1、學習好資料歡迎下載平面向量數量積運算題型一平面向量數量積的基本運算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的邊長為2,/BAD=120°,點E,F分別在邊BC,DC上，BC=3BE,DC=XD*AEAF=1,貝U入的值為.(2)已知圓O的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線，A,B為切點，那么pApB的最小值為()A.-4+2B.-3+V2C.-4+22D.-3+22變式訓練1(2015湖北)已知向量OAAB,|OA|=3,則OAoB=.題型二利用平面向量數量積求兩向量夾角例2(1)(2015重慶)若非零向量a,b滿足|a|=平同，且(a-b)±(3a+2b),則a與b的

2、夾角3為()71A.4兀B.2D.兀(2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于g,|a|=2,|b|=3,則2ab與a+2b的夾角的余弦值等于()歡迎下載學習好資料1111A.26B-26C-12D.-12變式訓練2（2014課標全國I）已知A,B,C為圓O上的三點，若AO=2（AB+AC）,則aB與aC的夾角為.題型三利用數量積求向量的模例3（1）已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a與b的夾角為120°,則|2a+b|等于（）A.2B.4C.2.5D.6（2）已知直角梯形ABCD中，AD/BC,/ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點，fr7一一

3、一則|PA+3PB|的最小值為.1變式訓練3（2015浙江）已知研，e2是平面單位向重，且e62=2.若平面向量b滿足be1=be2=1,則|b|=.歡迎下載學習好資料高考題型精練,，一,、1.（2015山東）已知菱形ABCD的邊長為a,ZABC=60,則BDCD等于（）3232A.12aB.14ac3232C.4aD.2ax,x>y,y,x>y,、2 .（2014浙江）記maxx,y=iminx,y=c設a,b為平面向量，則（）ly,x<y,x,x<y,A.min|a+b|,|ab|<min|a|,|b|B.min|a+b|,|ab|>min|a|,|b|

4、C.max|a+b|2,|a一b|20|a|2+|b|2D.max|a+b|2,|a-b2刁a|2+|b|23 .（2015湖南）已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動，且ABBC.若點P的坐標為（2,0）,則同+m+PC|的最大值為（）A.6B.7D.9C.8歡迎下載學習好資料4 .如圖，在等腰直角ABO中，OA=OB=1,C為AB上靠近點A的四等分點，過C作AB的垂線l,P為垂線上任一點，設OA=a,OB=b,OP=p,則p（b-a）等于（）A.-2-3C.一2,.,>,，71.-t.r一一一5 .在平面上，ABjAB2,|OBi|=|OB2|=1,AP=ABI+AB2.若|OP|

5、<2,則OA|的取值范圍是（）B.率3D.C27,.25A.（0,/C.（25,26 .如圖所示，ABC中，/ACB=90°且AC=BC=4,點M滿足BM=3MA,則CMCB等于（）B.3D.6A.2C.47 .（2014安徽）設a,b為非零向量，|b|=2|a|,兩組向量xi,X2,X3,X4和y1，y2,y4均由2個a和2個b排列而成.若x1y+X2y2+X3y3+x4、4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為（）2兀兀兀A.3叼c.6D.0歡迎下載學習好資料、.一.一,一，.一一一.一>_與之->-8 .(2014江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD

6、中，已知AB=8,AD=5,CP=3PD,APBP=2,則ABAD的值是9 .設非零向量a,b的夾角為0,記f(a,b)=acos0bsina若ei,e2均為單位向量，且研e2=乎,則向量f(e1，e2)與f(e2,e1)的夾角為.10 .如圖，在4ABC中，。為BC中點，若AB=1,AC=3,<AB,品=60°,則15A尸_I、4IY5>D,AD=5,且滿足AD=/DB.11 .已知向量a=(sinx,4),b=(cosx,1).當a/b時，求cos2xsin2x的值;12 .在ABC中，AC=10,過頂點C作AB的垂線，垂足為求|aBAC|；(2)存在實數t>1

7、,使得向量x=AB+tAC,y=tAB+AC,令k=xy,求k的最小值.歡迎下載學習好資料平面向量數量積運算題型一平面向量數量積的基本運算例1（1）（2014天津）已知菱形ABCD的邊長為2,/BAD=120°,點E,F分別在邊BC,DC上，BC=3BE,DC=XD*AEaF=1,貝U入的值為.（2）已知圓O的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線，A,B為切點，那么PAPB的最小值為（）B.-3+/D.-3+2,2C.-4+22答案(1)2(2)D解析（1）如圖,AEAf=(>Ab+BE)(ad+Df)=(yAB+Bc)(tAD+1DC)=>ABaD+JaBIDC+BcA

8、D+E3A333/BCDC=2X2Xcos120°+-X2X2+1X2X2+'X2X2Xcos120=2+4+4-入33入入33入3入3學習好資料歡迎下載又,.AlAF=1,入=2.(2)方法一設|PA|=|PB|=x,ZAPB=0,則tan912x'1tan2從而cos0=:1+tan2.x2x21.,27PAPB=|PA|PB|cos0_2x21x4x2=xx2+r=x2+1(x2+1j3(x2+1廿2xn=x2+1+-3>2,2-3,當且僅當x2+1=V2,即x2=421時取等號，故PApB的最小值為2印3.方法二設/APB=仇0。兀，則|兩=|晶|=1.

9、J)tan£,27PAPB=|PA|PB|cos=(/cos0tan2學習好資料歡迎下載cos222。(12sin2)sin1-2sin22sin2令x=sin2/0<x<1,1*口=2x+3>22-3,一，1r一當且僅當2x=,即x=x故PAPB的最小值為2423.方法三以O為坐標原點，建立平面直角坐標系xOy,則圓O的方程為x2+y2=1,設A（x1，y1），B（x1，一y1），P（xo,0）,則PAPB=(x1-xo,y1)(x1x0,-y1)=x2-2x1x0+x2-y2.由OAPA?OAPA=(x1,y1)(x1x°,y1)=0?x2x1x0+y

10、2=0,又x2+y2=1,所以xx0=1.從而PAPB=x22x1x0+x2y2=x12+x0(1x1)歡迎下載學習好資料=2x2+x0-3>22-3.故畫pB的最小值為203.點評(1)平面向量數量積的運算有兩種形式：一是依據長度和夾角，二是利用坐標運算，具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a,b的數量積ab與代數中a,b的乘積寫法不同，不應該漏掉其中的“.(2)向量的數量積運算需要注意的問題：ab=0時得不到a=0或b=0,根據平面向量數量積的性質有|a|2=a2,但|ab|<|a|b|.變式訓練1(2015湖北)已知向量OA，苑，|6A|=3,則0而=.答案9解

11、析因為6AXAB，所以6AaB=0.所以6aoB=6a(oA+ab)=oA2+6aaB=|6a|2+0=32=9.題型二利用平面向量數量積求兩向量夾角例2(1)(2015重慶)若非零向量a,b滿足|a|=平同，且(a-b)±(3a+2b),則a與b的夾角3為()7tD.兀(2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于g,|a|=2,|b|=3,則2ab與a+2b的夾角的余弦1A.26值等于()1B.一26r±D.一1a答案(1)A(2)B歡迎下載學習好資料解析由(a-b)±(3a+2b)得(a-b)(3a+2b)=0,即3a2-ab-2b2=0.又=|a|=乎問，設3a

12、,b=0,即3|a|2-|a|b|cos。一2|b|2=0,1-8|b|2-邛21b12cos0-2|b|2=0.33.八J2c兀cos0=亍.又0Wg兀，0=(2)記向量2a-b與a+2b的夾角為&又(2a-b)2=4X22+324X2X3Xcos：=13,3(a+2b)2=22+4X32+4X2X3Xcos3c=52,(2ab)(a+2b)=2a22b2+3ab=8-18+9=-1,故cos0=工26化ab)(a+2b)_|2ab|a+2b|一即2ab與a+2b的夾角的余弦值是一1-.26點評求向量的夾角時要注意：（1）向量的數量積不滿足結合律，（2）數量積大于0說明不共線的兩向量

13、的夾角為銳角，數量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角.變式訓練2（2014課標全國I）已知A,B,C為圓O上的三點，若危=2漏+芯），則aB與啟的夾角為.答案90°解析AO=%AB+AC),歡迎下載學習好資料點O是4ABC中邊BC的中點，.BC為直徑，根據圓的幾何性質得AB與AC的夾角為90°.題型三利用數量積求向量的模例3(1)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a與b的夾角為120°,則|2a+b|等于(A.2B.4C.2.5D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD/BC,/ADC=90°,AD

14、=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則|PA+3PB|的最小值為.答案(1)A(2)5解析(1)因為平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a與b的夾角為120°,所以|2a+b|="(2ab2+2X|2a|x|b|cos120°=22X12+22+2X2X1X2X12.(2)方法一以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設DC=a,DP=x.D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),PA=(2,-x),PB=(1,a-x),PA+3PB=(5,3a4x),歡迎下載學習好資料|PA+3PB|2=25

15、+(3a-4x)2>25,一 |PA+3PB|的最小值為5.方法二設涼=xDC(0<x<1),PC=(1-x)DC,PA=DADP=DAxDC,217PB=PC+CB=(1x)DC+2DA,>_5，-、 .PA+3PB=2DA+(3-4x)DC,|PA+3PB|2=25dA2+2X|x(3-4x)DAdC+(34x)2DC2=25+(3-4x)2DC2>25, .|PA+3PB|的最小值為5.點評(1)把幾何圖形放在適當的坐標系中，給有關向量賦以具體的坐標求向量的模，如向量a=(x,V),求向量a的模只需利用公式|a|="x2+y2即可求解.(2)向量不

16、放在坐標系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數量積公式，關鍵是會把向量a的模進行如下轉化：|a|=4.1變式訓練3(2015浙江)已知e1,e2是平面單位向重，且e1G2=2.右平面向重b滿足bei=be2=1,則|b|=.答案氣331解析因為冏|=向|=1且e1e2=2.所以e1與e2的夾角為60.又因為ba=b%=1,所以be1-be2=0,即b(e1一62)=0,所以b，(e1e?).所以b與e1的夾角為30。,所以be1=|b|e11cos30=1.所以|b|=2、3學習好資料歡迎下載高考題型精練1.（2015山東）已知菱形ABCD的邊長為a,/AB

17、C=60°,則BDCD等于（）.3A.12aB.-3a43C.4a32D.2a答案D解析如圖所示，由題意，得BC=a,CD=a,/BCD=120°.BD2=BC2+CD22BCCDcos120=a2+a22aax(-尸3a2,BD=3a.y,x>y,f設a,b為平面向量，則(lx,x<y,BDCD=|BD|(3D|cos30=榴2x半=|a2_卜，一一2.(2014浙江)記maxx,y=Sminx,y=hx<y,A.min|a+b|,|ab|<min|a|,|b|B.min|a+b|,|ab|上min|a|,|b|C.max|a+b|2,|a一b|2

18、0|a|2+|b|2D.max|a+b|2,|a-b2刁a|2+|b|2答案D歡迎下載學習好資料解析由于|a+b|,|ab|與|a|,|b|的大小關系與夾角大小有關，故A,B錯.當a,b夾角為銳角時，|a+b|>|ab|,此時，|a+b|2>|a|2+|b|2;當a,b夾角為鈍角時，a+b|<|ab|,此時，|ab|2>|a|2+|b|2;當ab時，|a+b|2=|a-b2=|a|2+|b|2,故選D.3.(2015湖南)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動，且ABBC.若點P的坐標為(2,0),則同+PB+無的最大值為()A.6B.7C.8D.9答案B解析A,B,

19、C在圓x2+y2=1上，且ABXBC,二.AC為圓直徑，故F+PC=2|PO=(-4,0),設B(x,y),則x2+y2=1且xC1,1,國=(x2,y),PA+PB+PC=(x-6,y).故|PA+而+PC|=12x+37,.-.x=-1時有最大值<49=7,故選B.4.如圖，在等腰直角ABO中，OA=OB=1,C為AB上靠近點A的四等分點，過C作AB的垂線l,P為垂線上任一點，設OA=a,OB=b,OP=p,則p(b-a)等于()1B.2“1A.2D.|答案A解析以OA,OB所在直線分別作為x軸，y軸,歡迎下載學習好資料O為坐標原點建立平面直角坐標系,一31則A(1,0),B(0,1

20、),0(-,-),直線i的方程為y；=x5，44即xy=0.21一1設P(x,X2)，則P=(x,x2),而ba=(1,1),1 1所以p(b-a)=-x+(x-)=._.,一心-一心1r.r.一.,.一5 .在平面上，AB/AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB+AB2.若QP|<2,則OA|的取值范圍是()A.(0,呼B.(卓冬0.(£,2D.(£,2答案D解析由題意，知BnB2在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心，2為半徑的圓的內部.又AA,>ap=AB1+Ab2,所以點A在以B1B2為直徑的圓上,當P與O點重合時，|OA|取得最大值V2,歡迎

21、下載學習好資料當p在半彳仝為2的圓周上時，|OA|取得最小值乎,故選D.6 .如圖所示，4ABC中，/ACB=90°且AC=BC=4,點M滿足BM=3MA,則CMCB等于（）B.3D.6A.2C.4答案解析在4ABC中，因為/ACB=90°且AC=BC=4,所以AB=4，2,且B=A=45°.因為bM=3ima,所以bM=：bA.所以cMCb=（5b+Bm）Cb=Cb2+BmCB=CB2+（bAcb=16+3X472x4cos135=4.7 .（2014安徽）設a,b為非零向量，|b|=2|a|,兩組向量xi,x2,X3,X4和必，刈,空,丫4均由2個a和2個b排

22、列而成.若x1y+x2y2+X3y3+x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為（）2兀兀兀A.3B.3CgD.0答案B4解析設a與b的夾角為0,由于xi,y（i=1,2,3,4）均由2個a和2個b排列而成，記S=£i=1（xiyi）,則S有以下三種情況：S=2a2+2b2;S=4ab;S=|a|2+2ab+|b|2.歡迎下載學習好資料|b|=2|a|,中S=10|a|2,中S=81a12cos。，中S=5|a|2+4|a|2cos0.易知最小，即81a12cos0=4|a|2,-cos可求仁協故選B.23、.一.一,一，.一一一.一>_與之->-8.（

23、2014江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8,AD=5,CP=3PD,APBP=2,則ABAD的值是答案22解析由東=3而，得DP=1dC=1AB,Ap=;ad+5p=>aD+1Ab,bp=Ap->ab=>ad+-ab4444之之3一八“r、之17317217f32AB=AD4AB.因為APBP=2,所以（AD+AB）（ADAB）=2,即AD-ADAB-AB=2.又因為AD2=25,AB2=64,所以ABA5=22.9.設非零向量a,b的夾角為0,記f（a,b）=acos0bsina若e1，e2均為單位向量，且研e23=2,則向重f（e1，©2）與f（金

24、,一仇）的夾角為.答案2解析由e1e2=W3,可得cose1，e2=e1e2=坐，2|e1|e2|2二八，,5,5兀故（e1,e2>=一，（色，e1>=兀一（e2,e1>=一66;一、44餡1f（e1'%）=e1cos6一為sin62&-2e2'f（62,e1）=e2cos6一（一e1）sin5jt1近7=2e1-Te23113：3-f（e1,%）f（e2,，）=（2812）（28-2e2）=2e1e2=0,所以f（e1，e2）_Lf（e2,一e1）.歡迎下載學習好資料一一兀故向重f(ei,僉)與f(e2,ei)的夾角為5.10 .如圖，在4ABC中，

25、O為BC中點，若AB=1,AC=3,<AB,AC>=60°,則|OA|=答案卷3解析因為危病=60。，所以母品=|麗|品|360=1X3x=I，又AO=1(aB+AC),所以AO2=1(AB+品)2=4(啟+2苑AC+AC2),即A02=：(i+3+9)=E3,所以|OA尸房.311 .已知向重a=(sinx,4),b=(cosx,1).(1)當a/b時，求cos2xsin2x的值；(2)設函數f(x)=2(a+b)b,已知在ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=於,M6b=2,sinB=-,求f(x)+4cos(2A+6)(x0,3)的取值范圍.解(1)因為a/b,所以3cosx+sinx