1、Fourier級數(shù)所謂三角級數(shù)：就是指除常數(shù)項之外，每一項都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的級數(shù)。具體來說，就是形如 （1）的函數(shù)級數(shù)，其中都是給定的常數(shù)。這里介紹把一個已知函數(shù)表示成三角級數(shù)的問題。首先討論情形。定理（三角函數(shù)系的正交性）如果m和n是非負整數(shù)，則設(shè)是一個給定周期為的周期函數(shù)，假定它已表成一三角級數(shù)的和，即 （2）把（2）式兩邊從到積分，可得以乘（2）式兩端，再在區(qū)間上逐項積分，得到同理，以乘（2）式兩端，再在區(qū)間上逐項積分，得到定義1 設(shè)是在是可積的函數(shù)，令作三角級數(shù)： （3）稱為從導(dǎo)出的Fourier級數(shù)，或簡稱的的Fourier級數(shù)。而稱為的Fourier系數(shù)。Dirichlet收

2、斂定理：設(shè)是以為周期的周期函數(shù)。如果它滿足條件：在區(qū)間上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，并且至多只有有限多個極值點，則的Fourier級數(shù)收斂，并且（1） 當是的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于；（2） 當是的間斷點時，級數(shù)收斂于正弦級數(shù)和余弦級數(shù)如果是上的偶函數(shù)，則它的Fourier級數(shù)不含有正弦項，而余弦項的系數(shù) （4）如果是上的奇函數(shù)，則它的Fourier級數(shù)不含有余弦項，而正弦項的系數(shù) （5）這樣就可以將區(qū)間上的函數(shù)展開成正弦級數(shù)或是余弦級數(shù)。（1）設(shè)是上給定的函數(shù)，現(xiàn)將它展成正弦級數(shù)：定義函數(shù)則是區(qū)間上的奇函數(shù)。于是在區(qū)間上有（2）將函數(shù)展成余弦級數(shù)定義函數(shù)則是區(qū)間上的偶函數(shù)。于是在區(qū)間上有一般周

3、期函數(shù)的Fourier級數(shù)設(shè)周期為的周期函數(shù)滿足收斂定理的條件，這里研究它的Fourier級數(shù)展開式。作變量代換，定義函數(shù)則是周期為的周期函數(shù)，且滿足收斂定理的條件。將展成Fourier級數(shù)其中在以上各式中令即有 （6）設(shè)是上給定的函數(shù)，它可展成正弦級數(shù)是還可展成上的余弦級數(shù)Fourier變換設(shè)在上絕對可積（即積分收斂），取函數(shù) （7）我們將稱為的Fourier變換，記作。由Fourier積分定理可知 （8）稱為的Fourier逆變換，記為。稱為的像函數(shù)。稱為的象原函數(shù)。（7）式右端的積分運算，叫做取的Fourier變換，（8）式右端的積分運算，叫做取的Fourier逆變換。主要性質(zhì)1、線性性質(zhì)：設(shè)，是兩個常數(shù)。則有2、微分性質(zhì)：若當時，則有證明：在這個證明過程中利用了分部積分公式。這說明一個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的Fourier變換等于這個函數(shù)的Fourier變換乘以因子。推論：若，則有3、卷積性質(zhì)卷積定義：若已知函數(shù)，則積分稱為