1、最值問題（探索動點軌跡）輔助圓（隱圓）一、從圓的定義構造圓圓的定義：平面內到定點的距離等于定值的所有點構成的集合.構造思路：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.例1、如下左圖，在邊長為2的菱形ABCD中，ZA=60°, M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將AMN 沿MN所在直線翻折得到4A,MN，連接A'C,則AC長度的最小值是.例2、如上右圖，矩形ABCD中，AB=4, BC=8, P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點，AE=2, AEQ 沿EQ翻折形成FEQ，連接PF、PD,則PF+PD的最小值是.二、定邊對直角知識回顧：直徑所對的圓周角是直

2、角.構造思路：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.圖形釋義:AB若AB是一條定線段，且NAPB=90°,則U P點軌跡是以AB為直徑的圓.例1、如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF,連接CF交BD于點G，連接BE 交AG于點H，若正方形邊長為2,則線段DH長度的最小值是例2、如圖，正方形ABCD的邊長為4,動點E、F分別從點A、C同時出發，以相同的速度分別沿AB、CD 向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為點G，連接AG, 則AG長的最小值為.例3、如圖，正方形ABCD的邊長是4,點

3、E是AD邊上一動點，連接BE，過點A作AF±BE于點F，點P 是AD邊上另一動點，則PC+PF的最小值為三、定邊對定角在“定邊對直角”問題中，依據“直徑所對的圓周角是直角”，關鍵性在于尋找定邊、直角，而根據圓周角定理: 同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相.定邊必不可少，而直角則可一般為定角.例如，AB為定值， ZP為定角，則A點軌跡是一個圓.當然，NP度數也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°,下分別作對應的軌跡圓.若ZP=30°,以AB為邊，同側構造等邊三角形AOB, O即為圓心.若ZP=45°,以AB為斜

4、邊，同側構造等腰直角三角形AOB, O即為圓心.若NP=60°,以AB為底，同側構造頂角為120°的等腰三角形AOB, O即為圓心的等腰三角形AOB,O即為若NP =120°,以AB為底，異側為邊構造頂角為120°圓心.例1、如圖， ABC為等邊三角形，AB=2,若P為工ABC內一動點，且滿足NPAB =NACP,則線段PB長度的最小值為例2、如圖，AB是圓O的直徑，M、N是弧AB （異于A、B）上兩點，C是弧MN上一動點，NACB的角 平分線交圓O于點D,NBAC的平分線交CD于點E，當點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是四、從動模型

5、之軌跡為圓【模型總結】為了便于區分動點尸、0，可稱點尸為“主動點”，點0為“從動點”.此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(NPAQ是定值);主動點、從動點到定點的距離之比是定量(AP:AQ是定值).【結論】(1)主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角:N PAQ =N OAM；(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比:AP: AQ=AO: AM,也等于兩圓半徑之比.按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，0與尸的關系相當于旋轉+伸縮.古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.【思考1：如圖，P是圓O上一個動點

6、，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊 APQ.考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？分析Q點滿足(1)NPAQ=60°； (2) AP=AQ，故Q點軌跡是個圓：考慮NPAQ=60°,可得Q點軌跡圓圓心M滿足NMAO=60°；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.即可確定圓M位置，任意時刻均有APO/ AQM.小結可以理解AQ由AP旋轉得來，故圓M亦由圓O旋轉得來，旋轉角度與縮放比例均等于AP與AQ 的位置和數量關系.【思考2】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角AP0.考慮：當點P在圓O上運

7、動時，如何作出Q點軌跡?【分析】Q點滿足(1)NPAQ=45°； (2) AP:AQ = <2 ： 1,故Q點軌跡是個圓.連接AO,構造NOA"=45°且AO:AM= Q ： 1. M點即為Q點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有AOPAAMQ.即可確定點Q的軌跡圓.A例1、如下左圖，正方形ABCD中，AB 2<5 , O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2,連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DR連接AE、CF.求線段OF長的最小值.ED例2、如下右圖，k4BC中，AB=4, AC=2,以BC為邊在 ABC外作正方形BCDE, B

8、D、CE交于點O,則 線段AO的最大值為A五、軌跡之線段篇必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（NPAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.結論：P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于/PAQ （當NPAQW90°時，/PAQ等于MN與BC夾角）B PCP、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ （由AABCAAMN，可得AP:AQ=BC:MN）例1、如圖，在等邊/BC中，AB =10, BD=4, BE=2,點P從點E出發沿EA方向運動，連結PD3 PD為邊，在PD的右側按如圖所示的方式作等邊 DPF,當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是例2、

9、如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=1, F為AB邊上的一個動點，連接石尸，以EF為邊向右側作等邊 EFG，連接CG則CG的最小值為例3、如圖，在團ABCD中，BC=61月，對角線BD =10, tanZDBC=，點E是線段BC上的動點，連接 DE，過點D作DP±DE，在射線DP上取點F,使得ZDFE =ZDBC,連接。£則4DCF周長的最小 值為.【解答】解：過D點作DN±BC,交BC于點N,過點F作FM±/D,交延長線與點M,作C點關于直線MF的對稱點C,連接CD與MF交點即為F；VtanZDBCg, BD =10,DN=2

10、9; 5, BN=4' 5,BC=6： 5,:.CN =2;'虧，:.CD=2 / 10,V CF = C' F,. DCF周長=CD+DF+CF=2一T0+DC,此時周長最小；V DM BC,?.Z DNM=/ DNB=90°,VN DFE =Z DBC,. BDNDNM (AAS),.DM= BN=4,.; 5,.NC=6：二在白 DC'N 中，CD =10 2,. DCF周長的最小值為2 .TO+10 ；： 2,故答案為 2；Ici+10'.;1.堂堂堂1、如圖，在RS ABC中，NC=90°, AC=6, BC=8,點F在邊A

11、C上，并且CF=2,點E為邊BC上的動點， 將CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是.2、如圖，在RSABC中，NACB=90°, BC=4, AC=10,點D是AC上的一個動點，以CD為直徑作圓O, 連接BD交圓O于點E，則AE的最小值為.3、如圖，等邊皿。邊長為2, E、F分別是BC、CA上兩個動點，且BE=CF,連接AE、BF,交點為P點, 則CP的最小值為4、如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC= 2<2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半 圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為.P5、如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為

12、2V3的一個定點，AC±x軸于點M,交直線歹=-x于點N, 若點P是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°, BA±PA,則點P在線段ON上運動時，A點不變， B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.6.在平面直角坐標系中，A (1, 0), B (0,/3),過點B作直線BCx軸，點P是直線BC上的一個動點，以 AP 為邊在 AP 右側作 RtAAPQ，使NAPQ=90°,且 AP： PQ =1： ；3,連結 AB、BQ，則4ABQ 周 長的最小值為.【分析】設P (m，,巧).作AMLBC于M, QN±BC于N.利用新

13、三角形的性質求出點Q的坐標推出， 點Q的運動軌跡是直線歹=-&+5,：，作點A關于直線歹=-.：%+5廠后的對稱點A ,連接BA ,交 直線于Q/,連接AQ,此時 ABQ的周長最小.【解答】解：設P (m, 1耳).作AMLBC于M, QNLBC于N.VZ AMP =N APQ =N QNP = 90°, / APM+ Z NPQ=90°,Z NPQ +Z PQN=90°,AZ APM=Z PQN, AMP M PNQ, .幽=電=型=工PM NQ PQ ,.二工！=工PN NQ /3 .PN = 3, NQ ='.; 3 (m - 1),；.Q

14、(m+3, 2= 3 -二 Mm),，點Q的運動軌跡是y =- r' X+51:3,作點A關于直線y =-'；2+5'；虧的對稱點A ,連接BA ,交直線于Q/,連接AQ,此時 ABQ的 周長最小. 二A' (7, 2,: 3), B (0, 43), A (1, 0),二A ' B = ；/+(.屈 2=2"3, Ab = ：2+C=2, ABQ 的周長的最小值=AQ' +BQ' +AB = A' Q' +BQ' +AB = A / B+AB=2 / 13+2,故答案為2'.;l3+2.【鞏固練

15、習】1、如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB=5, AC=4. D是弧BC上的一個動點，連接AD, 過點C作CELAD于E,連接BE.在點D移動的過程中，BE的最小值為.2、在AABC中，AB=4,NC=60°,NA>NB,則BC的長的取值范圍是.3、如圖，點P (3,4),圓P半徑為2, A (2.8,0), B (5.6,0),點M是圓P上的動點，點C是MB的中點， 則AC的最小值是.4、如圖，在平面直角坐標系中，A (-3,0),點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上， 以AB為邊在AB的下方作等邊4ABP，點B在y軸上運動時，OP的最小值為.5、P,使

16、AD=PD,則PB的取值范圍為如圖所示，AB=4, AC=2,以BC為底邊向上構造等腰直角三角形BCD,連接AD并延長至點6、如圖，已知等邊4ABC的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點(與點A、B不重合).直線l是經過點P的一條直線，把4ABC沿直線l折疊，點B的對應點是點B.當PB=6時，在直線l變化過程中，AACB面積的最大值為8、如圖，點O為原點，OO的半徑為1，點A的坐標為（2,0）,動點B在OO上，以AB為邊作等邊ABC （順時針），則線段OC的最小值為9、如圖，AB=2, BC=4, A 是OB 上任二一點，點C為OB外一點，4ACD為等邊7、如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M

17、是高CH所在直線上的一個動點，連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,連接HN.則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是A. 4 . 3+4C 4/3+8D. 6'3三角形，則BCD的面積的最大值為()10、如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm, AD=4cm,點E從點A出發，沿射線AD移動，以CE為直徑作圓O,點F 為圓O與射線BD的公共點，連接EF、CF,過點E作EGLEF, EG與圓O相交于點G,連接CG.(1)試說明四邊形EFCG是矩形；(2)當圓O與射線BD相切時，點E停止移動，在點E移動的過程中，矩形EFCG的面積最小值為點G移動路線的長為.爪補充練習

18、:1 .如圖，在 ABC中巧，NBAC =90°, D是BC的中點，E是直線AD上的一個動點，連接EC, 將線段EC繞點C逆時針旋轉45°得到尸C,連接DR則在點E運動過程中，DF的最小值 是.2 .如下左圖，邊長為8的正方形ABCD中，動點P在CD邊上，以AP為直角邊向上作等腰RtAPE，邊PE與BC交于點方，連接BE.則線段BE在運動過程的最小值為.3 .如下右圖，正方形ABCD的邊長為2,點E、F分別是邊AB、CD上的動點，目AE = CF,連接EF,將線段EF繞點E逆時針旋轉90°得到線段EG，連接DG，則線段DG長的最小值為.4、如圖，正方形ABCD中AB=2,:5, O是BC邊的中點，點E是正方形內一動 點，OE=2,連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉90