是（二配），所以cos0.從而得:0050f=|cOS|=XS（同，用即，平面上直線占與直線乙的夾角a=arccos-,-,=J屋+/3.已知直線的點斜式方程，利用直線方向向量夾角余弦角.求平面上兩直線夾證明：如下圖所示，在平面直角坐標系芯中，直線L的點斜式方程為=用工+后,一方向向量不二也也）；直線的點斜式方程為刀=總工+瓦，一方向向量5也島）.假設日學9仃）為直線21,4所成的角，顯然g

4、-盛荻石三方（左圖）或w,5（右圖），由方向向量夾角的余弦得:萬每（1后）與）_1+.芻小十j十;又因為平面上兩條相交且互不垂直的直線夾角鼻范圍是（0，翅r），所以cos0.從而得:注意：可以求出直線一般式方程的某個方向向量，也可以求出直線點斜式方程的某個法向量.但是，無論利用哪一種方法，都必須謹記平面上兩直線所成角與兩直線夾角的區別：兩直線夾角章的范圍是即日的三角函數值一定是非負的.四、例題解析對于有關平面上兩直線的夾角問題，理論簡單，方法也易于掌握，該部分難點是如何根據題意選取恰當的理論和方法來解決問題.下面結合具體實例談談求解方法是如何選擇的.例1已知直線;，弓的斜率是二次方程工一4工十

5、1=0的根，試求直線A與八的夾角.解析：設直線1,%的斜率分別為總，也，解二次方程#一4工+1工。得，止產2+收七=2一后將如近代入公式一|14心|得，一白網兩2一所以直線,1與4的夾角日=或式血點=60.點評：本題結合二次方程求解問題考查第一種方法的運用，解決此類問題的時候，要理解直線傾斜角與直線斜率的關系，并能準確選擇求直線夾角的方法.例2求直線幻3工+少12二與直線k7x-l2p-l=0的夾角.解析：題目中的直線方程是一般式形式且互不垂直，因此我們選擇法向量求夾角的方法.也4十跖I耳力可碎聲得,直線4：力+4*-12=0一法向量用=（34）；直線71-121y-1=0一法向量房二（工一1

6、0CO6-|cos（瓦，&將耳r瓦代入公式cos日二44斗煙ZZ3x7-4x1227辰=965療+（一，門277153j立中產aaw所以直線。與右的夾角965點評：本題主要考查對公式的選擇及熟練程度，也可以嘗試利用方向向量求解，鼓勵一題多解.例3光線沿直線=2x+jv-2=0照射到直線力工+2尸+2=0上后反射，求反射光線線所在直線匕的方程.2工十y-2-0解析：聯立天+功+2=0得反射點的坐標為（2,-2）,由題意知直線4過該點，則設匕的方程為式工-2）+2+2）=0（其中苴二（曰，句為直線的法向量，口出不同時為零）由物理學中的反射原理可知：直線1與直線口的夾角等于直線以與直線,3的夾角，即:2+2442b后M行/XJ冒+63，解得1I或鼻=2）（舍去，否則看與L重合）.所以，直線4的方程為2天-11了_26=0點評：本題首先應思考將問題轉化為求過定點，且與所給直線夾角已知的直線方程；其次，在求直