1、物理學物理學第五版第五版剛體的轉動習題第 四 章 授課教師：張授課教師：張 偉偉Email: 西南科技大學理學院西南科技大學理學院物理學物理學第五版第五版剛體定軸轉動的幾類問題剛體定軸轉動的幾類問題物理學物理學第五版第五版物理學物理學第五版第五版 1、 一飛輪直徑為一飛輪直徑為0.30m，質量為，質量為5.00kg，邊緣繞有，邊緣繞有繩子，現用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻地加繩子，現用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻地加速速 ，經，經 0.50 s 轉速達轉速達10r/s。假定飛輪可看作實心圓柱。假定飛輪可看作實心圓柱體，求：體，求： （1）飛輪的角加速度及在這段時間內轉過的轉數；）飛輪的

2、角加速度及在這段時間內轉過的轉數； （2）拉力及拉力所作的功；）拉力及拉力所作的功； （3）從拉動后經）從拉動后經 t =10s時飛輪的角速度及輪邊緣上一時飛輪的角速度及輪邊緣上一點的速度和加速度。點的速度和加速度。物理學物理學第五版第五版= 1.26102 rad/s2 =atn2t23.1410 0.51.26102(0.5)2 = 5 21a t2=21N=2= 2.5 rant=2(1)解：解：=aFRJ=5.610-21.26102 0.1547N=A = MFR470.155=111J =aFMRJ=(2)物理學物理學第五版第五版Rv= 0.151.26103 =1.89102 m

3、/s at=Ra= 0.151.26102an2=R= 0.15(1.26103)2 =2.38105 m/s2 = 1.2610210 =1.26103 1/sa t=(3)=18.9m/s2物理學物理學第五版第五版一質量為一質量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如圖所示。軸水平且垂直于輪繞在一輪軸的軸上，如圖所示。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為軸面，其半徑為R，整個裝置架在光滑的固定軸承整個裝置架在光滑的固定軸承之上，當物體從靜止釋放后，在時間之上，當物體從靜止釋放后，在時間t內下降了一內下降了一段距離段距離s，試求整個輪軸的轉動慣量

4、試求整個輪軸的轉動慣量(用用m、R、t和和s表示表示)。物理學物理學第五版第五版解：研究系統，物體和輪軸，當物體下降解：研究系統，物體和輪軸，當物體下降s距離時，距離時，物體和滑輪的運動方程為物體和滑輪的運動方程為 根據根據 物理學物理學第五版第五版 （3）：）：兩均質皮帶輪的半徑分別為兩均質皮帶輪的半徑分別為R1和和R2，質，質量分別為量分別為m1和和m2，都可以視為勻質圓盤，兩輪以，都可以視為勻質圓盤，兩輪以皮帶相連，分別繞兩平行的固定軸皮帶相連，分別繞兩平行的固定軸O1和和O2轉動，轉動，如果在第一輪上作用一力矩如果在第一輪上作用一力矩M，在第二輪上作用，在第二輪上作用有負載力矩有負載力

5、矩M，設皮帶與輪間無滑動，皮帶質量，設皮帶與輪間無滑動，皮帶質量以及兩軸處的磨擦均忽略不計，試求第一皮帶輪以及兩軸處的磨擦均忽略不計，試求第一皮帶輪的角加速度。的角加速度。o1o2MMT1T2T1T2R1R2物理學物理學第五版第五版221121222222121112112121RRMRTRTRmRTRTMRm解根據轉動定律22121121)()(2RRmmMRMRo1o2MT1T2T2R1T1M物理學物理學第五版第五版 （4）長為）長為 l 質量為質量為 m 的均勻桿，在光滑的均勻桿，在光滑桌面上由豎直位置自然倒下，當夾角為桌面上由豎直位置自然倒下，當夾角為時時（見圖），求：（見圖），求：

6、（1）質心的速度；）質心的速度； （2）桿的角速度。）桿的角速度。q qABl物理學物理學第五版第五版0 xc=vcx0=vc=sinq ql2vcy1q qml2cos121+=gm()2122l()m221vc=tddq q解：選質心坐標系解：選質心坐標系由機械能守恒：由機械能守恒：q qlcos2=yctdsin=ycdq ql2tddq qvcyq qABl物理學物理學第五版第五版123q qg2sin+()1q qcos()l1=vcsinq ql2123q qg2sin+()1q qcos()l1=sinq ql2+m21sinq ql4222()ml2241=21q qcosgm

7、2()l將將代入得：代入得：vc1q qml2cos121+=gm()2122l()m221vc物理學物理學第五版第五版一根長為、質量為一根長為、質量為M的勻質棒自由懸掛于的勻質棒自由懸掛于通過其上端的光滑水平軸上。現有一質通過其上端的光滑水平軸上。現有一質量為量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度v0射向棒的中心，射向棒的中心，并以并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏轉角恰為，則大偏轉角恰為，則v0的大小為的大小為 物理學物理學第五版第五版物理學物理學第五版第五版5、一根放在水平光滑桌面上的勻質棒，可繞通過其一一根放在水平光滑桌面上的勻質棒，可繞通過其一端

8、的豎直固定光滑軸端的豎直固定光滑軸 轉動，棒的質量為轉動，棒的質量為 長度為長度為 對軸的轉動慣量為對軸的轉動慣量為 ，初始，初始時棒靜止，今有一水平運動的子彈垂直地射入棒的另時棒靜止，今有一水平運動的子彈垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，子彈的質量一端，并留在棒中，子彈的質量 速率速率 Okgm5 . 1kgm020. 0ml0 . 132mlJ 1400sm問問（1）棒開始和子彈一起轉動時角速度）棒開始和子彈一起轉動時角速度 ？ （2）若棒轉動時受到大小為）若棒轉動時受到大小為 的恒的恒阻力矩作用，棒能轉過的角度阻力矩作用，棒能轉過的角度 ？mNMr0 . 4qJm光o物理學物理學第五版第

9、五版（2）轉動定律）轉動定律Jm光轉動定律：轉動定律：dtdddlmJMrqq)(2qqdlmJdMr)(200（1）角動量守恒）角動量守恒20lmJlm物理學物理學第五版第五版一根質量為一根質量為 m、長度為、長度為 L的勻質細直棒，平的勻質細直棒，平放在水平桌面上。若它與桌面間的滑動摩擦放在水平桌面上。若它與桌面間的滑動摩擦系數為系數為 ，在，在 時，使該棒繞過其一端的豎直時，使該棒繞過其一端的豎直軸在水平桌面上旋轉，其初始角速度為軸在水平桌面上旋轉，其初始角速度為 0，則棒停止轉動所需時間為則棒停止轉動所需時間為 。物理學物理學第五版第五版 求：棒從碰撞求：棒從碰撞開始到停止轉動所開始到

10、停止轉動所用的時間。用的時間。 （12）質量為）質量為m1,長度為長度為 l 的均勻細棒，靜止平的均勻細棒，靜止平放在滑動摩擦系數為放在滑動摩擦系數為的水平桌面上，它可的水平桌面上，它可繞端點繞端點O轉動。另有一水平運動的質量為轉動。另有一水平運動的質量為m2的的小滑塊，它與棒的小滑塊，它與棒的A端相碰撞，碰撞前后的速端相碰撞，碰撞前后的速度分別為度分別為及及 v1v2。Amvl1v21m2O物理學物理學第五版第五版13=Im1l2+=Im vl21m v l22=+mv21mvl123()AOmvl1v21m2解：由角動量守恒得解：由角動量守恒得Im vl21=m vl22棒上棒上dx段與桌

11、面間的摩擦力為：段與桌面間的摩擦力為：gxfmd 1=ld=dMfdx=gxmd 1lxdx段所產生摩擦力力矩為：段所產生摩擦力力矩為：物理學物理學第五版第五版 M0=gxmd 1lxl12=gm 1l=+mv21mvl122() t摩擦力力矩為：摩擦力力矩為：dM=gxmd 1lx由角動量原理：由角動量原理： M0=ttdMt013m1l2=)=13m1l2+mv21mvl123(.所用的時間為：所用的時間為：物理學物理學第五版第五版 * *8 8、 一勻質的薄圓盤狀飛輪，質量為一勻質的薄圓盤狀飛輪，質量為mm，半徑為，半徑為R R，繞，繞過盤心且垂直盤面的豎直軸轉動，軸的摩擦忽略不計。過盤

12、心且垂直盤面的豎直軸轉動，軸的摩擦忽略不計。當它以初角速度當它以初角速度0 0轉動時，由于上下表面受到空氣的轉動時，由于上下表面受到空氣的摩擦阻力矩的作用，會慢慢停下來，假設空氣對盤表面摩擦阻力矩的作用，會慢慢停下來，假設空氣對盤表面任意點附近單位面積上的摩擦力正比于該點處的線速度任意點附近單位面積上的摩擦力正比于該點處的線速度大小，比例常數為大小，比例常數為k k，求它一共能轉多少圈？，求它一共能轉多少圈？ 解此題的關鍵解此題的關鍵是求出是求出摩擦阻力矩摩擦阻力矩。為此首先要明確摩擦阻力矩。為此首先要明確摩擦阻力矩有什么特點？有什么特點？ 因為單位面積受到的摩擦阻力，正比于該點處的線速度，所

13、因為單位面積受到的摩擦阻力，正比于該點處的線速度，所以飛輪轉動時，距轉軸距離相等的各點處，單位面積的摩擦力以飛輪轉動時，距轉軸距離相等的各點處，單位面積的摩擦力大小一樣，方向不同，但它們產生的大小一樣，方向不同，但它們產生的力矩方向相同力矩方向相同。 轉動過程中，由于角速度轉動過程中，由于角速度不斷變化，所以同一點處摩擦力不斷變化，所以同一點處摩擦力的大小也要隨時間變化，是一個的大小也要隨時間變化，是一個變力矩變力矩的問題。的問題。方法：一種是應用轉動定律，一種是應用角動量定理。方法：一種是應用轉動定律，一種是應用角動量定理。物理學物理學第五版第五版方法一：應用轉動定律方法一：應用轉動定律rd

14、rf單位面積元單位面積元所受的摩擦力所受的摩擦力為：為：rkkf圓環上所有面元的力矩方向相同，即均圓環上所有面元的力矩方向相同，即均向里，向里，drrkrdrrrkdM322RdrrkdMM032224Rk物理學物理學第五版第五版由轉動定律由轉動定律qqqddJdddtdJJMrdrf4RkM221mRJ 00202qqmddkR202 kRmq22042kRmNq物理學物理學第五版第五版方法二、角動量定理方法二、角動量定理12d21LLtMtt因為力矩和角動量方向在同一直線因為力矩和角動量方向在同一直線上，上，000JMdtt4RkM004JdtkRt02421qmRkR)(qddt 物理學

15、物理學第五版第五版 （5） 在自由旋轉的水平圓盤邊上，站一在自由旋轉的水平圓盤邊上，站一質量為質量為 m的人。圓盤的半徑為的人。圓盤的半徑為R，轉動慣量為，轉動慣量為J ，角速度為，角速度為。如果這人由盤邊走到盤心，。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統動能的變化。求角速度的變化及此系統動能的變化。 物理學物理學第五版第五版 +=J2RmJEk=Ek Ek =2RmJ21=J+J()2Rm2J22=21J+J2Rm2()2Rm解：系統角動量守恒解：系統角動量守恒 +=J()2RmJ(1)21=+J()2Rm2J2(2)21=J2Ek 物理學物理學第五版第五版 （6） 在半徑為在半徑為

16、R1、質量為、質量為 m 的靜止水的靜止水平圓盤上，站一質量為平圓盤上，站一質量為 m 的人。圓盤可無摩的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉動。當這人擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉動。當這人開始沿著與圓盤同心，半徑為開始沿著與圓盤同心，半徑為R2（R1）的）的圓周勻速地走動時，設圓周勻速地走動時，設他相對于圓盤的速度為他相對于圓盤的速度為 v，問圓盤將以多大的，問圓盤將以多大的角速度旋轉？角速度旋轉？R1R2物理學物理學第五版第五版 =R2v人對盤的角速度人對盤的角速度盤對地的角速度盤對地的角速度由角動量守恒得：由角動量守恒得：0+=R22mJ +=R2+v人對地的角速度人對地的角速度R

17、J1221=m解：解：0=R1221m+R22mR2+v()=R1221m+R2mvR22m=R122+R2vR222R1R2物理學物理學第五版第五版 （7）在一半徑為）在一半徑為 R、質量為、質量為m的水平圓的水平圓盤的邊上，站著一個質量為盤的邊上，站著一個質量為 m的人。這圓的人。這圓盤可繞通過中心的豎直軸轉動，轉軸與軸承盤可繞通過中心的豎直軸轉動，轉軸與軸承之間的摩擦阻力可忽略不計。當人沿盤的邊之間的摩擦阻力可忽略不計。當人沿盤的邊緣走一周回到盤上原緣走一周回到盤上原有位置時，這圓盤將有位置時，這圓盤將轉過多大的角度？轉過多大的角度？Rm m物理學物理學第五版第五版盤對地的角速度盤對地的

18、角速度由角動量守恒得：由角動量守恒得： 0+=R2mJRJ221=m解：解： =Rv人對盤的角速度人對盤的角速度r0=R221m+R2mR+v() r +=R+v人對地的角速度人對地的角速度r=R221m+RmvR2m r Rm m= R21m+m vmr ()物理學物理學第五版第五版t由題意在由題意在時間內，人相對盤轉過的角度為：時間內，人相對盤轉過的角度為： r= R2m+m vm()Rrv2 = 2m+mm()4 rq qt= R+m vm()t2mt在在時間內，盤相對地轉過的角度為：時間內，盤相對地轉過的角度為：R=rvt2R =trvt2q q= 物理學物理學第五版第五版 （8）如圖

19、所示，轉臺繞中心豎直軸以角）如圖所示，轉臺繞中心豎直軸以角速度速度 作勻速轉動。轉臺對該軸的轉動慣量作勻速轉動。轉臺對該軸的轉動慣量J = 51O-5 kg.m。現有砂粒以。現有砂粒以 1 g/s 的速的速度落到轉臺，并粘在臺面形成一半徑度落到轉臺，并粘在臺面形成一半徑 r =0.1m的圓。試求砂粒落到轉臺，使轉臺角速度的圓。試求砂粒落到轉臺，使轉臺角速度變為變為0/2所花的時間。所花的時間。0物理學物理學第五版第五版J2 21+=()0J Jmr0=mdtdtm2Jrmdtd=510-5110-30.12()5s00=221Jm21r=J510-5kg.m21m-3d=td10kg/s已知：

20、已知：解：由角動量守恒解：由角動量守恒2=Jmr0r物理學物理學第五版第五版 （9） 飛輪的質量為飛輪的質量為60kg，直徑為，直徑為0.50m，轉速為轉速為1000rmin，現要求在，現要求在 5s內使其制內使其制動，求制動力動，求制動力 F ,假定閘瓦與飛輪之間的摩擦假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數系數= 0.4，飛輪的質量全部分布在輪的外，飛輪的質量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。周上。尺寸如圖所示。 Fd閘瓦閘瓦0.5m0.75m物理學物理學第五版第五版=3.75kg.m20t=100060n=202=104.7 r/s5t=0fNFNfl1l2RJm2= 60(0.25)2 解：解：104.720.9 r/s250 t=0l1+=()Fl2N l10=RJf =NRl1=Fl1+ l2 RJ = 314N =NRJ 物理學物理學第五版第五版 （10）如圖，滑輪的轉動慣量）如圖，滑輪的轉動慣量 J= 0.5kgm2，半徑，半徑 r =30cm，彈簧的勁度系數為，彈簧的勁度系數為 k =2