1、實驗六逆濾波和維納濾波SC07023017陸金星一、實驗內容1:先由原始圖像(任選)產生待恢復的圖像；(產生方法如下：沖激函數為.-(x2-V25/240h(x,y)=e6f)，將原始圖像與沖激函數卷積產生模糊，然后再迭加均值為0,方差為8,16,32的高斯隨機噪聲而得到一組待恢復的圖像;2：分別用逆濾波和維納濾波恢復上面圖像。實驗圖像：Cameraman.bmp二、實驗原理【退化模型】圖像恢復需要根據一定的圖像退化模型來進行，一個簡單的通用圖像退化模型如下圖所示，在這個模型中，圖像退化過程被模型化為1個作用在輸入圖像f(x,y)上的系統H,它與1個加性噪聲n(x,y)的聯合作用導致產生退化圖

2、像g(x,y)。根據這個模型恢復圖像也就是要在給定g(x,y)和H的基礎上得到對f(x,y)的某個近似的過程(這里假設已知n(x,y)的統計特性)。n(x,y)f(x,y)Hg(x,y)一維情況：設f(x)中x的取值范圍是0,1,，A1,h(x)中x的取值范圍是0,1,，B1,為了避免卷積的各周期重疊(設每個采樣函數的周期為M),取M>A+B-1,并將函數用零擴展補齊。用fe(x)和r(x)表示擴展的函數，它們的卷積為：x=0,1,M-1he(-M1)fe(0)ne(0)he(M+2)fe(1)十neaas+I+IFhe(0)1"(M-1)_Jne(M-1)一M4ge(x)=/

3、fe(m)he(x-m)ne(x)m=0可以用矩陣形式表示為：一ge(0)1rhe(0)he(-1)'7.-ge(1)he(1)he(0)Hf+nJe(M-1)-Jhe(M-1)he(M-2)根據he(x)的周期性可知he(x)=he(x+M),所以上式中的H可進一步寫成:he(0)he(-1)he(1)；he(1)he(0)he(2)H_he(M-1)he(M-2)he(0)_二維情況：由一維情況可以推廣到二維情況，得到：f(x,y)0MxMA-1和0<y<B-1fe(x>Y);0A<x<M-1或B三y£N-1he(x,y)工h(x,y)00M

4、xMc-1和0<y<D-1C<x<M-1或DEyMN-1又可以得到:MdNJge(x,y)-''fe(m,n)he(x-m,y-n)ne(x,y)m-0nq0x=0,1,M-1y=0,1；,n-1可以用矩陣形式表示為:H1吊1-fe(0)1H2fe(1)H0Je(MN-1)一，(0)1ne(1)a_ne(MN1)_其中每個Hi是由擴展函數he(x,y)的第i行而來：一he(i,0)he(i,N-1)he(i,1)1丁he(i,1)he(i,0)he(i,2)Hi=-+Iaa*a.Ue(i,N-1)he(i,N-2)he(i,0)_【循環矩陣對角化】直接從

5、g=Hf+n的表達式中計算以求解f的計算量會很大，可以通過對角化H來簡化。對于一維循環矩陣，可以將H的M個本征矢量組成1個M父M的矩陣W,jkj(M)kTW=w(0),w(1)，w(M1)其中w(k)=1,eM，eMk=0,1J,M1,1這樣可以將H寫成H=WDW,D是對角矩陣，元素是H的本征值。對于二維塊循環矩陣，定義1個MN父MN的矩陣W,其每個元素為：j_2_imW(i,m)=eMWN,i,m=0,1,，M1,其中WN為1個N父N的矩陣，其每個元素為:jkn一一-I1jWN(k,n)=eM,k,n=0,1，N1,這樣可以將H寫成H=WDW。將循環矩陣對角化應用與退化模型計算，可以有W,g

6、=DW,f+Wn,令u=0,1，M1,v=0,1，N-1,則以下各式成立:G(u,v)二焉M",、“ux""ge(x,y)exp-j2二x3_M1F(u,v);MNN(u,v)=MNM'Nuxvv'"fe(x,y)exp-j2二-x=0v=0_MNJMNne(x,y)exp-j2：吉弋x-0y-0MN.J1MNuxvyHU"加;Mx,y)expj2二6吊而D的MN個對角元素可表示為:IMNmHI,kmodND(k,i)=«UNMN并入H(u,v),得到G(u,v)=H(u,v)F(u,v)十N(u,v)u=0,1；,M

7、-1v=0,1；,N-1上式說明，求解退化模型的大系統方程，只需計算很少幾個MMN的傅里葉變換就可以了。由n=g-Hf，在對n沒有先驗知識的情況下，尋找1個f的估計值f使n的模或范數最小：|n|2=nTn=g-Hf2T=g-Hfg-Hf這樣可把恢復問題看作是對f求式LJj=|g-Hfj的最小值，將L對f'求微分并設結果為零，再設H,存在，可得無約束恢復公式：f'=（HTHHTg=H'（HTHTg=H，g當選取f的1個線性操作符Q（變換矩陣），使得Qf最小。設l為拉格朗日乘數，要找到最小化準則函數Lf=Qf2+14g-Hf|2|n|2Mf',可得到有約束恢復公式（

8、令s=1/1)：f=HTH+sQTQHTgo【逆濾波】逆濾波是一種無恢復約束，設M=N,則將H=WDW代入f'=H,g可以得到，=H-1g=(WDW,),g=WDJW-Lg，如將上式兩邊乘以W,得到：W,？二D'Wg。式中各個元素能寫成形式：F(u,v)=G(U,V),這種恢復方法稱為逆濾波。H(u,v)將H(u,v)看作1個濾波函數，則它與F(u,v)的乘積是退化圖像g(u,v)的傅里葉變換。用H(u,v)去除G(u,v)就是1個逆濾波過程。將F'(u,v)=G(u,v)的結果求反變換就得到H(u,v)恢復后的圖像：？(x,y)=F,F'(u,v)=F|G(u

9、,v",_H(u,v)實際為了減小噪聲的影響以及防止H(u,v)取零或很小的影響，將恢復轉移函數M(u.v)取為M(u.v)=k?H(uv)Wd，其中k和d為小于1的常數,(1/H(u.v)其它且d選的較小為好。【維納濾波】維納濾波是一種有約束恢復,是種最小均方誤差濾波器，設Rf和R分別是f和n的相關矩陣，則Rf=WAW,，Rn=WBW，其中A和B中的元素對應Rf和R中的相關元素的變換，代入有約束恢復公式，可以得到：TTf二(HTHsRfRn)HTg=(WDDWsWABW)WDWg也可以寫成如下形式:F(u,v)=1H(u,v)|2I父2-1G(u,v)H(u,v)H(u,v)+S-

10、Sn(u,v)/Sf(u,v其中，Sn(u,v)和Sf(u,v)分別是fe(x,y)和ne(x,y)的功率譜，可通過FFT變換后模值的平方求得。上式中，如果s=1,則方括號中的項就是維納濾波器；如果s是變量，就稱為參數濾波器；當沒有噪聲時，&(u,v)=0,維納濾波器退化為逆濾波器。三、實驗程序實驗程序包含1個.m文件exp_6.m執行文件，完成圖像模糊與圖像恢復功能，并給出實驗結果具體程序內容在程序內有注釋，實驗時直接運行exp_6.m即可完成上述實驗內容。四、實驗結果與分析【模糊噪聲圖】Cameraman.bmp模糊并虛有方差為伯高斯隨機噪聲的圖像模糊并帶有方差為前高斯隨機噪聲的圖像模糊并常有方差為B高斯隨機噪聲的圖像【逆濾波恢復結果】Cameraman.bmp逆濾波恢復結果臊聲方差日）逆濾波恢復結果僚聲方差舊【維納濾波恢復結果】逆濾波恢復結果悌聲方差叼Cameraman.b