1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義教 材:人教A版·普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·選修2-2授課教師:寧夏中衛(wèi)市第一中學(xué) 俞清華【教學(xué)目標(biāo)】知識與技能目標(biāo)：本節(jié)的中心任務(wù)是研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，概念的形成分為三個層次：(1) 通過復(fù)習(xí)舊知“求導(dǎo)數(shù)的兩個步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關(guān)系”，解決了平均變化率的幾何意義后，明確探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形成尋求解決問題的途徑。(2) 借助兩個類比的動畫，從圓中割線和切線的變化了解，推廣到一般曲線中用割線逼近的方法直觀定義切線。(3) 依據(jù)割線與切線的變化了解，數(shù)形結(jié)合探究函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，使學(xué)生認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)就

2、是函數(shù)的圖象在處的切線的斜率。即：曲線在處切線的斜率在此基礎(chǔ)上，通過例題和練習(xí)使學(xué)生學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問題，加深對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解。在學(xué)習(xí)過程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法。過程與方法目標(biāo)：(1) 學(xué)生通過觀察感知、動手探究，培養(yǎng)學(xué)生的動手和感知發(fā)現(xiàn)的能力。 (2) 學(xué)生通過對圓的切線和割線了解的認(rèn)識，再類比探索一般曲線的情況，完善對切線的認(rèn)知，感受逼近的思想，體會相切是種局部性質(zhì)的本質(zhì)，有助于數(shù)學(xué)思維能力的提高。(3) 結(jié)合分層的探究問題和分層練習(xí)，期望各種層次的學(xué)生都可以憑借自己的能力盡力走在教師的前面，獨(dú)立解決問題和發(fā)現(xiàn)新知、應(yīng)用新知。情感、態(tài)度、價值

3、觀：(1) 通過在探究過程中滲透逼近和以直代曲思想，使學(xué)生了解近似與精確間的辨證關(guān)系；通過有限來認(rèn)識無限，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的意義和價值；(2) 在教學(xué)中向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，如：探究活動，讓學(xué)生自主探究新知，例題則采用練在講之前，講在關(guān)鍵處。在活動中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，促進(jìn)他們真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識技能、數(shù)學(xué)思想方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提高綜合能力，學(xué)會學(xué)習(xí)，進(jìn)一步在意志力、自信心、理性精神等情感與態(tài)度方面得到良好的發(fā)展。【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：理解和掌握切線的新定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用于解決實(shí)際問題，體會數(shù)形結(jié)合、以直代曲的思想方法。難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)、理解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的

4、幾何意義。【教學(xué)方法】新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，數(shù)學(xué)思想和方法”。考慮授課對象是高二年級文科生，數(shù)學(xué)的知識基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維能力的層次差異較大，所以本節(jié)課設(shè)計為分層探究、自主實(shí)踐的活動課。分層教學(xué)體現(xiàn)在學(xué)生自選分層問題進(jìn)行探索新知、嘗試知識應(yīng)用以及課上的分層訓(xùn)練，目的是使學(xué)生在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上都得到盡可能多的提高，以改善優(yōu)生吃不飽，后進(jìn)生不消化的問題，從實(shí)處構(gòu)建高效課堂。學(xué)生的課堂練習(xí)可以展現(xiàn)學(xué)生的思維，暴露學(xué)習(xí)中的不足。故在課堂爭取更多的時間供學(xué)生進(jìn)行定時不定量的分層訓(xùn)練，訓(xùn)練系統(tǒng)分三部分，即A、

5、B、C三部分。教師指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)個人知識掌握的程度，自由選擇一組題目進(jìn)行練習(xí)。每組題目都有基礎(chǔ)題型以檢測本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)的完成情況，期望不同的學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上都能得到自身最大的發(fā)展。巧用信息技術(shù)，展示兩個類比的動畫，增強(qiáng)直觀性，期望不同層次的學(xué)生，在探索的過程中都有感知和發(fā)現(xiàn)，同時增加課堂容量。【學(xué)法指導(dǎo)】通過設(shè)計環(huán)環(huán)相扣的思考問題，引導(dǎo)學(xué)生主動地參與探究活動，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣，教師在這個過程中不打斷學(xué)生的思路，學(xué)生可以根據(jù)學(xué)案超前完成活動，期望有能力的學(xué)生走在老師的前面，同時，學(xué)生也可以根據(jù)需要尋求老師和同學(xué)的幫助，以更好地在課堂上完成學(xué)習(xí)任務(wù)。使學(xué)生充分經(jīng)歷“探索感知討論歸納發(fā)現(xiàn)新知應(yīng)用新知

6、解釋現(xiàn)象”這一完整的探究活動，以獲得理智和情感體驗(yàn)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生是水到渠成的。學(xué)生自主探索、動手實(shí)踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式，體現(xiàn)在整個教學(xué)過程中。【教學(xué)手段】(1) 借助多媒體輔助教學(xué)，強(qiáng)化直觀感知。(2) 提供學(xué)案“學(xué)生活動”，突破理解難點(diǎn)。平均變化率瞬時變化率導(dǎo) 數(shù)割線的斜率切線的斜率割 線切 線逼 近導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)的增減性應(yīng) 用數(shù)形結(jié)合類 比【數(shù)學(xué)知識線索】數(shù)：形：【教學(xué)流程】復(fù)習(xí)舊知，自然引出研究問題題動畫類比、知識遷移，獲得切線新定義數(shù)形結(jié)合，學(xué)生探索獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義通過例題和練習(xí)，鞏固知識，加深對導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識【教學(xué)過程】教 學(xué) 過 程 設(shè) 計 意 圖一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)

7、入新課1.回顧舊知、引出研究的問題：前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時變化率。那么：問：(1) 求導(dǎo)數(shù)的步驟有哪幾步?生：第一步：求平均變化率；第二步：求瞬時變化率.（即，平均變化率趨近于的確定常數(shù)就是該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)） (2)觀察函數(shù)的圖象，平均變化率 在圖形中表示什么？生：平均變化率表示的是割線的斜率.師：這就是平均變化率()的幾何意義，那么瞬時變化率()在圖中又表示什么呢？今天我們就來探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。老師引導(dǎo)學(xué)生回憶了解本節(jié)課的舊知識，下面探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義也是依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形成，尋求解決問題的途徑。教師板書，便于學(xué)生數(shù)形結(jié)合探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。突破平均變化率的幾何意義，后面

8、在表示割線斜率時能直接了解此知識。同時引出本節(jié)課的研究問題導(dǎo)數(shù)幾何意義是什么？（復(fù)習(xí)引入 用時約3分鐘）二、引導(dǎo)探究、獲得新知1.動畫類比，得到切線的新定義要研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念，即要探究，割線的變化趨勢，看下面的動畫。多媒體顯示【動畫1】：圓上點(diǎn)A處的切線AT和割線AB，演示點(diǎn)B從右邊沿著圓逼近點(diǎn)A ,然后再從左邊沿著圓逼近點(diǎn)A ，即，割線AB的變化趨勢。 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察割線與切線是否有某種內(nèi)在了解呢？生：先感知后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)，隨著點(diǎn)B沿著圓逼近點(diǎn)A，割線AB無限趨近于點(diǎn)A處的切線。 把割線逼近切線的結(jié)論從圓推廣到一般曲線，可得：多媒體顯示【動畫2】：動態(tài)演示教材上點(diǎn)沿著曲線趨近

9、于點(diǎn)時，割線的變化趨勢圖。師：類比【動畫1】，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨近于點(diǎn)時，即，研究割線的變化趨勢。學(xué)生觀察【動畫2】，類比得出一般曲線的切線定義：當(dāng)點(diǎn)沿著曲線逼近點(diǎn)時，即，割線趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線。突破研究的難點(diǎn)：，割線點(diǎn)P處的切線那么：，割線的斜率？與導(dǎo)數(shù)又有何關(guān)系呢？學(xué)生自選A或B組題目進(jìn)行下面的探究活動。2.數(shù)形結(jié)合，探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合【動畫2】的變化過程，學(xué)生思考下面的問題，探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。分層自選(A)、(B)中的一組。【探究一(A)】1.已知曲線上兩點(diǎn)：(1)根據(jù)切線定義可知：，割線趨近于切線PT 。那么割線的斜率與切線PT的斜率又有何關(guān)系

10、？生： (2)對比“時，平均變化率趨近的確定常數(shù)就是瞬時變化率”，又割線的斜率對應(yīng)平均變化率，那么切線的斜率對應(yīng)什么？生：切線的斜率對應(yīng)該點(diǎn)處的瞬時變化率，即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。 2.結(jié)合上面的研究過程，你能指出導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？ 生：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，即：【探究一(B)】1.已知曲線上兩點(diǎn)，求：(1)結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)，割線的斜率可表示為什么？生：(2)結(jié)合，割線切線PT，則切線PT的斜率可表示為什么？ 生： 2.你能發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？生：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，即：3.在上面的研究過程中，某點(diǎn)處的割線斜率與切線斜率與某點(diǎn)附近的平均變化率和瞬時變化率有何了解

11、？生： 平均變化率瞬時變化率 割線的斜率切線的斜率以求導(dǎo)數(shù)的兩個步驟為依據(jù)，從平均變化率的幾何意義入手探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，抓住的了解，在圖形上從割線入手來研究問題。帶著問題觀察動畫，借助熟悉的圓中的某點(diǎn)處的割線和切線，學(xué)生更易感知當(dāng)，割線的變化趨勢。用逼近的方法體會割線逼近切線，消除學(xué)生對極限的神秘感。肯定學(xué)生的研究結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生把這種由割線逼近的方法得到切線推廣到一般曲線，并由此得出割線的變化趨勢，為研究幾何意義做好鋪墊。類比兩個動畫，探索一般曲線中的切線定義，讓不同程度的學(xué)生都能借助直觀的圖象感知和發(fā)現(xiàn)，得出：，割線逼近該點(diǎn)處的切（直觀獲得切線的定義，至此用時約8分鐘）通過兩個思考問題：

12、（1）先解決割線斜率與切線斜率的關(guān)系，（2）再對照平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，自然得出切線的斜率對應(yīng)該點(diǎn)處的瞬時變化率即導(dǎo)數(shù)。（A）組題要求學(xué)生結(jié)合圖形直觀感知，找到了解得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。增加了鋪墊問題為學(xué)生引導(dǎo)思路。便于學(xué)生較好地完成探索活動，主動獲得知識。優(yōu)生可以選擇(B)組題，感知了解，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法研究數(shù)值表示。從直觀感知到數(shù)式研究相對照，有利于大多數(shù)學(xué)生主動建構(gòu)知識，進(jìn)而得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。要求學(xué)生善于歸納和總結(jié)并深入體會知識間的了解。 三、探索小結(jié)、重點(diǎn)講評1.獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)生快速探究活動后，展示研究成果，教師重點(diǎn)講評：割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P時，無限趨

13、近于切線PT的斜率，即 切線PT的斜率即為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義：師：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以解決哪些問題？生：已知某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或者切線的斜率可以求另外一個量。問：切線中，如果，則切線有怎樣的變化趨勢？如果呢？反之，由切線的變化趨勢，能否確定斜率的情況？生：，則切線呈上升趨勢；，則切線呈下降趨勢。由切線的變化趨勢可以得出切線的斜率情況，也即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)情況。2.了解以直代曲思想把點(diǎn)P附近函數(shù)的圖象放大，引導(dǎo)學(xué)生理解以直代曲思想是指某點(diǎn)附近一個很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線與切線的變化趨勢基本一致，故可由曲線上某點(diǎn)處的切線近似代替這一點(diǎn)附近的曲線。師：在某點(diǎn)附近一個很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線與切線

14、的變化趨勢有何關(guān)系？如果切線的斜率為正，則該點(diǎn)附近曲線的增減情況怎樣？生：點(diǎn)P附近，曲線和該點(diǎn)處的切線的增減變化情況一致。如果切線的斜率為正，則該點(diǎn)附近曲線呈上升趨勢。借助實(shí)物投影儀，展示學(xué)習(xí)成果，學(xué)生經(jīng)歷了完整的探究過程后，教師的講評就可以有針對性和詳略，學(xué)生也可以結(jié)合自己探究的體會更好地建構(gòu)知識。突破導(dǎo)數(shù)的幾何意義這個學(xué)習(xí)重點(diǎn)。復(fù)習(xí)一次函數(shù)的增減性，為后面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性埋下伏筆。通過將曲線一點(diǎn)處的局部“放大、放大、再放大”的直觀方法，形象而逼真地再現(xiàn)“以直代曲”思想。滲透用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究函數(shù)的增減性至此突破學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)，用時約15分鐘四、知識應(yīng)用、鞏固理解1.導(dǎo)數(shù)幾何意義的

15、應(yīng)用例題：如圖，它表示跳水運(yùn)動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖象。 (1) (2)【探究二(A)】1用圖形體現(xiàn)，的幾何意義。2導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，反應(yīng)該點(diǎn)附近的曲線有何變化趨勢？3請描述、比較曲線在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？分析：附近：瞬時，增減：變化率，即研究函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時變化率，也就是導(dǎo)數(shù)。可借助切線的變化趨勢得到導(dǎo)數(shù)的情況。生：作出曲線在這些點(diǎn)處的切線，在處切線平行于軸，即，說明在時刻附近變化率為0，函數(shù)幾乎沒有增減；在作出切線，切線呈下降趨勢，即，函數(shù)在點(diǎn)附近單調(diào)遞減。曲線在附近比在附近下降得更快，則是因?yàn)椤！咎骄慷?B)】【探究二(B)】1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，描述在附近

16、增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？2. 如何用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減？小結(jié)：附近：瞬時，增減：變化率，即研究函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時變化率，也就是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即對應(yīng)函數(shù)的增減。作出該點(diǎn)處的切線，可由切線的升降趨勢，得切線斜率的正負(fù)即導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，就可以判斷函數(shù)的增減性，體會導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。同時，結(jié)合以直代曲的思想，在某點(diǎn)附近的切線的變化情況與曲線的變化情況一樣，也可以判斷函數(shù)的增減性。都反應(yīng)了導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。例題變式1：函數(shù)上有一點(diǎn)，求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并由此解釋函數(shù)的增減情況。函數(shù)在定義域上任意點(diǎn)處的瞬時變化率都是3，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。(此時

17、任意點(diǎn)處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)例題變式2：下圖是函數(shù)的圖象，請回答下面的問題：【探究三(A)】1.請指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明。生：單調(diào)區(qū)間有：作出區(qū)間內(nèi)一系列的曲線的切線，發(fā)現(xiàn)切線呈現(xiàn)一致的上升或下降的趨勢，即切線的斜率一致為正或負(fù)，所以導(dǎo)數(shù)值在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒正或恒負(fù)，對應(yīng)函數(shù)單調(diào)遞增或遞減。【探究三(B)】1.請指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明。答案同上2.根據(jù)上題的結(jié)論，研究某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值、切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)性之間有何關(guān)系？ 生：從數(shù)的角度：導(dǎo)數(shù)正負(fù)對應(yīng)函數(shù)的增減， 從形的角度反映為切線斜率的正負(fù)對應(yīng)函數(shù)的增減。 函數(shù)的增減導(dǎo)數(shù)的正負(fù) 切線的斜率

18、的正負(fù) 小結(jié)：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化率，從圖形上來看，表現(xiàn)為切線的斜率，如果導(dǎo)數(shù)為正，則切線的斜率為正，切線呈上升趨勢，曲線在該點(diǎn)附近也是上升趨勢，函數(shù)單調(diào)增；如果導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則切線的斜率為負(fù)，切線呈現(xiàn)為下降趨勢，曲線在該點(diǎn)附近也是下降趨勢，函數(shù)單調(diào)減。見學(xué)案“學(xué)生活動”優(yōu)生可在完成【探索一】后提前進(jìn)行知識的應(yīng)用。要求學(xué)生動腦(審題),動手(畫切線)，動口(討論)，體會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)在某點(diǎn)附近的單調(diào)性，滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，運(yùn)用以直代曲的思想方法。問題1由具體的導(dǎo)數(shù)入手，熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幫助學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的了解。 問題2引導(dǎo)學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)反映變化率的本

19、質(zhì)。問題3運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，借由切線的變化趨勢，得出切線的斜率即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的情況，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性。給出曲線上各點(diǎn)的切線的變化圖，體會導(dǎo)數(shù)就是反映函數(shù)變化率的，借助曲線可以得出切線斜率的情況即該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的情況。體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)增減和變化快慢的應(yīng)用。 引導(dǎo)優(yōu)生進(jìn)一步體會導(dǎo)數(shù)用來刻畫變化情況的應(yīng)用和拓展研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增減的關(guān)系。變式題復(fù)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的求法，加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減情況應(yīng)用的認(rèn)識，也是例題結(jié)論的進(jìn)一步驗(yàn)證。結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明單調(diào)性，學(xué)生進(jìn)一步感知導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)變化情況中的應(yīng)用。進(jìn)一步體會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決問題，通過老師的小結(jié)，加深對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解。（至此時間約30分鐘）

20、五、分層練習(xí)、提升能力（定時不定量的練習(xí)，期望學(xué)生熟能生巧）訓(xùn)練系統(tǒng)分三部分，即A、B、C三部分。教師指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)個人知識掌握的程度，自由選擇一組題目進(jìn)行練習(xí)。每組題目都有基礎(chǔ)題型以檢測本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)的完成情況。第一部分(A)都是典型基礎(chǔ)題，它包含選擇題、解答題，題目編排由淺入深，增加了鋪墊的設(shè)問，為基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生引導(dǎo)思路。這部分題目的完成與否，標(biāo)志著這節(jié)課新知識是否基本掌握。第二部分(B)是基礎(chǔ)題與綜合題相結(jié)合，學(xué)生在掌握新知識應(yīng)用及規(guī)范表達(dá)的基礎(chǔ)上初步接觸變式訓(xùn)練和綜合訓(xùn)練。這組題的完成標(biāo)志著學(xué)生已達(dá)到良好的學(xué)習(xí)水平。第三部分(C)包含有綜合、發(fā)展題，除了能綜合運(yùn)用知識外，還強(qiáng)調(diào)解題的

21、靈活性和數(shù)學(xué)思維的敏捷性。這組題的完成標(biāo)志著學(xué)生已達(dá)到優(yōu)秀或冒尖程度。課上選擇不同學(xué)生的分層練習(xí)，用實(shí)物投影儀展示答案。針對典型題，講思路，講方法，學(xué)生可以課后再補(bǔ)充過程。拓展思維的不講，學(xué)生自主鉆研。次日，把學(xué)生的練習(xí)卷收集上來及時進(jìn)行統(tǒng)計分析、錄入學(xué)生檔案。教師分析學(xué)生的完成情況，易錯點(diǎn)和難點(diǎn)，為今后的教學(xué)積累第一手的素材，及時調(diào)控教學(xué)，做到有的放矢。這些材料還可以在階段性的評價中作為學(xué)生自評的依據(jù)之一。每一周左右，學(xué)生可以自選最佳習(xí)作存入學(xué)生成長記錄中，作為自評的依據(jù)。練習(xí)題見附注1長期的學(xué)生自選和老師指導(dǎo)相結(jié)合，學(xué)生可以選擇適合自己發(fā)展的題組進(jìn)行訓(xùn)練，以得到更好地發(fā)展。分層是不固定的，

22、學(xué)生跟據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況選擇相應(yīng)的練習(xí)。C組題對應(yīng)檢測本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)：了解和掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義簡單判斷函數(shù)的增減性。優(yōu)生可以選擇題目進(jìn)行訓(xùn)練，提倡跳躍式選題訓(xùn)練和抓住關(guān)鍵部分進(jìn)行局部訓(xùn)練，使優(yōu)生可以避免重復(fù)、無效的練習(xí)。 (至此時間約43分鐘)六、歸納總結(jié)、深化認(rèn)識這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識和方法？學(xué)生進(jìn)行開放式小結(jié)：（回顧學(xué)習(xí)的兩個知識和數(shù)學(xué)思想方法）(1)切線的定義：當(dāng)點(diǎn)沿著曲線逼近點(diǎn)時，即，割線趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線。(2)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖象在處的切線的斜率。數(shù)學(xué)思想方法：體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法、逼近的思想

23、方法、“以直代曲”的思想方法。剩余2分鐘左右時間給學(xué)生總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識和數(shù)學(xué)方法，教師投影進(jìn)行補(bǔ)充，便于課后進(jìn)行查漏補(bǔ)缺.課后繼續(xù)學(xué)習(xí)：學(xué)生繼續(xù)嘗試課堂未完成的練習(xí)。培養(yǎng)學(xué)生自我提高、自我發(fā)展的能力。鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，落實(shí)教學(xué)目標(biāo)。 導(dǎo)數(shù)的幾何意義教 材:人教A版·普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·選修22授課教師: 中衛(wèi)市第一中學(xué) 俞清華授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)：新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，微積分教學(xué)“返璞歸真”，把極限、連續(xù)、瞬時速度等概念，建立在樸素理解的基礎(chǔ)上，直接由變化率問題得到導(dǎo)數(shù)的概念，進(jìn)而研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義（圖形上的直觀體現(xiàn)）及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用。本

24、節(jié)內(nèi)容按照先突破一般曲線的切線定義（割線無限逼近的確定位置上的直線就是該點(diǎn)處的切線）；再結(jié)合舊知識“平均變化率表示割線的斜率”，學(xué)生對照動畫探究“割線逼近切線割線的斜率逼近切線的斜率切線的斜率對應(yīng)該點(diǎn)處的瞬時變化率即導(dǎo)數(shù)”的線索展開。怎樣找到曲線上一點(diǎn)處的切線呢？只要回顧一下小學(xué)生或初中生畫切線的過程，就不難理解“割線逼近切線”的數(shù)學(xué)方法，這便是導(dǎo)數(shù)的幾何源頭。從近似過渡到精確，通過圖形直觀逼近的方法消除學(xué)生對極限的神秘感，通過將曲線一點(diǎn)處的局部“放大、再放大”的直觀方法，形象而逼真地再現(xiàn)了“局部以直代曲”背后的深刻內(nèi)涵和哲學(xué)原理。教學(xué)目標(biāo)定位：本節(jié)的中心任務(wù)是研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，概念

25、的形成分為三個層次：(1) 通過復(fù)習(xí)舊知“求導(dǎo)數(shù)的兩個步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關(guān)系”，解決了平均變化率的幾何意義后，明確探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形成尋求解決問題的途徑。(2) 借助兩個類比的動畫，從圓中割線和切線的變化了解，推廣到一般曲線中用割線逼近的方法直觀定義切線。(3) 依據(jù)割線與切線的變化了解，數(shù)形結(jié)合探究函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，使學(xué)生認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的圖象在處的切線的斜率。即：曲線在處切線的斜率在此基礎(chǔ)上，通過例題和練習(xí)使學(xué)生學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問題，加深對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解。在學(xué)習(xí)過程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法。知識的基

26、礎(chǔ)與外延：導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最值及相關(guān)實(shí)際問題的有效工具。本節(jié)內(nèi)容在學(xué)習(xí)了“變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念”等知識的基礎(chǔ)上，通過在探究過程中滲透逼近和以直代曲思想，使學(xué)生了解近似與精確間的辨證關(guān)系；通過有限來認(rèn)識無限，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的意義和價值；形與數(shù)的有機(jī)結(jié)合，把幾何與代數(shù)了解在一起。學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容有助于學(xué)生更好認(rèn)識導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具，增強(qiáng)動手能力及感知發(fā)現(xiàn)的能力，在思想方法上又可以深化數(shù)形結(jié)合認(rèn)識。同時，也為后繼學(xué)習(xí)微積分中“以直代曲”的重要思想方法作了鋪墊。教材選擇了大量具有基礎(chǔ)性、典型性和可接受性的生活實(shí)例（如：某時刻跳水運(yùn)動的變化、藥物濃度），尤其是許多

27、具有物理背景的實(shí)例（如：平均速度、瞬時速度、加速度等），這些素材的選取，首先有助于反映導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)和應(yīng)用，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時也符合學(xué)生的心理特征和認(rèn)知水平。而運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)，則生動再現(xiàn)了變化和了解，把計算機(jī)變成學(xué)習(xí)的好伙伴。教學(xué)診斷分析：結(jié)合學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)情況及練習(xí)、測驗(yàn)的分析結(jié)果得出：在中學(xué)作為“教育形態(tài)”而非“學(xué)術(shù)形態(tài)”的微積分可以適當(dāng)簡化和降低理論的嚴(yán)格推導(dǎo)過程，形象直觀地去認(rèn)識和感受它，這既減少了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，又有利于真正理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)。1.類比兩個動畫，在熟悉的圓中觀察割線與切線的變化了解，推廣到一般曲線中用割線逼近的方法得到切線，突破當(dāng)時

28、，對割線變化趨勢的研究。 （易了解）分析：改變了知識的嚴(yán)密推理，從直觀圖象出發(fā)，用動畫演示變化過程，強(qiáng)化學(xué)生的感知，得到新的認(rèn)識體驗(yàn)，為研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義奠定基礎(chǔ)。2.對照圖形中割線到切線的了解，得出兩者斜率的關(guān)系，再從數(shù)值上研究得到導(dǎo)數(shù)的幾何意義。（中等難度）分析：提供兩組不同難度的分層思考問題，幫助學(xué)生突破此知識點(diǎn)。割線的斜率切線的斜率；平均變化率瞬時變化率 (即該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)) 3.“以直代曲”的思想容易誤解的是用直線去代替某一段曲線。 （易誤解）分析：通過將曲線一點(diǎn)附近的局部“放大、放大、再放大”的直觀方法，形象而逼真地再現(xiàn)在某點(diǎn)附近的很小區(qū)域內(nèi)可以用切線近似代替曲線來研究問題，即“以直代

29、曲”的思想，幫助學(xué)生消除誤解。4例題中根據(jù)圖象，描述、比較曲線在3個不同時刻附近的變化情況。 （易誤解）分析：考慮多數(shù)學(xué)生可能是由圖象直觀判斷得出答案，沒有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和以直代曲的思想。故教師在點(diǎn)撥時，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用切線的升降近似得到該點(diǎn)處切線的斜率即導(dǎo)數(shù)的情況，進(jìn)而研究附近曲線的升降即函數(shù)的增減，同時期望優(yōu)生能感知導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)增減的了解，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用埋下伏筆。教法特點(diǎn)：新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，數(shù)學(xué)思想和方法”。考慮授課對象是高二年級文科生，數(shù)學(xué)的知識基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)基本能力差異較大，所以本

30、節(jié)課設(shè)計為分層探究、自主實(shí)踐的活動課。從借助兩個類比的動畫演示，研究割線斜率與切線斜率的關(guān)系到數(shù)值表示上對照平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，設(shè)計(A)、(B)兩組分層的探究問題，適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)思路，給后進(jìn)生提供探索和感知的平臺；給優(yōu)生在能力培養(yǎng)方面提出更高的要求，期望不同層次的學(xué)生在自主探索的過程中都有感知和發(fā)現(xiàn)，自主獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義。在課堂練習(xí)中也采取分層練習(xí)的方法，即A、B、C三部分，每組題目都有基礎(chǔ)題型以檢測本節(jié)課的基本學(xué)習(xí)任務(wù)的完成情況。教師指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)個人知識掌握的程度，自由選擇適當(dāng)難度的題目進(jìn)行練習(xí)，期望不同的學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上都能得到自身最大的發(fā)展。教學(xué)過程中提供更多的機(jī)會給學(xué)生進(jìn)行自主實(shí)踐，主動建構(gòu)知識體系。相信學(xué)生可以按自己的方法和速度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、理解數(shù)學(xué)原理、掌握數(shù)學(xué)方法，并應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，給學(xué)生更多成功的體驗(yàn)。教學(xué)中始終關(guān)注后進(jìn)生的活動，及時給與肯定和鼓勵，也作為合整理協(xié)助他們獲得知識。通過教師的長期培養(yǎng)，學(xué)生慢慢養(yǎng)成探索的習(xí)慣，最終達(dá)到主動探索，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。預(yù)期效果分析：知