1、材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 1一、外力功與應變能一、外力功與應變能 1、外力功、外力功W載荷在其作用點位移上所作的功。載荷在其作用點位移上所作的功。 (1 1) 常力作功常力作功FAFBD DW=FD DMq qW=Mq qM彈性固體的應變能彈性固體的應變能材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 2D D FD DFdDF對于一般彈性體對于一般彈性體0dWDDFFD D圖下方面積圖下方面積(2 2) 靜載作功靜載作功 靜載靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性體上的載荷，體上的載荷，靜載作功屬于變力作功靜

2、載作功屬于變力作功。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 3對于線彈性體對于線彈性體DFFD12DWF 2、應變能應變能Ve e彈性體因變形而儲存的能量，稱為應變能。彈性體因變形而儲存的能量，稱為應變能。 由能量守恒定律，儲存在彈性體內的應變能由能量守恒定律，儲存在彈性體內的應變能Ve e在數值上等于外力所作的功在數值上等于外力所作的功W。（忽略能量損失）。（忽略能量損失）即即 Ve e =WF為廣義力，為廣義力，D D為與力對應的廣義位移。為與力對應的廣義位移。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 4二、線彈性體的應變能二、線彈性體的應變能1、軸向

3、拉壓、軸向拉壓FFD DlD Dl22N1222F lF lVWF lEAEAeD FN為變量時為變量時2N( )d2lFxVxEAelFFllEAD F材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 5Me2 2、扭、扭 轉轉j jj jMeMe22eePP1222M lT lVWMGIGIejT為變量時為變量時2P( )d2lTxVxGIeePM lGIj材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 63 3、平面彎曲、平面彎曲ddMxEIq橫力彎曲時忽略剪力對應變能的影響橫力彎曲時忽略剪力對應變能的影響，如矩形截面，當，如矩形截面，當l /b=10時，剪力的應變

4、能只占彎矩應變能的時，剪力的應變能只占彎矩應變能的3。1ddMxEIq純彎曲純彎曲21dd22MxVWMEIeq2( )d2lMxVxEIe橫力彎曲橫力彎曲M(x)為變量為變量MMdqdx材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 7 應變能應變能Ve e是內力（是內力（FN、T、M）的二次）的二次函數，應變能一般不符合疊加原理。但若幾函數，應變能一般不符合疊加原理。但若幾種載荷只在本身的變形上作功，而在其它載種載荷只在本身的變形上作功，而在其它載荷引起的變形上不作功，則應變能可以疊加。荷引起的變形上不作功，則應變能可以疊加。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建

5、筑學院 8D DF從零逐漸增加到最終值，從零逐漸增加到最終值，變形亦緩慢增加最終值。變形亦緩慢增加最終值。F 一、能量法一、能量法 利用能量原理解決力學問題的方法。利用能量原理解決力學問題的方法。 可用來求解變形、靜不定、動載荷、穩定等問題。可用來求解變形、靜不定、動載荷、穩定等問題。 第十章第十章 能量法能量法10.1 10.1 概概 述述二、外力功與應變能二、外力功與應變能1、外力功、外力功W載荷在其作用點位移上所作的功，屬于載荷在其作用點位移上所作的功，屬于變力作功變力作功。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 9彈性體因載荷引起的變形而儲存的能量。彈性體因載荷引起

6、的變形而儲存的能量。2、應變能、應變能三、功能原理三、功能原理條條 件：（件：（1）彈性體（線彈性、非線彈性）彈性體（線彈性、非線彈性） （2）靜載荷）靜載荷 可忽略彈性體變形過程中的可忽略彈性體變形過程中的 能量損失。能量損失。原原 理：外力功全部轉化成彈性體的應變能。理：外力功全部轉化成彈性體的應變能。 Ve e = W材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 10 x解：解：建立坐標系建立坐標系求外力功求外力功W 和應變能和應變能Ve ewA12AWFw222 300d() d226llMxFxxF lVEIEIEIe2 3126AF lFwEI3( )3AFlwEI列

7、彎矩方程列彎矩方程 M =Fx （ 0 x l ）lFBA已知：已知：EI = 常數，用功能原理常數，用功能原理計算計算A點的撓度。點的撓度。 僅僅只能求力作用點與力相對應的位移，僅僅只能求力作用點與力相對應的位移，其它位移的求解有待進一步研究功能原理。其它位移的求解有待進一步研究功能原理。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 11圖示對稱結構，各桿抗拉剛度圖示對稱結構，各桿抗拉剛度EA均相等。均相等。由平衡方程，通過功能原理導出變形幾由平衡方程，通過功能原理導出變形幾何方程；由平衡方程結合功能原理求出何方程；由平衡方程結合功能原理求出各桿內力。各桿內力。FABCDl解：

8、解：A點的位移等于點的位移等于桿的變形桿的變形D Dl3。由功能原理有由功能原理有 （1）311223311()22F lF lFlFlDD DD由平衡方程和對稱條件有由平衡方程和對稱條件有 （2）1212FFll D D，132cosFFF（3）（2）、（）、（3）代入（）代入（1）得）得31cosllD D變形幾何方程變形幾何方程D Dl1D Dl32223312coscosFlF lF lF lFEAEAEAEA（1）考慮物理方程得）考慮物理方程得（2）、（）、（3）代入上式并化簡得得）代入上式并化簡得得231cosFF幾何方程幾何方程和物理方和物理方程的聯立程的聯立材料力學材料力學 中

9、南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 12Fi 為集中力，為集中力，D Di為該力作用點沿力方向的線位移；為該力作用點沿力方向的線位移；Fi為力偶，則為力偶，則D Di為該力偶作用面內沿力偶轉向的角為該力偶作用面內沿力偶轉向的角位移（轉角）。位移（轉角）。D Di 簡稱為與力簡稱為與力Fi (相相)對應的位移。對應的位移。10.2 10.2 互等定理互等定理Fi 廣義力（集中力，力偶）廣義力（集中力，力偶）D Di 廣義位移（線位移，角位移）廣義位移（線位移，角位移）一、外力功的計算一、外力功的計算材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 13對于一般彈性體對于一般彈性體0

10、dWDDFFD D 圖下方面積圖下方面積 靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性體上的載荷，靜載作功屬于變力作功。體上的載荷，靜載作功屬于變力作功。外力功屬于靜載作功。外力功屬于靜載作功。D D FD DFdDF對于線彈性體對于線彈性體DFFD D12DWFF為廣義力，為廣義力，D D為廣義位移。為廣義位移。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 14 外力功的數值與加載順序無關，外力功的數值與加載順序無關， 只與載荷與位移的最終數值有關。只與載荷與位移的最終數值有關。加載順序：加載順序： F1, F2, Fi， F2, F1, F

11、j， 不同時加載，加載順不同時加載，加載順序不同，外力功不變。序不同，外力功不變。 二、外力功與變形能的特點二、外力功與變形能的特點 如果外力功和變形能與加載順序有關，會出現如果外力功和變形能與加載順序有關，會出現什么結果？什么結果？ 按一種順序加載，按另一種順序卸載，能量還按一種順序加載，按另一種順序卸載，能量還能守恒么？能守恒么？反證法！反證法！材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 15F1F2F2F1先加先加F1后加后加F2先加先加F2后加后加F1不同加載次序外力功均相同，若按比例同時加載，不同加載次序外力功均相同，若按比例同時加載，外力同時達到最終值，即外力同時達

12、到最終值，即比例加載比例加載，外力功不變。，外力功不變。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 16即即 D D1= d d11F1+d d12F2+ +d d1iFi + +d d1nFnD Di= d di1F1+d di2F2+ +d diiFi + +d dinFn其中其中d dij 是與載荷無關的常數。是與載荷無關的常數。注意：各載荷和位移都是指最終值，所以是常數。注意：各載荷和位移都是指最終值，所以是常數。三、克拉貝依隆（三、克拉貝依隆（Clapeyron)原理原理線彈性體上，作用有載荷線彈性體上，作用有載荷F1, ,F2 , , Fi, , Fn與外力方向相應

13、的位移為與外力方向相應的位移為D D1, , D D2, , D Di, , D Dn 由由線彈性體線彈性體的疊加原理，各位移是載荷的線性函數的疊加原理，各位移是載荷的線性函數材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 17設各外載荷有一增量，于是位移亦有一增量。載荷設各外載荷有一增量，于是位移亦有一增量。載荷在位移增量上所作的元功為：在位移增量上所作的元功為： dW=F1*dD D1*+Fi*dD Di*+Fn*dD Dn* =l lF1d(lDlD1)+l lFid(lDlDi)+l lFnd(lD(lDn) =(F1D D1+FiD Di+FnD Dn)l)ldl l外力

14、作的總功為：外力作的總功為：1110111(+ ) d111+ 22212iinniinnniiiWFFFFFFFDDDll DDD D材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 18設各外載荷按相同的比例，從零開始緩慢增加到最設各外載荷按相同的比例，從零開始緩慢增加到最終值。即任一時刻各載荷的大小為：終值。即任一時刻各載荷的大小為：F1*=l lF1, , F2*=l lF2 , , Fi*=l lFi , ,Fn*=l lFn 其中其中 l l從從0緩慢增加到緩慢增加到1，說明加載完畢。，說明加載完畢。加載過程中加載過程中 ，任一時刻的位移為：，任一時刻的位移為：D D1*

15、= d d11F1* +d d12 F2 * + +d d1iFi * +d d1nFn *=lDlD1D Di*= d di1F1 * +d di2 F2 * + +d diiFi * +d dinFn *= lD lDi注意：帶星號上標的載荷和位移都是中間值，所注意：帶星號上標的載荷和位移都是中間值，所以是變數，隨著以是變數，隨著l l的變化而變化。的變化而變化。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 19112niiiVWFeD 線彈性體線彈性體的外力功或變形能等于每一外力與其的外力功或變形能等于每一外力與其對應位移乘積之半的總和。對應位移乘積之半的總和。F1F2Fi

16、D D1D D2D Di圖示撓曲線為所有力共同作用下的撓曲線，各點圖示撓曲線為所有力共同作用下的撓曲線，各點位移都不是單個力引起的，是位移都不是單個力引起的，是所有力共同作用下所有力共同作用下的位移的位移。D D1既有既有F1的作用，也有的作用，也有F2 ， Fi 的作用。的作用。所以所以Clapeyron原理不符合疊加原理。原理不符合疊加原理。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 20注注 意意1、Clapeyron原理只適用于線彈性，小變形體；原理只適用于線彈性，小變形體； 2、D Di 盡管是盡管是Fi 作用點的位移，但它不只是作用點的位移，但它不只是Fi 一一 個

17、力引起的，而是所有力共同作用的結果，即個力引起的，而是所有力共同作用的結果，即 它是它是 i 點實際的點實際的總位移總位移；3、D Di 是是Fi 對應的位移，對應的位移，Fi為集中力，為集中力，D Di則為線位則為線位 移，移，Fi為集中力偶，為集中力偶，D Di則為角位移；則為角位移； 4、Fi D Di 為正時，表明為正時，表明Fi作正功，作正功，D Di 與與Fi 方向方向 （或轉向）相同；為負則表示（或轉向）相同；為負則表示D Di 與與Fi 方向方向 （或轉向）相反。（或轉向）相反。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 21據據Clapeyron原理，原理，微

18、段微段dx上上dxTFNM()N222NP111ddddd222ddd222VWFlMTFxMxTxEAEIGIeqjD 組合變形組合變形整個桿件的應變能為整個桿件的應變能為( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 22位移位移命名命名位移位移D D的第一個下標表示某點處的位移，的第一個下標表示某點處的位移，第二個下標表示由那點的力引起的位移。第二個下標表示由那點的力引起的位移。FiijD DiiD DjiFjijD DijD DjjD Dii和和 D Dij第一個下標第一個下標i表示表示i點的位

19、移，第二個下標點的位移，第二個下標i和和j分別表示分別表示是由是由i點和點和j點的力引起的位移，點的力引起的位移， D Dji和和 D Djj亦可以類推得到。亦可以類推得到。四、功的互等定理四、功的互等定理(線彈性體線彈性體)材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 2312iiiWFD12jjjiijFFDD先加先加Fi后加后加FjjFiiD DiiD Dji外力功為外力功為 外力功外力功W 與加載順序無關，改變加載與加載順序無關，改變加載順序可得到相同的外力功。順序可得到相同的外力功。D DiiFiD DijD DjiD DiFiOD DjFjOFjD DjjFjD Di

20、jD Djj材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 24先加先加FjjFjiD DijD Djj外力功為外力功為12jjjWF D后加后加Fi12iiijjiFFD D先加先加Fi 后加后加Fj外力功為外力功為1122iiijjjiijWFFFDDDWW iijjjiFFD DD DiFiOD DjFjOFjD DjjD DijD DiiFiD DjiFiD DiiD Dji材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 251122iiijjjiijWFFFD D DiijjjiFFD D11112222iiijjjiijiijFFFFD D D D11112

21、222iiijjjiijjjiFFFFD D D D11()()22iiiijjjjjiFFD DD DClapeyron原理原理1122iijjFFD D外力功和變形能不符合疊加原理外力功和變形能不符合疊加原理材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 26線彈性體線彈性體上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一組第一組力在第二組力引起的相應位移上所作的功，等于第力在第二組力引起的相應位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的相應位移上所作的功。二組力在第一組力引

22、起的相應位移上所作的功。FiijD DiiD DjiFjijD DijD Djj功的互等定理功的互等定理注：力系、位移均為廣義的。注：力系、位移均為廣義的。iijjjiFFD D材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 27抗彎剛度為抗彎剛度為EI的簡支梁承受均布載荷的簡支梁承受均布載荷q，已知其跨中撓度，已知其跨中撓度 ，如圖所示。試用功的互等定理求該梁承受跨中，如圖所示。試用功的互等定理求該梁承受跨中載荷載荷F時，梁撓曲線與原始軸線所圍成的面積。時，梁撓曲線與原始軸線所圍成的面積。 CqlwEI45=384解：設第一組力為解：設第一組力為F，梁上各點的撓度為，梁上各點的撓

23、度為w(x)。撓曲線與原始軸線圍成的面積撓曲線與原始軸線圍成的面積 ( )dwlAw xx第二組力第二組力q作用時，它在梁跨中引起的撓度為作用時，它在梁跨中引起的撓度為wC 。 45384CwFwFlAqEI d( )CwlFwq x w xqA由功的互等定理由功的互等定理材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 28 裝有尾頂針的工件可簡化為靜不定梁。試利用互等定理裝有尾頂針的工件可簡化為靜不定梁。試利用互等定理求求C處的約束力。處的約束力。ABCFal解：解除解：解除C處約束的工件可處約束的工件可簡化為懸臂梁，簡化為懸臂梁，F、FC作為作為第一組力。懸臂梁在第一組力。懸臂

24、梁在C處加處加單位力單位力1作為第二組力。作為第二組力。FCABC1alwBwC()2323()326Bla aala awEIEIEI33ClwEI第一組力在第二組力引起的位移上所作的功等于第一組力在第二組力引起的位移上所作的功等于第二組第二組力在第一組力引起的位移上所作的功為零（力在第一組力引起的位移上所作的功為零（C為鉸支）為鉸支）。0BCCFwF w()2332CFaFlal材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 29圖示靜不定結構由于鉸鏈圖示靜不定結構由于鉸鏈A的裝配誤差，使的裝配誤差，使A，B兩點分別兩點分別有位移有位移d dA 和和d dB 。在結構。在結構A

25、點的新位置（無裝配應力位置）點的新位置（無裝配應力位置）重新安裝鉸鏈后，重新安裝鉸鏈后， 在在B點作用一向下的載荷點作用一向下的載荷 F，求此時鉸，求此時鉸鏈鏈A的約束力（設結構保持線彈性）。的約束力（設結構保持線彈性）。 ABd dAd dBFABFAFA1解：第一種情況下，解：第一種情況下，A處的約束力為處的約束力為FA1， 第二種情況下，第二種情況下，A處的約束力為處的約束力為FA。由功的互等定理有由功的互等定理有100AABAFFFddAABFFdd材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 30 若若 Fi = Fj =F則則 D Di j = D Dj i線彈性體上

26、作用在線彈性體上作用在 j 處的一個力引起處的一個力引起 i 處的處的位移，等于它作用在位移，等于它作用在 i 處引起處引起 j 處的位移。處的位移。五、位移互等定理五、位移互等定理功的互功的互等定理等定理iijjjiFFD DlbhFFlbhFF圖示桿件在中央受一對大小相等，方向相反的力作用，材料處于線彈性圖示桿件在中央受一對大小相等，方向相反的力作用，材料處于線彈性狀態，求桿件的伸長狀態，求桿件的伸長D Dl。解：沿桿件軸線加相同的一對力解：沿桿件軸線加相同的一對力FhFhhEEbhbED FlhbED D 下圖中下圖中材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 31D D

27、 i j =D D j iFijD Dij力力F作用在作用在 j點點FijD Dji力力F作用在作用在 i點點位移互位移互等定理等定理材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 32位移互等定理位移互等定理 單位力單位力FiD Di j =FjD Dj id d i j =d d j i1ijd dij單位力單位力1作用在作用在 j點點1ijd dji單位力單位力1作用在作用在 i點點若若 Fi = Fj =1(無量綱無量綱) 稱為單位力稱為單位力材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 33位移互等定理位移互等定理注意：注意：(功、位移功、位移)互等定理只適

28、用于線彈性小變形體。互等定理只適用于線彈性小變形體。 作用在作用在j 處的處的單位力單位力引起引起 i 處的位移，處的位移，等于作用在等于作用在 i 處的處的單位力單位力引起引起 j 處的位移。處的位移。d d i j = d d j iAB1llAB122BABlEIdq1力力22ABAlwEId1力力d dBAd dAB材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 34廣義力廣義力1作用在中點作用在中點ABC1q qAClABC1wCAl廣義力廣義力1作用在端點作用在端點216ACAClEIdq216CACAlwEId材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院

29、 35關于互等定理關于互等定理q q BA = q qAB材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 36關于互等定理關于互等定理FiA =Mq qAi功的互等功的互等材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 37討論討論百分表百分表 懸臂梁受力如圖示。現用百分表測量懸臂梁受力如圖示。現用百分表測量 梁在各處的撓度，請設計一實驗方案。梁在各處的撓度，請設計一實驗方案。移動百分表？移動百分表？固定百分表？固定百分表？關于互等定理關于互等定理百分表固定在百分表固定在B處，移動載荷。處，移動載荷。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 38dFD

30、 DWCFFDW0dFCCVWFD顯然顯然 余功余功 WC = WC ( F ) 余能余能 VC = VC ( F )FD圖上方面積圖上方面積一、余功及余能一、余功及余能10.3 10.3 余能定理與卡氏定理余能定理與卡氏定理定義與外力功及應變定義與外力功及應變能互補的余功及余能能互補的余功及余能余功和余能均為余功和余能均為廣義載荷的函數。廣義載荷的函數。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 39D D1D D2D DiF1F2Fi二、余能定理二、余能定理 設任意彈性體（可以是非線性彈性體，）上設任意彈性體（可以是非線性彈性體，）上作用廣義載荷作用廣義載荷 F1，F2，

31、Fi , 對應點的位移為對應點的位移為 D D1，D D2， D Di ， 無剛性位移。無剛性位移。余能余能 VC = VC ( F1，F2 Fi ) 是載荷的函數。是載荷的函數。如果只有廣義載荷如果只有廣義載荷 Fi 有一個增量有一個增量dFi , 余功增量為余功增量為 dWC = D D i dFi材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 40FdFD DdWC D D余能增量為余能增量為ddCCiiVVFFddCiiiiVFFFDCiiVFD dWC = dVC 余能（余能（Crotti-Engesser）定理）定理 彈性體彈性體（線性和非線性）（線性和非線性）某載荷作

32、用點處的某載荷作用點處的位移，等于彈性體的余能對該載荷的一階偏導數。位移，等于彈性體的余能對該載荷的一階偏導數。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 41Di為正，表示位移方向（轉向）和力為正，表示位移方向（轉向）和力Fi 的方向的方向（轉向）一致，反之，則相反。（轉向）一致，反之，則相反。iiVFeD CiiVFD 線彈性體線彈性體某外力作用點處沿力作用方向某外力作用點處沿力作用方向的位移等于結構的應變能對該力的偏導數。的位移等于結構的應變能對該力的偏導數。對線彈性體對線彈性體 Ve e = VC三、卡氏第二定理三、卡氏第二定理D D FVe eVC意大利工程師意大利工

33、程師 阿爾伯托阿爾伯托卡斯提格里安諾卡斯提格里安諾 (Alberto Castigliano， 18471884)材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 42注意注意1、卡氏第二定理只適用于線彈性小變形體；、卡氏第二定理只適用于線彈性小變形體； 2、所求位移處必須要有與位移對應的廣義、所求位移處必須要有與位移對應的廣義 力作用；力作用；3、所求位移處廣義力必須與其它載荷所求位移處廣義力必須與其它載荷F1， F2， Fi ，要用不同的符號加以區別要用不同的符號加以區別；4、靜定結構的約束力要表示為所有各外載荷、靜定結構的約束力要表示為所有各外載荷 的函數。的函數。材料力學材料

34、力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 43注意注意5、若構件不同兩點、若構件不同兩點i、j處的兩個載荷符號處的兩個載荷符號F 相同，則令相同，則令i處處F=Fi 、j處處F=Fj ；若只求某點處位移，該點處載荷在若只求某點處位移，該點處載荷在求約束力求約束力前前必須與其它各處載荷用不同的符號區別！必須與其它各處載荷用不同的符號區別！ddddjiijijFVVFVFFFFFeee D D 材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 446、若所求位移處無外載荷作用，、若所求位移處無外載荷作用，則人則人 為附加一個與所求位移對應的載荷為附加一個與所求位移對應的載荷， 計算

35、系統在原載荷和附加載荷共同計算系統在原載荷和附加載荷共同 作用下的應變能，作用下的應變能，應變能對附加載應變能對附加載 荷求完偏導數后，再令附加載荷為荷求完偏導數后，再令附加載荷為 零零，即可求得該處的位移。，即可求得該處的位移。注意注意材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 45對線彈性桿系結構對線彈性桿系結構( )( )( )( )( )( )NNpdddiiiillliFxFxM xM xT xT xxxxEAFEVFIFGIFeD ( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe（對線彈性結構）卡氏定理的應用（對線彈性結構）卡氏定理的

36、應用計算載荷作用點的位移；計算載荷作用點的位移；計算無載荷作用點的位移，此時需在所求點沿計算無載荷作用點的位移，此時需在所求點沿 所求方向加一虛力，求導后再令虛力為零；所求方向加一虛力，求導后再令虛力為零；計算兩點相對位移，可在此兩點分別加一等值計算兩點相對位移，可在此兩點分別加一等值 反向共線力，求導后再令其為零；反向共線力，求導后再令其為零；同樣可以計算角位移及相對角位移。同樣可以計算角位移及相對角位移。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 46軸線為水平面內四分之一圓周的曲桿如圖所示，在自由端軸線為水平面內四分之一圓周的曲桿如圖所示，在自由端B作用豎直載荷作用豎直載

37、荷F。設。設EI和和GIp已知，試用卡氏定理求截面已知，試用卡氏定理求截面B在在豎直方向的位移。豎直方向的位移。解：在極坐標系中截面解：在極坐標系中截面mn上的上的彎矩和扭矩分別為：彎矩和扭矩分別為：()sin1 cosqq，MFRTFR2200p( d )( d )BMMTTRREIFGIFqqD 由卡氏定理由卡氏定理()23232200P33P11sind1 cosd(38)44FRFREIGIFRFREIGIq qqq材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 47解：解：(1)求求A點撓度點撓度梁的彎矩方程為梁的彎矩方程為 M =Fx （0 xl）0dlAVMMwxFE

38、IFe01()()dlFxxxEI3( )3FlEI 線彈性材料懸臂梁受力如圖，線彈性材料懸臂梁受力如圖，已知載荷已知載荷F，剛度，剛度EI及及l 。用用卡氏定理求：卡氏定理求：(1)加力點加力點A處的撓度；處的撓度；(2)梁中點梁中點B處的撓度。處的撓度。FxABC2l2l材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 48 在在B處施加與所求處施加與所求撓度方撓度方向相同的力向相同的力F1 , ,彎矩方程為彎矩方程為F1M1=Fx （0 xl /2）21()()22llMFxF xxl 1122202111ddlllBVMMMMwxxFEIFEIFe121() () d22ll

39、llFxF xxxEIF1=0(2)求梁中點求梁中點(非加載點非加載點)B的撓度的撓度FxABC2l2l材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 4935( )48FlEI21()d2lllFx xxEI說明說明 結果為正，表明結果為正，表明B點位移方向與虛力點位移方向與虛力F1一致一致, 即向下。即向下。 虛力虛力F1應在彎矩求完偏導以后再令其為零。應在彎矩求完偏導以后再令其為零。 虛力的符號應與其它力的符號有所區別，否虛力的符號應與其它力的符號有所區別，否 則會得出錯誤的結果。則會得出錯誤的結果。121() () d22llllFxF xxxEIF1=0材料力學材料力學

40、中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 502223311002 32212dd23312()2324318llFFVxxxxEIFF lFkkEIke( )342439CVFlFwFEIke解：系統變形能解：系統變形能C截面的撓度截面的撓度抗彎剛度為抗彎剛度為EI的梁，的梁，B端端彈簧剛度為彈簧剛度為k，試用卡氏，試用卡氏定理求力定理求力F作用點的撓度。作用點的撓度。 3l2 3lABCkFxx1材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 51解：求解：求A處撓度時處撓度時 令令A處集中力處集中力qa=F ，其它不變，其它不變M(x)=Fxqx2 / 2qa20daAVMM

41、wxFEIFe2420123()()d( )224aqxqaqaxqaxxEIEI彎矩對彎矩對F 求完偏導求完偏導后，再用后，再用qa 代回代回F 如何用卡氏定理求如何用卡氏定理求A端的撓度和轉角？端的撓度和轉角？qqa2qaaAx材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 52求求A處轉角時令處轉角時令 A處集中力偶處集中力偶 qa2=M1M(x)=qaxqx2 / 2M1011daAVMMxMEIMeq232015()( 1)d23aqxqaqaxqaxEIEI( )qqa2qaaAx材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 5322NN12112221.

42、365mm1313ni iiyiiiVF lFFlFlFE AFEAEAeD 用幾何法求解需作變形圖，借助幾何關系求位移。本題用幾何法求解需作變形圖，借助幾何關系求位移。本題求鉛直位移，直接用卡氏定理求解較簡，若求水平位移用卡求鉛直位移，直接用卡氏定理求解較簡，若求水平位移用卡氏定理較麻煩，可用莫爾定理求解較方便。氏定理較麻煩，可用莫爾定理求解較方便。圖示結構已知圖示結構已知F=35kN，d1=12mm，d2=15mm，E=210GPa。求求A點的垂直位移。點的垂直位移。 C B450 3001m A0.8m F解：由平衡方程求得兩桿的軸力分別為解：由平衡方程求得兩桿的軸力分別為N1N2221

43、313FFFF，N1N2221313FFFF ，對對F求偏導求偏導材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 54車床主軸如圖所示，其抗彎剛度車床主軸如圖所示，其抗彎剛度EI可視為常量。試求在載荷可視為常量。試求在載荷F作用下截面作用下截面B的轉角。的轉角。a4aABCFx2ABCFMx1解：解：在截面在截面B處附加力偶矩處附加力偶矩M并求支座約束力并求支座約束力 FA4AFaMFa列外伸梁各段的彎矩方程列外伸梁各段的彎矩方程及其對及其對M的偏導數的偏導數 111()4AFaMM xF xxa 11( )4M xxMa AB段段 22)(FxxM2()0M xMCB段段 求截面

44、求截面B的轉角的轉角 根據卡氏定理，截面根據卡氏定理，截面B的轉角為的轉角為 材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 550|( )( )dMBlM xM xxEIMq 41210120200()()11()|d()|daaMMM xM xM xxM xxEIMEIM24111014()()d0443axFaFaxxEIaaEI111()4AFaMM xF xxa 11()4M xxMa AB段段 22)(FxxM2()0M xMCB段段 a4aABCF按疊加原理，外伸梁可轉化為簡支梁在按疊加原理，外伸梁可轉化為簡支梁在B處受力偶處受力偶MB=Fa作用，由卡氏定理有作用，由

45、卡氏定理有4aAB MBBBVMeqx40( )daBM xMxEIM4021() ()d44(4 )433aBBMxxxEIaaMaFaEIEI 材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 56aABCFDaaF外伸梁受兩個大小均為外伸梁受兩個大小均為F的集中力作用，梁的的集中力作用，梁的EI及及a已知，已知，求求D的撓度。的撓度。解：解：求支座約束力，令求支座約束力，令D點的點的載荷為載荷為F1，這時支座約束力為，這時支座約束力為 11322ABFFFFFF，FAFBF1=列出剛架各段的彎矩方程及其對列出剛架各段的彎矩方程及其對F1的偏導數的偏導數x1x2x3AC段段111

46、111( )22AFFxMM xF xxF ，CB段段11222221()()222AFFFFaxMM xF axFxaxF ，DB段段31331()MM xFxxF ，計算計算D點撓度點撓度1322233300113()()d()()d( )|24aaDFFVaxFawFxxFxxxFEIEIe材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 57彎曲剛度均為彎曲剛度均為EI的靜定組合梁的靜定組合梁 ABC，在，在 AB段上受均段上受均布載荷布載荷q作用，梁材料為線彈性體。試用卡氏第二定作用，梁材料為線彈性體。試用卡氏第二定理求梁中間鉸理求梁中間鉸B兩側截面的相對轉角。兩側截面的相

47、對轉角。 ABCqll解：解：在中間鉸在中間鉸B兩側兩側 虛設一對外力偶虛設一對外力偶MB。MBMB各約束力如圖各約束力如圖 222BqlM BMqllBMlx122111()222BBqxqlMM xqlxMlAB段彎矩方程段彎矩方程CB段彎矩方程段彎矩方程x222()BMM xxl 材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 58由卡氏第二定理得由卡氏第二定理得0( )( )dBlBM xM xxEIMqD MB2211122()222()BBBqxqlMM xqlxMlM xM xl 2231111017()(2)d2224lqxxqlqlqlxxEIlEI 結果符號為正

48、，說明相對轉角結果符號為正，說明相對轉角D Dq qB B的轉向與圖中虛加外的轉向與圖中虛加外力偶力偶MB的轉向一致。的轉向一致。按照疊加原理，相對轉角按照疊加原理，相對轉角D Dq qB等于懸臂梁等于懸臂梁B的轉角及的轉角及B的撓的撓度引起的度引起的BC轉角的和。轉角的和。ABCqll33478624BBBwqlqlqllEIlEIEIqqD若計算懸臂梁的轉角和撓度會更簡單。若計算懸臂梁的轉角和撓度會更簡單。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 59FRFj jR(1-cosj j )彎曲剛度彎曲剛度為為EI的等截面開口圓環受的等截面開口圓環受一對集中力一對集中力F作用

49、，環的材料為線彈作用，環的材料為線彈性的。試用卡氏第二定理求圓環的性的。試用卡氏第二定理求圓環的張開位移張開位移D D和相對轉角和相對轉角q q 。解：張開位移解：張開位移)cos1 ()()cos1 ()(jjjjRFMFRM()033201( )2( )(d )231 cosd()MVMRFEIFFFRREIEIejjjjj D FRFj jR(1-cosj j )M1M1求相對轉角求相對轉角q q，虛加一對力偶虛加一對力偶M1。 1( )(1 cos )MFRMjj1220001( )( )22d2(1 cos )dMMMFRFRREIMEIEIjjqjjj材料力學材料力學 中南大學土木

50、建筑學院中南大學土木建筑學院 60說明下圖中說明下圖中的含義的含義VFe討討 論論12VFe D DD D1D D2FF材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 61若僅求若僅求D D1 1或或D D2 2又如何計算？又如何計算？先計算先計算A、B支座約束力；支座約束力；再令再令C 處處F=FC ，或，或D處處F=FD ;分段列彎矩方程；分段列彎矩方程；由卡氏定理求由卡氏定理求D D1 1或或D D2 2 。方方法法一一先令先令C 處處F=FC ，或，或D處處F=FD ;再計算再計算A、B支座約束力；支座約束力；分段列彎矩方程；分段列彎矩方程；由卡氏定理求由卡氏定理求D D1

51、 1或或D D2 2 。方方法法二二D D1D D2FFFFABCD材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 62解：解：求支座約束力求支座約束力 由圖可知，由圖可知，A、D點載荷同為點載荷同為F，為便于區分，為便于區分起見，令起見，令A點載荷為點載荷為F1，D點載荷點載荷為為F2，這時支座約束力為，這時支座約束力為 2221FFqlFE12()GxFFF1222GyFFqlF試用卡氏定理求圖所示剛架試用卡氏定理求圖所示剛架A點的水點的水平位移，設各桿抗彎剛度均為平位移，設各桿抗彎剛度均為EI。（計算中可略去軸力和剪力的影響）（計算中可略去軸力和剪力的影響）Fqll2l2l2

52、FFlABCDEGl2l2l2F2F1lABCDEGqFEFGyFGx列出剛架各段的彎矩方程及其列出剛架各段的彎矩方程及其對對F1的偏導數。由于是求的偏導數。由于是求A點的點的水平位移，則應該對該位移方水平位移，則應該對該位移方向的力向的力F1求偏導數。求偏導數。 材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 630M01FMED段段 12xFM 01FMDC段段 21222212222FFqllMxFqx221xFMCB段段 ()313212xFlxFFM21lFMAB段段 12()G xFFF1222G yFFqlF1222EFFqlFl2l2l2F2F1lABCDEGqFE

53、FGyFGxx1x2x3x4()421xFFM41xFMGA段段 計算計算A點水平位移點水平位移 注意求完導后，可令注意求完導后，可令F1=F2=F。根據卡氏定理。根據卡氏定理A點水平位移為點水平位移為 ( )( )1dDAlMxMxxEIF()3203222220d21d22221xlFxEIxxqxFlxqlEIllEIFl63材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 64 所求位移處載荷要在求支所求位移處載荷要在求支座約束力前與其它載荷區分座約束力前與其它載荷區分所求位移處若無載荷作用要所求位移處若無載荷作用要人為附加一個載荷，彎矩求人為附加一個載荷，彎矩求完偏導后再令

54、附加載荷為零。完偏導后再令附加載荷為零。 卡氏定理計算卡氏定理計算位移的不便之處？位移的不便之處？如何消除消除不便之處？如何消除消除不便之處？材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 65iiVFeD以彎矩為例，探討彎矩對某廣義力求偏導的含義。以彎矩為例，探討彎矩對某廣義力求偏導的含義。式中式中M(x)是是所有載荷共同作用下所有載荷共同作用下的彎矩方程。的彎矩方程。線彈性小變形情況下，內力符合疊加原理。線彈性小變形情況下，內力符合疊加原理。M(x) = M(F1 ， F2 ， Fi ， Fn ) =M1(x) + + Mi(x) + Mn(x)其中其中Mi(x) 是是Fi 單

55、獨作用于結構時引起的彎矩單獨作用于結構時引起的彎矩對線彈性桿系結構對線彈性桿系結構( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe( )( )dliM xM xxEIF 材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 66111222( )( )( )( )( )( )iiiMxF MxMxF MxMxF Mx其中其中 是是Fi =1，即，即i處單獨處單獨作用一個單位力作用一個單位力時引起的彎矩。時引起的彎矩。( )iM x因為因為Mi(x) 是是Fi 單獨作用于結構時引起的彎矩單獨作用于結構時引起的彎矩于是于是( )(00)( )(010)iiiM

56、xMFM xM，111( )( )( )( )iiiM xMxMxFMFM x ( )( )iiM xMxF( )M x簡記為簡記為所以所以材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 67( )( )( )( )ddlliM xM xM x M xxxEIFEI 是所求位移處是所求位移處單獨作用單獨作用一個與一個與位移對應的位移對應的單位力單位力時引起的彎矩時引起的彎矩( )M x莫爾莫爾積分積分若若K 處無載荷作用，處無載荷作用，附加一個載荷附加一個載荷FK ，附加載荷后的彎矩附加載荷后的彎矩*( )( )kMM xF M xKKVFeD( )( )*dlKMxMxxEIFF

57、k =0即無論所求位移處是否有載荷，只要在原結構即無論所求位移處是否有載荷，只要在原結構單獨單獨加一個加一個與所求位移對應的單位力，單位力作用下求得的內力方程與所求位移對應的單位力，單位力作用下求得的內力方程便是原所有載荷作用下的內力方程對廣義力的偏導數。便是原所有載荷作用下的內力方程對廣義力的偏導數。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 68一、虛位移一、虛位移D D虛位移虛位移約束允許的（滿足約束條件）；約束允許的（滿足約束條件）；滿足連續條件的滿足連續條件的 ； 在平衡位置上增加的（不是唯一的）；在平衡位置上增加的（不是唯一的）；任意微小位移。任意微小位移。真實位移

58、真實位移AB10.4 10.4 虛功原理虛功原理材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 69（1） 可以是與真實位移有關的位移，也可以與真可以是與真實位移有關的位移，也可以與真實位移無關；實位移無關； 虛位移虛位移真實位移真實位移虛位移與真實位移無關虛位移與真實位移無關AB（2）可以是真實位移的增量；）可以是真實位移的增量；（3）可以是另外一個與之相關系統的真實位移；可以是另外一個與之相關系統的真實位移；材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 70w1(x)可作為集中力作用下的虛位移，可作為集中力作用下的虛位移，w2(x)也可作為分布載荷作用下的虛位移。

59、也可作為分布載荷作用下的虛位移。w1(x)w2(x) 總之，虛位移是指有可能發生的無限小位移總之，虛位移是指有可能發生的無限小位移, 它與載荷無必然關系。因此，它不是唯一的。它與載荷無必然關系。因此，它不是唯一的。虛位移過程中，物體原有外力和內力保持不變。虛位移過程中，物體原有外力和內力保持不變。 “虛位移虛位移” 一詞，用以區別物體自身原有外力引一詞，用以區別物體自身原有外力引 起的真實位移。起的真實位移。材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 71式中式中D Di是與是與Fi對應的虛位移。對應的虛位移。二、虛功二、虛功W力在虛位移上所作的功力在虛位移上所作的功。 一般計

60、算虛功是在一個平衡力系上給一個一般計算虛功是在一個平衡力系上給一個虛位移，這時各力作功是常力作功，因此虛位移，這時各力作功是常力作功，因此iiWFD三、虛變形能三、虛變形能Ve e* 彈性體在虛位移過程中增加的變形能。彈性體在虛位移過程中增加的變形能。其數值等于內力虛功其數值等于內力虛功材料力學材料力學 中南大學土木建筑學院中南大學土木建筑學院 72dqFNFNd() lDMMdxdxTdjNd()ddVFlMTeqjD四、變形體虛功原理四、變形體虛功原理 處于平衡狀態的變形體在虛位移中，處于平衡狀態的變形體在虛位移中，外力所作的虛功等于彈性體的虛變形能。外力所作的虛功等于彈性體的虛變形能。材