1、機械工程控制基礎機械工程控制基礎主講人：林華主講人：林華 機械類專業必修課機械類專業必修課機械與電子工程學院機械與電子工程學院第一講第一講 穩定性概念穩定性概念 Routh判據判據5 5、系統的穩定性分析、系統的穩定性分析一、系統穩定性概念一、系統穩定性概念1 1）不穩定現象的發生：）不穩定現象的發生： 實例分析實例分析液壓隨動系統穩定性分析液壓隨動系統穩定性分析4321依據上述實例可得如下結論：依據上述實例可得如下結論： A系統穩定與否取決于系統內部條件，系統穩定與否取決于系統內部條件，而與輸入無關；而與輸入無關；A系統發生不穩定必有適當的反饋作用；系統發生不穩定必有適當的反饋作用；A控制理

2、論中討論的穩定性是輸入為控制理論中討論的穩定性是輸入為零而初始狀態不為零的穩定性。零而初始狀態不為零的穩定性。二、穩定性的定義和條件二、穩定性的定義和條件1.1.穩定性定義穩定性定義定義：定義：系統穩定性系統穩定性是指系統在是指系統在干擾作用干擾作用下下偏離平衡位偏離平衡位置置，當，當干擾撤除干擾撤除后，系統后，系統自動回到平衡位置自動回到平衡位置的能力。的能力。系統穩定性說明系統穩定性說明 1： 若系統在若系統在初始狀態的影響初始狀態的影響下，由它所引起的系統的下，由它所引起的系統的時間響應隨著時間的推移時間響應隨著時間的推移，逐漸，逐漸衰減并趨向于衰減并趨向于0 0（即回（即回到平衡位置）

3、，則稱到平衡位置），則稱系統為穩定的系統為穩定的；反之，由它所引起；反之，由它所引起的系統的時間響應隨著時間的推移而的系統的時間響應隨著時間的推移而發散發散（即偏離平衡（即偏離平衡位置越來越遠），位置越來越遠），則稱系統是不穩定的則稱系統是不穩定的。 線性系統的線性系統的穩定性穩定性是系統的固有特性，僅與系統是系統的固有特性，僅與系統的結構與參數有關；非線性系統的穩定性不僅與系統的結構與參數有關；非線性系統的穩定性不僅與系統的結構與參數有關，而且還與的結構與參數有關，而且還與系統的輸入有關系統的輸入有關。系統穩定性說明系統穩定性說明 2：2.2.穩定性充要條件穩定性充要條件 系統穩定的充要條件

4、是系統所有特征根的實部系統穩定的充要條件是系統所有特征根的實部小于小于0 0，或系統傳遞函數的所有極點均分布在，或系統傳遞函數的所有極點均分布在ss平面的左半平面內。平面的左半平面內。 臨界穩定的系統極易因為系統的結構和參臨界穩定的系統極易因為系統的結構和參數的細微變化而變成不穩定的系統。因此，數的細微變化而變成不穩定的系統。因此，臨界穩定往往也歸結為不穩定的一種。臨界穩定往往也歸結為不穩定的一種。三、關于穩定性的相關提法三、關于穩定性的相關提法1. 1. 李亞普諾夫意義下的穩定性李亞普諾夫意義下的穩定性)(o 若若o o為系統的平衡工作點，為系統的平衡工作點，擾動使系統偏離此工作點的起擾動使

5、系統偏離此工作點的起始偏差（即初態）不超過域始偏差（即初態）不超過域，由擾動引起的輸出（這種初態由擾動引起的輸出（這種初態引起的零輸入響應）及其終態引起的零輸入響應）及其終態不超過預先給定的整數不超過預先給定的整數，則，則系統是穩定的，反之，系統是系統是穩定的，反之，系統是不穩定的。不穩定的。3. 3. “小偏差小偏差”穩定性穩定性 系統初始偏差（初態）不超過某一微小范圍時的穩系統初始偏差（初態）不超過某一微小范圍時的穩定性，稱之為定性，稱之為“小偏差穩定性小偏差穩定性”或或 “局部穩定性局部穩定性”。4. 4. “大范圍大范圍”漸近穩定性漸近穩定性 若系統在任意初始條件下都保持漸近穩定，則系

6、統若系統在任意初始條件下都保持漸近穩定，則系統稱為稱為“大范圍漸近穩定大范圍漸近穩定”，反之，系統是不穩定的。，反之，系統是不穩定的。2. 2. 漸近穩定性漸近穩定性 就是線性系統的穩定性，要求由初始狀態引起的就是線性系統的穩定性，要求由初始狀態引起的響應最終衰減為零。漸近穩定性滿足李氏穩定性定響應最終衰減為零。漸近穩定性滿足李氏穩定性定義；對非線性定義，這兩種穩定性是不同的。義；對非線性定義，這兩種穩定性是不同的。控制工程中希望大范控制工程中希望大范圍漸近穩定，基于精圍漸近穩定，基于精度要求，也需要確定度要求，也需要確定最大范圍。最大范圍。四、四、Routh穩定判據穩定判據1. 1. 系統穩

7、定的必要條件系統穩定的必要條件設系統的特征方程為：設系統的特征方程為：0)(0111asasasasDnnnn兩邊同除兩邊同除an)()(210111nnnnnnnssssssaasaasaasniinnnjijijinniinsssssss122,111)1(依據上式，依據上式，s的同次冪前系數應對等的同次冪前系數應對等niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2, 132, 1211)1(. 要使系統穩定，即系統全部特征根均具有負實部，就必要使系統穩定，即系統全部特征根均具有負實部，就必須滿足以下兩個條件：須滿足以下兩個條件：A特征

8、方程的各項系數都不等于特征方程的各項系數都不等于0；A特征方程的各項系數的符號相同。特征方程的各項系數的符號相同。按習慣，一般取最高階次項的系數為正，上述兩個條件可以歸結按習慣，一般取最高階次項的系數為正，上述兩個條件可以歸結為系統特征方程的各項系數全大于為系統特征方程的各項系數全大于0 0，此即系統穩定的必要條件。，此即系統穩定的必要條件。2. 2. 系統穩定的充要條件系統穩定的充要條件對系統的特征方程：對系統的特征方程：0)(0111asasasasDnnnn其各階系數按下列形式排成其各階系數按下列形式排成RouthRouth表：表：ns1ns2ns3ns2s1s0sna2na4na6na

9、1na3na5na7na1A2A3A4A1B2B3B4B1D2D1E1F13211nnnnnaaaaaA15412nnnnnaaaaaA17613nnnnnaaaaaA121311AAaaABnn131512AAaaABnn141713AAaaABnn元素計算方法：元素計算方法：RouthRouth判據判據：RouthRouth表中表中第一列各元符號改變的次數第一列各元符號改變的次數等于系等于系統統特征方程特征方程具有具有正實部特征根的個數正實部特征根的個數。因此系統穩定的充。因此系統穩定的充要條件可表述為：要條件可表述為：RouthRouth表中第一列各元的符號均為正。表中第一列各元的符號均

10、為正。實例分析實例分析1 1 系統特征方程系統特征方程0301119)(234sssssD試用試用RouthRouth表判斷其穩定性。表判斷其穩定性。4s3s2s1s0s1193011103030012030301111)19(1123030111)30(改變符號一次改變符號一次改變符號一次改變符號一次解：解：由由Routh判據：判據：系統不穩定。系統不穩定。3. 3. 系統穩定的特殊情況系統穩定的特殊情況（1）如果在）如果在RouthRouth表中任意一行的第一個元素為表中任意一行的第一個元素為0 0，而其后各元不全為，而其后各元不全為0 0，則在計算下一行的元素時，將趨向于無窮大。于是則在

11、計算下一行的元素時，將趨向于無窮大。于是RouthRouth表計算無法繼表計算無法繼續，為了克服這一困難，續，為了克服這一困難，用一個很小的正數用一個很小的正數代替第一列的代替第一列的0 0，然后計，然后計算算RouthRouth表的其余各元。若表的其余各元。若上下各元符號不變，且第一列元素符號均上下各元符號不變，且第一列元素符號均為正，則系統特征根中有共軛的虛根。此時，系統為臨界穩定系統。為正，則系統特征根中有共軛的虛根。此時，系統為臨界穩定系統。（2）如果）如果Routh表中任意一行的所有元素都為表中任意一行的所有元素都為0，Routh表的計算無法表的計算無法繼續。此時，可以利用該行的上一

12、行的元素構成一個輔助多項式，并用繼續。此時，可以利用該行的上一行的元素構成一個輔助多項式，并用多項式的導數的系數組成多項式的導數的系數組成Routh表的下一行。這樣，表的下一行。這樣，Routh表就可以計表就可以計算下去。算下去。 出現這種情況，一般是由于系統的特征根中，或存在兩個符號相出現這種情況，一般是由于系統的特征根中，或存在兩個符號相反的實根（系統自由響應發散，系統不穩定），或存在一對共軛的純反的實根（系統自由響應發散，系統不穩定），或存在一對共軛的純虛根（即系統自由響應維持某一頻率的等幅振蕩，系統臨界穩定），虛根（即系統自由響應維持某一頻率的等幅振蕩，系統臨界穩定），或是以上幾種根的

13、組合。或是以上幾種根的組合。實例分析實例分析2 2 系統特征方程：系統特征方程：04244)(2345ssssssD試用試用RouthRouth表判斷其穩定性。表判斷其穩定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：4s3s2s1s0s1421442024 42448425s0004改變符號一次改變符號一次由由Routh判據：判據：系統不穩定。系統不穩定。實例分析實例分析3 3 系統特征方程：系統特征方程：0502548242)(2345ssssssD試用試用RouthRouth表判斷其穩定性。表判斷其穩定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：8964s3s2s1s0s1

14、24252485000024507 .1125s00500RouthRouth表中出現表中出現0 0元行，構造輔元行，構造輔助多項式如下：助多項式如下：050482)(24sssF取取F F( (s s) )對對s s的導數得新方程：的導數得新方程：0968)(3sssF用上式中的系數用上式中的系數8 8和和9696代替代替0 0元元行，繼續進行運算。行，繼續進行運算。改變符號一次 此表第一列各元符號改變次數為此表第一列各元符號改變次數為1 1，因此斷定該系統，因此斷定該系統包含一個具有正實部的特征根，系統是不穩定的。包含一個具有正實部的特征根，系統是不穩定的。根據根據RouthRouth判據

15、，判據，2p2p的輔助多項式應該存在的輔助多項式應該存在p p對實部符號對實部符號相異、虛部數值相同的共軛復根。這些特征根可以通過相異、虛部數值相同的共軛復根。這些特征根可以通過解輔助多項式得到。解輔助多項式得到。本例中輔助多項式為：本例中輔助多項式為：050482)(24sssF解此輔助多項式可得：解此輔助多項式可得：5; 1jss這兩對復根是原特征方程的根的一部分。這兩對復根是原特征方程的根的一部分。五、相對穩定性的檢驗五、相對穩定性的檢驗應用應用RouthRouth判據可檢驗判據可檢驗穩定系統穩定系統的的相對穩定性相對穩定性方法如下方法如下：A將將s平面的虛軸向左移動某個數值，即令平面的

16、虛軸向左移動某個數值，即令sz（ 為正實數為正實數），代入系統特征方程，則得到關于，代入系統特征方程，則得到關于z的特征方程；的特征方程；A利用利用Routh表和表和Routh判據對新的特征方程進行穩判據對新的特征方程進行穩定性判別。如果新系統穩定，則說明原系統特征方定性判別。如果新系統穩定，則說明原系統特征方程的根均在新的虛軸之左邊，程的根均在新的虛軸之左邊， 越大，系統相對穩定越大，系統相對穩定性越好。性越好。 系統傳遞函數方框圖如系統傳遞函數方框圖如下圖所示，已知下圖所示，已知T1T10.1s0.1s，T2T20.25s0.25s，試求，試求: :實例分析實例分析4 4)(sXi)(sX

17、o)1)(1(21sTsTsK解：解：（1 1）求）求系統穩定時系統穩定時K K值的取值范圍值的取值范圍（1 1）系統穩定時系統穩定時K值的取值范圍；值的取值范圍；（2 2）若要求系統的特征根均若要求系統的特征根均 位于位于s1線的左側，線的左側，K值值的取值范圍。的取值范圍。KssTTsTTKsHsGsGsGB221321)()()(1)()(0)()(221321KssTTsTTsD040401423Ksss因為：因為：將將T T1 1和和T T2 2代入得：代入得：列列RouthRouth表如下：表如下：0400404014KK140 K3s2s1s0s14014K4014404014K

18、0K40解之得系統穩定時解之得系統穩定時K K的取值范圍為：的取值范圍為：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判據得：判據得：（2 2）令）令s sz z1 1，代入特征方程得：，代入特征方程得：040) 1(40) 1(14) 1(23Kzszz02740151123Kzzz即：即：列列RouthRouth表如下：表如下：02740040192KK8 . 4675. 0 K3s2s1s0s115112740K1127401511K02740K解之得：解之得：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判據得：判據得：與與(1)的結果比較可知，的結果比較可知，K的取值范

19、圍變小了。的取值范圍變小了。A系統穩定性是指系統在干擾作用下偏離平衡位置，系統穩定性是指系統在干擾作用下偏離平衡位置，當干擾撤除后，系統自動回到平衡位置的能力當干擾撤除后，系統自動回到平衡位置的能力；六、本講小結六、本講小結A系統穩定的充要條件是所有特征根具有負實部，或系統穩定的充要條件是所有特征根具有負實部，或系統傳遞函數的所有極點均分布在系統傳遞函數的所有極點均分布在s平面的左半平面平面的左半平面;作業：作業：教材：教材： 5.15.4, 5.7ARouth穩定判據是穩定判據是Routh表的第一列元素均大于表的第一列元素均大于0。利用利用Routh穩定判據不僅可判定系統的穩定性，而且穩定判

20、據不僅可判定系統的穩定性，而且可以確定某些參數的取值范圍和相對穩定性。可以確定某些參數的取值范圍和相對穩定性。第二講第二講 Nyquist 穩定判據穩定判據一、一、 Nyquist穩定判據穩定判據判據提出：判據提出：該穩定性判據由該穩定性判據由H.NyquistH.Nyquist于于19321932年提出，在年提出，在19401940年以后得到廣泛應用。年以后得到廣泛應用。判據原理：判據原理：將閉環系統的特征方程將閉環系統的特征方程 1+G(s)H(s)=0 1+G(s)H(s)=0 與開環與開環頻率特性頻率特性G GK K(j )(j )聯系起來，從而將系統特性從聯系起來，從而將系統特性從復

21、域引入頻域來分析。復域引入頻域來分析。判斷方法：判斷方法：通過通過G GK K(j)(j)的的NyquistNyquist圖，利用圖解法來判明圖，利用圖解法來判明閉環系統的穩定性。閉環系統的穩定性。NyquistNyquist穩定判據的數學基礎是復變函數中的幅角原理。穩定判據的數學基礎是復變函數中的幅角原理。1.1.幅角原理（幅角原理（CauchyCauchy定理）定理）)()()()()(2121nmpspspszszszsKsFjvusF)( 設設F F(s)(s)在在ss平面上平面上除有限個奇點外除有限個奇點外為單值的連續正則為單值的連續正則函數，并設函數，并設ss平面上解析點平面上解析

22、點s s映射到映射到 F F(s)(s)平面上為點平面上為點F F(s)(s)，或為從原點指向此映射點的向量或為從原點指向此映射點的向量F F(s)(s)。若在。若在ss平面上任意平面上任意一封閉曲線一封閉曲線L Ls s，只要此曲線不經過，只要此曲線不經過F F(s)(s)的奇點，的奇點，則在則在F(s)平面上必有一條對應的曲線平面上必有一條對應的曲線LF，也是一條封閉曲線。，也是一條封閉曲線。 當解析點當解析點s s按順時針方向沿按順時針方向沿L Ls s變化一周時變化一周時，向量，向量F F( (s s) )將按順將按順時針方向時針方向旋轉旋轉N N 周周，即，即F F( (s s) )

23、以原點為中心順時針旋轉以原點為中心順時針旋轉NN 周，周，這就等于曲線這就等于曲線L LF F順時針包圍原點順時針包圍原點NN 次。若令次。若令Z Z 為包圍于為包圍于L Ls s內內的的F F( (s s) )的零點數，的零點數，P P 為包圍于為包圍于L Ls s 內的內的F(s)F(s)的極點數，則有的極點數，則有取任意拉氏函數：取任意拉氏函數：js1s2ssLReIm)(sF)(1sF)(2sFFLjs向量向量F F(s)(s)的相位為的相位為njjmiipszssF11)()()( 假設假設 L Ls s 內只包圍了內只包圍了F F(s) (s) 的一個零點的一個零點z zi i ，

24、其它零極點均，其它零極點均位于位于L Ls s 之外，當之外，當s s沿沿L Ls s 順時針移動一周時，向量（順時針移動一周時，向量（s sz zi i ）的相位角變化為的相位角變化為22 弧度，而其余相位角的變化為弧度，而其余相位角的變化為 0 0。即向量即向量F F(s)(s)的相位角變化為的相位角變化為22，或者說，或者說 F F(s) (s) 在在 F F(s) (s) 平面上沿平面上沿 L LF F 繞原點順時針轉了一圈。繞原點順時針轉了一圈。N ZPjsizizs1p1z2p3psLIm)(sFReFL)(sF 若若ss平面上的封閉曲線包圍平面上的封閉曲線包圍F(s)F(s)的的

25、Z Z個零點，則在個零點，則在 F F(s)(s)平面上的映射曲線平面上的映射曲線L LF F將繞原點順時針將繞原點順時針Z Z圈，而若圈，而若ss平面內平面內的封閉曲線包圍這的封閉曲線包圍這F F(s)(s)的的P P 個極點，則平面上的映射曲線個極點，則平面上的映射曲線L LF F將繞原點逆時針轉將繞原點逆時針轉P P圈。圈。2. Nyquist 2. Nyquist 穩定判據穩定判據設閉環傳遞函數方框圖對應的開環傳遞函數為：設閉環傳遞函數方框圖對應的開環傳遞函數為：)().()()(.)()()()(2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK?X i (s)G(s)H(s)

26、X o (s)其閉環傳遞函數為：其閉環傳遞函數為： )()(1)()(sGsHsGsGB特征方程特征方程 0)()(1sGsH)()(1)(sGsHsF令令則有：則有：nnpspspssssssssFnn).()().()()(2121)(sGB)(sF)(sGK零點零點極點零點極點零點極點相同相同 定常線性系統穩定的充要條件定常線性系統穩定的充要條件是其閉環特征方程的全部根具是其閉環特征方程的全部根具有負實部，即在有負實部，即在ss右半平面內沒有極點，也就是說，右半平面內沒有極點，也就是說，F F(s)(s)在在ss平平面的右半平面沒有零點。面的右半平面沒有零點。)(1)()()(1)()(

27、sGsGsHsGsGsGKB)(1)()(1)(sGsHsGsFK因為因為:故有：故有： 為研究為研究F F(s)(s)有無零點位于有無零點位于ss平面的右半平面平面的右半平面，可選擇一，可選擇一條條包圍整個包圍整個ss右半平面右半平面的的封閉曲線封閉曲線LsLs，如圖。，如圖。LsLs由兩部分組由兩部分組成，其中，成，其中，L L1 1為為到到+ +的整個虛軸，的整個虛軸，L L2 2為半徑為半徑R R趨于趨于無窮大的半圓弧。因此，無窮大的半圓弧。因此，L Ls s封閉地包圍了整個封閉地包圍了整個ss平面的右半平面的右半平面。這一封閉曲線平面。這一封閉曲線LsLs即為即為ss平面上的平面上的

28、 Nyquist Nyquist 軌跡。當軌跡。當到到+ +，軌跡的方向為順時針方向。，軌跡的方向為順時針方向。 由于在由于在應用幅角原理應用幅角原理時，時，L Ls s不能通過不能通過F F(s)(s)函數的任何極點函數的任何極點，所以當函數所以當函數F F(s)(s)有若干極點處于有若干極點處于ss平面的虛軸或原點處時，平面的虛軸或原點處時，L Ls s應以這些點為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按逆時針方向應以這些點為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按逆時針方向繞過這些點。由于繞過這些點的圓弧的半徑為無窮小，因此，繞過這些點。由于繞過這些點的圓弧的半徑為無窮小，因此，可以認為可以認為L Ls s曲線

29、仍然包圍了整個曲線仍然包圍了整個ss平面的右半平面。平面的右半平面。j j j01L2Lsj j j01L2Ls00 設設F F(s)(s)1 1G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss右平面有右平面有Z Z個零點和個零點和P P個極點，由幅個極點，由幅角原理，當角原理，當s s沿沿ss平面上的平面上的NyquistNyquist軌跡移動一周時，在軌跡移動一周時，在 F F 平面平面上的映射曲線上的映射曲線L LF F將順時針包圍原點將順時針包圍原點NNZ ZP P圈。圈。因為因為: : G(s)H(s)F(s)1 可見可見GHGH平面是將平面是將FF平面的虛軸右移一個單位所構成的平面的虛

30、軸右移一個單位所構成的復平面。復平面。FF平面上的坐標原點，就是平面上的坐標原點，就是GHGH平面上的（平面上的（1 1，j0j0）點，點，F F(s)(s)的映射曲線的映射曲線L LF F包圍原點的圈數就等于包圍原點的圈數就等于G(s)H(s)G(s)H(s)的映射曲的映射曲線線L LGHGH包圍（包圍（1 1，j0j0）點的圈數。）點的圈數。ImRe)0, 1(j0)(sFF1FLImRe)0, 1(j)()(sHsGGH1GHL0 由于任何物理上可實現的開環系統，其由于任何物理上可實現的開環系統，其G GK K(s)(s)的分母的分母的階次的階次n n 必不小于分子的階次必不小于分子的階

31、次 m m ，即，即n n m m ，故有：，故有： 這里這里ss是指其模而言，所以，是指其模而言，所以，ss平面上半徑為平面上半徑為的半圓映射到的半圓映射到GHGH平面上為原點或實軸上的一點。平面上為原點或實軸上的一點。 mnmnsHsGs 當const當0)()(lim 因為，因為，L Ls s為為ss平面上的整個虛軸再加上半徑為無窮大的半圓平面上的整個虛軸再加上半徑為無窮大的半圓弧，而弧，而ss平面上半徑為無窮大的半圓弧映射到平面上半徑為無窮大的半圓弧映射到 GHGH平面上只是平面上只是一個點，它對于一個點，它對于G G(s)(s)H H(s) (s) 的映射曲線的映射曲線L LGHGH

32、對某點的包圍情況無影對某點的包圍情況無影響，所以響，所以G G(s)(s)H H(s)(s)的繞行情況只考慮的繞行情況只考慮ss平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到GHGH平面上的開環平面上的開環NyquistNyquist軌跡軌跡G G(j(j) )H H(j(j) )即可。即可。 閉環系統穩定的充要條件是閉環系統穩定的充要條件是F F(s)(s)在在ss平面的右半平面無零平面的右半平面無零點，即點，即 Z Z0 0。因此，如果。因此，如果G G(s)(s)H H(s)(s)的的NyquistNyquist軌跡逆時針包圍軌跡逆時針包圍（1 1，j j0 0）點的圈數）點的圈數N N 等于等于G

33、G(s)(s)H H(s)(s)在在ss平面的右半平面的極平面的右半平面的極點數點數P P 時，有時，有N N P P，閉環系統穩定。，閉環系統穩定。 綜上所述，綜上所述，NyquistNyquist穩定判據表述如下：當穩定判據表述如下：當到到+ +時，若時，若GHGH平面上的開環頻率特性平面上的開環頻率特性G G( (j j) )H H( (j j) )逆時針包圍逆時針包圍（1 1，j j 0 0）點的）點的P P 圈，則閉環系統穩定。圈，則閉環系統穩定。P P 為為G(G(s) s)H H(s)(s)在在ss平平面的右半平面的極點數。面的右半平面的極點數。 對于開環穩定的系統，有對于開環穩

34、定的系統，有P P0 0，此時閉環系統穩定的充要條，此時閉環系統穩定的充要條件是，系統的開環頻率特性件是，系統的開環頻率特性G G( (j j) )H H( (j j) )不包圍（不包圍（1 1，j j 0 0）點。）點。 如圖是如圖是P P=0=0的系統的開環奈氏圖。的系統的開環奈氏圖。(a)(a)圖不包圍圖不包圍(-1(-1，j j 0) 0)點，它所對應的閉環系統穩定；點，它所對應的閉環系統穩定； (b)(b)圖對應的閉環系統不圖對應的閉環系統不穩定。穩定。ImRe)0, 1(j0KGH0ImRe)0, 1(j0KGH0(a)(b)實例分析實例分析 1 1實例分析實例分析 2 2已知某系

35、統的開環傳遞函數為：已知某系統的開環傳遞函數為：) 1)(1)(12() 1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGba其開環傳遞函數的奈氏圖如下：其開環傳遞函數的奈氏圖如下：ImRe)0, 1(j0KGH0 由開環傳遞函數可知，由開環傳遞函數可知，P P =1=1，即在即在ss平面的右半平面有一個極點。平面的右半平面有一個極點。其奈氏軌跡逆時針包圍其奈氏軌跡逆時針包圍 (-1(-1，j 0)j 0)點一點一圈，所以閉環系統仍是穩定的。圈，所以閉環系統仍是穩定的。 這就是所謂的開環不穩定而閉環這就是所謂的開環不穩定而閉環穩定。開環不穩定是指開環傳遞函數穩定。開環不穩定是指

36、開環傳遞函數在在ss平面的右半平面有極點。顯然，平面的右半平面有極點。顯然，此時的開環系統是非最小相位系統。此時的開環系統是非最小相位系統。3. 3. 開環含有積分環節的開環含有積分環節的NyquistNyquist軌跡軌跡軌跡特點：軌跡特點：當系統中串聯有積分環節時，開環傳遞函數當系統中串聯有積分環節時，開環傳遞函數有位于有位于s平面坐標原點處的極點平面坐標原點處的極點 。設開環傳遞函數設開環傳遞函數 vniivmjjKsTssTKsHsGsG11) 1() 1()()()(式中，式中，v v 為系統中積分環節的個數，當為系統中積分環節的個數，當s s 沿無窮小沿無窮小半圓弧逆時針方向移動時

37、，有半圓弧逆時針方向移動時，有jrres0lim映射到映射到GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist軌跡為：軌跡為： 因此，當因此，當s s沿小半圓從沿小半圓從0 0變化到變化到0 0時，時， 角從角從/2/2變化到變化到/2/2，這是，這是GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist軌跡將沿無窮大半徑按順時針方向從軌跡將沿無窮大半徑按順時針方向從v v/2/2轉到轉到- - v v/2 /2 。jvvrresvniivmjjreserKsTssTKsHsGjrjr0lim11limlim) 1() 1()()(00已知某系統的開環傳遞函數為已知某系統的開環傳遞函數為) 1

38、()3()()(sssKsHsGImRe)0, 1(j0 0GH 0分析分析：G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss平面的右半平面平面的右半平面有一個極點，為有一個極點，為s=1s=1，所以，所以，P P =1=1。 實例分析實例分析 3 3 當當 由由-變到變到+ + 時，開時，開環奈氏軌跡逆時針包圍環奈氏軌跡逆時針包圍(-1(-1，j j 0)0)點一圈，所以，點一圈，所以，閉環系統是穩閉環系統是穩定的。定的。顯然，此時的開環系統顯然，此時的開環系統是非最小相位系統。是非最小相位系統。由于G(s)H(s)分母中有一個積分環節，所以，映射到GH平面上就是半徑為 按順時針方向從- /2

39、到+ /2 的圓弧。在s平面上，當 由- 變到+ 時，經過=0 時，實例分析實例分析 4 4已知某系統的開環傳遞函數為：已知某系統的開環傳遞函數為：) 12)(1() 14()()(2sssssHsG當當= =0 0 時，時，180jHjG當當= = 時，時，270jHjG故奈氏曲線將穿越負實軸，在交故奈氏曲線將穿越負實軸，在交點處，有點處，有 180jHjGImRe) 0, 1(j00GH0由此可算得：由此可算得：6 .10221221GH 當當 由由- - 變到變到+ + 時，經過時，經過=0 =0 時，由于時，由于G G(s)(s)H H(s)(s)分母中有分母中有兩個積分環節，所以，影

40、射到兩個積分環節，所以，影射到GHGH平面上就是半徑為平面上就是半徑為 按順時針按順時針方向從方向從 到到- - 的圓弧。因的圓弧。因 P P = 0= 0，當，當 由由-變到變到+ + 時，開環時，開環奈氏軌跡順時針包圍奈氏軌跡順時針包圍(-1(-1，j j 0)0)點兩圈，所以，閉環系統不穩定。點兩圈，所以，閉環系統不穩定。四四. . 關于關于NyquistNyquist判據的幾點說明判據的幾點說明ANyquist判據是在判據是在GH平面平面判別系統的穩定性判別系統的穩定性；ANyquist判據判據證明復雜，但應用簡單證明復雜，但應用簡單；A開環穩定與閉環穩定之間的關系開環穩定與閉環穩定之

41、間的關系；A開環開環Nyquist軌跡是對稱的。軌跡是對稱的。)()()()(jHjGjHjG)()()()(jHjGjHjG實例分析實例分析 5 5已知系統的開環傳遞函數為：已知系統的開環傳遞函數為：) 1)(1()()(21sTsTKsHsG 開環奈氏軌跡如右邊圖所示。開環奈氏軌跡如右邊圖所示。因為因為P P = 0= 0，當，當 由由-變到變到+ + 時，開環奈氏軌跡不包圍時，開環奈氏軌跡不包圍(-1(-1，j j 0)0)點，所以，不論點，所以，不論K K 取任何正值，取任何正值，其所對應的閉環系統都是穩定的。其所對應的閉環系統都是穩定的。ImRe)0, 1(j0KGH0 從開環傳遞函

42、數的特點可知，從開環傳遞函數的特點可知，當當 =+ =+ 時，相位為時，相位為-，當，當 由由0 0變到變到+ + 時，開環奈氏軌跡到時，開環奈氏軌跡到不了第二象限。所以，當不了第二象限。所以，當 由由-變到變到+ + 時，開環奈氏軌跡不會包圍時，開環奈氏軌跡不會包圍(-1(-1，j j 0)0)點，閉環系統總是點，閉環系統總是穩定的。由此可知，開環為最小相位系統時，只有三階及其以上，穩定的。由此可知，開環為最小相位系統時，只有三階及其以上，其閉環系統才有可能不穩定。其閉環系統才有可能不穩定。實例分析實例分析 6 6已知某系統的開環傳遞函數為已知某系統的開環傳遞函數為:) 1)(1)(1()

43、1)(1()()(32154sTsTsTsTsTKsHsG右圖是對應不同右圖是對應不同K 奈氏曲線，奈氏曲線，且曲線且曲線(1) 當當 由由- 變到變到+ 時，時，開環奈氏軌跡順時針包圍開環奈氏軌跡順時針包圍(-1，j 0)點，所以，閉環系統不穩定。點，所以，閉環系統不穩定。若減小若減小K 值得曲線當值得曲線當 由由- 變變到到+ 時，開環奈氏軌跡不包圍時，開環奈氏軌跡不包圍(-1，j 0)點，所以，閉環系統穩點，所以，閉環系統穩定。定。ImRe)0, 1(j0KGH0) 1 ()2(2)K 不變，增大不變，增大 T4,T5. 實例分析實例分析 7 7某系統的開環傳遞函數為：某系統的開環傳遞函

44、數為：) 1()()(TssKsHsGImRe)0, 1(j0GH0 右圖為其開環奈氏曲線。右圖為其開環奈氏曲線。顯然，只要顯然，只要K0K0，無論取何值，無論取何值，其對應的閉環系統都是穩定的。其對應的閉環系統都是穩定的。此例中只有一個積分環節，而此例中只有一個積分環節，而且是二階系統，相位最多為且是二階系統，相位最多為- - 所以，閉環系統一定是穩定的。所以，閉環系統一定是穩定的。系統的開環傳遞函數為系統的開環傳遞函數為: :) 1)(1)(1() 1()()(3214sTsTsTssTKsHsG實例分析實例分析 8 8 前導環節在系統中的重要作用前導環節在系統中的重要作用右圖為開環奈氏曲

45、線。其中曲右圖為開環奈氏曲線。其中曲線（線（1 1）的）的T T4 4較小，即前導作用較小，即前導作用較弱，曲線包圍了較弱，曲線包圍了（-1-1，j j0 0）點，所對應的閉環系統不穩定。點，所對應的閉環系統不穩定。ImRe)0, 1(j0GH0) 1 ()2(曲線曲線 (2) (2) 的的 T T4 4 較大，即導前作較大，即導前作用較強，曲線不包圍用較強，曲線不包圍 (-1(-1，j j 0)0)點，點，所對應的閉環系統穩定。所對應的閉環系統穩定。實例分析實例分析 9 9 前導環節和積分環節的作用前導環節和積分環節的作用系統的開環傳遞函數為：系統的開環傳遞函數為：) 1() 1()()(1

46、22sTssTKsHsGT T1 1、T T2 2取值不同時的奈氏曲線見下圖：取值不同時的奈氏曲線見下圖：ImRe)0, 1(j0GH 0 021TT ImRe)0, 1(j0GH 0 021TT ImRe)0, 1(j0GH 0021TT 由圖可知：（由圖可知：（1 1）T T2 2大，表示導前環節作用大，可使系統穩定；大，表示導前環節作用大，可使系統穩定；（2 2）開環系統中串聯的積分環節越多，開環）開環系統中串聯的積分環節越多，開環NyquistNyquist軌跡越容易包軌跡越容易包圍點（圍點（1 1，j0j0）。）。五五. . 具有延時環節的系統的穩定性分析具有延時環節的系統的穩定性分

47、析)(sXi)(1sGse)(sE)(sXossKessesGsG11)()(1) 1(1)(1sssG若若則則)()(1jGjGK)()(1jGjGKjKejGjG)()(1故故具有延時環節的系統傳遞函數結構圖為：具有延時環節的系統傳遞函數結構圖為：延時環節不改變原頻率特性幅值的大小，但改變其相角的大小。延時環節不改變原頻率特性幅值的大小，但改變其相角的大小。對上述具有延時環節的單位反饋系統，其特征方程為：對上述具有延時環節的單位反饋系統，其特征方程為：0)(11 sesG即即此時系統處于臨界狀態，故有：此時系統處于臨界狀態，故有：1)(1 sesG) 1 (1)(1jG)2()(1jG78

48、6. 015. 1解得：解得：ImRe)0, 1(j0GH0015.0 此例說明，串聯延時環節對系統穩定性是不利的。即使原系統穩定，但串入延時環節后系統可能會不穩定。此例， 1.15，系統不穩定。A了解幅角原理基本概念及與系統穩定性關系；了解幅角原理基本概念及與系統穩定性關系；六、本講小結六、本講小結A掌握掌握Nyquist判據穩定性判斷方法；判據穩定性判斷方法；作業：作業：教材：教材： 5.10A明確明確Nyquist判據穩定性時的特點；判據穩定性時的特點；第三講第三講 Bode 穩定判據穩定判據一一 BodeBode判據原理判據原理判據原理判據原理：將開環將開環Nyquist極坐標圖采用開

49、環極坐標圖采用開環Bode對對數坐標圖以進行系統穩定性判斷。數坐標圖以進行系統穩定性判斷。判據對應關系判據對應關系：ImRe)0, 1(j0GH021c34GHlg20cGH1801g1234對應關系描述對應關系描述：ANyquist圖上的圖上的單位圓單位圓對應于對應于Bode圖上的圖上的0dB線線；ANyquist圖上的圖上的負實軸負實軸對應于對應于Bode圖上的圖上的-180 線線。二二 穿越原理穿越原理穿越穿越：開環開環Nyquist軌跡在點軌跡在點(-1, j0）以左穿過負實軸。）以左穿過負實軸。正正 /負穿越負穿越：沿頻率沿頻率增加的方向，開環增加的方向，開環Nyquist軌跡自軌跡

50、自上而下（相位增加）穿過點上而下（相位增加）穿過點(-1, j0）以左的負實軸為正）以左的負實軸為正穿越，反之為負穿越。穿越，反之為負穿越。半次正半次正 /負穿越負穿越：沿頻率沿頻率增加的方向，開環增加的方向，開環Nyquist軌軌跡自點跡自點(-1, j0）以左的負實軸開始向下稱為半次正穿越，）以左的負實軸開始向下稱為半次正穿越，反之為半次負穿越。反之為半次負穿越。正半次穿越GH180負半次穿越 對應于對應于Bode圖上，在開環圖上，在開環對數幅頻特性為正值的頻率對數幅頻特性為正值的頻率范圍范圍內，沿內，沿增加的方向，增加的方向，對數相頻特性曲線自下而上穿對數相頻特性曲線自下而上穿過過180

51、度線度線為正穿越；反之，為負穿越。為正穿越；反之，為負穿越。A對數相頻特性曲線對數相頻特性曲線自自180度線度線開始向上，為開始向上，為半次正穿越半次正穿越；A對數相頻特性曲線對數相頻特性曲線自自180度線度線開始向下，為開始向下，為半次負穿越半次負穿越。三三 BodeBode判據判據在在BodeBode圖上，圖上，當當由由0 0變為變為+時時，在開環，在開環對數幅頻特對數幅頻特性為正值的頻率范圍內性為正值的頻率范圍內，開環，開環對數相頻特性對對數相頻特性對-180-180度線度線正穿越與負穿越的次數之差為正穿越與負穿越的次數之差為 P P/2/2時，閉環系統穩定，時，閉環系統穩定，否則閉環系

52、統不穩定。否則閉環系統不穩定。閉環系統穩定的充要條件閉環系統穩定的充要條件： 當當P P0 0時，若開環對數幅頻特性比其對數相頻特性時，若開環對數幅頻特性比其對數相頻特性先交于橫軸，即先交于橫軸，即c c g g ，則閉環系統不穩定，則閉環系統不穩定。GHlg203cGH18001c2c 若開環對數幅頻特性曲線對橫軸若開環對數幅頻特性曲線對橫軸有多個剪切頻率，如圖，則取剪切有多個剪切頻率，如圖，則取剪切頻率最大的來判別穩定性，因為若頻率最大的來判別穩定性，因為若用用c3c3 判別系統穩定性，則用判別系統穩定性，則用c1c1、 c2c2判別，自然也是穩定的。判別，自然也是穩定的。Bode判據的優

53、點判據的優點：ABode圖可以用作圖可以用作漸近線漸近線的方法作出，故比較簡便；的方法作出，故比較簡便；ABode圖上的圖上的漸近線漸近線，可以粗略的判別系統的穩定性；，可以粗略的判別系統的穩定性；ABode圖上可以圖上可以明確明確哪些環節是哪些環節是造成不穩定的主要因素造成不穩定的主要因素，從而從而對其中參數進行合理選擇或校正對其中參數進行合理選擇或校正；A在調整開環增益在調整開環增益K時，只需將時，只需將Bode圖中的對數幅頻特性圖中的對數幅頻特性上下平移即可，很容易看出保證穩定性所需的增益值。上下平移即可，很容易看出保證穩定性所需的增益值。四四 系統的相對穩定性系統的相對穩定性相位裕度相位裕度：相位裕度相位裕度：在在為剪切頻率為剪切頻率c時，相頻特性時，相頻特性 GH 距距-180線的相位差值線的相位差值。)(180cReImgK1GH)(c11)(jGKReImgK1)(c11)(jGKGH0)(dBKg0)(dBK