1、對立統一微積分生命力的源泉縱觀數學發展的歷史，我們會發現有些數學理論雖然盛極一時，但是隨著時間的推移，這些理論再也無人問津了。而另有些理論，像微積分，雖已走過了漫長歲月，但仍魅力不減，倍受青睞。那么是什么原因造成數學理論有如此鮮明的差異呢？數學生命力的源泉究竟在哪里呢？ 大數學家希爾伯曾經說過：“數學是一個有機體，它的生命力的一個必要條件是數學所有各部分間的不可分離的結合。”就是說數學的生命力在于各部分之間的有機聯系。問題是什么樣的聯系才是有生命力的聯系？我們認為，美的聯系是使數學具有生命力的聯系之一, 那么什么聯系又是美的聯系呢? 德國著名的物理學家海森堡說過“美是各部分之間以及各部分與整體

2、之間固有的和諧。”簡單講和諧的聯系就是美的聯系,例如“在極度復雜的事物中表現出思想的極度簡單性（簡單美），在極度雜亂的事物中概括出的極度統一性（統一美），在極度變化的事物中發現的極度不變性、對稱性（對稱美），在極度平凡的事物中表現出的極度奇異性（奇異美）?！?不難看出其實以上四個方面本質都是一種思想,即對立統一的思想。無論是復雜與簡單、雜亂與統一、變化與不變還是平凡與奇異，只要對立的兩個方面能夠和諧的相處在一個統一體當中就是一種和諧,就是一種美。對立統一的方式有兩種，一種是互補型，一種是轉化型。就像男性與女性這兩個互補型對立面如果能夠和諧地相處于同一個統一體-家庭中就是一種美。所以對立統一就是

3、一種美，一種數學理論的生命力就在于其內部各部分之間及各部分與整體之間和諧的對立統一，這一點，在微積分中有著充分的體現。首先，我們從整體上來看構成一元微積分的兩個部分一元函數微分學和一元函數積分學。 我們知道微分是描述函數在某點領域內局部性質的概念，而定積分描述的是函數在一個區間上整體性質的概念，顯然他們之間是不同的，是對立的。但是，它們又是統一的，微積分基本定理所描述的正是微分與積分的對立統一，她讓微分與積分這兩個對立的概念和諧的統一在下面的公式中 愛因斯坦著名的質能公式把物質與能量這兩個乍看起來并不相關甚至是對立的兩個方面聯系了起來,最終導致了核時代的到來,她給人類帶來了巨大的利益和巨大的災

4、難。微積分也一樣，微積分基本定理把微分與積分這兩個對立的概念統一了起來，才使得我們能把一個乍看起來難的一塌糊涂的定積分的計算問題，轉化為只需計算一個函數F(x)在區間端點上函數值之差，這樣一個極其簡單的小學算術問題。 事實上，微積分理論能夠被世人所承認，并成為數學家族中一個重要成員，其關鍵也是因為微分與積分的這種對立統一。如果微分與積分沒有這種對立統一，那么微積分的命運便可想而知了。就像人類的男性、女性如果沒有統一，彼此只是孤立的存在的話，那么人類將無法繁衍，人類社會也將無法存在。 再讓我們縮小一下范圍，從局部分別看一看微分學與積分學。 微分學中最基本的概念是導數、微分，最基本的定理是微分中值

5、定理。 導數的定義中是函數f（x）在區間或上的平均變化率，則是函數f（x）在點的瞬時變化率，顯然它們是不同的，但它們又是統一的。平均變化率蘊含著瞬時變化率，瞬時變化率是平均變化率的極限狀態，因此導數的概念是對立統一的，是平均變化率與瞬時變化率的對立統一。 微分的概念也一樣是對立統一的,微分是這樣定義的：函數f(x)在的某個鄰域內如果滿足則我們稱函數在可微。 但如果我們把上面的式子的形式改變一下然后再移項得,從幾何意義來看前面的y是曲線y=f(x)的值，后面是過點的直線y=的值。因此微分定義的幾何解釋就是：如果函數f(x)在的某個鄰域內，存在一條過點的直線y=，曲線y=f(x)在點的值與過點的直

6、線y=在點的值相差為的高階無窮小量，即曲直=則我們稱函數在可微。 直線與曲線本來是對立的，但如果函數在可微則當x趨于時直與曲可以達到統一，因此，在用微分進行近似計算時在很小的鄰域內可以近似地以直代曲。也就是說微分概念的本質從幾何意義來看就是描述了直線與曲線在一定條件下的對立統一。我們再看拉格朗日中值定理：f(x)在一定條件下有這樣的結論：，上式左邊表示在上的平均變化率，右邊表示在f(x)在t處瞬時變化率，對立性不言自明，統一性也十分明顯，函數在區間上的平均變化率等于函數在區間內部某一點處的瞬時變化率。事實上，中值定理在微分學中舉足輕重的地位，就是因為她把研究函數局部性質的導數與函數在整個區間上

7、的平均變化率聯系起來了，這樣我們才能夠用導數來研究函數的單調性、凹凸性、極值、最值等等，而且應用起來十分簡便、有效。同樣，在積分學中，定積分的概念和積分中值定理也一樣是對立統一的，這里我們就不做詳細的分析了。其實，在多元函數微積分中許多基本概念和重要定理也是對立統一的：例如二元函數微分的概念，若在的某鄰域內滿足則稱在點可微。但如果我們像一元函數微分一樣，把形式改變一下， 移項得 ，顯然前面的z是曲面的值，后面的是平面z=的值。因此二元函數微分概念的幾何解釋是：若在的某鄰域內存在一個過點的平面，滿足曲面值-平面值= 則稱在點可微。顯然微分描述的是在的某鄰域內曲面與平面的對立統一，平面與曲面是不同

8、的，但當鄰域很小的時候平面與曲面可以統一，所以可用平面近似代替曲面。再如多元函數積分學中像著名的Green公式描述的是區域D上的二重積分與其邊界上第二類曲線積分的對立統一；Gauss公式描述的是空間區域上的三重積分和其邊界上第二類曲面積分的對立統一；Stokes公式描述的是第二類曲面積分與其邊界上第二類曲線積分的對立統一。事實上微積分最基本的研究工具極限這個概念也是對立統一的，所謂極限思想從數學角度來看就是用已知的近似值去逼近未知的精確值，這種思想從哲學角度來看就是對立統一的思想，因為近似與精確是對立的也是統一的，在一定的條件下可以相互轉化。當我們不能馬上求出精確值時不妨先退一步，先求出已知的

9、近似值，然后再用已知的近似值去逼近未知的精確值。以柔克剛，以退為進，利用對立面達到自己的目的，這一點和我們東方文化中儒家陰陽的對立統一，道家剛與柔、有與無的對立統一，佛家色與空的對立統一其思想是相通的。 如果我們再注意一下微積分中的其它一些概念和定理，就會發現，微積分這座美麗的大廈，就是通過常量與變量、有限與無限、近似與精確、整體與局部等等的對立統一建筑起來的。它的美在于對立統一，它的善在于對立統一，它的真在于對立統一，它的生命力就在于其內部各部分之間及各部分與整體之間和諧的對立統一。如果沒有對立統一，微積分就只是一些孤立的概念、公式、定理的堆積，毫無生氣可言，更談不上和諧談不上美。 對數學美

10、如果進一步的研究思考就不難發現當兩個對立面相差越遠，她們所形成的統一體也就越美，美度也就越高，而美度越高數學的生命力也就越強。這和雜交優勢的理念是一致的，兩個雜交個體相差越遠其雜交體的生命力也就越強。 事實上，對立統一不僅是微積分生命力的源頭活水，也是其它許多數學理論的源頭活水。例如，解析幾何學就是形象的幾何學與抽象的代數學的對立統一，這種對立統一的力量也是有目共睹的：（1）它使以常量為主導的數學轉變為以變量為主導的數學，為微積分的誕生奠定了基礎。（2）它使代數和幾何融合為一體，實現了幾何圖形的數字化，是數字化時代的先聲。（3）代數的幾何化和幾何的代數化，使人們擺脫了現實的束縛。它帶來了認識新

11、空間的需要，幫助人們從現實空間進入虛擬空間，從三維空間進入更高維的空間。通過上面的分析不難看出作為高等數學主要內容的微積分其基本的思想就是對立統一的思想，微積分的和諧也主要表現在這種貫穿始終的對立統一。如果我們能夠認識到微積分思想的統一性，能夠認識到微積分的這種美，我們就會更深刻的認識到數學深刻的文化內涵，就會更熱愛數學，喜歡數學。如果我們能夠理解這種思想，進一步把它融化到自己的靈魂里，慢慢就會形成一種美的人格，這不是我們這個時代所真正需要的嗎？這不是我們教育的真正目的嗎？愛情（極限）一枚金幣正面是你（）反面是我（A）無論哪面在上這，都不是愛情（極限）豎立起來也不是愛情（極限）因為這時還有你我

12、的分別飛旋起來吧哪一面是你（）哪一面又是我（A）這，就是愛情（極限）天真的預言一顆沙里看出一個世界，一朵花里藏著一座天堂。把無限放在你的手掌，讓永恒在剎那里收藏。英國詩人布萊克一沙一世界，一花一人生用有限把握無限讓瞬間化為永恒也許我們下面討論的話題可能太單純太理想。但我們這一輩子能夠單純的坐在一起談論理想談論真理的時光其實可能很短，就像學生時代純真的愛情，離開學校也許永不再有。所以今天我們就單純一次吧，談談理想，談談真理。1.大學要培養什么樣的人 大學里的最高學位是什么，人格，人格是最高的學位。教育的目的并不是讓學生的心變得更加世故、更加復雜，恰恰相反而是要恢復學生天真的童心、好奇心。人生不管

13、時代的潮流和社會的風尚怎樣，人總可以憑著自己高貴的品質，超脫時代和社會，走自己正確的道路。 - 愛因斯坦 Euclid 曾經讓他的仆人給一個想要問學幾何能干什么的學生一個金幣然后驅逐他走，為什么？Euclid說因為他想從中獲利.你知道嗎，在這塵世之上的地方，那里有比金錢、比利益、比存在這世上的一切東西更重要的東西。分數 擁有智慧， 金錢 擁有幸福， 知識獲得真理，這三對你們選誰？許多人選前者，因為前者實在，后者虛幻。其實我們都知道前者是手段，后者才是我們的目標。你們將來可以富有，也可以貧窮，可以是領導，也可以是一個小職員。但你們必須是個理想主義者，是個真理的追求者。雖然通向真理的道路往往會有艱

14、難險阻，而你亦會為此而受盡磨難。但是，理想主義者的結局悲壯而決不可憐。2.數學與真理 數學是真理嗎？在這里真理的意思就是不可動搖的意思。平面幾何說過直線外一點能做一條直線與之平行，是真理嗎？黎曼幾何說過直線外一點所有直線都是平行的，羅氏幾何說過直線外一點至少存在兩條直線與已知直線平行，哪個對？無界函數在定積分看來一定是發散的，而廣義積分看來可能收斂，哪個對？數學不是真理，是知識是假設。那么真理在哪？真理女神在數學知識的后面，而我們卻常常一面趴在地上抱著真理女神冰冷的影子不放，還一面抱怨著學數學沒意思沒感覺。 “我們所能有的最美好的經驗是對宇宙真理奧秘的體驗，它是堅守在真正藝術和真正科學發源地上

15、的基本感情。誰要是體會不到它，誰要是不再有好奇心，也不再有驚訝的感覺，他就無異于行尸走肉。”-愛因斯坦擁抱真理女神吧！用你的心！幾點建議：1. 學會獨立學習 主動學習大學里的教學方式與其它時期的教學方式不同了，老師可能會講得很快，你跟不上，你聽不懂。聽不懂老師也就過去了，沒有了高中時的反復講解，也沒有了以前老師布置的做不完的作業。記住在大學里面沒有任何一個教師會圍著你轉，聽不懂你要在課后想辦法搞懂，你要學會自己去找題做，你要學會自己學習。不要埋怨老師不關心你，你要知道盡管教書育人是老師不可推卸的責任，但學不學主要還是自己的事，因為你是大學生了你已經是成年人了，你要學會獨立。有的老師講課確實不夠

16、好，照本宣科，枯燥乏味。但是你能因此就不學了，你就用不及格向老師抗議，用畢不了業找不到工作氣死老師。要在社會中生存，我們必須學會接受那些不能改變的事。如果你不喜歡學習，所以你就不學，那么農民不喜歡種田他就不種了，工人不喜歡做工他就不做了，軍人不喜歡打仗他就不打了。許多人覺得學書本上的東西對自己將來工作沒有什么用，學了又怎么樣，不學又怎么樣？其實社會發展日新月異，我們不能保證大學里所學的任何一門課n年以后仍然管用。關鍵的是，你要學會思考，并掌握學習的方法，這樣，無論n年以后出現什么樣的新知識或新技術，你都能游刃有余。教育的本質究竟是什么呢？愛因斯坦說“如果我們將學過的東西忘得一干二凈時，最后剩下

17、來的東西就是教育的本質了?！?所謂“剩下來的東西”，其實就是自學的能力，自己解決問題的能力。只有這樣，大學畢業生才能適應瞬息萬變的未來世界。如果感覺在大學里學習“沒用”，那你自己一定沒有把握自己需要的，主動去追求。從大學的第一天開始，你必須從被動轉入主動，你必須成為自己未來的主人，你必須積極地管理自己的學業和將來的事業，因為沒有人比你更在乎你自己的學業與事業?！白尨髮W對自己有用”是你自己的責任。2. 敢于承當責任你們大多數人已經年滿十八歲了，都是成人了，許多人自己也說自己長大了，成熟了，懂事了。但我覺得，許多人所謂的成熟懂事只是一種表相。什么叫成人？成熟？什么叫懂事？雖然大家對于成熟懂事的標準

18、說法不一，但有一個標志是大家公認的，那就是責任。這種責任不是別人從外面給你的，而是從你自己的內心深處產生的。愛因斯坦說過：“人是為別人而生存的首先是為那樣一些人，他們的喜悅和健康關系著我們自己全部的幸福，然后是為許多我們所不認識的人，他們的命運通過同情的紐帶和我們密切連接在一起。我每天上百次地提醒自己，我的精神生活和物質生活都依靠著別人（包括活著的和死去的）的勞動，我必須盡力以同樣的分量來報償我所領受了的和至今還在領受著的東西。”我們也應該這樣;我到這個世界上來并不是僅僅為了我自己活著，還要為別人活著。為父母、為愛我的人、為我愛的人甚至為一切需要我幫助的人。至少我們對自己父母具有永遠都無法推卸的責任。 既然我是為別人而生存的，那么不管自己想不想學，愛不愛學，我都沒有任何理由放棄自己應該承擔的使命，不管我愛不愛做想不想做我都應該高高興興地去做。我要向世人大聲的喊，這世界，既然我來啦，我就要承擔一切該我承擔的責任。我絕不放棄！絕不逃避！我敢于迎接任何的挑戰，敢于面對任何困難。這就是成熟了，這就是懂事了。有人說老師你們動不動就拿責任嚇唬我們，拿要孝順父母來逼我們。其實自己養活自己，給父母找食吃這是動物都會的，是對動物的要求