1、動態電路的方程及其初始條件動態電路的方程及其初始條件7.1一階電路和二階電路的階躍響應一階電路和二階電路的階躍響應7.7一階電路的零輸入響應一階電路的零輸入響應7.2一階電路和二階電路的沖激響應一階電路和二階電路的沖激響應7.8*一階電路的零狀態響應一階電路的零狀態響應7.3卷積積分卷積積分7.9*一階電路的全響應一階電路的全響應7.4狀態方程狀態方程7.10*二階電路的零輸入響應二階電路的零輸入響應7.5二階電路的零狀態響應和全響應二階電路的零狀態響應和全響應7.6動態電路時域分析中的幾個問題動態電路時域分析中的幾個問題7.11*首首 頁頁本章重點本章重點第第7 7章章 一階電路和二階電路一

2、階電路和二階電路的時域分析的時域分析2.2.一階和二階電路的零輸入響應、零狀態響一階和二階電路的零輸入響應、零狀態響應和全響應的概念及求解；應和全響應的概念及求解；l 重點重點3.3.一階和二階電路的階躍響應概念及求一階和二階電路的階躍響應概念及求解。解。1.1.動態電路方程的建立及初始條件的確定；動態電路方程的建立及初始條件的確定；返 回含有動態元件電容和電感的電路稱動態電路。含有動態元件電容和電感的電路稱動態電路。1 1. . 動態電路動態電路 7.1 7.1 動態電路的方程及其初始條件動態電路的方程及其初始條件 當動態電路狀態發生改變時（換路）需要當動態電路狀態發生改變時（換路）需要經歷

3、一個變化過程才能達到新的穩定狀態。這經歷一個變化過程才能達到新的穩定狀態。這個變化過程稱為電路的過渡過程。個變化過程稱為電路的過渡過程。下 頁上 頁特點返 回例例0ti2/RUiS)(21RRUiS過渡期為零過渡期為零電阻電路電阻電路下 頁上 頁+-usR1R2（t = 0）i返 回i = 0 , uC= Usi = 0 , uC = 0 k接通電源后很長時間接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路，電容充電完畢，電路達到新的穩定狀態：達到新的穩定狀態：S未動作前未動作前，電路處于穩定狀態：，電路處于穩定狀態：電容電路電容電路下 頁上 頁S+uCUsRCi (t = 0)+- - (t )+uC

4、UsRCi+- -前一個穩定狀態前一個穩定狀態過渡狀態過渡狀態新的穩定狀態新的穩定狀態t1USuct0?iRUS有一過渡期有一過渡期返 回uL= 0, i=Us /Ri = 0 , uL = 0 k接通電源后很長時間接通電源后很長時間，電路達到新的穩定，電路達到新的穩定狀態，電感視為短路：狀態，電感視為短路：S未動作前未動作前，電路處于穩定狀態：，電路處于穩定狀態：電感電路電感電路下 頁上 頁S+uLUsRi (t = 0)+- -L (t )+uLUsRi+- -前一個穩定狀態前一個穩定狀態過渡狀態過渡狀態新的穩定狀態新的穩定狀態t1US/Rit0?uLSU有一過渡期有一過渡期返 回下 頁上

5、 頁 (t )+uLUsRi+- -S未動作前未動作前，電路處于穩定狀態：，電路處于穩定狀態：uL= 0, i=Us /RS斷開瞬間斷開瞬間i = 0 , uL = 工程實際中在切斷電容或電感電路時工程實際中在切斷電容或電感電路時會出現過電壓和過電流現象。會出現過電壓和過電流現象。注意S (t )+uLUsRi+- -返 回下 頁上 頁返 回500kV斷路器斷路器過渡過程產生的原因過渡過程產生的原因 電路內部含有儲能元件電路內部含有儲能元件 L、C，電路在換路時，電路在換路時能量發生變化，而能量發生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。時間來完成。twp電

6、路結構、狀態發生變化電路結構、狀態發生變化換路換路支路接入或斷開支路接入或斷開電路參數變化電路參數變化p0 t下 頁上 頁返 回)(ddSCCtuutuRC應用應用KVL和電容的和電容的VCR得：得：若以電流為變量：若以電流為變量：)(d1StutiCRittuCitiRd)(dddS2 2. . 動態電路的方程動態電路的方程下 頁上 頁 (t 0)+uCUsRCi+- -)(SCtuuRituCiddC例例RC電路電路返 回)(SLtuuRi)(ddStutiLRi應用應用KVL和電感的和電感的VCR得得：tiLuddL若以電感電壓為變量：若以電感電壓為變量：)(dSLLtuutuLRttu

7、tuuLRd)(dddSLL下 頁上 頁 (t 0)+uLUsRi+- -RL電路電路返 回有源有源 電阻電阻 電路電路 一個動一個動態元件態元件一階一階電路電路下 頁上 頁結論 含有一個動態元件電容或電感的線性電含有一個動態元件電容或電感的線性電路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱一階電路。一階電路。返 回)(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC)(SCtuuuRiL二階電路二階電路tuCiddC2C2ddddtuLCtiLuL下 頁上 頁 (t 0)+uLUsRi+- -CuCRLC電路電路應用應用KVL和元件的和元件的VCR得得： 含有二個動

8、態元件的線性電路，其電路方程含有二個動態元件的線性電路，其電路方程為二階線性常微分方程，稱二階電路。為二階線性常微分方程，稱二階電路。返 回一階電路一階電路一階電路中只有一個動態元件一階電路中只有一個動態元件, ,描述描述電路的方程是一階線性微分方程。電路的方程是一階線性微分方程。描述動態電路的電路方程為微分方程；描述動態電路的電路方程為微分方程；動態電路方程的階數通常等于電路中動動態電路方程的階數通常等于電路中動態元件的個數。態元件的個數。0)(dd01ttexatxa0)(dddd01222ttexatxatxa二階電路二階電路二階電路中有二個動態元件二階電路中有二個動態元件, ,描述描述

9、電路的方程是二階線性微分方程。電路的方程是二階線性微分方程。下 頁上 頁結論返 回高階電路高階電路電路中有多個動態元件，描述電路中有多個動態元件，描述電路的方程是高階微分方程。電路的方程是高階微分方程。0)(dddddd01111ttexatxatxatxannnnnn動態電路的分析方法動態電路的分析方法根據根據KVL、KCL和和VCR建立微分方程；建立微分方程；下 頁上 頁返 回復頻域分析法復頻域分析法時域分析法時域分析法求解微分方程求解微分方程經典法經典法狀態變量法狀態變量法數值法數值法卷積積分卷積積分拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法狀態變量法狀態變量法付氏變換付氏變換本章本章采用采用 工程中

10、高階微分方程應用計算機輔助分析求解。工程中高階微分方程應用計算機輔助分析求解。下 頁上 頁返 回穩態分析和動態分析的區別穩態分析和動態分析的區別穩態穩態動態動態換路發生很長時間后狀態換路發生很長時間后狀態微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激勵恒定或周期性激勵換路發生后的整個過程換路發生后的整個過程微分方程的通解微分方程的通解任意激勵任意激勵SUxatxa01dd0 dtdx tSUxa 0下 頁上 頁直流時直流時返 回 t = 0與與t = 0的概念的概念認為換路在認為換路在t=0時刻進行時刻進行0 換路前一瞬間換路前一瞬間 0 換路后一瞬間換路后一瞬間3.3.電路的初始條件電路的初始條

11、件)(lim)0(00tfftt)(lim)0(00tfftt初始條件為初始條件為 t = 0時時u ，i 及其各階導數及其各階導數的值。的值。下 頁上 頁注意0f(t)0()0( ff00)0()0( fft返 回圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求求開關閉合后電容電壓隨時間的變化。開關閉合后電容電壓隨時間的變化。例例解解0ddccutuRC)0( 0tuRic特征根方程：特征根方程：01RCpRCp1通解：通解：oUk RCtptckeketu)(代入初始條件得：代入初始條件得：RCtoceUtu )( 在動態電路分析中，初始條件是得在動態電路分

12、析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。到確定解答的必需條件。下 頁上 頁明確R+CiuC(t=0)返 回d)(1)(tCiCtud)(1d)(100tiCiCd)(1)0(0tCiCut = 0+ 時刻時刻d)(1)0()0(00iCuuCCiucC+-電容的初始條件電容的初始條件0下 頁上 頁當當i()為有限值時為有限值時返 回q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0) 換路瞬間，若電容電流保持為有限值，換路瞬間，若電容電流保持為有限值， 則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。q =C uC電荷電荷守恒守恒下 頁上 頁結論返 回d)(1)

13、(tLuLtid) )(1d)(100tuLuLd)(1)0()0(00uLiiLL電感的初始條件電感的初始條件t = 0+時刻時刻0d)(1)0(0tLuLi下 頁上 頁當當u為有限值時為有限值時iLuL+-返 回L (0)= L (0)iL(0)= iL(0)LLi 磁鏈磁鏈守恒守恒 換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，換路瞬間，若電感電壓保持為有限值， 則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。下 頁上 頁結論返 回L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)換路定律換路定律電容電流和電感

14、電壓為有限值是換路定電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。律成立的條件。 換路瞬間，若電感電壓保持換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路前后保持不變。 換路瞬間，若電容電流保持換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。換路前后保持不變。換路定律反映了能量不能躍變。換路定律反映了能量不能躍變。下 頁上 頁注意返 回電路初始值的確定電路初始值的確定(2)由換路定律由換路定律 uC (0+) = uC (0)=8VmA2 . 010810)0(Ci(1) 由由0電路求電路

15、求 uC(0)uC(0)=8V(3) 由由0+等效電路求等效電路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1求求 iC(0+)電電容容開開路路下 頁上 頁+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效電路等效電路+-10ViiC10k電電容容用用電電壓壓源源替替代代注意返 回)0()0(LLuuiL(0+)= iL(0) =2AV842)0(Lu例例 2t = 0時閉合開關時閉合開關k , ,求求 uL(0+)先求先求A24110)0(Li應用換路定律應用換路定律: :電電感感用用電電流流源源替替代代)0( Li解解電感電感短路短路下 頁上 頁iL+

16、uL-L10VS14+-iL10V14+-由由0+等效電路求等效電路求 uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返 回求初始值的步驟求初始值的步驟: :1.1.由換路前電路（穩定狀態）求由換路前電路（穩定狀態）求uC(0)和和iL(0)；2.2.由換路定律得由換路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3.3.畫畫0+等效電路。等效電路。4.4.由由0+電路求所需各變量的電路求所需各變量的0+值。值。b. b. 電容（電感）用電壓源（電流源）替代。電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a. a. 換路后的電路換路后的電路（取（取0+時刻值，方向與原假定的電容電壓、電時刻值，方向與原假定的電容

17、電壓、電感電流方向相同）。感電流方向相同）。下 頁上 頁小結返 回iL(0+) = iL(0) = iSuC(0+) = uC(0) = RiSuL(0+)= - RiS求求 iC(0+) , uL(0+)0)0(RRiiiSsC例例3解解由由0電路得電路得：下 頁上 頁由由0+電路得電路得：S(t=0)+uLiLC+uCLRiSiCRiS0電路電路uL+iCRiSRiS+返 回V24122)0()0(CCuuA124/48)0()0(LLii例例4求求k閉合瞬間各支路電流和電感電壓閉合瞬間各支路電流和電感電壓解解A83/ )2448()0(CiA20812)0(iV2412248)0(Lu下

18、 頁上 頁由由0電路得電路得：由由0+電路得電路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+uC返 回12A24V+-48V32+-iiC+-uL求求S閉合瞬間流過它的電流值閉合瞬間流過它的電流值解解 確定確定0值值A12020)0()0(LLiiV10)0()0(CCuu給出給出0等效電路等效電路A2110101020)0(kiV1010)0()0(LLiuA110/ )0()0(CCui下 頁上 頁例例5iL+20V-10+uC1010iL+20V-LS10+uC1010C返 回1A10Vki+uLiC+20V-10+10107.2 7.2 一階電路的零輸入響應一階電路的零

19、輸入響應換路后外加激勵為零，僅由換路后外加激勵為零，僅由動態元件初始儲能產生的電動態元件初始儲能產生的電壓和電流。壓和電流。1.1.RC電路的零輸入響應電路的零輸入響應已知已知 uC (0)=U00CRuutuCiCdd uR= Ri零輸入響應零輸入響應下 頁上 頁iS(t=0)+uRC+uCR返 回0)0(0ddUuutuRCCCCRCp1 特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=0tRC eA1 ptCeAu 則則下 頁上 頁代入初始值代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0iS(t=0)+uRC+uCR返 回000teIeRURuiRCtRCtC0 0teUuRCtcRCtR

20、CtCeRURCeCUtuCi00)1(dd 下 頁上 頁或或返 回i(t0)+uRC+uCRtU0uC0I0ti0令令 =RC , , 稱稱為一階電路的時間常數為一階電路的時間常數 秒伏安秒歐伏庫歐法歐 RC電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；連續連續函數函數躍變躍變響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與RC有關有關; ;下 頁上 頁表明返 回時間常數時間常數 的大小反映了電路過渡過程時間的長短的大小反映了電路過渡過程時間的長短 = RC 大大過渡過程時間長過渡過程時間長 小小過渡過程時間短過渡過程時間

21、短電壓初值一定：電壓初值一定：R 大大（ C一定一定） i=u/R 放電電流小放電電流小放電時間長放電時間長U0tuc0 小 大C 大大（R一定一定） W=Cu2/2 儲能大儲能大11 RCp物理含義物理含義下 頁上 頁返 回a. :電容電壓衰減到原來電壓電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。所需的時間。工程上認為工程上認為, , 經過經過 35 , 過渡過程結束。過渡過程結束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5t ceUu 0U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 下 頁上 頁注意b. 時間常數時間常數 的

22、幾何意義：的幾何意義：返 回 t2 t1 t1時刻曲線的斜率等于時刻曲線的斜率等于211C1C0C0)()(1dd11tttutueUtutttU0tuc0t1t2)(368. 0)(1C2Ctutu次切距的長度次切距的長度下 頁上 頁RCteUu 0C返 回能量關系能量關系tRiWRd02電容不斷釋放能量被電阻吸收電容不斷釋放能量被電阻吸收, , 直到全部消耗完畢直到全部消耗完畢. .設設 uC(0+)=U0電容放出能量：電容放出能量： 2021CU電阻吸收（消耗）能量：電阻吸收（消耗）能量：tReRURCtd)(2 002021CUteRURCtd2 02002 20| )2(RCteRC

23、RU下 頁上 頁uCR+C返 回例例1圖示電路中的電容原充有圖示電路中的電容原充有24V電壓，求電壓，求k閉合后，閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規律。電容電壓和各支路電流隨時間變化的規律。解解這是一個求一階這是一個求一階RC 零輸入響應問題，有：零輸入響應問題，有：+uC45Fi1t 0等效電路等效電路0 0CteUuRCt下 頁上 頁i3S3+uC265Fi2i1s 2045 V 240RCU返 回+uC45Fi10 V2420 teutc分流得：分流得：A6420 1tCeui 202112A3tiie 203124A3tiie下 頁上 頁i3S3+uC265Fi2i1返 回下

24、頁上 頁例例2求求:(1)圖示電路圖示電路S閉合后各元件的電壓和電流隨閉合后各元件的電壓和電流隨時間變化的規律，時間變化的規律，(2）電容的初始儲能和最終時電容的初始儲能和最終時刻的儲能及電阻的耗能。刻的儲能及電阻的耗能。解解這是一個求一階這是一個求一階RC 零輸入響應問題，有：零輸入響應問題，有：F42112CCCCCu (0+)=u(0)=-20V返 回u1（0-）=4VuSC1=5F+-iC2=20Fu2（0-）=24V250k+下 頁上 頁uS4F-+-+i20V250k020 teuts 1104052 3RCA80102503teui1100111(0)( )480d5 (2016

25、)Vttttuui detCeV)204( d8020124d)(1(0)00222tttteteiCuu返 回下 頁上 頁J40)16105(216-1wJ50005800 初始儲能初始儲能J5760)241020(2126-2w最終儲能最終儲能-62121(520) 10205000 J2www電阻耗能電阻耗能J800d)80(10250d02302RtttetRiw返 回思考題思考題下 頁上 頁返 回+uC1R1C1+uC2R2C2兩個兩個RC 放電電路，已知放電電路，已知1 2 ，問：，問：(1)(1)電容放電到同一電壓值時花費的電容放電到同一電壓值時花費的時間是時間是t t1 1 t

26、 t2 2? ?或或 t1=t2?或或t10下 頁上 頁iLS(t=0)USL+uLRR1+-iL+uLR返 回RLt LLeRItiLtu/0)( dd0)(/ 0teItiRLtLtI0iL0連續連續函數函數躍變躍變電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；下 頁上 頁表明-RI0uLt0iL+uLR返 回響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與L/R有關有關; ;下 頁上 頁秒歐安秒伏歐安韋歐亨 RL 令令 稱為一階稱為一階RL電路時間常數電路時間常數 = L/R時間常數時間常數 的大小反映了電路過渡過程時

27、間的長短的大小反映了電路過渡過程時間的長短L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 放電過程消耗能量小放電過程消耗能量小放電慢，放電慢， 大大 大大過渡過程時間長過渡過程時間長 小小過渡過程時間短過渡過程時間短物理含義物理含義電流初值電流初值iL(0)一定：一定：返 回能量關系能量關系tRiWRd 02電感不斷釋放能量被電阻吸收電感不斷釋放能量被電阻吸收, , 直到全部消耗完畢。直到全部消耗完畢。設設 iL(0+)=I0電感放出能量：電感放出能量： 2021LI電阻吸收（消耗）能量：電阻吸收（消耗）能量：tReIRLt d2/00)( 2021LI teRIRLt d/

28、2020 0220| )2/(RCt eRLRI下 頁上 頁iL+uLR返 回iL (0+) = iL(0) = 1 AuV (0+)= 10000V 造成造成V損壞。損壞。例例1t=0時時, ,打開開關打開開關S，求求uv0/ t eit L。電壓表量程：。電壓表量程：50VsRRLV4104100004 0100002500 teiRutLVV解解下 頁上 頁iLS(t=0)+uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+ +- -返 回例例2t=0時時, ,開關開關S由由12，求求電感電壓和電流及電感電壓和電流及開關兩端電壓開關兩端電壓u12。s 166RL解解A26366/32

29、424)0()0(LLii66/)42(3 R下 頁上 頁i+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212返 回0 V12A 2 tetiLueitLLtLddV424242412tLeiu下 頁上 頁i+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212返 回一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應起的響應, , 都是由初始值衰減為零的指數衰減都是由初始值衰減為零的指數衰減函數。函數。teyty )0()(iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC電路電路RL電路電路下 頁上 頁小結返 回一

30、階電路的零輸入響應和初始值成正比，一階電路的零輸入響應和初始值成正比，稱為零輸入線性。稱為零輸入線性。衰減快慢取決于時間常數衰減快慢取決于時間常數 同一電路中所有響應具有相同的時間常數。同一電路中所有響應具有相同的時間常數。下 頁上 頁小結 = R C = L/RR為與動態元件相連的一端口電路的等效電阻。為與動態元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路電路RL電路電路返 回動態元件初始能量為零，由動態元件初始能量為零，由t 0電電路中外加激勵作用所產生的響應。路中外加激勵作用所產生的響應。SCCddUutuRC方程：方程：7.3 7.3 一階電路的零狀態響應一階電路的零狀態響應 解答形式為：解

31、答形式為：CCCuuu 1.1.RC電路的零狀態響應電路的零狀態響應零狀態響應零狀態響應非齊次方程特解非齊次方程特解齊次齊次方程方程通解通解下 頁上 頁iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0+非齊次線性常微分方程非齊次線性常微分方程返 回與輸入激勵的變化規律有關，為電路的穩態解與輸入激勵的變化規律有關，為電路的穩態解RCtAeu C變化規律由電路參數和結構決定變化規律由電路參數和結構決定的通解的通解0ddCCutuRCSCUu 通解（自由分量，暫態分量）通解（自由分量，暫態分量）Cu 特解（強制分量）特解（強制分量）CuSCCddUutuRC的特解的特解下 頁上 頁返 回全解全解u

32、C (0+)=A+US= 0 A= US由初始條件由初始條件 uC (0+)=0 定積分常數定積分常數 ARCtAeUuutu SCCC)(下 頁上 頁) 0( )1 ( S SSCteUeUUuRCtRCt從以上式子可以得出：從以上式子可以得出：RCteRUtuCiSCdd返 回-USuCuC“UStiRUS0tuC0電壓、電流是隨時間按同一指數規律變化的函電壓、電流是隨時間按同一指數規律變化的函數；電容電壓由兩部分構成：數；電容電壓由兩部分構成：連續連續函數函數躍變躍變穩態分量（強制分量）穩態分量（強制分量）暫態分量（自由分量）暫態分量（自由分量）下 頁上 頁表明+返 回響應變化的快慢，由

33、時間常數響應變化的快慢，由時間常數 RC決定；決定； 大，大，充電慢，充電慢， 小充電就快。小充電就快。響應與外加激勵成線性關系；響應與外加激勵成線性關系；能量關系能量關系2S21CU電容儲存能量：電容儲存能量：電源提供能量：電源提供能量：2SS0SdCUqUtiU2S21CU電阻消耗能量：電阻消耗能量：tRRUtRiRCted)(d20S02 電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。轉換成電場能量儲存在電容中。下 頁上 頁表明RC+-US返 回例例1t=0時時, ,開關開關S閉合，已知閉合，已知 uC(0)=0，求求(1)電容電容電

34、壓和電流電壓和電流, ,(2) uC80V時的充電時間時的充電時間t 。解解 (1)(1)這是一個這是一個RC電路零電路零狀態響應問題，有：狀態響應問題，有：)0( V)1 (100 )1 (200 SCt-eeUut-RCts1051050035RCA2 . 0d200SCtRCteeRUtuCid(2)(2)設經過設經過t1秒秒，uC80V .t-et-s0458)1 (1008012001m下 頁上 頁50010F+-100VS+uCi返 回例例2t=0時時, ,開關開關S閉合，已知閉合，已知 uC(0)=0,用示波器用示波器觀觀測電流波形測電流波形, ,測得電流的初值為測得電流的初值為

35、10mA，電流在電流在0.1s時接近零。求：時接近零。求：R、C、i(t) 。解解這是一個這是一個RC電路零狀態電路零狀態響應問題，有：響應問題，有：mA1010100) 0(3RiF5 . 210025. 04RC設設 t4 時時 i=0 etit-mA10)(40下 頁上 頁返 回RC+-100VS+uCi示波器示波器s025. 041 . 0104R2. 2. RL電路的零狀態響應電路的零狀態響應SLLUiRtiLdd)1 (SLtLReRUi已知已知iL(0)=0，電路方程為：，電路方程為：LLLiii tiLRUS0RUiSLA0)0(tLRAeRUS下 頁上 頁iLS(t=0)US

36、+uRL+uLR+返 回)1 (SLtLReRUitLReUtiLuSLLdduLUSt0下 頁上 頁iLS(t=0)US+uRL+uLR+返 回例例1t=0時時, ,開關開關S打開，求打開，求t 0后后iL、uL的變化規律。的變化規律。解解這是這是RL電路零狀態響應問題，先化簡電路，有：電路零狀態響應問題，先化簡電路，有：200300/20080eqRs01. 0200/2/eqRLt 0下 頁上 頁A10)(LiA)1 (10)(100LtetiV200010)(100100eqLtteeRtu返 回iLS+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReq例例2t=0開關開關k打

37、開，求打開，求t 0后后iL、uL及電流源的電壓。及電流源的電壓。解解 這是這是RL電路零狀態響應問題，先化簡電路，有：電路零狀態響應問題，先化簡電路，有：201010eqRV201020Us1 . 020/2/eqRL下 頁上 頁iL+uL2HUoReq+t 0A1/)(eq0RUiLA)1 ()(10tLetiV20)(10100ttLeeUtu)V1020(10510StLLeuiIu返 回iLK+uL2H102A105+u7.4 7.4 一階電路的全響應一階電路的全響應電路的初始狀態不為零，同時又有外電路的初始狀態不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產生的響應。加激勵源作用時電路中產

38、生的響應。SddUutuRCCC以以RC電路為例，電路微分方程：電路為例，電路微分方程：1. 1. 全響應全響應全響應全響應下 頁上 頁iS(t=0)US+uRC+uCR解答為：解答為： uC(t) = uC + uC特解特解 uC = US通解通解tCAeu = RC返 回uC (0)=U0uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由初始值定由初始值定A下 頁上 頁0)(0 teUUUAeUutSStSC強制分量強制分量( (穩態解穩態解) )自由分量自由分量( (暫態解暫態解) )返 回2. 2. 全響應的兩種分解方式全響應的兩種分解方式uC-USU0暫態解暫態解uCUS穩態解穩態

39、解U0uc全解全解tuc0全響應全響應 = 強制分量強制分量( (穩態解穩態解) )+ +自由分量自由分量( (暫態解暫態解) )著眼于電路的兩種工作狀態著眼于電路的兩種工作狀態物理概念清晰物理概念清晰下 頁上 頁返 回全響應全響應 = = 零狀態響應零狀態響應 + + 零輸入響應零輸入響應)0()1 (0 teUeUuttSC著眼于因果關系著眼于因果關系便于疊加計算便于疊加計算下 頁上 頁零輸入響應零輸入響應零狀態響應零狀態響應S(t=0)USC+RuC (0)=U0+S(t=0)USC+RuC (0)=U0S(t=0)USC+RuC (0)= 0返 回)0()1 (0 teUeUuttSC

40、零狀態響應零狀態響應零輸入響應零輸入響應tuc0US零狀態響應零狀態響應全響應全響應零輸入響應零輸入響應U0下 頁上 頁返 回例例1 t=0 時時 , ,開關開關k打開，求打開，求t 0后的后的iL、uL。解解 這是這是RL電路全響應問題，電路全響應問題，有：有：s20/112/6 . 0/RLA64/24)0()0(LLiiA6)(20tLeti零輸入響應：零輸入響應：A)1 (1224)(20tLeti零狀態響應：零狀態響應：A42)1 (26)(202020tttLeeeti全響應：全響應：下 頁上 頁iLS(t=0)+24V0.6H4+uL8返 回或求出穩態分量：或求出穩態分量：A21

41、2/24)(Li全響應：全響應：A2)(20 tLAeti代入初值有：代入初值有：62AA=4例例2 t=0時時 , ,開關開關K閉合閉合，求求t 0后的后的iC、uC及電及電流源兩端的電壓。流源兩端的電壓。解解這是這是RC電路全響電路全響應問題，有：應問題，有：)1,V1)0(FCuC下 頁上 頁穩態分量：穩態分量：V11110)(Cu返 回+10V1A1+uC1+u1V1011)(5 . 0tCetuA5)(5 . 0tCCetutiddV512111)(5 . 0tCCeuitu下 頁上 頁s21) 11 ( RC全響應：全響應：V11)(5 . 0tCAetu返 回+10V1A1+uC

42、1+u13. 3. 三要素法分析一階電路三要素法分析一階電路一階電路的數學模型是一階線性微分方程：一階電路的數學模型是一階線性微分方程：teAtftf )()(令令 t = 0+Atff 0)()0( 0)()0(tffAcbftfadd其解答一般形式為：其解答一般形式為：下 頁上 頁特特解解返 回tefftftf )0()0()()( 時間常數時間常數初始值初始值穩態解穩態解三要素三要素 f f )0()( 分析一階電路問題轉為求解電路的三分析一階電路問題轉為求解電路的三個要素的問題。個要素的問題。用用0+等效電路求解等效電路求解用用t的穩態的穩態電路求解電路求解下 頁上 頁直流激勵時：直流

43、激勵時：)()0()(fftfteffftf )()0()()(A注意返 回V2)0()0(CCuuV667. 01) 1/2()(Cus2332eqCR033. 1667. 0)667. 02(667. 05 . 05 . 0 t eeuttC例例1已知：已知：t=0 時合開關，求換路后的時合開關，求換路后的uC(t)解解tuc2(V)0.6670tCeuuutu)()0()()(CCC下 頁上 頁1A213F+-uC返 回例例2t=0時時 , ,開關閉合，求開關閉合，求t 0后的后的iL、i1、i2解解三要素為：三要素為：s5/1)5/5/(6 . 0/RLA25/10)0()0(LLii

44、A65/205/10)(Li下 頁上 頁iL+20V0.5H55+10Vi2i1tLLLLeiiiti )()0()()(三要素公式三要素公式046)62(6)(55 t eetittLV10)5()4(5 . 0)(55ttLLeetiLtuddA225/ )10()(51tLeutiA245/ )20()(52tLeuti返 回三要素為：三要素為：s5/1)5/5/(6 . 0/RLA25/10)0()0(LLiiA65/205/10)(Li046)62(6)(55 t eetittLA22)20(2)(551tteetiA24)42(4)(552tteetiA0110)2010()0(1

45、iA2110)1020()0(2iA25/10)(1iA45/20)(2i下 頁上 頁0等效電路等效電路返 回+20V2A55+10Vi2i1例例3已知：已知：t=0時開關由時開關由12，求換路后的求換路后的uC(t)解解三要素為：三要素為：V12624)(111iiiuCV8)0()0(CCuu下 頁上 頁4+4i12i1u+10/1011 iuRiueq2A410.1F+uC+4i12i18V+12返 回teuuutu)()0()()(CCCCV201212812)(Ctteetu下 頁上 頁s11 . 010eqCR例例4已知：已知：t=0時開關閉合，求換路后的電流時開關閉合，求換路后的

46、電流i(t) 。+1H0.25F52S10Vi解解三要素為：三要素為：V10)0()0(CCuu0)( Cus5 . 025. 02eq1CR返 回V10)()0()()(2CCCCtteeuuutu0)0()0( LLiiA25/10)(Lis2 . 05/1/2eqRLA)1 (2)()0()()(5ttLLLLeeiiiti)A5)1 (2(2)()()(25ttCLeetutiti下 頁上 頁+1H0.25F52S10Vi返 回已知：電感無初始儲能已知：電感無初始儲能t = 0 時合時合S1 , t =0.2s時合時合S2 ，求兩次換路后的電感電流，求兩次換路后的電感電流i(t)。0

47、t 0.2sA52/10)(5 . 02/1/A26. 1)2 . 0(2iRLi26. 122)2 . 0(2 . 05 eiA74. 35)()2 . 0(2teti下 頁上 頁i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-返 回tei522(0 t 0.2s)2 .0(274.35tei( t 0.2s)下 頁上 頁it(s)0.25(A)1.2620返 回例例1. 1. RC電路在單個脈沖作用的響應電路在單個脈沖作用的響應10Ttus(1) 0tTRCTtcccceuTuutu)()()()(V1)()(RCTcceTuTuV0)(cuRC TteetuRCTtRCTc,V)1 (

48、)(TttutucR,V)()(TteRetiRCTtRCT,A1)(uc(t )uR(t )t0下 頁上 頁t0(a) T, uc為輸出為輸出t0輸出近似為輸入的積輸出近似為輸入的積分分uCTT下 頁上 頁RCusuRuci2. 2. 脈沖序列分析脈沖序列分析t0(a) T U1U2ucuR上 頁下 頁RCusuRuci7.7 7.7 一階電路的階躍響應一階電路的階躍響應1. 1. 單位階躍函數單位階躍函數l 定義定義 )0(1)0(0)(t t tt (t)01l 單位階躍函數的延遲單位階躍函數的延遲 )(1)(0)(000tt tt ttt (t-t0)t001下 頁上 頁返 回t =

49、0 合閘合閘 i(t) = Is)(t在電路中模擬開關的動作在電路中模擬開關的動作t = 0 合閘合閘 u(t) = Us)(tl 單位階躍函數的作用單位階躍函數的作用下 頁上 頁SUSu(t)(StUu(t)返 回Is)(tik)(tISu(t)起始一個函數起始一個函數tf (t)0)()sin(00tttt t0延遲一個函數延遲一個函數下 頁上 頁tf(t)0t0)()sin(tt)()sin(0ttt 返 回l 用單位階躍函數表示復雜的信號用單位階躍函數表示復雜的信號例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0) 4() 3() 1(2)(

50、ttttf例例 21t1 f(t)0243下 頁上 頁返 回) 1()1()()( tttttf例例 41t1 f(t)0) 1() 1()( tttt) 1() 1( tt)(tt)4() 3() 1()()( tt tttf例例 31t1 f(t)0243下 頁上 頁返 回)()() 1 (tt u 例例 5t1 02已知電壓已知電壓u(t)的波形如圖，的波形如圖，試畫出下列電壓的波形。試畫出下列電壓的波形。)1()2()4( tt u ) 1() 1()3( tt u )() 1()2(tt u t1 u(t)022t1 011t 1 01 t1021下 頁上 頁返 回)( )1 ()(

51、 tetuRCtC)( 1)( teRtiRCt)( teiRCt和和0 teiRCt的區別的區別2. 2. 一階電路的階躍響應一階電路的階躍響應激勵為單位階躍函數時，電路激勵為單位階躍函數時，電路中產生的零狀態響應。中產生的零狀態響應。階躍響應階躍響應下 頁上 頁iC +uCRuC (0)=0)( t注意返 回)( teiRCt0 teiRCtt01it01i下 頁上 頁tuC10返 回tiC0激勵在激勵在 t = t0 時加入，時加入，則響應從則響應從t =t0開始。開始。t- t0RCCeRi 1( t - t0 )(10 tteRRC- t不要寫為：不要寫為：下 頁上 頁iC (t -

52、t0)C +uCRR1t0注意返 回)5 . 0(10)(10ttuS求圖示電路中電流求圖示電路中電流 iC(t）例例下 頁上 頁10k10kus+-ic100FuC(0)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0)=0等效等效返 回)5 . 0(10)(10ttuS應用疊加定理應用疊加定理下 頁上 頁)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F)(t5k+-ic100Fs5 . 01051010036RCmA )( 51dd2CtetuCitC)( )1 ()(2t tetuC階躍響應為：階躍響應為：返 回由齊次性和疊加性得實際響應為：由齊

53、次性和疊加性得實際響應為：)5 . 0(51)(51 5)5 . 0(22teteittCmA)5 . 0()()5 . 0(22tetett下 頁上 頁)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F返 回)5 . 0()()5 . 0(22teteittC0)5 . 0( 1)( 5 . 00ttttei2C)5 .0(21)5 .0(2)5 .0(22C632.0 )1(tttteeeeei下 頁上 頁1)5 . 0( 1)( 0.5sttt分段表示為：分段表示為：返 回分段表示為：分段表示為：s)0.5(mA 0.632-s)5 . 0(0 mA )(5)0.-2(-

54、2C tetetittt(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.368下 頁上 頁)5 .0(632.0 )5 .0()()5 .0(22tetteittC返 回S( )(1)it tt t求圖示電路中電流求圖示電路中電流 i(t）例例下 頁上 頁等效等效返 回11t(s)is(A)0( )(1) (1)(1)t tt t t3isi1H5+-3isi1H2下 頁上 頁/1/50.2sL R( )( )d ( ) (1)d (1) (1) (1) mAi tS tt tS tt tS t t 5t3( )(1) ( )5S te t階躍響應為：階躍響應為：返 回3isi1H5+-s

55、( ) (1) (1) (1)it tt t t已知電容初始電壓為已知電容初始電壓為U0，求，求: : t0后，運放的輸出后，運放的輸出電壓電壓uo(t)。例例解解1下 頁上 頁返 回+_+_uoCuS=U(t)R2R10o)0( Uu12o)( RURu_+iR2R12 EiRCR2 2eq RR CRteRURURURtu2)()( 12012o三要素法三要素法解解2下 頁上 頁返 回+_+_uoCuS=U(t)R2R1ooS21d duuUCtRR 12o)( RURuCRteRURURURtu2)()( 12012o列微分方程列微分方程特解：特解：特征方程：特征方程：21 0CpR特征

56、根：特征根：21 pCR 7.5 7.5 二階電路的零輸入響應二階電路的零輸入響應uC(0+)=U0 i(0+)=002CCCutuRCtuLCdddd已知：已知：1. 1. 二階電路的零輸入響應二階電路的零輸入響應以電容電壓為變量：以電容電壓為變量：電路方程：電路方程：0CLuuRitiLutuCiLCdddd 以電感電流為變量：以電感電流為變量：02itiRCtiLCdddd下 頁上 頁RLC+-iuc返 回012 RCPLCP特征方程：特征方程：電路方程：電路方程：02CCCutuRCtuLCdddd以電容電壓為變量時的以電容電壓為變量時的初始條件：初始條件：uC(0+)=U0i(0+)

57、=0 00tCtudd以電感電流為變量時的以電感電流為變量時的初始條件：初始條件：i(0+)=0uC(0+)=U0 )0()0(00UtiLuutLCddLUtit 00dd下 頁上 頁返 回2. 2. 零狀態響應的三種情況零狀態響應的三種情況二二個個不不等等負負實實根根 2CLR 二二個個相相等等負負實實根根 2CLR 二二個個共共軛軛復復根根 2CLR LCLRRP2/42過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼LCLRLR1)2(22特征根：特征根：下 頁上 頁返 回 2 ) 1 ( CLR 2121CttppeAeAu0210C)0(UAAUu02211)0(APAPtuCdd0121

58、201221UPPPAUPPPA)(2112120ttCPPePePPPUu下 頁上 頁返 回)(2112120CttPPePePPPUuU0tuctPePPUP11202tPePPUP21201設設 |P2|P1|下 頁上 頁0電容電壓電容電壓返 回)()(21120CttcppeePPLUtuCiddt=0+ ic=0 , t= ic=0ic0 t = tm 時時ic 最大最大tmic)(2112120CttPPePePPPUu下 頁上 頁tU0uc0電容和電感電流電容和電感電流返 回U0uctm2tmuLic)()(2121120ttLppePePPPUtiLudd0 t 0，t tm

59、i 減小減小, uL 0t=2 tm時時 uL 最大最大0 , , 00LLutUut下 頁上 頁RLC+-t0電感電壓電感電壓返 回)()(21120CttcppeePPLUtuCiddiC=i 為極值時，即為極值時，即 uL=0 時的時的 tm 計算如下計算如下:0)(2121ttppePeP 2112ppppntm由由 duL/dt 可確定可確定 uL 為極小時的為極小時的 t .0)(212221ttppePePmtt2)()(2121120ttLppePePPPUtiLudd21122ppppntmmtPtPeePP2112下 頁上 頁返 回能量轉換關系能量轉換關系0 t tm uC

60、減小減小 ，i 減小減小.下 頁上 頁RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0返 回 2 )2( CLR LCLRLRP1)2(222, 1 jP(諧振角頻率)(諧振角頻率) (衰減系數),(衰減系數),令令 1 20LCLR： 220(固有振蕩角頻率)(固有振蕩角頻率)uc 的解答形式：的解答形式： )( 21)(2121tjtjttptpCeAeAeeAeAu經常寫為：經常寫為：)sin( tAeutC下 頁上 頁共軛復根共軛復根返 回0cossin)(0)0(sin)0(00AAdtduUAUuCC由初始條件由初始條件arctgUA， sin00下 頁上 頁)sin( tAeu