1、6.3 正態總體參數的區間估計正態總體參數的區間估計定義定義6.2 設總體設總體X的分布中含有未知參數的分布中含有未知參數 ， nXXX,21是來自是來自X的一個樣本，的一個樣本，若對給定的若對給定的 ，存在統計量，存在統計量)10( ),(2122nXXX ),(2111nXXX 使得使得 121P則稱則稱隨機區間隨機區間 是是 的置信度為的置信度為 的的置信區間置信區間，),(21 1 稱為稱為置信下限置信下限， 稱為稱為置信上限置信上限，1 2 稱為稱為置信度置信度或或置信系數置信系數。 1的的含含義義：)95.0(1121 P 固定，在固定，在100次抽樣中得到次抽樣中得到100個區間

2、個區間n100, 2 , 1),(21 kkk 約有約有95個包含了個包含了 。 )()(kk21 nxxx,21但但 對應的一個確定區間對應的一個確定區間 ),(),(212211nnxxxxxx 如（如（1000，1500），）， 不能理解為有不能理解為有95的把握包含的把握包含 ， 可理解為該區間是以置信度為可理解為該區間是以置信度為95求出來的。求出來的。注：注：2. 對給定的置信度對給定的置信度 ，希望找出，希望找出“較短較短”置信區間。置信區間。步驟：步驟： 1(1) 找一個樣本函數找一個樣本函數 ，滿足：，滿足：);,(21 nXXXgw 含待估參數含待估參數 及有關的良好統計量

3、及有關的良好統計量(如如:無偏估計量無偏估計量)； （2）對）對 ,查查 w分位點分位點a,b使使21 ,2 1bwaP2 2 解出解出 得得 121P 分布已知。分布已知。),(),(212211nnxxxxxx nxxx,21（3）對給定的）對給定的求出求出常用的樣本函數在第五章給出：常用的樣本函數在第五章給出：.,2TUtu 得置信區間得置信區間),(21 一、一個正態總體參數的區間估計一、一個正態總體參數的區間估計的一個樣本。的一個樣本。是是設總體設總體XXXXNXn,),(212 的區間估計的區間估計 . 1的區間估計的區間估計2. 2 已知已知2)1( 未知未知2)2( 已知已知

4、)1(未知未知 )2(由定理由定理5.4(P.127)知，知，)1 , 0(/NnXu 已知已知2)1( 1. 的區間估計的區間估計 對對 查表可得查表可得 ，使得，使得 2 u 122uuuP2222/ unXunXunXu 即即 122unXunXP故故 的置信度為的置信度為 的置信區間為的置信區間為 1 1 22, unXunX)( X2 un雙側分位點雙側分位點例例1（P.146）某廠鐵水含炭量正常情況下）某廠鐵水含炭量正常情況下X ),(2 N現測得五爐鐵水的含炭量為：現測得五爐鐵水的含炭量為：4.28 4.40 4.42 4.35 4.37求求 置信度為置信度為95的置信區間。的置

5、信區間。 （1）若已知）若已知 0.108 解解 因已知因已知 , 5,108. 0 n 所以取所以取隨機變量隨機變量)1 , 0(5/108. 0NXu 對對 ，查表得，查表得 使使 05. 0 96. 12 u查查表表）,975.0)(2 u(22 uuuP 由由95. 096. 196. 1 uP95.01)(22 u 96. 15108. 0,96. 15108. 0XX從而得從而得 的置信區間的置信區間 由樣本值得由樣本值得,364. 4 x代入上式得代入上式得 的置信度為的置信度為95的置信區間為：的置信區間為： )459. 4,269. 4(95. 096. 15108. 096

6、. 15108. 0 XXP 364. 4（ ）095. 0續續若要求區間長度若要求區間長度 0.1，問，問 至少取多少？至少取多少？n21 . 096. 1108. 0 n由由, 9 .17 n解解 幾個常用分位點幾個常用分位點,96. 105. 02 u.58. 201. 02 u,65. 11 . 02 u未知未知2)2( 1. 的區間估計的區間估計 221Putu 即即故故 的置信度為的置信度為 的置信區間為的置信區間為 1)1 , 0(/NnXu tS)1( nt對對 查表可得查表可得 ， 使得使得 2 u)1(2 nt 2 t2 t 122unXunXP2 t2 tSS 22, u

7、nXunX2 t2 tSS由定理由定理5.4(P.126)知，知，5.7( .128)PP.146例例(P.146-7)某廠鐵水含炭量在正常情況下某廠鐵水含炭量在正常情況下X ),(2 N現測得五爐鐵水的含炭量為：現測得五爐鐵水的含炭量為：4.28 4.40 4.42 4.35 4.37求求 置信度為置信度為95的置信區間。的置信區間。 （2）若）若 未知未知 解解 因因,5,n未知所以取所以取隨機變量隨機變量(4)/5tXtS對對 ，查表得，查表得 使使 05. 0 0.0252(1)(4)2.776tnt 2.7762.7760.95Pt 2.776,2.77655SSXX從而得從而得 的

8、置信區間的置信區間 由樣本值得由樣本值得4.364,0.054xs代入上式得代入上式得 的置信度為的置信度為95的置信區間為：的置信區間為： (4.297,4.431)2.7762.7760.9555SSP XX2. 的區間估計的區間估計未知未知 )2(2 由定理由定理5.6(P.128)知，知，)1()1(2222 nSn ，查得查得)1(,2)1(22222 nnP 對于對于 ，由，由 ).1(,21)1(2212212 nnP 查得查得 1222122(1)(1)1Pnn 使得 1)1()1()1()1(22122222nSnnSnP即即故故 的置信度為的置信度為 的置信區間為的置信區間

9、為2 1 )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 當當 已知時，可利用定理已知時，可利用定理5.7(P.128)求得置信區間求得置信區間 )()(121222nXnii 例例2 (P.148) 從某廠生產的鋼珠中隨機抽取從某廠生產的鋼珠中隨機抽取9個，測得個，測得它們的直徑（單位：毫米）為：它們的直徑（單位：毫米）為：15.2 15.0 14.8 15.1 14.8 15.1 14.7 14.9 15.0假設鋼珠的直徑服從正態分布假設鋼珠的直徑服從正態分布 ，),(2 N求求 的置信度為的置信度為90的置信區間。的置信區間。2 解解 因為因為 未知，未知， 所以取隨機變量所以取隨

10、機變量 , 9 n)1()1(2222 nSn 228 S 8對對 , 1 . 0 222(8)0.05P由查表得,507.15)8()1(205. 022 n,733. 2)8()1(295. 0221 n查表得查表得由由95. 0)8(2212 P使得使得9 . 0507.15733. 22 P即即9 . 0733. 28507.158222 SSP 從而得置信區間從而得置信區間 733. 28,507.15822SS由樣本值計算得由樣本值計算得,028. 02 s代入上式得代入上式得 的置信度為的置信度為90 的置信區間為的置信區間為2 )082. 0,014. 0(二、兩個正態總體二、

11、兩個正態總體均值差均值差與與方差比方差比的置信區間的置信區間對比兩個玉米品種的產量，兩個班的學習成績，通對比兩個玉米品種的產量，兩個班的學習成績，通常是比較平均值的差異，方差的差異，即求：常是比較平均值的差異，方差的差異，即求：,12211 P設兩個總體設兩個總體),(),(222211 NYNX樣本樣本 來自來自X,1,21nXXX2,21nYYY來自來自Y,兩個樣本相互獨立，兩個樣本相互獨立， 樣本均值與樣本方差分別為樣本均值與樣本方差分別為2212,; ,( .129).X SY SP1. 總體均值差的區間估計總體均值差的區間估計由定理由定理5.9(P.130)知，知，2)1()1(21

12、222211 nnSnSnSw其中其中)2(11)()(212121 nntnnSYXTw 未知未知22221 對給定的對給定的 ，查得分位點，使得，查得分位點，使得 ,1)2(|212 nntTP由此可得由此可得 置信度為置信度為 的置信區間為的置信區間為21 1 212122121211)2(,11)2(nnSnntYXnnSnntYXww 求得。求得。的隨機變量的隨機變量已知時的置信區間，用已知時的置信區間，用當當UP 128.,2221 例例3（P.149) 某廠生產的甲、乙兩種香煙，獨立地抽某廠生產的甲、乙兩種香煙，獨立地抽取重量相同的兩個樣本，測得尼古丁含量（單位取重量相同的兩個樣

13、本，測得尼古丁含量（單位:mg):甲甲 24 25 23 30 28乙乙 30 24 27 31 27設甲、乙兩種尼古丁含量分別為設甲、乙兩種尼古丁含量分別為X與與Y, 且且).,(),(2221 NYNX求求 的置信度為的置信度為95的置信區間。的置信區間。21 解解 因為因為,22221 , 521 nn所以取隨機變量所以取隨機變量)8(5/ )()()(222121tSSYXT 306. 2)8(05. 0)8(|,05. 022查得查得由由對于對于 ttTP 95. 0306. 2| TP即即由此可得由此可得95. 05306. 25306. 22221212221 SSYXSSYXP

14、 置信區間置信區間 5306. 2,5306. 222212221SSYXSSYX由樣本值得：由樣本值得：7 . 7, 8 .27, 5 . 8,262221 sysx代入上式得代入上式得 的置信度為的置信度為95的置信區間為：的置信區間為：21 )357. 2,957. 5( 2. 總體方差比的區間估計總體方差比的區間估計未知，未知，設設21, 的置信區間。的置信區間。求求2221 由定理由定理5.8(P.129)知，知，)1, 1(/2122222121 nnFSSF 對于對于 ， )1, 1(212 nnFFP )1, 1(),1, 1(2121212 nnFnnF 查得查得222122

15、21 SS 使得使得,2)1, 1(2121 nnFFP 1 1)1, 1()1, 1(2122121nnFFnnFP即即從而得從而得22212221 SS 1)1, 1(/)1, 1(/2121222122212122221nnFSSnnFSSP )1, 1(/,)1, 1(/212122212122221nnFSSnnFSS 故故 的置信區間為的置信區間為2221 當當 已知時的置信區間見已知時的置信區間見P159表表6.1。21, 查表得查表得由由,05. 0)5 , 4(05. 0 FFP例例4 (P.151)設有兩個正態總體設有兩個正態總體 ),(),(222211 NYNX今分別從

16、今分別從X與與Y中抽取容量中抽取容量 的兩個獨立樣本，的兩個獨立樣本，6, 521 nn其樣本方差分別為其樣本方差分別為.33. 4,37. 02221 ss求求 的置信度為的置信度為90的置信區間。的置信區間。2221 解解 因為因為 未知，未知，21, , 6, 521 nn所以取隨機變量所以取隨機變量)5 , 4(/22222121FSSF , 1 . 0 對對,19. 5)5 , 4()1, 1(05. 0212 FnnF 16. 026. 61)5 , 4()1, 1(95. 02121 FnnF 得得)4 , 5(1)5 , 4(05. 095. 0FF及及,95. 0)5 , 4

17、(95. 0 FFP由由,26. 6)4 , 5(05. 0 F查得查得使得使得90. 019. 516. 0 FP90. 016. 0/19. 5/222122212221 SSSSP 即即從而得置信區間從而得置信區間 16. 0/,19. 5/22212221SSSS33. 4,37. 02221 ss將將代入上式代入上式,得得 置信度為置信度為90的置信區間為的置信區間為: (0.016, 0.534).2221 6.4 大樣本下非正態總體參數的區間估計大樣本下非正態總體參數的區間估計對于非正態總體對于非正態總體 X, 設設),()(2已知已知，未知未知 DXEX求求 的置信區間。的置信

18、區間。 nXXX,21設設 是來自是來自X的一個樣本，的一個樣本，由定理由定理5.5(P.127) 知，當知，當 充分大時，充分大時，n)()1 , 0(/近似近似NnXu 于是可得于是可得 的置信度為的置信度為 的的近似置信區間近似置信區間 1 22, unXunX當當 未知時，可用樣本標準差未知時，可用樣本標準差 S 代替代替 。2 例例1（P.152）對某商場每天的顧客人數作了）對某商場每天的顧客人數作了60天的記天的記錄，其平均人數為錄，其平均人數為800人，標準差為人，標準差為60人。求每天顧人。求每天顧客平均人數的置信區間（置信度客平均人數的置信區間（置信度95）。）。解解 設設X

19、 為每天商場的顧客人數，為每天商場的顧客人數，, EX因樣本容量因樣本容量 ，可認為是大樣本，可認為是大樣本，60 n故有故有對對 ，查正態分布表得，查正態分布表得05. 0 ,96. 12 u使得使得故得故得 的置信度為的置信度為95的近似置信區間的近似置信區間 95. 096. 196. 1 nSXnSXP )()1 , 0(/近似近似NnXu S,60,60,800 nsx因因（785，815）01分布中參數分布中參數 p 的區間估計的區間估計1 , 0,)1(1 xppxXPxx總體總體X 的概率分布為的概率分布為其中其中p 是未知參數，求是未知參數，求 p 的置信區間。的置信區間。)

20、,1(,ppDXpEX 因因所以當所以當 充分大時有充分大時有n)()1 , 0(/近似近似NnXu p)1(pp 對給定的對給定的 ，有，有 1 1/ )1(|2unpppXP 1/ )1(|2unpppXP222)1()( upppXn 若二次方程若二次方程有兩個互異實根有兩個互異實根 和和1 p2 p則可得則可得 121pppP其中其中aacbbpaacbbp24,242221 ,22 una ),2(22 uXnb 2Xnc 故故 p 的置信度為的置信度為 近似置信區間為：近似置信區間為： 1),(21pp例例 P.153單側置信限單側置信限 (B.9)定義定義 設總體設總體X的分布中含有未知參數的分布中含有未知參數