1、 樊昌信 曹麗娜 編著 隨 機 過 程 隨機過程的基本概念平穩、高斯、窄帶過程的統計特性正弦波加窄帶高斯過程的統計特性隨機過程通過線性系統高斯白噪聲和帶限白噪聲 本章內容 隨機過程 de 基本概念t tt t1 1t t2 2n 定義定義：n 屬性屬性：n 特性描述特性描述：何謂隨機過程？n 一維分布函數11111() ( )F xtPtx，1111111()()F xtf xtx，一維概率密度函數3.1.1 隨機過程的分布函數n 二維分布函數二維概率密度函數)(),(2121221212122ttxxfxxttxxF，；，；，221121212)()()(xtxtPttxxF，；，-描述孤立

2、時刻的統計特性n n 維分布函數n 維概率密度函數 1( )( , )Etxf x t dxa t22( )( )tEt-擺動中心n 方差-偏離程度當當 a(t)=0 時：時： - t 的確定函數n 均值-描述隨機過程的主要特性3.1.2 隨機過程的數字特征 為常數或確知信號為常數或確知信號則則統計獨立，統計獨立，、如如)(,)()(,)()(tktEtktktEtEtktktEtEtEttEtttEtEtEtttEnn 2121212121期望的性質期望的性質方差的性質方差的性質 為常數或確知信號為常數或確知信號則則統計獨立，統計獨立，、如果如果tktDtktktDtDtktDtDtDttD

3、tt 2212121,令 ， 則有：1211( , )( ,)R t tR t tn 互相關函數n 自相關函數-同一過程的關聯程度21-tt-兩個過程的關聯程度3.2 平穩隨機過程 n 狹義平穩u 隨機過程的統計特性與時間起點無關。隨機過程的統計特性與時間起點無關。 一維分布則與時間一維分布則與時間t t 無關：無關： 二維分布只與間隔二維分布只與間隔有關：有關：n 廣義平穩u 均值與時間均值與時間 t 無關無關: :u 相關函數僅與相關函數僅與 有關有關: :11111( , )()f x tf x21212212( ,; , )( ,; )fx x t tfx x注意注意：3.2.1 定義

4、設設x(t) 是平穩過程的任一個實現，是平穩過程的任一個實現，它的時間平均值為：它的時間平均值為：/2/2/2/21( )lim( )1( )lim( ) ()TTTTTTax tx t dtTRx t x tdtT遍歷遍歷注意注意：意義意義：含義含義：3.2.2 各態歷經性（遍歷性）（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）( )( ( ) ()REtt2(0)( )REtS22( ) ( )REta ( )()RR2(0)( )RR ( )(0)RR2 ( )() 0 2 (0)2 ( )0EttRR2( )lim ( ) () ( ) () ( )REttEt EtEt -平均功

5、率平均功率-直流功率直流功率-交流功率（方差）交流功率（方差）-偶函數偶函數-上上 界界n 重要性質：3.2.3 平穩過程的自相關函數n 樣本的功率譜：統計平均統計平均2( )( )li)m(xTTE XPfPfTfE2( )m( )lixTTPXfTfn 過程的功率譜-截短函數截短函數3.2.4 平穩過程的功率譜密度（PSD）)()(PR0)(P)()(PP 當 =0時，有平穩過程的功率譜密度與自相關函數是一對傅里葉變換：維納-辛欽定理 PSD 性質：u偶函數： u非負性： l 自相關函數的意義自相關函數的意義？作用作用？ l 功率譜密度的意義功率譜密度的意義？作用作用？解題思路：第1步：判

6、斷 是否平穩，即求其統計平均值 若均值為常數，且自相關函數只與時間 間隔 有關， 則 是廣義平穩的。第2步：求 的時間平均值)(t第3步：比較 統計平均值 和 時間平均值)(t)(t參見教材41頁解題過程：例例3.3 高斯隨機過程 （1）若廣義平穩，則狹義平穩； （2）若互不相關，則統計獨立； （3）若干個高斯過程的代數和仍是高斯型； （4）高斯過程線性變換高斯過程。3.3.1 定義3.3.2 重要性質( ) t1( )( )2aaf x dxf x dx( )1f x dx關于直線關于直線 x=a 對稱對稱性質：性質：-集中程度集中程度a-分布中心分布中心n 一維概率密度函數記為記為(a ，

7、2) 3.3.3 高斯隨機變量1)(erf0)0(erfu誤差函數誤差函數n 正態分布函數函數u補誤差函數誤差函數0)(erfc1)0(erfc利用誤差函數，可將利用誤差函數，可將F(x)表示為：表示為：11222( )1122xaerfxaF xxaerfcxa，)()(xerfxerf( )1( )cerfxerf x )(2)(xerfcxerfc意義：3.4 平穩隨機過程 通過線性系統輸入有界且系統是物理可實現的，有 o( ) t( )iti ( )Etao( )(0)Eta Hi( )P f2oi( )( )( )P fH fP fii( )( )RP foo( )( )RP f 是

8、線性系統的直流增益； 2( )H f0)()0(dtthHo( ) t( )it平穩、高斯平穩、高斯平穩、高斯平穩、高斯常數常數常數常數是功率增益3.5 窄帶隨機過程通過窄帶系統的隨機信號或噪聲0ccfffn 窄帶條件：n 示意圖： 可視為包絡緩慢變化 的正弦波n 表達式：( )cos,( )( )(0)cttaa ttt包絡相位形式包絡相位形式( )( )( )cossincsccttttt同相正交形式同相正交形式隨機包絡隨機包絡隨機相位隨機相位同相分量同相分量正交分量正交分量n 兩者關系：n 統計特性：3.5.1 同相和正交分量的統計特性( )( )( )cossincsccttttt根據

9、上式和窄帶過程的統計特性，可推出： 均值均值 0 0、方差方差 的的平穩平穩高斯高斯窄帶窄帶過程過程 ，它的，它的 2平穩、高斯正交分量同相分量同樣也是)()(ttsc222cs0)0(SCR并且并且 互不相關互不相關統計獨立統計獨立高斯高斯均值均值 0 0平均功率相同平均功率相同結論1且且 均值為均值為0 0，方差也相同：，方差也相同：按照推導思路：借助結論1,根據關系：3.5.2 包絡和相位的統計特性推出結論2： 均值均值0 0 、方差方差 的的平穩平穩高斯高斯窄帶窄帶過程過程 ，它的，它的u包絡瑞利分布：包絡瑞利分布： u相位均勻分布：相位均勻分布： 且且 2 -統計獨立統計獨立結論2

10、3.6 正弦波加窄帶高斯過程窄帶高斯噪聲 ( 0, )n合成信號：cos( )( )cz ttt( )cos( )sinccscn ttn tt( )cos()(crAtn tt( )cos( )sinccScz ttztt關心-z(t) 的統計特性的統計特性:2常數 隨機相位在(0，2)上均勻分布在在給定給定條件下，利用條件下，利用3.5.2節節的推導方法和的推導方法和結論結論2。n分析思路：n推導結果： 討論：討論：萊斯萊斯分布分布注：注：u f()不再服從均勻分布不再服從均勻分布3.7 高斯白噪聲 和 帶限白噪聲白噪聲僅在 =0（同一時刻）時才相關。1. 白噪聲理想的寬帶過程其功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內：0( )( )2nR 0( )2nPn0 -常數 (W/Hz)2. 高斯白噪聲-指概率分布服從高斯分布的白噪聲。高斯白噪聲高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，在任意兩個不同時刻上的取值之間，不僅是互不相關的，而且還是統計獨立的。不僅是互不相關的，而且還是統計獨立的。 3. 帶限白噪聲-白噪聲通過帶寬有限的信道或濾波器的情形。常見形式：常見形式：0